4.4.4黄金分割点课时达标训练2025-2026学年北师大版数学九年级上册

4.4.4黄金分割点—2025-2026学年北师大版数学九（上）课时达标训练 一、选择题 1．在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即，已知为2米，则线段的长为（　　）米． A． B． C． D． 2．已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 3．主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图所示，如果舞台的长为12米，一名主持人现在站在A处，则她至少走（　　）米才最理想． A． B． C． D．或 4．若点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则下列各式中不正确的是（　　） 。 A．AB：AC=AC：BC B．BC= AB C．AC= AB D．AC≈0.618AB 5．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更 加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品。在自然界中，黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点（AB＞BC，若 AC=16 cm，那么 AB的长为（　　） A．( 24 - 8 )cm B．( 48 -16)cm C．(16 -16 )cm D．( 8 - 8 )cm 二、填空题 6．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为　 　． 7．生活中随处可见数学之美，例如梧桐树叶的叶脉中蕴含着黄金分割．如图，P为叶脉（是线段）的黄金分割点，即满足，如果的长度为，则的长度为　 　．（结果保留根号） 8．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为　 　（结果保留根号）． 9．已知点P是线段的黄金分割点，且那么　 　． 10．若线段AB＝10，且点C是AB的黄金分割点，且BC＞AC，则BC的长为 　 　． 三、解答题 11．如图，矩形ABCD内有一正方形AEFD，且，E是线段AB的黄金分割点吗? （1）变式①：把一根长为44cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的面积吗? （2）变式②：把一根长为6cm的铁丝折弯成一个矩形框，并使矩形框的宽与长的比为黄金比，你能求出这个矩形框的长与宽的差吗? 12．巴台农神庙的设计代表了古希腊建筑艺术上的最高水平，它的平面图可看作宽与长的比是的矩形，我们将这种宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽． （1）黄金矩形的长　 　； （2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论； （3）在图②中，连接，求点到线段的距离． 13．如图所示，E为矩形ABCD的BC边上一点，现将矩形沿AE翻折，点B的对应点F恰好落在AD上，且四边形FECD与原四边形相似. （1）求证：E为BC的黄金分割点. （2）若矩形ABCD的面积为10，则四边形FECD的面积为多少? 14．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CE平分∠ACB交AB于点E， （1）试说明点E为线段AB的黄金分割点； （2）若AB=4，求BC的长． 15．如图 （1）如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证： .（这个比值 叫做AE与AB的黄金比.） （2）如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC. （注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保留作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注） 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】 7．【答案】 8．【答案】或 9．【答案】 10．【答案】-5 11．【答案】（1）解：∵四边形AEFD为正方形， ∴BC=EF=AE． ∵，， ∴E是线段AB的黄金分割点 设矩形框的宽为xcm，则长为(2-x)cm． 根据题意得， 解得x=3-， 经检验，x=3-是原分式方程的根， 2-x=-1， ∴该矩形框的面积为(3-)(-1)=(4-8)cm2． （2）解：设矩形框的宽为ycm，则长为(3-y)cm． 根据题意得， 解得：y= 经检验，y=是原分式方程的根， ∴3-y=， ∴这个矩形的长与宽的差为==(3-6)cm． 12．【答案】（1） （2）解：矩形为黄金矩形，理由是： 由（1）知， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形； （3）解：连接，，过D作于点G ∵，， ∴， 在中， ， 即， 则， 解得， ∴点D到线段的距离为． 13．【答案】（1）证明：设. ∵四边形FECD与四边形ABCD相似， ∴E为BC的黄金分割点； （2）解：由（1）知四边形FECD与四边形ABCD的相似比为， 则， 解得. 14．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ACB=（180°﹣36°）=72°，∵CE平分∠ACB，∴∠BCE=∠ACB=×72°= 36°，∴∠BCE=∠A=36°，∴AE=BC，又∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴=，∴BC2=AB•BE，即AE2=AB•BE，∴E为线段AB的黄金分割点；（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=180°﹣72°﹣36°=72°，∴BC=CE，由（1）已证AE=CE，∴AE=CE=BC，∴BC=•AB=×4=2﹣2． 15．【答案】（1）解：证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC， ∴设AB=2x，BC=x，则AC= . ∴AD=AE= . ∴ . （2）解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$