高二数学上学期期末模拟卷02（苏教版，举一反三）【测试范围：苏教版选择性必修第一册】

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】根据导数的定义计算可得. 【解答过程】因为函数在处可导，且， 所以. 故选：A. 2．（5分）已知数列的首项，且 （），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解题思路】可根据数列的递推公式，由首项逐步求出、，进而求出 【解答过程】已知，将代入递推公式中， 可得： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 将代入递推公式中，此时， 则： ， 这个数列的第项是. 故选：A. 3．（5分）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据垂直关系，以及点斜式直线方程，即可求解. 【解答过程】，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 故选：A. 4．（5分）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将问题化为直线与圆的上半部分有交点求参数范围即可． 【解答过程】解：曲线是圆的上半部分，且含端点， 由过定点，如下图： 由图知，当与半圆左上部相切时， 即且，可得， 结合图知：实数k的取值范围为：． 故选：D. 5．（5分）设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】确定方程，由点到直线距离等于，列出等式求解即可； 【解答过程】由题意易知直线方程为：，即， 原点到直线的距离为， ， 所以 ， 所以，即， 所以， 所以， 故选：B. 6．（5分）若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解题思路】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值. 【解答过程】由，得， 设切点为，则由导数的几何意义得， 又切线方程为，所以， 即，解得，. 故选：D. 7．（5分）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【解答过程】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 8．（5分）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 【答案】D 【解题思路】根据双曲线的渐近线方程即可求解A，根据双曲线的定义以及椭圆定义可得椭圆方程为，即可求解BC，根据余弦定理可得，即可求解正弦，根据面积公式即可求解D. 【解答过程】对于A, 双曲线的渐近线为,故A错误， 对于B，由于，则， 根据双曲线的定义可得，故， 设椭圆方程，则，故，又， 故，则椭圆方程为，C错误， 离心率为，B错误， 对于D，, 故， 故的面积为,故D正确， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．的取值范围为 B．若，则点在圆内 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆的方程为 【答案】ABD 【解题思路】A：化简得到圆的标准方程，根据半径大于求解结果；B：根据与半径的大小关系作出判断；C：根据圆心到直线的距离与半径的关系作出判断；D：先判断点的位置，然后可求圆的方程. 【解答过程】，圆心，半径， 对于A：因为，所以，故正确； 对于B：因为，， 所以，所以点在圆内，故正确； 对于C：当时，，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，故错误； 对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆， 所以圆的方程为，故正确； 故选：ABD. 10．（6分）已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和不超过 【答案】ACD 【解题思路】根据给定条件，求出数列的首项公比，再逐项求解判断得解. 【解答过程】等比数列中，，而，则数列单调递减， 由，得，又，解得， 对于A，，解得，A正确； 对于B，，数列不是等比数列，B错误； 对于C，，则， ，数列是公差为1的等差数列，C正确； 对于D，，数列的前项和， ，D正确. 故选：ACD. 11．（6分）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】由抛物线的通径长求出的值，可判断B选项；将直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可判断A选项；利用抛物线的定义可判断C选项；求出直线的方程，并求出点到直线的最大距离，结合三角形的面积公式可判断D选项. 【解答过程】抛物线的焦点为，联立，解得， 所以，抛物线的通径长为，可得， 对于B选项，抛物线的焦点为，B对； 对于A选项，抛物线的标准方程为， 若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立可得，则， 由韦达定理可得，则，A对； 对于C选项，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为点， 由抛物线的定义可得，则，如下图所示： 当、、三点共线时，即当时，取最小值，C错； 对于D选项，设点、， 先证明出抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，即，则， 所以，抛物线在点处的切线方程为， 同理可知，抛物线在点处的切线方程为， 由于这两条切线的交点为，则， 所以，点、的坐标均满足方程， 联立可得，解得，， 所以，， 设点的横坐标为，由题意可知，抛物线在点处的切线与直线平行， 设抛物线在点处的切线方程为， 联立可得，则，解得， 此时，有，解得，则，即点， 所以，点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为，D对. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 【答案】 【解题思路】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式得解. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为：. 13．（5分）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【解题思路】设，分析可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆，进而可得和方程. 【解答过程】设， 因为，可得， 可知动点M的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，则， 所以动点M的轨迹方程是. 故答案为：. 14．（5分）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由题设化简可得，设，则，利用导数分析函数的单调性，进而将问题转化为恒成立，设，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【解答过程】由，，， 则，则， 则，则， 设，则， 因为， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且时，， 则时，，即恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程. 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）求出的中垂线方程，与圆心所在直线方程联立求得，利用距离公式求出半径，即可得解； （2）按照弦所在直线斜率是否存在讨论，当斜率存在时，结合点到直线距离公式，根据弦长公式列式求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线方程为即， 由，解得，又半径， 所以圆的方程为.（或） （2）若弦所在直线斜率不存在，则弦长为8，不合题意，故所求弦的斜率存在. 设弦所在直线方程为，即，设圆心到弦的距离为， 由所以， 即，解得或. 所以弦所在的直线方程为或. 16．（15分）已知函数． (1)求函数在处切线的方程； (2)求函数的极值． 【答案】(1) (2)极大值为6，极小值为26 【解题思路】（1）对函数求导，求出切线的斜率和切点的坐标，即可求出切线方程. （2）对函数求导，求出极值点，判断函数的单调性，确定函数的极值. 【解答过程】（1）因为函数， 所以求导得. 所以.又， 所以函数在处的切线方程为，即. （2）因为. 令，解得或. 当或时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以的极大值为，极小值为. 17．（15分）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】(1)利用等比数列的基本性质及等差数列的通项公式求出首项和公差,进而求出数列的通项公式; (2)利用裂项相消法求和，求得，然后作差法判断的单调性，以及结合，求得，然后根据恒成立建立不等式组，从而得解. 【解答过程】（1）设等差数列{ }的公差为， 由题意知： 解方程组得，所以， 即 （2）， ， 单调递增，， 又 若使得对一切恒成立，则，解得， ∴实数m的取值范围是． 18．（17分）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用椭圆的定义列出关于的方程求解即可， （2）设直线的方程为联立直线和椭圆的方程得到韦达定理，将用韦达定理代入，同时将得到的式子转化成关于的韦达定理进行约分化简得到最后的结果. 【解答过程】（1）设椭圆的方程，由题意可知 ，解之得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 联立方程组，得 ①②得，，所以， 所以为定值. 19．（17分）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 【答案】(1) (2)（i） （ii），证明见详解. 【解题思路】（1）通过求导得出切线斜率，找到切点坐标，再利用点斜式得到切线方程. （2）（i）明确函数定义域，分析导数构成，其分子为二次函数，函数有三个零点时，该二次函数有两个不同的正根，进而确定参数的范围. （ii）已知三个零点的大小关系，其中一个零点可直接确定，结合二次函数根的性质及函数单调性，分析零点之和的范围，进而比较所求表达式与二倍参数的大小. 【解答过程】（1）当时，， 则，即，切线的斜率为， 又，切点为， 故在点处的切线方程为，即. （2）（i）函数，则， ①当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ②当时，， 在单调递增，此时有1个零点，不满足题意，舍掉. ③当时，令，即，解得或， 令，得；令，得或， 在单调递减，在和单调递增， ，，，又， ，当时，，在上恰有一个零点， ，当时，，在上恰有一个零点， 又在上只有一个零点，故函数有三个零点， 综上所述，实数的取值范围为. （ii），且， 由以上可知，则， 且，， ，则，， 又，即， 而=， 令，，则， 故在上为增函数，， ，，， 故. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷02 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第一册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C． D．2 2．（5分）已知数列的首项，且 （），则这个数列的第4项是（   ） A． B． C． D．3 3．（5分）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（5分）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（5分）设椭圆的半焦距为，直线过，两点，坐标原点到直线的距离等于，则椭圆的离心率为（   ） A．1 B． C． D． 6．（5分）若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 7．（5分）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点A是，在第一象限内的交点，若，则下列选项正确的是（   ） A．双曲线的渐近线为 B．椭圆的离心率为 C．椭圆的方程为 D．的面积为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知圆，则下列结论正确的有（    ） A．的取值范围为 B．若，则点在圆内 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆的方程为 10．（6分）已知是各项均为正数的等比数列，公比为，前项和为，且，，，则下列说法正确的是（   ） A． B．数列是等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D．数列的前项和不超过 11．（6分）已知抛物线的通径长为，焦点为，经过点的直线交抛物线于、两点，则下列说法中正确的有（   ） A． B．点的坐标为 C．设点，若点为上的动点，则的最小值为 D．过点作抛物线的两条切线，切点分别为、，点为的曲线段上任意一点，则面积的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 13．（5分）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 14．（5分）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知圆经过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)已知以为端点的弦的长度为，求该弦所在直线方程. 16．（15分）已知函数． (1)求函数在处切线的方程； (2)求函数的极值． 17．（15分）已知公差不为0的等差数列{ }的前n项和为，且成等比数列，数列满足 (1)求数列的通项公式； (2)设数列的前n项和为 Tn，若对一切恒成立，求实数m的取值范围． 18．（17分）已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，点在椭圆上，且的周长为. (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左，右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（不同于左，右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值. 19．（17分）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若有3个零点，，，且. （i）求实数的取值范围； （ii）比较与的大小，并证明你的结论. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $