专题06 计算题专项训练（10大题型）（高效培优期末专项训练）七年级数学上学期苏科版2024

专题06 计算题专项训练（10大题型） 考点01 有理数的混合运算 考点02 有理数的简便运算 考点03 整式的加减运算 考点04 整式加减中的化简求值 考点05 整式加减中无关型计算 考点06 整式加减中的规律性计算 考点07 解一元一次方程 考点08 一元一次方程的含参计算 考点09 一元一次方程的新定义计算 考点10 角度的四则运算 考点01 有理数的混合运算 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1) (2) 5．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： (1) (2) 6．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2) 7．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）计算： (1)； (2)． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)（简便运算）； (3)； (4)． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 10．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)(简便运算) 考点02 有理数的简便运算 11．（25-26六年级上·山东东营·期中）计算：（能简便运算的要简便运算） (1) (2) (3) (4) (5) 12．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）利用运算律进行简便运算： (1) (2) 13．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）同学们，小学时大家学习了“乘法对加法的分配律”： 升入七年级，课堂上我们探究了在有理数范围内这个运算律仍然成立． (1)下边是一道习题及其错误的解答过程，如下： 计算：． 解：      第一步      第二步       第三步 请指出在第几步开始出现错误，并运用“乘法对加法的分配律”写出正确的解答过程． (2)小明同学发现，逆向运用“乘法对加法的分配律”也能简便运算，请你利用简便方法计算： 15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 16．（25-26六年级上·山东青岛·期末）我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 17．（25-26七年级上·重庆·期末）计算，能用简便运算的要用简便运算： (1)； (2)． 18．（25-26七年级上·湖北恩施·期末）解答下列问题： (1)计算，方方同学的计算过程如下：原式．请你判断方方同学的计算过程是否正确．若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考下面黑板上老师的讲解，完成简便运算． 例1   例2   例3  ，；，…… 发现与关系是______． 用简便方法计算：①； ②； ③． 19．（25-26七年级上·河南周口·阶段练习）先阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 20．（20-21七年级上·河南南阳·期末）有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的尽量用简便方法． (1)请填空．计算： 解： （先算乘方) （　　） （　　） （　　） （　　） (2)请计算： 考点03 整式的加减运算 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）计算 (1)； (2)． 22．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2)． 23．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）化简： (1)； (2) ． 24．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）化简： (1)； (2)． 25．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知，． (1)求的值； (2)试判断M、N的大小关系，并说明理由． 26．（25-26七年级上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 27．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知整式、、，．整式，． (1)求整式； (2)若x、y满足，求整式的值． 28．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知：． (1)若整式与整式的和为，求整式； (2)化简； (3)当，，求的值． 29．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． 例如，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）化简的结果为______；(直接写结果) （2）先化简，再求值：，其中； 【拓展探索】 （3）若，则的值为______(直接写结果)． 30．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若，请表示出代数式． 考点04 整式加减中的化简求值 31．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中． 32．（25-26七年级上·江苏常州·期中）先化简，再求值：，其中， 33．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若，求的值． 34．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中，． 35．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体， ①化简：； ②若，求①中化简的代数式的值； (2)已知，求的值． 36．（25-26七年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中，． 37．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中，． 38．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）数学中常常用整体代换的方法，起到化繁为简的作用，根据题目的需要，选择适当代换的形式解决问题． (1)把看成一个整体，合并； (2)若，求的值； (3)若，，求的值． 39．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）先化简．再求值：求代数式的值，其中，． 40．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体， 则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是 ． （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知 求 的值． 考点05 整式加减中无关型计算 41．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知代数式． (1)求； (2)当取何值时，的值与的取值无关． 42．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）已知代数式满足：，． (1)求；（用含的代数式表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 43．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知代数式，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若（1）中的代数式的值与y的取值无关，求x的值． 44．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 45．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）已知：，，若的值与一次项无关，求的值． 46．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 47．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题： 选择的一个值，求 甲说：“当时，原式” 乙说：“当时，原式” 丙说：“当为任何一个有理数时，原式” 这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由． 48．（24-25七年级上·天津河东·期末）已知多项式， (1)化简； (2)当，时，求的值； (3)若的值与y的值无关，求x的值， 49．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知 ． ①求； ②若的值与a的取值无关，求b的值． 50．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 考点06 整式加减中的规律性计算 51．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）观察以下一系列等式： ； ； ； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第个等式：______； (2)根据你上面所发现的规律，用含字母为正整数的式子表示第个等式：______； (3)请利用上述规律计算：． 52．（25-26七年级上·福建漳州·月考）完成下面的计算，再探索规律回答问题 前2个奇数的和：_____ 前3个奇数的和：_____ 前4个奇数的和：_____ 前5个奇数的和：_____………… （1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由． （2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和． 53．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，… (1)根据以上规律，可得 ； ； (2)计算： 54．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是由长度相同的小棒拼出的一组有规律的图形，第1个图形中有6根小棒，第2个图形中有11根小棒，第3个图形中有16根小棒，第4个图形中有21根小棒，．．．，按照这种规律拼下去． (1)第7个图形中有 根小棒； (2)请用含的代数式表示第个图形中小棒的数量； (3)求第186个图形中小棒的数量． 55．（24-25七年级上·山西临汾·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：． 56．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）观察算式： ①； ②； ③； ④． 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5个算式：______； (2)写出第n个算式：______； (3)计算：． 57．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)试猜想第个等式__________（用含的式子表示）； (3)计算：． 58．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数 和的倒数 2 3 4 … … (1)根据表中规律，求 = ；（写计算结果） (2)根据表中规律，则 ；（只列式，不写计算结果） (3)求的值． 59．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 60．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______________；②_____________； 【拓广应用】（2）合适的方法计算：___________________． （3）简便的方法计算：． 考点07 解一元一次方程 61．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 62．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2) 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 64．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 65．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2) 66．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 67．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 68．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 69．（25-26七年级上·江苏南京·期中）解下列方程： (1)； (2)． 70．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 考点08 一元一次方程的含参计算 71．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值． 72．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求的值 73．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘，因而求得方程的解为， (1)求a的值 (2)求出方程正确的解 74．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某同学在解方程，在去分母时，方程右边的没有乘3，因而得方程的解为，求方程的解． 75．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 76．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 77．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 78．（25-26七年级上·吉林松原·期中）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 79．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）已知关于的方程，请回答下列问题． (1)k的值不可能是_______； (2)若该方程与方程的解相等，求k的值． 80．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 考点09 一元一次方程的新定义计算 81．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个一元一次方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”求的值． 82．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 83．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对、中，是“相伴有理数对”的是_______； (2)若是“相伴有理数对”，则的值是________； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 84．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 85．（25-26七年级上·江苏扬州·期中） “”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如：． (1)的值为________； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 86．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 87．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）定义：若，则称a与b是关于3的实验数． (1)与______是关于3的实验数，______与是关于3的实验数；用含x的代数式表示 (2)若，，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值． 88．（25-26七年级上·江苏常州·期中）我们定义，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为“友好方程”． (1)判断下列方程：①；②；③是“友好方程”的是 ．（填写序号） (2)若关于x的方程与是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与是“友好方程”，其中a，b是整数，试求a，b的值． 89．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称与是关于4的友谊数． (1)与______是关于4的友谊数，______与是关于4的友谊数；（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于4的友谊数，并说明理由； (3)若，，且与是关于4的友谊数，求的值． 90．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”． (1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ； (2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值； (3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解． 考点10 角度的四则运算 91．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 92．计算： (1)； (2)． 93．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 94．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 95．（22-23六年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 96．计算： (1)； (2) 97．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)． 98．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2) 99．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 100．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 计算题专项训练（10大题型） 考点01 有理数的混合运算 考点02 有理数的简便运算 考点03 整式的加减运算 考点04 整式加减中的化简求值 考点05 整式加减中无关型计算 考点06 整式加减中的规律性计算 考点07 解一元一次方程 考点08 一元一次方程的含参计算 考点09 一元一次方程的新定义计算 考点10 角度的四则运算 考点01 有理数的混合运算 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）计算题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及加减乘除运算，需掌握运算顺序和符号法则． （1）根据有理数的减法进行计算即可求解； （2）先计算乘除法，再计算加法即可求解； （3）根据乘法分配律进行计算即可求解； （4）根据逆用乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算、运算律（加法交换律与结合律、乘法分配律）的应用，熟练掌握有理数的运算规则和运算律的使用方法是解题的关键． （1）按照有理数加减运算的顺序，从左到右依次计算． （2）利用加法交换律和结合律，将同分母分数、小数分别结合后再计算． （3）运用乘法分配律，将括号内的每一项分别与相乘，再进行加减运算． （4）先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，最后按照有理数乘法法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 3．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2)4 (3) (4)0 【分析】本题考查有理数的计算，熟练掌握有理数的混合运算法则和运算顺序，是解题的关键：利用有理数的混合运算法则和运算顺序，逐一进行计算即可． （1）根据有理数的加减法即可求解； （2）根据有理数的加减法即可求解； （3）先算乘除，后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算； （4）利用乘法分配律计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算，掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）利用有理数的加法交换律和结合律计算即可； （2）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 5．（25-26七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)25 (2)0 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘除，再计算加减即可． 【详解】（1）解： （2）解： 6．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（）利用乘法分配律计算即可； （）先把除法运算转化为乘法运算，再利用乘法分配律计算即可； 本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先将分数化为小数，再利用有理数加减混合运算法则计算． （2）先将除法化乘法，再利用乘法分配律，最后进行有理数加减混合运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 8．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)（简便运算）； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2)6 (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则进行计算即可； （2）先把除法化为乘法，再利用有理数的乘法运算律进行计算即可； （3）先把除法化为乘法，再根据有理数的乘法则进行计算即可； （4）先计算乘方，再计算乘除，最后再计算加减． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算、有理数的乘法运算律、有理数的乘除法法则、有理数的含乘方的混合运算，熟记相关运算法则是解题的关键． 9．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)（简便运算） 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）根据有理数加法交换律和结合律，在运用加法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘除混合运算法则即可求解； （3）化简绝对值，再根据有理数加减混合运算即可； （4）先算括号里的，再算乘除，最后算加减即可； （5）根据乘法分配律进行简便运算即可； （6）先对原式变形为，再利用乘法分配律进行简便运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数加法交换律和结合律，有理数乘除混合运算法则，有理数四则混合运算法则，乘法分配律，熟练掌握运算法则是解题的关键． 10．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4)(简便运算) 【答案】(1)6 (2)16 (3)-4 (4)9 【分析】本题考查有理数混合运算，熟练运用运算法则，明确运算顺序是解题的关键． （1）先去括号，再计算加减法； （2）原式利用乘除法则计算即可求出值； （3）先计算乘方、绝对值，再计算乘除法，最后计算加减法； （4）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 考点02 有理数的简便运算 11．（25-26六年级上·山东东营·期中）计算：（能简便运算的要简便运算） (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) 6 (2) 7 (3) 24 (4) (5) 2 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，掌握运算法则，运算律和运算顺序是解题的关键． （）根据有理数加减运算法则和加法运算律即可求解； （）根据有理数乘除混合运算法则即可求解； （）先算乘方，再计算乘法，最后算加减即可； （）先将除法变形为乘法，再根据乘法分配律运算即可； （）先算乘方，根据乘法分配律进行计算，同时计算，最后计算加法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ． 12．（25-26七年级上·湖南长沙·期中）利用运算律进行简便运算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了加法运算律（交换律、结合律）和乘法分配律的应用，熟练掌握运算律进行简便运算是解题的关键． （1）利用加法交换律和结合律，将同分母的分数结合、小数结合，简化计算； （2）利用乘法分配律，将括号内的每一项分别与相乘，再计算结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（25-26七年级上·辽宁鞍山·期中）用运算律简便运算 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，熟练掌握运算法则是解题的关键． （）根据乘法分配律即可求解； （）根据乘法分配律即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 14．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）同学们，小学时大家学习了“乘法对加法的分配律”： 升入七年级，课堂上我们探究了在有理数范围内这个运算律仍然成立． (1)下边是一道习题及其错误的解答过程，如下： 计算：． 解：      第一步      第二步       第三步 请指出在第几步开始出现错误，并运用“乘法对加法的分配律”写出正确的解答过程． (2)小明同学发现，逆向运用“乘法对加法的分配律”也能简便运算，请你利用简便方法计算： 【答案】(1)第一步；正确结果为 (2) 【分析】本题主要考查了乘法运算律，解题的关键是熟练应用乘法分配律． （1）第一步计算分配律时符号出错，按照乘法的分配律重新计算即可； （2）逆用乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：原解题步骤从第一步开始出现错误，正确步骤如下： ； （2）解： ． 15．（25-26七年级上·河南南阳·期中）学习了有理数的运算后，王老师给同学们出了这样一道题：计算，看谁算得又对又快． 下面是两位同学给出的不同解法． 小亮：原式 小舒：原式． (1)以上两种解法，你认为谁的解法比较简便？理由是什么？ (2)请你用简便方法计算． 【答案】(1)我认为小数的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算； （1）根据题意，说明理由即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：我认为小舒的解法比较简便；理由是她把带分数拆成了一个整数与真分数的和，运用了乘法分配律简化了计算过程． （2）解： 16．（25-26六年级上·山东青岛·期末）我们知道，乘法分配律是，反过来，这就是逆用乘法分配律．逆用乘法分配律可使有些运算简便，例如： ． 逆用乘法分配律计算： (1)； (2)． 【答案】(1)15 (2)0 【分析】本题考查了有理数的乘法运算律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． （2）模仿题干的解题过程，逆用乘法分配律进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．（25-26七年级上·重庆·期末）计算，能用简便运算的要用简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2)23 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减的混合运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再利用乘法分配律简便运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（25-26七年级上·湖北恩施·期末）解答下列问题： (1)计算，方方同学的计算过程如下：原式．请你判断方方同学的计算过程是否正确．若不正确，请你写出正确的计算过程； (2)请你参考下面黑板上老师的讲解，完成简便运算． 例1   例2   例3  ，；，…… 发现与关系是______． 用简便方法计算：①； ②； ③． 【答案】(1)不正确，正确的计算过程见解析 (2)互为相反数；①；②；③ 【分析】本题考查有理数的混合运算，绝对值，熟练掌握相关运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据除法没有分配律，可判断方方同学的计算过程是否正确；先通分计算括号里的加法，再算除法，据此写出正确的计算过程即可； （2）根据例3可知与关系是互为相反数； ①仿照例1，利用乘法的分配律计算即可； ②仿照例2，逆用乘法的分配律计算即可； ③先根据绝对值的性质化简绝对值，再根据加减运算法则计算加减法即可． 【详解】（1）解：除法没有分配律，故方方同学的计算过程不正确； 正确的计算过程如下： ； （2）解：发现与关系是互为相反数； 故答案为：互为相反数； ① ； ② ； ③ ． 19．（25-26七年级上·河南周口·阶段练习）先阅读第①小题的计算方法，再计算第②小题． ①． 解：原式 上述这种方法叫做拆项法，灵活运用加法的交换律、结合律可使运算简便． ②仿照上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法交换律及结合律．把变形为，再利用有理数的加法法则求解即可． 【详解】解： ． 20．（20-21七年级上·河南南阳·期末）有理数的混合运算涉及多种运算，确定合理的运算顺序是正确解题的关键，能用简便方法的尽量用简便方法． (1)请填空．计算： 解： （先算乘方) （　　） （　　） （　　） （　　） (2)请计算： 【答案】(1)除法转化为乘法，确定符号，乘法运算，减法运算 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据有理数混合运算法则填空即可； （2）根据有理数运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （先算乘方) （除法转化为乘法） （确定符号） （乘法运算） （减法运算） 故答案为：除法转化为乘法，确定符号，乘法运算，减法运算． （2）解： 考点03 整式的加减运算 21．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，整式的加减运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先去括号，再合并同类项； （2）先去括号，再将同类项合并． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 22．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，需要先根据去括号法则去掉括号，然后合并同类项．去括号时注意符号变化． （1）先去括号，然后合并同类项即可； （2）先去括号，然后合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）化简： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了整式的加减法，掌握整式的加减法法则是解题的关键． （1）根据合并同类项法则计算即可． （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 24．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）合并同类项计算即可； （2）先去括号，然后合并同类项计算即可． 本题考查了整式的加减，解决本题的关键是掌握合并同类项法则． 【详解】（1）解： （2）解： 25．（25-26七年级上·江苏泰州·期中）已知，． (1)求的值； (2)试判断M、N的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟知整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减法则进行计算即可； 利用作差法进行判断即可． 【详解】（1）解：由题知， ； （2）解：，理由如下： ， 因为， 所以， 即， 所以． 26．（25-26七年级上·江苏常州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过合并同类项进行计算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 27．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）已知整式、、，．整式，． (1)求整式； (2)若x、y满足，求整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减的运算法则即可求解； （2）根据非负数的性质求出的值，再代入到整式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴，， 代入，， 则． ∴整式的值为． 28．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知：． (1)若整式与整式的和为，求整式； (2)化简； (3)当，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了整式的加减运算与代数式求值，解题的关键是掌握整式加减的去括号、合并同类项法则，以及整体代入的求值方法。 （1）根据“”，代入式子后去括号、合并同类项得整式； （2）将与代入,去括号、合并同类项化简； （3）将的化简结果变形，利用已知的与的值整体代入求值。 【详解】（1）解：由题意得 （2）解： （3）解：已知,, 则 29．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，在多项式化简与求值中应用广泛． 例如，我们把看成一个整体，则． 【尝试应用】 （1）化简的结果为______；(直接写结果) （2）先化简，再求值：，其中； 【拓展探索】 （3）若，则的值为______(直接写结果)． 【答案】（1）；（2），4；（3） 【分析】本题考查了整体思想在化简求值中的应用． （1）计算即可求解； （2）将、当作整体即可求解； （3）根据，将已知，整体代入即可求解. 【详解】解：（1）原式， 故答案为：； （2）原式， ∵， ∴， ∴原式； （3）原式， ∵， ∴原式， 故答案为：． 30．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）已知代数式，． (1)求； (2)当，时，求的值； (3)若，请表示出代数式． 【答案】(1) (2)156 (3) 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先去括号，再合并同类项可得到最简结果； （2）直接将x，y的值代入（1）所求结果计算即可； （3）由题意得，进而可得答案． 【详解】（1）解：， ； （2）当，时，； （3）， ， ． 考点04 整式加减中的化简求值 31．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，4． 【分析】本题考查了整式加减运算的化简求值，解题的关键是掌握整式加减运算法则，正确对式子进行化简． 根据去括号规则先去括号，再合并同类项，化简，最后代入求解即可． 【详解】解：， ， ， 将代入得，原式． 32．（25-26七年级上·江苏常州·期中）先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【分析】本题主要考查整式加减求值，原式去括号，合并同类项即可 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 33．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】该题考查了绝对值的非负性，整式化简求值，根据绝对值和偶次方的非负性求出，，再将化简后代入求值即可． 【详解】解：， ，， ，， ． 34．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．先根据整式加减的运算法则化简式子，再把的值代入到化简后的式子求值即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 35．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． (1)把看成一个整体， ①化简：； ②若，求①中化简的代数式的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)①；②96 (2)1 【分析】本题主要考查了代数式求值、整式的化简求值等知识点，灵活运用整体思想是解题的关键． （1）①根据合并同类项法则计算即可；②将整体代入计算即可； （2）先对所求代数式变形，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解：①原式； ②， ； （2）解：， ． 36．（25-26七年级上·江苏南通·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；将原式去括号，合并同类项后代入已知数值计算即可； 【详解】解： ， 其中，，原式． 37．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式加减混合运算法则是解题的关键．先去括号，再合并同类项，然后把，，代入化简后的结果，即可求解． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 38．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）数学中常常用整体代换的方法，起到化繁为简的作用，根据题目的需要，选择适当代换的形式解决问题． (1)把看成一个整体，合并； (2)若，求的值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的加减及运用，代数式求值； （1）把看成一个整体，提取公因式即可； （2）根据题意得到，把整理为，整体代入即可； （3）根据题意得到，，把整理为，整体代入即可． 【详解】（1）解： ， ． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴，， ∴ ， ， ， ． 39．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）先化简．再求值：求代数式的值，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的加减化简求值，掌握相关知识是解决问题的关键．先根据去括号法则去掉代数式中的括号，再合并同类项得到最简形式，最后将、的值代入计算． 【详解】解：     ； 将，代入化简后的式子： 原式 ． 40．（25-26七年级上·江苏镇江·期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务． “整体思想”是一种重要的数学思想方法，在多项式的化简求值中应用极为广泛． 例如，，类似地，我们把看成一个整体， 则． 【尝试应用】根据阅读内容，运用“整体思想”，解答下列问题： （1）化简的结果是 ． （2）化简求值：，其中． 【拓展探索】 （3）已知 求 的值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】本题考查了整式的加减—化简求值，掌握合并同类项和去括号的运算法则是关键． （1）把看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简； （2）分别将和看作一个整体，利用合并同类项的运算法则进行化简，然后利用整体思想代入求值； （3）将原式变形后，利用整体思想代入求值． 【详解】解：（1）， ， ； 故答案是： （2）， ； 故答案是： （3）， ， ， ； 故答案是：． 考点05 整式加减中无关型计算 41．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）已知代数式． (1)求； (2)当取何值时，的值与的取值无关． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算和代数式的值与某字母无关的条件； （1）直接计算 的表达式； （2）将 的表达式整理成含 的项，令 的系数为0，从而求出 的值． 【详解】（1）解：∵ ，， ∴ ． （2）解：， ∵ 的值与 的取值无关， ∴ 的系数为0， 即 ， 解得 ． 42．（25-26七年级上·江苏淮安·期末）已知代数式满足：，． (1)求；（用含的代数式表示） (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的化简以及无关类问题，熟练掌握相关方法是解题关键． （1）将，代入计算即可． （2）由（1）得出的代数式，根据其与的取值无关，所以得出含的项的系数为零，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． （2）解：∵的值与的取值无关， ∴， 即， 解得：， ∴若的值与的取值无关，． 43．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知代数式，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若（1）中的代数式的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了整式的化简-去括号、合并同类项，整数的求值及与字母取值无关的问题． （1）根据去括号和合并同类项法则先化简，再代入式子求值即可； （2）先分析与y取值无关的条件，再求解x的值即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 当，时，原式． （2）解：由（1）知化简结果为，变形为， ∵该式的值与y的取值无关， ∴，解得． 44．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）已知，． (1)当，时，求代数式的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)26 (2) 【分析】本题考查了代数式的化简求值及多项式与字母取值无关的条件，解题的关键是先化简，再根据题意计算或分析的系数． （1）先化简，再代入，计算其值； （2）将化简后的整理为关于的整式，令的系数为0，求解的值． 【详解】（1）解： 代入，：． 答：的值为26． （2）解：由（1）知， 因与的取值无关，故， 解得． 故答案为：． 45．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）已知：，，若的值与一次项无关，求的值． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算及“与某项无关”的代数意义，核心是利用系数为0的条件求解参数． 先求出的表达式，再根据“与一次项无关”的条件（即一次项的系数为0）来列方程求解的值． 【详解】解： ， 的值与一次项无关， ， ． 46．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）已知代数式，． (1)当时，求的值； (2)若的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据整式的加减运算法则计算，然后代入求值； （2）将含x的项合并，令其系数为0，即可求出y的值． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式 ； （2）由（1）可知： 由于的值与的取值无关， 则， 所以． 47．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）在学习了整式的加减后，老师给出了一道课堂练习题： 选择的一个值，求 甲说：“当时，原式” 乙说：“当时，原式” 丙说：“当为任何一个有理数时，原式” 这三位同学说法是否正确？请利用所学知识说明理由． 【答案】三位同学的说法都正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题．先去括号，然后合并同类项将原式化简结果为，即该多项式的结果与a的取值无关，据此可得结论． 【详解】解：三位同学的说法都正确，理由如下： ， 当或或为任何一个有理数时，原式， 三位同学的说法都正确． 48．（24-25七年级上·天津河东·期末）已知多项式， (1)化简； (2)当，时，求的值； (3)若的值与y的值无关，求x的值， 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值、整式的加减运算及整式加减运算中的无关型问题，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）根据整式加减运算法则直接化简即可． （2）由（1）得，把，代入原式求解即可． （3）由（1）得，根据的值与的值无关可得，从而解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴原式 ． （3）解：由（1）得， ∵的值与y的值无关， ∴中，，即， ∴． 49．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）（1）先化简，再求值：，其中． （2）已知 ． ①求； ②若的值与a的取值无关，求b的值． 【答案】（1），；（2）①；② 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）①根据整式的加减计算法则求解即可；②根据可得，据此可得答案． 【详解】解：（1） ， 当时，原式； （2）①∵， ∴ ； ②∵，且的值与a的取值无关， ∴， ∴． 50．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）魔术师说：“请你任意想一个数，把这个数乘2后加8，然后除以4，再减去你原来所想的那个数的一半，我可以知道你计算的结果是2．” (1)如果设魔术师任意想的那个数为x，请你帮助魔术师说明上述结论的正确性； (2)在（1）中，得到的代数式化简后结果为2，它不含有x，我们称之为“与x无关”．试解决下列“无关”类问题： ①多项式的值（    ）； A．仅与x的大小无关                    B．仅与y的大小无关 C．与x、y的大小都无关                D．与x、y的大小都有关 ②三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．设图1中阴影部分周长为m，图2阴影部分周长之和为n，试判断的值是否与正方形A、B、C的边长有关，若有关，请说明理由；若无关，求出的值． 【答案】(1)见解析 (2)①C；②无关， 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减，熟练掌握整式的加减步骤是解题的关键． （1）按照魔术师的步骤进行运算，即可得出结论； （2）①去括号，合并同类项后，即可得出结论； ②利用长方形的周长公式，可用含，，的代数式表示出，，二者作差后，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 上述的结论正确； （2）解：① ， 多项式的值与、的大小都无关． 故选：C； ②无关，， 根据题意得：长方形的长为，宽为， ，， ， 的值与正方形、、的边长无关，的值为0． 考点06 整式加减中的规律性计算 51．（25-26七年级上·江苏无锡·月考）观察以下一系列等式： ； ； ； (1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第个等式：______； (2)根据你上面所发现的规律，用含字母为正整数的式子表示第个等式：______； (3)请利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数字的变化规律，解题的关键是仔细阅读题目，根据题目所给的内容，发现规律，利用规律解决问题． （1）根据已知规律写出④即可； （2）根据已知规律写出n个等式，利用提公因式法即可证明规律的正确性； （3）写出前100个等式，将这些等式相加，整理即可得出答案． 【详解】（1）解：根据已知等式： ①； ②； ③； 得出以下：④， 即第个等式：； （2）解：①； ②； ③； ④； …… 以此类推： 得出第n个等式：； （3）解：根据规律：； ； ； … ； 将这些等式相加得： ， ， ． 52．（25-26七年级上·福建漳州·月考）完成下面的计算，再探索规律回答问题 前2个奇数的和：_____ 前3个奇数的和：_____ 前4个奇数的和：_____ 前5个奇数的和：_____………… （1）前9个奇数的和是奇数还是偶数？前100个奇数的和是奇数还是偶数？请说明理由． （2）在自然数中，按奇数从小到大的顺序，前个奇数的和有什么规律？试着用这个规律求出前86个奇数的和． 【答案】4；9；16；25；（1）前9个奇数的和是奇数，前100个奇数的和是偶数，理由见解析；（2）前个奇数的和为； 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 分别计算出前2个奇数的和，前3个奇数的和，前4个奇数的和，前5个奇数的和，进而可得规律前n个奇数的和为； （1）根据前n个奇数的和为求出前9个奇数的和和前100个奇数的和即可得到答案； （2）根据前n个奇数的和为求解即可． 【详解】解：前2个奇数的和：； 前3个奇数的和： 前4个奇数的和： 前5个奇数的和：； ……， 以此类推，可知前n个奇数的和为； （1）前9个奇数的和是奇数，前100个奇数的和是偶数，理由如下： ∵前n个奇数的和为， ∴前9个奇数的和为；前100个奇数的和为； ∴前9个奇数的和是奇数，前100个奇数的和是偶数； （2）由前面所求可得，前个奇数的和为，故前86个奇数的和为． 53．（25-26七年级上·江苏无锡·期末）我国宋朝数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积，形成“三角垛”，图1有1颗弹珠，图2有3颗弹珠，图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…，若用表示图n的弹珠数，其中n＝1，2，3，… (1)根据以上规律，可得 ； ； (2)计算： 【答案】(1)15， (2) 【分析】本题主要考查图形规律问题及有理数的运算，解题的关键是得到图形的一般规律； （1）根据题意易得图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，图4有颗弹珠，然后问题可求解； （2）根据（1）可代入进行求解． 【详解】（1）解：由图可知： 图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，图4有颗弹珠，图5有颗弹珠，……； ∴； 故答案为15，； （2）解：由（1）可得： 原式= = =． 54．（25-26七年级上·陕西榆林·期末）如图是由长度相同的小棒拼出的一组有规律的图形，第1个图形中有6根小棒，第2个图形中有11根小棒，第3个图形中有16根小棒，第4个图形中有21根小棒，．．．，按照这种规律拼下去． (1)第7个图形中有 根小棒； (2)请用含的代数式表示第个图形中小棒的数量； (3)求第186个图形中小棒的数量． 【答案】(1)36 (2) (3)931 【分析】本题主要考查了图形规律的探索，解题的关键是找出图形的规律． （1）根据给出示例，依次类推求解即可； （2）根据给出示例，找出图形规律即可； （3）代数求值即可． 【详解】（1）解：根据规律得，第7个图形中有根小棒， 故答案为：36； （2）解：根据给出的示例，第个图形中小棒的数量为； （3）解：当时，． 55．（24-25七年级上·山西临汾·期末）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：． …… 请根据上述规律完成下列问题： (1)第6个等式为_______，第10个等式为______； (2)写出你猜想的第个等式：______（用含的式子表示）； (3)利用上述规律，计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了数字规律，用代数式表示数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察题干式子，直接作答即可； （2）根据（1）以及题干过程，即可作答． （3）观察式子，得出则，故原式，再进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：观察前面4个等式，得出第6个等式为 即 第10个等式为， 即． 故答案为：，； （2）解：根据（1）以及题干过程得出第n个等式：， 故答案为：； （3）解：依题意， ∵ ∴ 同理可得 ， ……， ， ∴ ． 56．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）观察算式： ①； ②； ③； ④． 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第5个算式：______； (2)写出第n个算式：______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是有理数的运算规律探究，掌握“从具体到一般的探究方法，再总结规律并运用规律解题”是关键． （1）根据题意，①；②；③；④，发现规律，左边第一个因数是序号数，第二个因数是序号数加2，结果是底数为序号数加1的平方，解答即可； （2）根据上面的规律，一般化结论即可； （3）先通分，后化简计算，确定规律，再约分计算即可． 【详解】（1）解：∵①； ②； ③； ④； ∴第5个算式为：； （2）解：根据规律，左边第一个因数是序号数，第二个因数是序号数加2，结果是底数为序号数加1的平方幂， 得第个算式为：； （3）解： ． 57．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：__________； (2)试猜想第个等式__________（用含的式子表示）； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查数式的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律，并能灵活运用规律解题． （1）观察所给算式，可以发现等式右边为从1开始，序号个连续自然数的平方和，等式左边是4个数的积，这四个数分别为：、与序号相同的数、比序号大1的数、序号与序号加1的数的和，据此可以写出第5个等式； （2）根据（1）中发现的规律，用代数式表示出这些数，并写出等式即可； （3）利用（2）中的等式，将写成乘积形式，同样将分母也写成乘积形式，约分即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，第5个等式为：， 故答案为：； （2）解：第1个等式：， 第2个等式；， 第3个等式：， 第4个等式：， ……， 以此类推，可知第n个等式为； （3）解： 。 58．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表： 分母中加数的个数 和的倒数 2 3 4 … … (1)根据表中规律，求 = ；（写计算结果） (2)根据表中规律，则 ；（只列式，不写计算结果） (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字类的规律探索，根据所给等式，总结出一般规律是解题的关键． （1）根据题目所给的等式，总结出一般规律，即可解答； （2）根据（1）中的规律，即可解答； （3）根据一般规律，先将算式转化，再进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解： ． 59．（25-26七年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读探究： ①； ②； ③； ④；…… (1)根据上述规律，则⑤______； (2)根据以上式子的规律，请写出第个式子； (3)利用你发现的规律，计算下面算式的值：． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、数字的变化规律，解决本题的关键是根据阅读材料中所给的式子，找到式子的变化规律，根据规律解决问题． 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律进行计算即可； 根据阅读材料中从开始的连续正整数的平方和的计算规律，写出从到的连续正整数的平方和的计算公式； 利用中得到的计算规律可得：，由可知，两个等式求差，即可得到结果． 【详解】（1）解：根据规律可得：； （2）解：根据规律可得：第个式子是： （3）解：由可知， ， 由可知：， ． 60．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）【信息提取】在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． 【初步体验】（1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①_______________；②_____________； 【拓广应用】（2）合适的方法计算：___________________． （3）简便的方法计算：． 【答案】（1）①；②； （2）； （3） 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练地掌握运算法则和绝对值的性质是解题关键． （1）①②根据题目可得规律：当时；当时，；运用规律可得答案； （2）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． （3）根据绝对值的性质化简，结合互为相反数的两数之和为可得答案． 【详解】解：（1）由题目运算可得：当时；当时，； ①∵， ∴； ②∵， ∴； 故答案为：；； （2）， 故答案为：． （3） ． 考点07 解一元一次方程 61．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程． （1）方程去括号，移项，合并同类项，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 62．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解下列方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程； （1）根据解一元一次方程的方法：移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 将系数化为，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 63．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得 64．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）通过移项、合并同类项、系数化为1来求解； （2）先去分母，再按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解． 【详解】（1）解： 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 ； （2）解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 ． 65．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 66．（25-26七年级上·江苏徐州·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1，由此求解即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1，由此求解即可． 【详解】（1）去括号，得， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 67．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． （1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）去分母得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 68．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤求解：移项，合并同类项，系数化为1； （2）按照解一元一次方程的步骤求解：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1 【详解】（1）解：移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得； （2）解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 69．（25-26七年级上·江苏南京·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可； （2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ． 70．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 考点08 一元一次方程的含参计算 71．（25-26七年级上·江苏淮安·期中）已知关于x的方程与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，分别求出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，得到关于m的方程，即可求解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得， ∵关于x的方程与方程的解互为相反数， ∴， 解得， ∴m的值为4． 72．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求的值 【答案】 【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，掌握解一元一次方程是解答本题的关键． 分别解方程和，即可得到，进而求解即可； 【详解】解：解方程，得：， 解方程，得， 由题意得，， 解得； 73．