专题12 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型）（几何模型讲义）数学华东师大版2024七年级上册

该初中数学讲义通过梳理平行线拐点模型核心要素，以图示呈现蛇形模型（5字模型）的结构特征与证明过程，构建“模型来源-提炼-运用”的知识脉络，突出“见拐点作平行线”的通用解法及和差拆分的基本思路。 讲义亮点在于真题情境引入与分层例题设计，如公路拐弯角度计算（例2）、折叠铁丝几何探究（例6），培养几何直观与推理能力。练习题覆盖选择、填空、解答题，适配不同层次学生，助力教师实施精准复习教学与学生自主方法内化。

专题12 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.蛇形模型 4 11 蛇形模型（5字模型）是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似蛇的弯曲形态，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图所示，过点E作， ∵，∴，∴，∴， 如图所示，过点F作，∴， ∵，∴，∴， ∴，故选：A． （24-25七年级下·辽宁阜新·期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图，． 【初步感知】(1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】(2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】(3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，， ，，； （2）证明：过点作交于点，如图所示： ，，，，， ，，， ，，； （3）解：设和的交点为，如图所示： 由（2）可知，， ，，， ，，， ，，， ，，． 蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.蛇形模型 例1（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，，于点C，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点P作． ，，，， ∵，，∴，．．故选：B． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点作， ，，，， ，，， ，故选：D． 例3（24-25下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点E作，∴，      ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，故选：D． 例4（24-25下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，见解析 【详解】（1）解：如图，过点作，              ，，，， ，，，， ，， ，； （2）解：如图1，过点作，，． ，，． ，， （3）解：． 理由：如图2，过点作，则， ，， ，． 例5（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 【答案】(1)(2)不发生变化，(3)或 【详解】（1）解：如图，过点作， ，，，， ，，； （2）解：不发生变化，，理由为：由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作，，，， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ，， 如图，过点作，，， ，，， 当点在点的左侧时，如图，则， ， 当点在点的右侧时，如图，则， ，． 综上，的读数为或 例6（24-25下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若，求；(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示） 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，∴解得：，∵．∴； （2）解：如图所示，过点分别作的平行线， ∴，∴，设， 又∵，∴，， ∴，，∴，； （3）∵，，， 即，∴， 由（2）可得，∵，， ∴，即， ∴，∴． 例7（24-25七年级下·陕西榆林·期末）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，点分别在直线上，点在之间．过点作，利用平行线的性质可以得出之间的数量关系为______； (2)用同样的辅助线还可以得到图1中之间的数量关系，请写出此关系并说明理由； (3)图2为北斗七星的位置图．将北斗七星从摇光到天枢依次标为，并将顺次首尾连接，如图3．若恰好经过点，且在一条直线上，，，，求的度数． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵， ∴，∴； （2）解：； 理由：，， ，，，， ，． （3）解：根据（1）可知，， ，， ，，． 1．（24-25下·广东·七年级校考期中）如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，作， ， 则，，∴， ∵，∴，故选：C． 2．（24-25下·四川成都·七年级校考期末）如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，延长交直线于F， ∵，∴， ∵，∴，故选：C． 3．（24-25七年级下·北京·期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 【答案】B 【详解】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，则∠CDE＝∠E+∠CNE，即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF，∴CM∥AB∥EF，∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°，∴∠1+∠2＝90°，∴x+y﹣z＝90°．故选：B．    4．（2025·广东·校考二模）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长交直线于点，    ，，根据题意得，，故选：A． 5．（24-25下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， 过M作，过N作，则，，    ∵，∴，，∴，， ∴，即， 又∵， ∴，即，故选：D． 6．（24-25下·黑龙江鸡西·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：延长、交于点D，如图所示：    ∵，∴， ∵，∴， ∴．故选：A． 7．（24-25七年级下·北京房山·期末）如图，，，则的大小为 ． 【答案】89 【详解】解：过点作， ∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∴．故答案为：89． 8．（24-25下·北京石景山·七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    【答案】 【详解】解：过点C作，如图，∴，    ∵，∴，∵，∴， ∵于点B，∴，∴， ∴．故答案为： 9．（24-25七年级下·北京·期中）假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于 ． 【答案】/度 【详解】解：过作，由题意可得，， ∵，， ， ∴，∴，，∵，， ∴，，故答案为：． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图，，，，则 °． 【答案】20° 【详解】过点C作CF∥AB，则CF∥AB∥ED ∵CF∥AB∴∠CAB+∠ACF=180° 又∴∠CAB=125°，∠ACD=75°∴∠ACF=55°，∠FCD=20°∴∠FCD=∠CDE=20° 11．（24-25七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，过，，的顶点，分别作的平行线， ∵，∴，∴；同理可得， ∴，，，∴， 则，， 即∴；故答案为：． 12．（24-25下·北京朝阳·七年级校考期末）如图，，，求的度数．    【答案】 【详解】解：，，， 又，，的度数为． 13．（24-25下·北京顺义·七年级统考期末）完成下面的证明． 已知：如图，，．求证：．    证明：∵， ________（_____________________________）（填推理的依据）． ________（__________________________________）（填推理的依据）． ∴（____________________________________）（填推理的依据）． 【答案】见解析 【详解】解：证明：∵， （两直线平行，同旁内角互补）（填推理的依据）． ，（同角的补角相等）（填推理的依据）． ∴（内错角相等，两直线平行） 14．（24-25七年级下·北京·期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图1，过点作， ，，，，， ，，； （2）如图2，过点作，则，，， ，， ，故答案为：； （3）如图3，设交于点，，， ∵∴，，， ，，平分， ，， 由（2）得：，， ． 15．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，是一条折线段，且，点为平行线间一点．(1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线交直线于点，过点作于点，过点作交的角平分线于点．若点是位于线段右侧的一动点，试判断是否为定值，如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)如图3，点仍满足（2）问中的条件，射线交直线于点，若为，点为射线上一动点，连接，的角平分线交直线于点．设，，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)(2)为定值，，(3)或 【详解】（1）解：如图，过点作的平行线， ，，， ，； （2）解：为定值，，理由如下：设， 的角平分线交直线于点，， ，， 过点作于点，，， 是的角平分线，， （3）解：当点在点左边时，如图所示， ，， 平分，， ，， 平分，， ，，即； 当点在点右边时，如图所示，根据上述原理可得， ，， ，，即， 综上可得，或． 16．（24-25七年级下·山东威海·期中）问题情境：如图1，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为__________度； (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，与，之间存在怎样的数量关系？请说明理由． (3)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若恰好经过点G，且．若，，求的度数． 【答案】(1)(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：过点作， ∵，，，∴， ∴，， ∴，故答案为：； （2）解：．理由：如图，过点作交于， ∵，，，∴， ∴，，∴； （3）解：过点作，∵，∴， ∵，∴，， ∵，∴， ∵∴， ∴，即的度数为． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 平行线中的拐点模型之蛇形模型（5字模型） 平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就平行线中的拐点模型（蛇形模型（“5”字模型））进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角。 通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.蛇形模型 4 11 蛇形模型（5字模型）是初中几何中“平行线拐点模型”的一种，其核心是通过“见拐点作平行线”将复杂角度关系转化为平行线性质的应用。这个模型的名字来源于其形状类似蛇的弯曲形态，这个形象化的命名让这个几何模型更容易被记住和理解。在解题时，过拐点作一条平行线，就能利用内错角、同位角等性质，将拐角拆解为其他角的和或差，从而快速求解。 （2025·山西·模拟预测）电影《哪吒之魔童闹海》是亚洲首部票房过百亿的影片，从如图①所示的哪吒动作抽象出如图②的示意图，已知，，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． （24-25七年级下·辽宁阜新·期中）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组提出如下问题：已知：如图，． 【初步感知】(1)如图1，若，求的度数； 【拓展延伸】(2)如图2，当点、在两平行线之间，且在位于异侧时，求证：； 【类比探究】(3)如图3，若，，若，，直接写出的度数． 蛇形模型（“5”字模型） 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 图1 图2 【证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 模型1.蛇形模型 例1（2025·河南平顶山·模拟预测）如图所示，，于点C，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 例2（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 例3（24-25下·贵州黔南·七年级统考期中）如图，如果，那么角α，β，γ之间的关系式为（    ）      A． B． C． D． 例4（24-25下·陕西汉中·七年级校考期中）如图，已知直线，P是平面内一点，连接．    (1)如图①，若，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 例5（24-25七年级下·广东汕头·阶段练习）综合与实践： 如图1，，． (1)如图1，设，，求、之间的数量关系； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，直接写出的度数． 例6（24-25下·广东广州·七年级统考期末）甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在，，处弯折得到如下图①的形状，其中，． 第二步：将绕点D旋转一定角度，再将绕点E旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如下图②的形状． 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如下图③的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题：(1)如图①，若，求；(2)如图②，若，请判断，，，之间的数量关系，并说明理由；(3)在（2）的条件下，如图③，若，，设，，求．（用含，的式子表示） 例7（24-25七年级下·陕西榆林·期末）经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，点分别在直线上，点在之间．过点作，利用平行线的性质可以得出之间的数量关系为______； (2)用同样的辅助线还可以得到图1中之间的数量关系，请写出此关系并说明理由； (3)图2为北斗七星的位置图．将北斗七星从摇光到天枢依次标为，并将顺次首尾连接，如图3．若恰好经过点，且在一条直线上，，，，求的度数． 1．（24-25下·广东·七年级校考期中）如图，若，则、、之间的关系为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25下·四川成都·七年级校考期末）如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期末）如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 4．（2025·广东·校考二模）北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，谷爱凌的励志故事也激励着我们青少年，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，如果不想体验人仰马翻的感觉，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，，当人脚与地面的夹角时，求出此时上身与水平线的夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，，平分，的反向延长线交的平分线于点M，则与的数量关系是（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25下·黑龙江鸡西·七年级期中）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，求的度数（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·北京房山·期末）如图，，，则的大小为 ． 8．（24-25下·北京石景山·七年级统考期末）某篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，则 ．    9．（24-25七年级下·北京·期中）假日，小明和爸爸驾车去山区旅游，汽车经过A、B、C三点，拐弯后与原来方向相同，如图，若，，则等于 ． 10．（24-25七年级下·北京·期中）如图，，，，则 °． 11．（24-25七年级上·福建三明·期中）如图，，则，，，，满足的数量关系是 ． 12．（24-25下·北京朝阳·七年级校考期末）如图，，，求的度数．    13．（24-25下·北京顺义·七年级统考期末）完成下面的证明． 已知：如图，，．求证：．    证明：∵， ________（_____________________________）（填推理的依据）． ________（__________________________________）（填推理的依据）． ∴（____________________________________）（填推理的依据）． 14．（24-25七年级下·北京·期中）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图，已知，，求的度数； (2)如图，判断、、之间的数量关系为 ． (3)如图，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 15．（24-25七年级下·重庆·期末）已知，是一条折线段，且，点为平行线间一点．(1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线交直线于点，过点作于点，过点作交的角平分线于点．若点是位于线段右侧的一动点，试判断是否为定值，如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)如图3，点仍满足（2）问中的条件，射线交直线于点，若为，点为射线上一动点，连接，的角平分线交直线于点．设，，请直接写出与的数量关系． 16．（24-25七年级下·山东威海·期中）问题情境：如图1，，求度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为__________度； (2)问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，当点P在B、D两点之间运动时，与，之间存在怎样的数量关系？请说明理由． (3)问题解决：图3为北斗七星的位置图，将其抽象成图4，其中北斗七星分别标为A、B、C、D、E、F、G，将A、B、C、D、E、F、A顺次连接，天文小组发现若恰好经过点G，且．若，，求的度数． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $