第四章 4 探索三角形相似的条件 随堂反馈-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版 宁夏专版）

4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 知识梳理 ①三角分别 、三边 的两个三角形叫做相似三角形 ②定理1：两角分别 的两个三角形相似. 当堂练习 1.如图，已知△ADEP△ACB,且∠ADE=∠C,则AD:AC等于 ( ) A.AE:AC B.DE:CB C.AE:BC D.DE:AB D D ■ B (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°， 则这两个三角形 ( ) A.一定不相似 B.不一定相似 C.一定相似 D.不能确定是否相似 3.如图，点D,E分别在AB,AC上，且∠B=∠AED.若DE=4,AE=5,BC=8,则AB的 长为 4.如图，AC⊥CD,垂足为点C,BD⊥CD,垂足为点D,AB与CD相交于点O.若AC=1, BD=2,CD=4,则AB= 5.如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于点F. 求证：△ABFp△EAD, ·27· 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 知识梳理 定理2：两边 且夹角 的两个三角形相似. 当堂练习 1.如图，已知△ABC,则图中与△ABC相似的是 s飞 5 2.如图，在平面直角坐标系中，点A,B,C,D的坐标分别是(1,7)，(1,1)，(4,1)，(6,1).若 以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是 A.(6,0) B.(6,3) C.(6,5) D.(4,2) B:CDI 01234567x B B (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，添加一个条件： (写出一个即可)，使△ADE∽△ACB. 4.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP=3PC,Q是CD的中点，则△ △ 5.如图，∠BAC=∠EAD,AB=20.4,AC=48,AE=17,AD=40. 求证：△ABC∽△AED ·28· 第3课时三边成比例的判定方法 知识梳理 定理3：三边 的两个三角形相似. 当堂练习 1.要做甲、乙两个形状相同的三角形框架，已知三角形框架甲的三边长分别为50cm, 60cm,80cm,三角形框架乙的一边长为20cm,那么符合条件的三角形框架乙共 有 A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 2.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的 是 ( ) ☑ 3如图，已知8AEE则∠DA5= (第3题图) (第4题图) 4.如图，D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,AC的中点，则图中与△ABC相似的三角形 共有 个，它们是 5.若一个三角形的三边长分别为6cm,9cm,7.5cm,则另一个三角形的三边长分别为 12cm,18cm, 时，这两个三角形相似. ·29· 第4课时黄金分割 知识梳理 般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如图，C,如果S-C 么称线段AB被点C ,点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做 当堂练习 1.下列说法正确的是 A.每条线段有且仅有一个黄金分割点 B.黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍 C.若点C把线段AB黄金分割，则AC=AB·BC D.以上说法都不对 2黄金比5 会（选填“><”或“=”） 3.已知M是线段AB的黄金分割点，MA是被分线段AB中较长的线段，且MA=2(√5- 1),则原线段AB的长为 4.相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感.现在想 要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20c,那么相邻一条边的 边长等于 cm. 5.已知线段AB=4,点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC,求下列各式的值： (1)AC-BC; (2)AC·BC. ·30·方，得x2-6x十32=6十32，(x-3)2=15.两边开平方，得x-3=士√/15，即x-3= √15，或x-3=-√15.x1=3+√15，x2=3-√15. 第2课时用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 知识梳理 (1)二次项的系数(3)一次项系数一半的平方 当堂练习 1.C2.C3.1 4.-3.55.解：(1)③(2)x2-4x-2=0.x2-4x=2.x2-4x 十4=2十4，即(x-2)2=6,x一2=士√6，即x1=√6+2，x2=-√6+2. 3用公式法求解一元二次方程 第1课时公式法 知识梳理 06-4ac≥0二b±YB-4ac 2a ②两个不相等的两个相等的 当堂练习 1.D2.C3141x=1=号5解：1)这里a=16=-1=-1.y8 4ac=(-1D-4X1×(-1)=5>0,“x=二()±5=15，即x1=1+5,x, 2×1 2 2 1一5，(2)将原方程化为一般形式，得2-x一6=0.这里a=1,b=一1，c=一6.： 2 4ac=（-1)-4×1X(-6)=25>0,.x=二（-)±压=1，即1=3,4=-2. 2×1 2 第2课时用一元二次方程解决面积问题 当堂练习 1.解：假设能，设AD=xm,则AB=(80一2x)m.根据题意，得x(80一2x)=810.整理， 得x2-40x十405=0.△=6-4ac=(-40)2-4×1×405=-20<0,∴.原方程无实 数根，.不能使所围矩形场地的面积为810m.2.解：设剪去的正方形的边长为 xdm,则底面的长为(5-2x)dm,宽为6,2=(3-x)dm.根据题意，得(5-2x)(3一x） 2 =6.整理，得2x2-11x十9=0.解得=1，=号当x=1时，5-2x=3,3-x=2,符 合题意；当x=之时，5-2x=-4<0,不合题意，舍去.答：剪去的正方形的边长为1dm. 9 4用因式分解法求解一元二次方程 当堂练习 1.C2.C3.B4.1=5,=号5.解：1)原方程可变形为x(x十2)-3(x+2)= 3 0,(x十2)(x一3)=0.x十2=0，或x一3=0..x1=一2，x2=3:(2)将原方程化为一般 形式为x2-5x-6=0.这里a=1,b=-5,c=-6..b2-4ac=(-5)2-4×1×(-6) =49>0,x=二厘-即=6=-1 2×1 *5一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 -b9 aa 当堂练习 1.D2.C3.C4.95.-36.解：根据题意，得△=(2k-1)-4(k2+1)≥0，解得 长-是.设方程的两根为，则五十x=一（2k-1)=1一2次，西=十1.：方程 的两根之和等于两根之积，1一2k=k十1，解得=0，=一2.：k<一，∴k=一2。 第49页（共54页） 6应用一元二次方程 第1课时一元二次方程的应用（一） 当堂练习 1.B2.D3.x(x十1)=34.125.解：设人行通道的宽度为xm,将两块矩形绿地 合在一起长为(30-3x)m,宽为(24-2x)m.根据题意，得(30-3x)(24一2x)=480,整 理，得x2-22x十40=0.解得x1=2,x2=20.当x=20时，30-3x=-30<0,24-2x= -16<0,不合题意，舍去.当x=2时，30-3x=24,24-2x=20,符合题意.答：人行通 道的宽度为2m. 第2课时一元二次方程的应用（二） 知识梳理 ⊙平均增长（降低）率增长降低)次数®售价进价一州润 当堂练习 1.B2.A3.10%4.65.解：设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x.根据 题意，得400X(1十10%)(1十x)=633.6.解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意， 舍去).答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 第三章概率的进一步认识 1用树状图或表格求概率 第1课时用树状图或表格求随机事件的概率 当堂练习 1.A2.C3.号4.解：画树状图如图： 开始 总共有4种可能的 第一辆左转 右转 第二辆左转右转左转右转 结果，每种结果出现的可能性相同.(1)：一辆左转，一辆右转的结果有2种：（左转，右 转)，（右转，左转）P(一辆左转，一锈右转)-兰-子：(2)：至少一辆右转的结果有 3种：（左转，右转）.（右转，左转）.（右转，右转）心P(至少一辆右转)=是. 第2课时利用概率判断游戏的公平性 知识梳理 概率 当堂练习 1.D2.不公平3.解：画树状图如下： 开始 总共有9种可能的结果， 红 红 个个个 红红白红红白红红白 每种结果出现的可能性相同.其中，两次摸到红球的结果有4种：（红，红），（红，红）， (红，红)，（红，红），摸到一红一白或二白的结果有5种：（红，白），（红，白），（白，红）， (伯，红).（白：白）P(甲获鞋)=号P(乙获胜)=号.：P(甲获胜)<P(乙获雕). .游戏对双方不公平 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 知识梳理 红色蓝色 当堂练习 1.C2,解：这个游戏对双方是公平的，理由如下：列表如下： B盘 疏 蓝 红 A盘 蓝 (蓝，蓝) (蓝，蓝) (蓝，红) 红 (红，蓝) (红，蓝) (红，红) 第50页（共54页） 总共有6种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.其中，能配成紫色的结果有3种： (黛，红).（红，），（红，）P(小援去观看)-号-名P(小充去观看)=1-之 ,“P小颖去观看)=P(小亮去观看)，∴这个游戏对双方公平. 1 2用频率估计概率 当堂练习 1.C2.B3.C4.B5.12 第四章图形的相似 1成比例线段 第1课时线段的比与成比例线段 知识梳理 ①长度m：n 数®成比例线段目ad=bc号=哥 当堂练习 1C228322相等4解：品能5AE=5442 4.8 5.6(cm),AC=AE+EC=5.6+4.2=9.8(cm). 第2课时等比的性质及其应用 知识梳理 0号 当堂练习 1.B2.33.84.2 5.解：由a:b:c=3:4:5,可设a=3k,b=4k,c=5k,(k≠0) :.2a-3b+c=6k-12k+5k_-k a+b +4=76=- 7. 6.解：由题意可知A'B′十B'C十A'C≠ 0根据等比性质，得中瓷元=台，即会合瓷紫=号：△4C的 AB++BC+AC 周K为0cm△MC的图长-号△ABC的周长为增cm 80 2平行线分线段成比例 知识梳理 ①平行线②成比例 当堂练习 1B2.B344号5第：DE/BC,8能AE=1.6m,B5C=12em, AC=AE+EC=1.6+1.2=2.8cm9-28AD-3-号(cm以 3相似多边形 知识梳理 ①成比例②相似比③对应角成比例 当堂练习 1.B2.C3.3 8 4.2√35.解：四边形ABCD∽四边形EFGH,a=∠C=83°， ∠A=∠E=118.在四边形ABCD中，3=360°-83°-78°-118°=81°.：四边形ABCD 四边形EFGH,“铝-景，即型-景解得=28BH=28em 4探索三角形相似的条件 第1课时两角分别相等的判定方法 知识梳理 ①相等成比例②相等 当堂练习 1.B2.C3.104.55.证明：四边形ABCD是矩形，.∠D=90°，AB∥CD, 第51页（共54页） ∴∠BAF=∠AED.BF⊥AE,∴∠AFB=90°，∴.∠AFB=∠D=90°，△ABF∽ △EAD 第2课时两边成比例且夹角相等的判定方法 知识梳理 成比例相等 当堂练习 1.C2B3铝把（答案不唯-）4A0QcP5证明：2-号=1.2 S-8=1.22-S又：∠BAC=∠BAD△AC△AED AD-401 第3课时三边成比例的判定方法 知识梳理 成比例 当堂练习 1.C2.A3.∠EAC4.4△ADF,△BDE,△CEF,△DEF5.15cm 第4课时黄金分割 知识梳理 黄金分割黄金比 当堂练习 1.B2.>3.44.(105-10)5.解：：点C为线段AB的黄金分割点，且AC> BC,AC-5AB-2×4=26-2,Bc=AB-AC=4-25-2)=6-2. 2 (1)AC-BC=(2√5-2)-(6-2W5)=4V5-8;(2)AC·BC=(2√5-2)X(6-2√5) =16√5-32. *5相似三角形判定定理的证明 知识梳理 ①相等②成比例相等③成比例 当堂练习 1.B2.A3.(1)相似(2)相似(3)不相似4.(4,0)或(3,2)5.证明：，△ABC ∽△DEF,∠C=∠F.又AM⊥BC,DN⊥EF,∴∠AMC=∠DNF=90°，∴△AMC p△DNF 6利用相似三角形测高 知识梳理 ①标杆2(1)阳光下的影子(2)标杆(3)镜子的反射 当堂练习 1.A2.B3.94.18 7相似三角形的性质 第1课时相似三角形中对应线段的比 知识梳理 ①成比例相等②角平分线 当堂练习 1.C2.3:23.124.ABC3:5AF℃3：55.解：.DE∥BC,.△ADE∽ △ABC.又，AH⊥BC,DE∥BC,.AH⊥DE,即AH,AG分别为△ABC,△ADE的 商，小治-8瓷即品-号AH=186H=AH-AG=18-12=6 第2课时相似三角形的周长比与面积比 知识梳理 ①相似比②平方 当堂练习 1.B2.C3.C4.32cm25.解：'△ABCc∽△A'B'C',BD和B'D'分别是∠ABC 第52页（共54页） 和∠A'B'C'的平分线，BD=16cm,B'D'=24cm,∴ AB BD 16 2 =(号)-专，SAm-号Sc.“△AB'C与△ABC的面积差为20cm, SANBC- a48C=220,SA8c=396cm,S2Ax=17 8图形的位似 第1课时位似图形的性质与位似作图 知识梳理 位似位似中心相似比 当堂练习 1.A2.B3.184.解：如图，△OA'B即为所求作的图形.[® L-J B 第2课时平面直角坐标系中的位似变换 知识梳理 位似k 当堂练习 1.B2.A3.(3,2)或（一3，一2）4.解：(1)如图，△AB1C即为所求，A1(1,一3)， B1(4,一2)，C(2,一1)：(2)如图，△A2B2C2即为所求 ↑y 5 4 876方432， 第五章投影与视图 1 投影 第1课时 中心投影 知识梳理 ①投影投影面②中心投影 当堂练习 1.B2.C3.变小4.解：如图，点O即为路灯的位置，线段FM即为电线杆EF的影 子 0 M F D' 第2课时 平行投影 知识梳理 ①平行投影 ②正投影 当堂练习 1.A2.B3.D4.C5.60 2视图 第1课时简单几何体的三视图 知识梳理 ①视图②主视图左视图俯视图 当堂练习 1.A2.C3.C4.解：①是俯视图；②是主视图 第53页（共54页） 第2课时直棱柱的三视图 知识梳理 ①长高长宽高宽②实虚 当堂练习 1.B2.B3.D4.B5.解：主视图错，中间应画一条实线；左视图错，中间应画一条 虚线；俯视图错，中间应画一条实线，如图所示， 主视图左视图俯视图 第3课时由三视图描述几何体 当堂练习 1.D2.C3.D4.165.解：(1)三棱柱；(2)：三棱柱的高为28÷2-4=14-4= 10(cm),∴.其侧面积为10×4×3=120(cm2).易得等边三角形的高为/4-2= 2,5(cm)其体积为号×4X2,5X10=40V5em). 第六章反比例函数 1反比例函数 知识梳理 反比例k 当堂练习 1.B2.C3.C4.y=- 12 -35.解：(1)由5y=100,得y=29;(2)当x=3时， 2反比例函数的图象与性质 第1课时反比例函数的图象 知识梳理 ①列表描点连线 2>一、三二、四 当堂练习 1.A2.D3.B4.B 第2课时反比例函数的性质 知识梳理 ①减小增大②k 2 当堂练习 1.D2.C3.-84.>5.解：(1)点A(2,一4)在这个函数的图象上，.k-1=2 ×(一4)，解得k=一7：(2)在函数y=飞图象的每一分支上，y随x的增大而减小， x .k一1>0，解得k>1.6.解：(1)这个反比例函数的图象分布在第一、三象限，. -5>0,解得m>5:(2)易得Sa=专(m-5)=4m=13. 3反比例函数的应用 当堂练习 1A2.2003.解：1)把A(2,3)代入为=，得m=2×3=6,反比例函数表达式 为=9.把B(6,m)代人=。，得6n=6,解得n=1,BC6,1.把A2,3),B(6,1) x 1 12k十b=3, 代入y1=kx十b,得 解得 6k十b=1, 4=一乞’.一次函数的表达式为=一立x十 b=4, 4:(2)当M>0时，即-立x+4>0,解得x<8,当x<8时，y>0. 第54页（共54页）