5.1.2 导数的概念及其几何意义 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 【基础巩固】 1．若，则的导函数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由导函数的定义可知，. 故选：C. 2．设是的导函数，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 故选：A. 3．如图，函数的图象在点处的切线是，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图象可得函数的图象在点处的切线是， 与轴交于点，与轴交于点， 则可知：， ∴，，. 故选：D. 4．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得到， 由导数的定义知，所以函数在点处的切线的方程为，即. 故选：D. 5．（多选）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】当单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大， 故曲线是上升的，且越来越陡峭， 所以函数的图象应一直是下凹的，则选项B满足条件， 所以在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有ACD选项. 故选：ACD. 6．函数在处的导数为_________. 【答案】 【解析】. 故答案为：. 7．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是_________. 【答案】 【解析】设，则 ， 因为点处的切线垂直于直线， 所以点处的切线的斜率为， 所以，解得，则， 即点的坐标是. 故答案为： . 8．已知曲线上的两点和，求： (1)割线的斜率； (2)过的切线的斜率； (3)点处的切线的方程. 【答案】见解析 【解析】(1)由已知可得，. (2)令，则 ， 根据导数的定义可得，. ①当切点为点时，根据导数的几何意义知； ②当切点不是点时. 设切点坐标为，，则， 又，所以有，解得， 因为，所以此时无解. 综上所述，过点的切线的斜率. (3)由(2)知，曲线在点处的切线的斜率， 代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为. 【能力拓展】 9．已知函数在处的导数，函数的图象与轴恰有一个交点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． ∵函数的图象与轴恰有一个交点，即， ∴， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：A. 10．(多选)已知，在上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】，故A错； ，故B对； ，由导数的定义知C对； ，故D对. 故选：BCD. 11．若点是抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为_________. 【答案】 【解析】由题意可得，当点到直线的距离最小时，抛物线在点处的切线平行于直线， 设点的横坐标为，令， 所以，解得， 此时，所以， 所以点到直线的最小距离为. 故答案为：. 【素养提升】 12．已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 【答案】见解析 【解析】设，由导函数的定义，可知 ， 不妨设，则点处的切线斜率，切线方程为， 由，得， 即，解得或， 所以的横坐标为，所以点处的切线斜率为， 故为定值． 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1.2 导数的概念及其几何意义 【基础巩固】 1．若，则的导函数（ ） A． B． C． D． 2．设是的导函数，且，则（ ） A． B． C． D． 3．如图，函数的图象在点处的切线是，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知函数在上可导，且满足，则函数在点处的切线的方程为（ ） A． B． C． D． 5．（多选）各地房产部门为尽快稳定房价，提出多种房产供应方案，其中之一就是在规定的时间内完成房产供应量任务.已知房产供应量与时间的函数关系如图所示，则在以下四种房产供应方案中，在时间内供应效率（单位时间的供应量）不逐步提高的有（ ） A． B． C． D． 6．函数在处的导数为_________. 7．若曲线在点处的切线垂直于直线，则点的坐标是_________. 8．已知曲线上的两点和，求： (1)割线的斜率； (2)过的切线的斜率； (3)点处的切线的方程. 【能力拓展】 9．已知函数在处的导数，函数的图象与轴恰有一个交点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 10．(多选)已知，在上连续且可导，且，下列关于导数与极限的说法中正确的是（ ） A． B． C． D． 11．若点是抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为_________. 【素养提升】 12．已知点是曲线上任意一点，过点作曲线的切线交于点，过点作曲线的切线，设直线的斜率分别为，证明：为定值． 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $