专练(二)特殊平行四边形的最值与探究&专练(三)一元二次方程的解法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

专练（二） 特殊平行 1.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边 CD,BC上的动点，连接AE,EF,G,H分别 在AE,EF的中点，连接GH.若∠B=45°， BC=2√3，则GH的最小值为 A.√3 号 C.√6 D.6 2 B B (第1题图) (第2题图) 2.如图，P是边长为2的正方形ABCD的对 角线AC上一点，E是CD的中点，则 PD十PE的最小值是 A.√5 B.√6 C.1+√2 D.√2 3.如图，在矩形ABCD中，AB=4,BC=3, 点P是对角线AC上一个动点（点P与，点 A,C不重合)，过点P分别作PE⊥AD于 点E,PF∥BC交CD于点F,连接EF,则 EF的最小值为 (第3题图) (第4题图) 4.如图，在菱形ABCD中，BC=2,∠B=120°， E为CD的中点，P为对角线AC上的任意 一点，则PD十PE的最小值为 5.如图，E,F是菱形ABCD的边AB,AD 的中点，P是菱形的对角线BD上的动 点.若DB=10,AC=24,则PE+PF的 最小值是 四边形的最值与探究 6.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5, 点E是AB的中点，线段MN在边BC上 左右滑动.若MN=1,则EM+DN的最 小值为 7.如图，在菱形ABCD中，P是对角线BD 上一点，点E在AD的延长线上，PA= PE,PE交边CD于点F. (1)求证：PC=PE; 【问题探究】 (2)当∠ABC=120°时，连接CE,探究CE 与AP的数量关系，并说明理由. 3· 专练（三） 1.用适当的方法解下列方程： (1)(2x+3)2-16=0: (2)3x2十x-1=0; (3)3x(x-1)=2-2x. 2.阅读下列材料： 将x2十2x一35因式分解，我们可以按 面的方法解答： ①分解二次项与常数项： x2=x·x,-35=(-5)X(+7); ②交叉相乘，验中项： →7x-5x=2x; x十7 元二次方程的解法 ③横向写出两因式： x2+2x-35=(x-5)(x+7) 我们将这种用十字交叉相乘因式分解的 方法叫做十字相乘法 试用上述方法解方程：x2十3x一10=0. 3.【阅读】 解方程：(.x-1)2-5(x-1)+4=0. 解：设x-1=y, 则原方程可化为y2-5y十4=0， 解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x-1=1,解得x=2; 当y=4时，x-1=4,解得x=5. 所以原方程的解为x1=2,x2=5. 上述解法称为“整体换元法” 【应用】 请运用“整体换元法”解方程：(2x一3)2 (2x-3)-2=0. ·24·2.2千9.8心AB=17m答：旗杆的高度AB为17m.14.解：(1)如图，点E即为所 2.2 求：(1，-1) (2)如图，△A2B2C2即为所求. 阶段微测试（九） 1.C2.B3.B4D5B6B7.A8B9,俯10.24.8m12.(停0) 13.解：如图所示. 14.解：(1)圆形：(2)阴影会逐渐变小：(3)如图， 主视图 左视因 ○ 俯视图 设白炽灯为点A,球心为点O,球与光线的切点为点D,光线与地面的交 点为点C,延长AO交地面于点E,连接OD.由题意可知AO=1m,AE=3m,OD= 0.2m.OD⊥AD,AE⊥EC,∠ADO=∠AEC=90°.又：∠DAO=∠EAC, ÷△0DA∽△CEA咒铝CE品在R△A0D中，由勾股定理，得AD A0-0D=1-0.2=-0.96∴CE-A8=0.375,SE=CE=0.375mm) 阶段微测试（十） 1.A2.B3.D4.C5.B6.C7A8B9.-号 10.一3（答案不唯一） 11.0.22<I<0.2512.213.解：(1)由电流I与电阻R是反比例函数关系.设I= ，把(3,16)代入，得16-号，U=48,∴该品牌电动车电池的电压为48V:(2)由( U 知1-贷当1=.2A时，R=号=6号当1-8A时，R-餐-6电阻值的范围是 6Q一6号0.14.解：1：点Am,4)在反比例函数y=兰的图象上4=六解得 m=1,∴.点A的坐标为(1,4).又：点A(1,4)在一次函数y=x十b的图象上，∴.4=1十 b,解得b=3,∴.b的值为3；(2)由(1)可知，直线AB的表达式为y=x十3.当y=0时，x 十3=0，解得x=一3，.点B的坐标为（一3,0），.OB=3.当x=0时，y=0十3=3， ·点C的坐标为(0,3)，.0C=3.:SBr=2Samc号·0B·lp=2X2·0C… x,即号X3m=2×号×3X1,解得w=士2，当y=2时，是=2，解得x=2,∴点P 的坐标为(2,2)：当y=-2时，1=-2，解得x=-2,点P的坐标为(-2，-2).综 上所述，点P的坐标为(2,2)或(-2，一2). 第43页（共54页） 重点题型专练答案 专练（一）特殊平行四边形的性质与判定 1.D2.B3.75°4.√35.46.证明：：四边形ABCD是正方形，.BC=CD,∠BCE BC=DC, =90°.∴.∠DCF=180°-∠BCE=90°.在△BCE和△DCF中，∠BCE=∠DCF, CE=CF, ∴.△BCE≌△DCF(SAS),∴.∠EBC=∠CDF.7.解：(1)平行四边形(2)四边形 ABCD四条边上的巾点分别为E,F,G,H,EH∥AC,EH=AC,PG∥AC,FG= 2AC.∴EH∥FG,EH=FG.∴四边形EFGH是平行四边形：(3)AC=BD(4)AC= BD且AC⊥BD8.证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形，∴.AD=BC,AB=CD, AB∥CD,则BE∥CD.又'AB=BE,∴.BE=DC,∴.四边形BECD为平行四边形， AB=BE, ∴.BD=EC.在△ABD和△BEC中，BD=EC,∴.△ABD≌△BEC(SSS);(2)由(1) AD=BC, 知，四边形BECD为平行四边形，则OD=OE,OC=OB..四边形ABCD为平行四边 形，∴∠A=∠BCD,即∠A=∠OCD.又：∠BOD=2∠A,∠BOD=∠OCD+∠ODC, ∴.∠OCD=∠ODC,∴.OC=OD,∴.OC+OB=OD+OE,即BC=ED,.四边形BECD 是矩形.9.解：(1)四边形CODP是菱形.理由如下：DP∥OC,DP=OC,.四边形 CODP是平行四边形.：四边形ABCD是矩形，AC=BD,OA=OC=AC,OB= OD=合BD,:OC=OD.:四边形CODP是菱形：2)四边形CODP是矩形，理由如 下：同(1)可得四边形CODP是平行四边形.：四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD. ∴∠DOC=90°.∴.四边形CODP是矩形；(3)四边形CODP是正方形.理由如下：同(1) 可得四边形CODP是平行四边形.：四边形ABCD是正方形，∴.AC⊥BD,AC=BD, 0A=OC=AC,OB=OD=号BD.·∠D0C=90,0D=0C∴四边形C0DP是正 方形 专练（二）特殊平行四边形的最值与探究 1.D2.A3.124.55.136.57.解：(1)四边形ABCD是菱形，AD 2 =CD,∠ADP=∠CDP.PD=PD,.△ADP≌△CDP(SAS),.PA=PC..PA= PE,.PC=PE;(2)CE=AP.理由如下：：△ADP≌△CDP,·∠PAD=∠PCD. .PA=PE,.∠PAD=∠PED,.∠PED=∠PCD.'∠DFE=∠PFC,.∠EDF= ∠EPC.四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=∠ABC=120°，∴∠EPC=∠EDF=60°. :PC=PE,∴△PEC是等边三角形，.CE=PE,∴.CE=AP. 专练（三）一元二次方程的解法 1.解：(1)移项，得(2x十3)2=16.两边开平方，得2x十3=士4，即2x十3=4，或2x十3= -4.=号西=-子：(2这里a=3,6=1c=-1.6-4ac=1P-4X3X(-D =13>0x=二1装厘=二1±压，即x=二1压，=二1+厘，(3)原方 2×3 6 6 程可变形为3x(x-1)十2(x-1)=0,(3x十2)(x-1)=0.3x+2=0,或x-1=0..x =-号=1.2.解：=x·x,-10=5X(-20,且-2z+5x=3x,(x+50 -2)=0,.x十5=0，或x-2=0,x1=-5,x2=2.3.解：设y=2x-3,则原方程可 化为y-y-2=0,∴.(y-2)(y+1)=0,y-2=0,或y十1=0，解得y1=2,y=-1. 当y=2时，2x-3=2,解得x=号当y=-1时，2x-3=-1,解得x=1.∴原方程的 5 解为1=之x=1. 第44页（共54页） 专练（四）根的判别式和根与系数的关系 1.C2.C3.A4.35.m≤5且m≠1【变式】k≤26.15或167.解：(1)把x= 1代入方程可得1一(m十1)十2m一2=0，解得m=2.当m=2时，原方程为x2一3x十2 =0,.(x-1)(x-2)=0,解得x1=1,x2=2,即方程的另一根为2：(2)：a=1,b= -(m十1)，c=2m-2,.△=[-(m+1)]2-4×1×(2m-2)=m2-6十9=(m-3) ≥0，.不论为何值时，方程总有两个实数根.8.解：(1).方程有实数根，.△=9 4k一2)≥0，解得k<号，(2)关于x的一元二次方程x+3x十k一2=0有实数根， m十n=-3,x=k-2.:十4=+=十)-21四=k, xT2 xIx2 :.9一2k2)=k,解得k=士√3.经检验，k=士√3都为方程的解.：k=±< k-2 号的值为士压 专练（五）一元二次方程的应用 1.解：设竖彩条的宽度为xcm,则横彩条的宽度为号xcm.根据题意，得20×号x十2× 12x-2×号x·x=号×20×12.整理，得2-18x+32=0.解得=2.=16（不合 5 3 题意，舍去).2x=3.答：横彩条的宽度为3cm,竖彩条的宽度为2cm,2.解：设该 城区绿化面积的年平均增长率为x.根据题意，得10(1十x)2=14.4.解得x1=0.2= 20%,x2=-2.2(不合题意，舍去).答：该城区绿化面积的年平均增长率为20%. 3.解：(1)设日均销售量y关于销售单价x的函数表达式为y=kx十b(k≠0).将(7， 50),12,250)分别代入，得7+6=50， 解得-50y=-50x十850.：经若 12k+b=250, ”1b=850. 部规定销售单价不得高于12元，也不得低于7元，.7≤x≤12，.日均销售量y关于 销售单价x的函数表达式为y=一50x十850(7≤x≤12)；(2)根据题意，得(x一 5)(-50x十850)=1600.整理，得x2-22x十117=0.解得x1=9,x2=13(不合题意，舍 去).答：销售单价应定为9元. 专练（六） 概率的计算 1.A2.D3.令4解：画树状图如下： 开始 总共有9种 第一次1 2 第二次分3分3公3 所有可能出现的结果234345456 可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，两次摸出的书签上的数字之和为偶数 的结果有5种：(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，两次摸出的书签上的数字之和为 偶数的概率为分，5.解：(1)此次调查的学生人数为18÷36%=50：(2)C活动实验的人数 为50-4一8-18=20.补全条形统计图如图所示；↑人数 (3)将801 25 20====2 20 18 8 ABCD实验项目 班的1名学生记为甲，802班的1名学生记为乙，803班的2名学生分别记为丙、丁.列 表如下： 甲 丙 人 (甲，乙)（甲，丙） (甲，丁) (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁) 丙 (丙，甲)（丙，乙） (内，丁) 丁，甲)丁，乙)丁，丙 总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中从中抽到2名学生来自不 同班级的结果有10种，“从中轴到2名学生来自不同班级的概率为吕-。 第45页（共54页）