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）某同学在解方程去分母时，方程右边的没有乘，因而求得方程的解为， (1)求a的值 (2)求出方程正确的解 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程及一元一次方程的解，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． （1）先根据错误的方法解得的值； （2）将的值代入原方程得，再根据解一元一次方程的一般步骤即可求解， 【详解】（1）解：根据错误的去分母得：， 将代入得：， 解得：； （2）由（1）可知：，则原方程为：， 去分母得：， 移项得：， 合并同类项得：． ∴方程正确的解为． 74．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）某同学在解方程，在去分母时，方程右边的没有乘3，因而得方程的解为，求方程的解． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，根据题意可得出，把代入求出a的值，再解原方程即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， ∵是方程的解， ∴ ， 解得：， ∴原方程为， 去分母：， 移项： 合并同类项：， 则原方程的解为：． 75．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题关键．先求出第一个方程的解，再把代入第二个方程得出，再求解即可得到答案． 【详解】解：解方程， ， 得：， 把代入方程， 得：， ， ， ， 解得：． 76．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)若，求该方程的解； (2)若是方程的解，求的值； (3)若该方程的解与方程的解相同，求的值； (4)某同学在解该方程时，误将“”看成了“”，得到方程的解为，求的值； (5)若该方程有正整数解，求整数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)； (5) 【分析】本题考查同解方程、一元一次方程的解法、求代数式的值， （1）依据题意得，当时，方程为，求解即可； （2）依据题意，由是方程的解，得，解关于的方程，再将的值代入计算即可； （3）依据题意，由方程的解为，从而得，再解关于的方程即可； （4）依据题意，由误将“”看成了“”，得到方程的解为，可得，再解关于的方程即可； （5）依据题意，由，可得，再结合取正整数，从而为的正因数，又取最小值，进而得解； 解题时要能读懂题意并列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程为， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的解， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的值为； （3）解：∵， 解得：， ∵方程的解与方程的解相同， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为； （4）解：∵误将“”看成了“”，得到方程的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴的值为； （5）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵取正整数， ∴为的正整数倍数． 又∵取最小值， ∴， ∴， ∴的值为． 77．（2024七年级上·全国·专题练习）如果方程的解与方程的解相同，求式子的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是同解方程，理解同解方程的概念是解题的关键． 先求得方程的解，然后代入另一个方程求得a的值，最后，再求得代数式的值即可． 【详解】解：解方程得：， 将代入得：， 解得： ， ∴． 78．（25-26七年级上·吉林松原·期中）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，先解方程得到，则关于x的方程的解为，再把代入方程中，求出m的值即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ∵关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数， ∴关于x的方程的解为 把代入方程得， 解得． 79．（25-26九年级上·贵州毕节·期中）已知关于的方程，请回答下列问题． (1)k的值不可能是_______； (2)若该方程与方程的解相等，求k的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次方程的定义和解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是关键． （1）根据方程的定义进行解答即可； （2）先求出方程的解，再把得到的解代入方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解： ∴， 则 则， 根据方程的定义可知，，即， 故答案为：． （2）解方程，得， 将代入方程得到， 解得． 80．（24-25七年级下·湖南湘西·月考）如果，为定值，关于的一次方程，无论为何值时，它的解总是．求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，牢记“使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解”是解题的关键． 将代入原方程，整理后可得出，结合原方程的解与值无关，可得到关于，的方程，解之得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：将代入方程， 得， ， ， ， 由题意可知：，， ，， ． 考点09 一元一次方程的新定义计算 81．（25-26七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个一元一次方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”．若关于x的方程与是“美好方程”求的值． 【答案】23 【分析】本题考查了一元一次方程的解和“美好方程”的定义．先分别求出两个方程的解，然后根据解之和为0列出方程求解k． 【详解】解：解得； 解得； ∵两个方程是“美好方程”， ∴解之和为0， 即， 解得：． 82．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和一方程”，例如：方程和为“和一方程”． (1)若关于的方程与是“和一方程”，求的值； (2)若两个“和一方程”的解的差为7，其中一个解为，求的值； (3)若关于的一元一次方程和是“和一方程”，求关于的一元一次方程的解． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，理解“和一方程”的定义是解题的关键． （1）分别求出两个方程的解，再根据“和一方程”的定义，列出关于m的方程，即可求解； （2）根据“和一方程”的定义，可得另一个解为，再根据两个“和一方程”的解的差为7，即可求解； （3）根据“和一方程”的定义，可得一元一次方程的解为，把方程变形为，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，解得：， ，解得：， ∵方程与是“和一方程”， ∴， 解得：； （2）解：∵两个“和一方程”的一个解为，则另一个解为， ∵两个“和一方程”的解的差为7， ∴或， 解得：或； （3）解：，解得：， ∵一元一次方程和是“和一方程”， ∴一元一次方程的解为， ∵方程变形为， ∴方程的解为， ∴． 83．（25-26七年级上·江苏苏州·期中）给出定义如下：我们称使等式的成立的一对有理数为“相伴有理数对”，记为．如：，，所以数对，都是“相伴有理数对”． (1)数对、中，是“相伴有理数对”的是_______； (2)若是“相伴有理数对”，则的值是________； (3)若是“相伴有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的化简求值和新定义，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，正确理解新定义的含义． （1）根据“相伴有理数对“的定义对这两个数对进行计算，然后判断即可； （2）根据“相伴有理数对“的定义列出方程，解方程即可； （3）先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后把整体代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】（1）解： ，， ， ，， 成立的一对有理数，为“相伴有理数对， 是“相伴有理数对”的有， 故答案为：； （2）解：是“相伴有理数对”， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：是“相伴有理数对”， ， 则 ． 84．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）定义：如果两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一个方程的“和谐方程”，例如：方程是方程的“和谐方程”． (1)若方程是方程的“和谐方程”，则______． (2)若关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，求m的值． 【答案】(1)2 (2)1 【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． （1）先求出两方程的解，作差后，即可得出结论； （2）由方程的解及关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”，可得出关于x的方程的解为，据此即可求解． 【详解】（1）∵方程的解为，方程的解为，， 方程是方程的“和谐方程”． 故答案为：2； （2）∵方程的解为，关于x的方程是关于x的方程的“和谐方程”， 关于x的方程的解为， ， 解得， 的值为1． 85．（25-26七年级上·江苏扬州·期中） “”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定如：． (1)的值为________； (2)若，求a的值； (3)若，（其中x为有理数），试比较m，n的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，整式的加减计算含乘方的有理数混合计算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得，解方程即可得到答案； （3）根据新定义用含x的式子表示出m、n，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 86．（25-26七年级上·江苏宿迁·期中）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“和1方程”，例如：方程和为“和1方程”． (1)若关于x的方程与方程是“和1方程”，求m的值； (2)若“和1方程”的两个解的差为1，其中一个解为n，求n的值； 【答案】(1) (2)n的值为0或1 【分析】本题主要考查一元一次方程的解及其解法，熟练掌握一元一次方程的解及其解法是解题的关键； （1）由题意易得方程与方程的解分别为，，然后可得，进而问题可求解； （2）设另一个方程的解为m，由题意得：，则有，进而分类进行求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：； 解方程得：； ∴， 解得：； （2）解：设另一个方程的解为m，由题意得：，则有， 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 当时，则，根据“和1方程”的定义可得：，解得； 综上所述：n的值为0或1． 87．（25-26七年级上·江苏盐城·期中）定义：若，则称a与b是关于3的实验数． (1)与______是关于3的实验数，______与是关于3的实验数；用含x的代数式表示 (2)若，，判断a与b是否是关于3的实验数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于3的实验数，求x的值． 【答案】(1)， (2)不是，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“实验数”的定义，设这个数为m，则，求出未知数即可；设这个数为n，则，求出n即可； （2）首先化简a和b，然后计算，求出是不是3即可； （3）首先化简c和d，因为c与d是关于3的实验数，所以，求出结果即可． 本题考查了整式的加减，列代数式，解决本题的关键是熟练运用“实验数”的定义解决问题． 【详解】（1）解：设这个数为m，则： ， 解得 设这个数为n，则： ， 解得 故答案为：， （2）解： ； ， ； ， ， 所以a与b不是关于3的实验数． （3）解： ， ， ， 因为c与d是关于3的实验数， 所以， 所以， 得：． 88．（25-26七年级上·江苏常州·期中）我们定义，如果两个方程的解相同，那么称这两个方程为“友好方程”． (1)判断下列方程：①；②；③是“友好方程”的是 ．（填写序号） (2)若关于x的方程与是“友好方程”，求m的值． (3)若关于x的方程与是“友好方程”，其中a，b是整数，试求a，b的值． 【答案】(1)①② (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程的解的定义，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）分别解方程求出三个方程的解即可得到答案； （2）先解方程得到，再把代入方程中求出m的值即可； （3）先解方程得到，再把代入方程中得到，再根据a、b都是整数求解即可． 【详解】（1）解：解方程得， 解方程得， 解方程得， ∴方程和的解相同， ∴是“友好方程”的是①②； （2）解：解方程得， ∵关于x的方程与是“友好方程”， ∴是方程的解， ∴， 解得； （3）解：解方程得， ∵关于x的方程与是“友好方程”， ∴是方程的解， ∴， ∴， ∵a、b都是整数， ∴或或或． 89．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）定义：若，则称与是关于4的友谊数． (1)与______是关于4的友谊数，______与是关于4的友谊数；（用含的代数式表示） (2)若，，判断与是否是关于4的友谊数，并说明理由； (3)若，，且与是关于4的友谊数，求的值． 【答案】(1)11， (2)与是关于4的友谊数，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查新定义，整式的加减，解一元一次方程，解题的关键是理解并掌握友谊数的定义及整式加减运算顺序和法则． （1）利用新定义计算即可； （2）利用新定义计算，看是否等于4即可判断； （3）利用新定义得到，分类讨论，解方程． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴与11是关于4的友谊数，与是关于4的友谊数， 故答案为：11，； （2）解：是关于4的友谊数，理由如下， 若，， 则 ， ∴与是关于4的友谊数； （3）解：∵，，且与是关于4的友谊数， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，，此时无解； 当时，， 解得：， ∴或． 90．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）定义：若两个一元一次方程的解的乘积为1，则这两个方程互为“倒数方程”，如：方程与互为“倒数方程”． (1)关于x的方程与互为“倒数方程”，则 ； (2)关于x的方程与其“倒数方程”的解都是整数，求n的值； (3)关于x的方程与互为“倒数方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)4 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，一元一次方程的解，解一元一次方程，解题关键是熟练掌握一元一次方程解的定义和解一元一次方程的一般步骤． （1）先解已知条件中的两个方程，求出方程的解，再根据“倒数方程”的定义列出关于的方程，解方程即可； （2）先解已知条件中的方程，然后求出其倒数方程的解，最后根据关于的方程与其“倒数方程”的解都是整数，列出关于的方程，解方程即可； （3）先解方程，然后根据“倒数方程”的定义，求出的解，再根据的解列出关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 关于的方程与互为“倒数方程”， ， ， 故答案为：4； （2）解：， ， ， 其“倒数方程”的解为， 与都是整数， ， 解得：或； （3）解：， ， ， ， ， 它的“倒数方程” 的解为， ， ， ， ， 关于的一元一次方程的解为． 考点10 角度的四则运算 91．（24-25七年级上·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（结果用“”表示）； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了角度的加、减、乘、除四则运算，熟练掌握角度的进制换算以及四则运算的规则是解题的关键． （1）将度、分、秒分别相加，再按照进制的原则进行进位处理． （2）将度、分、秒分别相减，若分或秒不够减，则按照进制的原则向高位借位． （3）将角度的度、分、秒分别与整数相乘，再按照进制的原则进行进位处理． （4）将角度的度除以整数，得到的商作为度的结果，余数换算为分后再继续除以整数，若还有余数则进一步换算为秒后再除以整数，或者将角度的度、分、秒分别除以整数，对余数部分进行适当的单位换算和进位处理． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： （4）解： ． 92．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了度分秒的换算和计算，熟知进率、正确计算是解题关键.. （1）先进行度、分、秒的除法计算，再算加法． （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： （2） 93．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了角度的运算，注意是解题的关键． （1）两个度数相加，度与度，分与分对应相加，分的结果若满60，则转化为度； （2）两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若不够减，则借位后再减； （3）进行角的乘法运算，应将度分秒分别与6相乘，然后依次进位； （4）一个度数除以一个数，则从度位开始除起，余数变为分，分的余数变为秒． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 94．（24-25七年级上·湖北孝感·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 95．（22-23六年级上·全国·单元测试）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】（1）根据角度的加法运算法则进行计算即可； （2）根据角度的减法运算法则进行计算即可； （3）根据角度的乘法运算法则进行计算即可； （4）根据角度的除法运算法则进行计算即可； （5）根据角度的加法运算法则进行计算即可； （6）根据角度的乘法运算法则进行计算即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握角的进制是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． （5）解： ． （6）解： ． 96．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式= =． （2）解：原式= =． 97．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据角的四则运算法则求解即可． （2）根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 98．（24-25七年级下·山东潍坊·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据角度制的进率为60进行计算求解即可； （2）根据角度制的进率为60进行计算求解即可． 本题主要考查了角的四则运算，熟练掌握度分秒的转换是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 99．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）计算（ 结果用度、分、秒表示）． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查度，分，秒的计算，解题的关键是掌握，进行计算，即可． （1）根据，进行计算，即可； （2）根据，，进行计算，即可； （3）根据，，进行计算，即可； （4）根据，，进行计算，即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 100．（2024七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此类题是进行度、分、秒的混合运算，是角度计算中的一个难点，注意以60为进制即可． （1）进行度、分、秒的加减混合运算即可； （2）先进行度、分、秒的乘法计算，再算减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $