函数与导数 专项训练——2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习 课时作业：函数与导数 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ） A．   B．   C．   D．   3．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 4．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 6．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 10．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．若是函数的极值点，则 13．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 14．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设函数的图象与直线相切于点． (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间． 16．（15分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 17．（15分）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 18．（17分）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 19．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：函数与导数 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) y=f(x) 1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f”(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2."(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是下列选项中的() 3.己知函数f(x)=ae-hx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(). A.e2 B.e C.e D.e2 4.f(x)是定义在(0，+w)上的非负可导函数，且满足f"(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若a<b,则必有() A.af(b)≤bf(a B.bf(a)≤af(b) c.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a) 5.已知函数f()的定义域为R,定义集合M=xK∈R,x∈（←o,x,),f()<∫。）}，在使得M=[-1,1]的所有f(x) 中，下列成立的是() A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x=2处取最大值 C.存在f(x)是增函数 D.存在f(x)在x=-1处取到极小值 6.设f(x、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f(x)g(x)+f(x)g(x)>0.且g(-3)=0,则不 等式f(x)g(x)<0的解集是() A.(-3,0)U(3,+w) B.(-3,0)U(0,3) C.(-0,-3)U(3,+w)D.(-w,-3)U(0,3) 7.当x=1时，函数f(=ahnx+b取得最大值-2，则f'(2)=() A.-1 B月 c. D.1 8.已知a=3b=cos 32 片c=4知片，则《） A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) g.若函数f)=anx+:+a≠0)既有极大值也有极小值，则（ A.bc>0 B.ab0 C.b2+8ac>0 D.ac<0 10.已知西数1网及其导数了)的定义域均为R,记g)=了)，若寸}2x,82+)均为偶函数，则(） A.f(0)=0 1） B.82)0 C.f(-1)=f(4) D.8(-1)=8(2) 11.已知函数f(x)=x3-x+1,则() A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)x-a的极值点，则f(0)= 13.设a∈(0,1)，若函数f(x)=d+(1+a)在(0，+o)上单调递增，则a的取值范围是 14.已知x=x,和x=x2分别是函数f(x)=2a-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x<x2,则a的取 值范围是 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设函数f(x)=x-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1，-11). (1)求a,b的值： (2)求函数f(x)的单调区间. 16.(15分)已知函数f()=a(x-1)-lnx+1. (1)求∫(x)的单调区间： (2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(x)<e恒成立. 17.(15分)己知函数f(x)=x+a+b(K≠0)，其中a,b∈R (1)若曲线y=f(x)在点P(2,∫(2)处的切线方程为y=3x+1,求函数∫(x)的解析式： (2)讨论函数f(x)的单调性： ⊙)诺对于任意的ae号2，不等式/()≤10在子1]上恒成立，求b的取值范围 18.(17分)已知函数f(x)=(1-ax)n(1+x)-x. (1)当a=-2时，求f(x)的极值： (2)当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围. 19.(17分)已知函数f(x)=e-ax-a. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(L,f()处的切线方程： (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围. 2026届高考数学一轮复习 课时作业：函数与导数 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解. 【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，， 在处的两边左正、右负，取得极大值； 在处的两边左负、右正，取值极小值； 在处的两边都为正，没有极值； 在处的两边左正、右负，取值极大值． 因此函数在开区间内的极小值点只有一个． 故选：A． 2．是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合， 故选：C 3．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为．故选：C． 4．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造函数，再分类讨论即可求解. 【详解】解：令，，所以在上为常函数或递减, 若在上为单调递减，所以，即①，② ①②两式相乘得：所以， 若在上为常函数，且，则，即③，④， ③④两式相乘得：所以，综上所述，故选：A 5．已知函数的定义域为，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（   ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可；B选项找到合适函数即可；C选项由定义得到集合与已知条件矛盾；D选项由集合的定义找到矛盾. 【详解】对于A选项：时，， 当时，， 任意的，恒成立， 若时偶函数，此时矛盾，故A选项错误； 对于B选项：若函数图像如下： 当时，，时，，当，， ∴存在在处取最大值，故B选项正确； 对于C选项：在时，若函数严格递增，则集合的取值不会是，而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在在处取到极小值，则在在左侧存在，，与集合定义矛盾，故D选项错误. 故选：B 6．设分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时，．且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集． 【详解】令，则，因此函数在上是奇函数． ①当时，，在时单调递增，故函数在上单调递增． ， ， ． ②当时，函数在上是奇函数，可知：在上单调递增，且（3）， ，的解集为． ③当时，，不符合要求 不等式的解集是，，． 故选：D 7．当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据题意可知，即可解得，再根据即可解出． 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有．故选：B. 8．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当，故，故，所以； 设，，所以在单调递增， 故，所以，所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当，取得：，故 ，其中，且 当时，，及，此时， 故，故，所以，所以，故选A [方法三]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，故选：A． [方法四]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．故选：A． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】求出函数的导数，由已知可得在上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不等的正根判断作答. 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 10．已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数，所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称，又，且函数可导， 所以，所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.故选：BC. 11．已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A，结合的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数的几何意义判断D. 【详解】由题，，令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点，当时，，即函数在上无零点，综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．若是函数的极值点，则 【答案】 【分析】由题意得即可求解，再代入即可求解. 【详解】由题意有， 所以， 因为是函数极值点，所以，得， 当时，， 当单调递增，当单调递减， 当单调递增， 所以是函数的极小值点，符合题意；所以. 故答案为：. 13．设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故，故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：. 14．已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】法一：依题可知，方程的两个根为，即函数与函数的图象有两个不同的交点，构造函数，利用指数函数的图象和图象变换得到的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案. 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为，即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以．令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以，综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为，因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则，若，则在上单调递增，此时若， 则在上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设函数的图象与直线相切于点． (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可； （2）求出导函数解不等式可得答案. 【详解】（1），由题意知，解得； （2）由（1）知， 所以，解得或，，解得． 的单调递增区间为和，单调递减区间为 16．（15分）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2），且时，， 令，下证即可.，再令，则， 显然在上递增，则，即在上递增， 故，即在上单调递增，故，问题得证 17．（15分）已知函数，其中. (1)若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式； (2)讨论函数的单调性； (3)若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义依次得到关于的方程，解之即可得解； （2）对求导，分类讨论和两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； （3）利用（2）中结论，分析的单调性，从而将问题转化为在上的最大值，从而得到关于的不等式组，再利用恒成立问题的解法即可得解. 【详解】（1）因为，所以， 又在点处的切线方程为，，解得，则， 由切点在直线上，得，解得，所以. （2）因为，当时，，函数在上单调递增， 当时，令，得或；令，得或； 所以在和上单调递增，和上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，和上单调递减； （3）因为，所以，所以由（2）知，在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最大值为和中的较大者， 因为对于任意的，不等式在上恒成立， 所以，即，得， 因为上述不等式组对任意的成立，所以，故. 18．（17分）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，故， 因为在上为增函数，故在上为增函数，而， 故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2），设， 则， 当时，，故在上为增函数，故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，，故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【详解】（1）当时，则，，可得，， 即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即. （2）解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即，构建，则， 可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点，令，可得， 可知与有交点，则，若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建，因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且，不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：函数与导数 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极 小值点() y=f(x) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【分析】由导函数的图象可知f"(x)在开区间(a,b)内有4个零点x,x2,x,x4,(:<七<x=0<x),分析导函数再 零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解 【详解】从图形中可以看出，f'(x)在开区间(a,b)内有4个零点x,x2,x,x4,(:<x2<x=0<x), 在x处的两边∫'(x)左正、右负，取得极大值： 在x,处的两边'(x)左负、右正，取值极小值： 在x,处的两边∫'(x)都为正，没有极值： 在x处的两边∫'(x)左正、右负，取值极大值. 因此函数∫(x)在开区间(a,b)内的极小值点只有一个. 故选：A. 2."(x)是函数f(x)的导函数，y='(x)的图象如图所示，则y=f(x)的图象最有可能是下列选项中的() ·: 【答案】C 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当x<0时，f'(x)>0,函数f(x)单调递增， 当0<x<2时，"(x)<0,函数f(x)单调递减， 当x>2时，f"(x)>0,函数f(x)单调递增，只有选项C符合， 故选：C 3.已知函数f(x)=ae-hx在区间(1,2)上单调递增，则a的最小值为(). A.e2 B.e C.e D.e-2 【答案】C 【分析】根据f(x)=ac-上≥0在(，2)上恒成立，再根据分参求最值即可求出。 (详解】依题可知，f@)=ae20在，2上恒成立，显然a>0,所以xe行 设g(x)=xe,x∈(1,2)，所以g'(x)=(x+1)e>0,所以8(x)在(1,2)上单调递增， 1 g(x)>g(1)=e,故e≥二，即a≥二=e1,即a的最小值为e1.故选：C. a e 4.f(x)是定义在(0，+o)上的非负可导函数，且满足f"(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若a<b,则必有() A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤gf(b) c.af(a)≤f(b) D.f(b)≤f(a) 【答案】A 【分析】构造函数g(x)=(),再分类讨论即可求解。 【详解】解：令g(x)=f(x),g'(x)=f(x)+yf'(x)≤0，所以g(x)在(0，+o)上为常函数或递减， 11 IP若()在(0，+四上为单调递减，所以8@>8⑥，即4f(@>时(b)≥00.T>厅>0@ ①②两式相乘得：所以f@、f包→f(a>(b, a b 2若8)在(0，+）上为常函数，且f田=0，则g@=g⑥)=0，即(@=bf(b)=0③，>、 2>6京>0④， ®@两式相乘得：所以@.-（回-(，综上所述，回）≥时o)故选：A 5.已知函数f(的定义域为R,定义集合M={。∈R,x∈(o,x)f)<f。},在使得M=[-l,]的所有f(x) 中，下列成立的是() A.存在f(x)是偶函数 B.存在f(x)在x=2处取最大值 C.存在f(x)是增函数 D.存在(x)在x=-1处取到极小值 【答案】B 【分析】A选项利用偶函数的性质找到矛盾即可：B选项找到合适函数即可：C选项由定义得到集合M与已知条件 矛盾；D选项由集合M的定义找到矛盾 【详解】对于A选项：x<时，f()<f(x), 当x。=1时，∈[-1,1]，任意的x∈(-o,1),f(x)<f(I)恒成立， 若∫(x)时偶函数，此时∫()=f(-1)矛盾，故A选项错误： 对于B选项：若∫(x)函数图像如下： 当x<-1时，f(x)=-2,-1≤x≤1时，f(x)∈[-1，]，当x>1,f(x)=1, ∴.存在∫(x)在x=2处取最大值，故B选项正确： 对于C选项：在x<-1时，若函数∫(x)严格递增，则集合M的取值不会是[-1]，而是全体定义域，故C选项错误； 对于D选项：若存在f(x)在x=-1处取到极小值，则在x=-1在左侧存在x=n,f(n)>f(-1),与集合M定义矛 盾，故D选项错误」 故选：B 6.设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f(x)g(x)+f(x)g(x)>0.且g(-3)=0,则不 等式f(x)g(x)<0的解集是() A.(-3,0U(3,+m) B.(-3,0)U(0,3) C.(0,-3)U(3,+0) D.(n,-3)U(0,3) 【答案】D 【分析】构造函数(x)=f(x)8(x),利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集. 【详解】令h(x)=f(x)g(x),则h(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-h(x),因此函数h(x)在R上是奇函数. ①：当x<0时，h(x)=∫"(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,.h(x)在x<0时单调递增，故函数h(x)在R上单调递增. 'h(-3)=f(-3)g(-3)=0, .h(x)=f(x)g(x)<0=h(-3), x<-3. ②当x>0时，函数h(x)在R上是奇函数，可知：h(x)在(0，+∞)上单调递增，且h(3)=-h(-3)=0, .h(x)<0,的解集为(0,3). ③当x=0时，h(0)=0,不符合要求 ∴.不等式f(x)g(x)<0的解集是(-o,-3)U0,3). 故选：D 7.当x=1时，函数f)=anx+b取得最大值-2，则f'(2)=() A.-1 B.2 C. D.1 【答案】B 【分析】根据题意可知f(I)=-2,∫'(1)=0即可解得a,b,再根据∫'(x)即可解出. 【详解】因为函数f心定义域为0+四，所以依腿可知，0=2，了0)=0，而了)名，所以 b=-2a-b=0,即a=-26=-2,所以/)-子+子，因此函数倒在Q上通痛在网上通减，x=1时 取绿大值，满足题意，年有了)=1分分收击：区 1 1 8.己知a= b=cos子c=4sm子，则（） 32 4 A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 【答案】A 【分析】由5=4am结合三角函数的性质可得c>b:构造函数f(x)=cosx+号x2-1xe(0,+w),利用导数可得b>a, b 41 2 即可得解 【详解】[方法一小：构造函数 因为当x∈0 )x<m,故8=4m子l,故1，所以c>b: 2 4 1 设f(x)=cosx+5x2-l,x∈(0，+o),f'(x)=-sinx+x>0,所以f(x)在(0，+o)单调递增， 放母00，所以co子}0，所以6>a,所以e>b>a,故选A 432 [方法二]：不等式放缩 故b>a 1 4 4 1 4 1 当4sm计c0s7时，+ 4 17 114 1 故os7而而5加44s如子放b<c,所以b>a,所以c>b>a,故选4 [方法三：构造函数 因为号4子因为当x码引m<,所以m行即后1，所以c>b:设 f付=c0sx+x-1,xe(0,+回，f)=-snx+x>0,所以f)在(0，+0)单调递增，则f 1 2 >f(0)=0,所以 是3>0，所以b>a,所以c>b>a,故选：A. cos 432 [方法四]：【最优解】不等式放缩 国为分=4n7国为当(0m<<,所以即1，所以c>6:国为当引 Sinx<x, 取x=得cos号=1-2sinm2>1-2 8 4 8 1_31,故b>a,所以c>b>a,故选：A (832 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.若函数)=anx++a≠0)既有极大值也有极小值，则(。 A.bc0 B.ab0 C.b2+&ac>0 D.ac<0 【答案】BCD 【分析】求出函数f(x)的导数f"(x),由已知可得f'(x)在(0，+0)上有两个变号零点，转化为一元二次方程有两个不 等的正根判断作答 【胖解)函数∫)=an十名+的定义域为0，+0)，求导得/①)6-二上 Γxx2x3 x3 因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数"(x)在(0，+o)上有两个变号零点，而a≠0， 因此方程ax2-bx-2c=0有两个不等的正根x,x2, △=b2+8ac>0 b 于是x+x2=二>0，即有b+8ac>0,ab>0,ac<0,显然dbc<0,即bc<0,A错误，BCD正确. a X2= 2,0 a 故选：BCD 10.已知函数了树)及其导西数)的定义城均为R,记8倒=了四，若/}-2x, 8(2+x)均为偶函数，则() A.f(0)=0 B. C.f(-1)=f(4) D.8(-1)=8(2) 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可 得解。 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于.因为f得-2x%偶数，所以f-2=侵+2x甲径-=传*@，所以6-刘=， 所以f(9关于x=)对称，则f(-)=f④，故C正确： 对于g(x),因为8(2+x)为偶函数，8(2+x)=g(2-x),8(4-x)=8(x),所以g(x)关于x=2对称，由①求导，和 ww.朝居层度任各经所 8(3-x)+g)=0,所以g(x)关于（弓，0）对称，因为其定义域为R,所以8 =0,结合g(x)关于x=2对称，从而 周期7=4-引-2，所以8引[)-0，g)g08(②).放B商，D错误， 2 若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错 误故选：BC [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法。 由方法一知g()周期为2，关于x=2对称，故可设g(x)=cos(π)，则∫()=】sin(π)+c,显然A,D错误，选 BC.故选：BC [方法三]： 因为-2x小8-0均为数所以[-2x+2（[+2+0=2-. 所以∫(3-x)=f(x),8(4-)=g(x),则f(-1)=f4),故C正确： 3 函数f),86)的图象分别关于直线x=2x=2对称，又8()=f田，且函数f)可导， 3 所以82》 =0,g(3-x)=-g(x),所以8(4-x)=8(x)=-8(3-x),所以8(x+2)=-8(x+1)=8(x), 所以&)=8[)-0，g-)=80)=(2,故B正确，D错误： 若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错 误故选：BC 11.已知函数f(x)=x3-x+1,则（) A.∫(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点 C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心D.直线y=2x是曲线y=f(x)的切线 【答案】AC 【分析】利用极值点的定义可判断A,结合f(x)的单调性、极值可判断B,利用平移可判断C:利用导数的几何意 义判断D 【详解】由题，f=3x2-1,令f()>0得x>5或x<-5,令f)<0得-5x<5 3 3 3 3 所以因在(a马，怎网上单词遥用，(5，上单调莲减所以：=是极值点，故A正商 3’3 3 因51+201-2502)5<0. 9 所以，函数f)在-,5 上有个零点，当r≥5时，f)≥ 3 >0,即函数f(y)在 5上无 点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误： 令h(x)=x3-x,该函数的定义域为R,h(-x)=(-x)-（-x)=-x3+x=-h(x), 则h(x)是奇函数，(O,O)是(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象， 所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确： 令f'(x)=3x2-1=2,可得x=±1，又f0)=f(-1)=1, 当切点为1,1)时，切线方程为y=2x-1,当切点为(-1，)时，切线方程为y=2x+3,故D错误 故选：AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.若x=2是函数f()=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)= 【答案】-4 【分析】由题意得f'(2)=0即可求解a,再代入即可求解。 【详解】由题意有f(x)=(x-1)(x-2)(x-a),所以∫'(x)=(x-a)(x-1)+(x-1)(x-2)+(x-a)(x-2), 因为2是函数f(x)极值点，所以f'(2)=2-a=0,得a=2, 当a=2时，f'(x)=2(x-2)(x-1)+(x-2)=(x-2)(3x-4), 当x(兮)e)0e)年调通带，当（售2小e)01e)年调超减。 当x∈(2，+∞)，f'(x)>0,f(x)单调递增， 所以x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极小值点，符合题意：所以f(0)=-1×(-2)×(-a)=-2a=-4 故答案为：-4 13.设a∈(0,1)，若函数f(x)=d+(1+a)在(0，+o)上单调递增，则a的取值范围是」 【答案】 2 【分析】原问题等价于f'(x)=a*lna+(1+a)'n(1+a≥0恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得 Ina 由右侧函数的单调性可得实数a的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数a的取值范围， 【详解】由函数的解析式可得f'(x)=dna+(1+a)ln(1+a)≥0在区间(0，+o)上恒成立， 则(1+ad)n(1+a)≥-dhna, 故 Ina n(1+a) 而a+1e(1,2),故n(1+a)>0,故 h8an5a1 0<a<1 2 结合题意可得实数α的取值范围是 故答案为： 14.已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2a-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x<x2,则a的取 值范围是 【答案】 e 【分析】法一：依题可知，方程2na·心-2ex=0的两个根为x,x2,即函数y=lnaa'与函数y=ex的图象有两个 不同的交点，构造函数g(x)=h心，利用指数函数的图象和图象变换得到g(x)的图象，利用导数的几何意义求 得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案 【详解】方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为f'(x)=2lna:a-2ex,所以方程2naad-2ex=0的两个根为x,x2,即方程lnaa=ex的两个根为x,x2, 即函数y=lnaa*与函数y=ex的图象有两个不同的交点， v-ex 因为x,x2分别是函数f(x)=2c-Cx2的极小值点和极大值点， X2 所以函数f(x)在(-o,)和(x2,+o)上递减，在（化，x)上递增， g(x)=In(a)a 所以当时(-oo,x)(x,+o),f'(x)<0,即y=ex图象在y=naad上方 当xe(x,x2)时，f'(x)>0,即y=ex图象在y=Ina.a下方 a>1,图象显然不符合题意，所以0<a<1.令g(x)=lnad,则g(x)=h2ad,0<a<1, 设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点为(x,na:a）, 则切线的斜率为g'(x)=lnao,故切线方程为y-lnaa=h2aa(x-x,), 则有-lnaa=-xln2a-a°，解得x,=ha则切线的斜率为na-aa=clha 1 因为函数y=lnaa与函数y=ex的图象有两个不同的交点， 1 所以chn'a<c,解得<a<e,又0<a<1,所以<a<1,综上所述，a的取值范围为 e e [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 ∫'(x)=2naa-2r0的两个根为x1,x2,因为x,x2分别是函数f(x)=2d-x2的极小值点和极大值点， 所以函数f(x)在(-o,)和(x2,+∞)上递减，在(5，x2)上递增， 设函数g(x)=f(x)=2(clna-ex),则g(x)=2d(lna-2e,若a>1,则g'(x)在R上单调递增，此时若∫'(x)=0, 则∫'(x)在(-o,x)上单调递减，在(x,+o)上单调递增，此时若有x=x1和x=x,分别是函数 f(x)=2c-x(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点，则x>2,不符合题意： 若0<a<1,则g(x)在R上单调递减，此时若f'(x)=0,则∫'(x)在(-o,x)上单调递增，在(x,+o)上单调递减， 令g()=0,则a一，此时若有=与和x=分别是函数f()=2a-ra>0且aD的极小值点和极大 值点，且5<，则西满足f)>0,)=2aa-e)卢2（品小0，即气da>1数 Ina =xolna=In-e >1,所以a<1. e 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设函数f(x)=x-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(L,-11). (1)求a,b的值： (2)求函数f(x)的单调区间. a=1 【答案】)b=-3 (2)单调递增区间为(-∞，-1)和(3，+0)，单调递减区间为(-1,3) 【分析】(1)根据导数的几何意义进行求解即可： (2)求出导函数解不等式可得答案， 8 a=1 【详解】(1)f'(x)=3x2-6ax+3b,由题意知 (2)由(1)知f'(x)=3x2-6.x-9=3(x+1)(x-3), 所以f'(x)>0,解得x>3或x<-1,f(x)<0,解得-1<x<3. f(x)的单调递增区间为(-o,-1)和(3，+o),单调递减区间为(-1,3) 16.(15分)已知函数f(x)=a(x-1)-lnx+1. (1)求f(x)的单调区间： (2)当a≤2时，证明：当x>l时，f(x)<e-1恒成立. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性： (2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x>1时，e1-2x+1+血x>0即可. 【详解】(1)f()定义域为(0+o）,f)=a-1m-1 当a≤0时，f(=-1<0,故f)在(0，+)上单调递减： 当a>0时，x信时了)>0，f)单调遥媚， 当xE0,时，了)<0，)单调递减 a 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)： a>0时、)的单调道猫区间为后，单闻通减区间为0日) 71 (2)a≤2，且x>1时，e-f(x)=e-1-ax-1)+lnx-1≥e1-2x+1+nx, 令gW=e-2x+1+nxx>少，下i证g)>0即可g'()=e-2+,再令h=gx,则0)=e- 显然h(x)在(L,+oo)上递增，则h(x)>hI)=e°-1=0，即g'(x)=h(x)在(1，+w)上递增， 故g'(x)>g')=e°-2+1=0，即g(x)在Q,+o)上单调递增，故g(x)>g0)=e°-2+1+n1=0,问题得证 17.(I5分)已知函数f四=+是b6≠0)，其中ab∈R (1)若曲线y=f(x)在点P(2,∫(2)处的切线方程为y=3x+1,求函数f(x)的解析式： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)若对于任意的a∈ 1 不等式f(x)≤10在 上恒成立，求b的取值范围。 【答案】①)fx)=x-8+9 (2)答案见解析 6h:好 【分析】(1)利用导数的几何意义依次得到关于α，b的方程，解之即可得解： (2)对f(x)求导，分类讨论a≤0和a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解： (3)利用(2)中结论，分析f(x)的单调性，从而将问题转化为f(x)在 上的最大值，从而得到关于a,b的不 等式组，再利用恒成立问题的解法即可得解 【详解】1因为)=++b≠0，所以)=1-会 又y=(四在点P1,f2刃处的切线方程为少=3+1，f(2)-1-子3，解得a=8,则/)-=x-8+6, 8 由切点P2②》在直线y=3x+1上，得2-号b=3x2+1,解得6=9，所以f)=x+9, 1 (2)因为fx)1-二-4，当a≤0时，fx)>0,函数f田在(，0.0，+m)上单调递增， x2-x2 当a>0时，令f'(x)>0,得x<-√a或x>√a:令f'(x)<0,得-√a<x<0或0<x<√a: 所以∫(x)在(-∞，-√a)和(Wa,+o)上单调递增，（√a,0)和(0，√a)上单调递减： 综上，当a≤0时，f(x)在(-0,0)，(0，+o)上单调递增： 当a>0时，f(x)在(-o,-√a)和(Wa,+o)上单调递增，（√a,0)和(0，√a)上单调递减： (3)因为a [},所以a空万，所以由(2)知，了e在任后)上单调港该，在a,o上单调造， 故f四)在]上的最大值为/④)和/0中的较大者， 因为对于任意的a [22],不等式)s10在1]上恒成立，