高二数学上学期期末模拟卷01（苏教版，举一反三）【测试范围：苏教版选择性必修第一册】

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版选择性必修第一册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（    ） A．2 B． C． D．－2 2．（5分）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．6 B．20 C．25 D．30 3．（5分）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（5分）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 5．（5分）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（5分）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 10．（6分）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（6分）已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．线段AB的中点到x轴的距离为3 C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）在等差数列中，已知，，则 . 13．（5分）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 14．（5分）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 16．（15分）设等差数列的前项和为，已知，，求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和． 17．（15分）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 19．（17分）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知直线l经过两点，，则直线l的斜率是（    ） A．2 B． C． D．－2 【答案】C 【解题思路】利用直线斜率公式直接进行求解即可. 【解答过程】因为直线l经过两点，， 所以直线l的斜率是， 故选：C. 2．（5分）设等差数列的前n项和为，若，则的值为（   ） A．6 B．20 C．25 D．30 【答案】D 【解题思路】利用等差数列前n项和与通项公式即可求得结果. 【解答过程】因为，所以，解得， 则. 故选：D. 3．（5分）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由椭圆方程结构得到：，求解即可； 【解答过程】由题意可得：， 解得：， 故选：B. 4．（5分）函数的极小值为（    ） A． B． C．15 D．17 【答案】B 【解题思路】对函数求导，令导数等于0，求得，分别研究导函数在,和时的单调性，从而得极小值点，代入函数解析式求得极小值. 【解答过程】由函数，求导得, 令,得, 当时, ,函数单调递增; 当时, ,函数单调递减; 当时, ,函数单调递增; 所以是极小值点,所以函数的极小值为. 故选：B. 5．（5分）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据圆心到直线的距离等于半径，即可求得结果. 【解答过程】因为点到直线的距离是， 所以圆的半径为，所以圆的方程为. 故选：A. 6．（5分）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜率式，即可求解. 【解答过程】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 7．（5分）已知数列满足，设，则数列的前项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据条件，利用与间的关系，得到，从而有，再利用裂项相消法，即可求解. 【解答过程】因为①， 当时，②， 由①②得到，得到， 又时，，满足，所以，则， 所以， 则数列的前项和为， 故选：D. 8．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，过F₁的直线与双曲线的左支相交于A，B两点，且则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设，由双曲线的定义求得，，结合，利用列出方程求得，再由，求得的关系式，结合离心率的定义，即可求解. 【解答过程】因为，设，则， 又由双曲线的定义，得，， 所以，， 又因为，可得，即， 解得， 由，即，可得， 双曲线C的离心率为. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）已知直线，，下列选项正确的有（   ） A．若，则斜率不存在 B．若不经过第三象限，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】BC 【解题思路】综合运用直线的点斜式，两直线平行、垂直的充要条件进行判断即可. 【解答过程】对于A，当时，则，则，所以的斜率为0，故A错误； 对于B，由，可得， 若不经过第三象限，则，故B正确； 对于C，若，则，解得或，故C正确； 对于D，若，则直线，，两直线与重合，故D错误． 故选：BC. 10．（6分）已知数列满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】利用递推关系逐一求解即可判断A；求出前四项可判断数列 的周期为3，根据周期性逐一计算即可判断BCD. 【解答过程】A： 由题意， ， ， 则 ，故A正确； B： ， 结合A的计算，可得数列 的周期为3，即 ， 因为 ，所以 ，故B错误； C： 一个周期的和为 ，而 ，故C正确； D： 由于 ，所以 ， 所以，故D错误. 故选：AC. 11．（6分）已知点O为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A、B两点，则下列选项正确的是（   ） A． B．线段AB的中点到x轴的距离为3 C． D． 【答案】ABD 【解题思路】联立方程组求得，且，结合选项，结合抛物线的定义和焦点弦，逐项判定，即可求解. 【解答过程】由抛物线，可得焦点， 则过点F且斜率为1的直线方程为， 联立方程组，整理得，， 设，则， 对于A，由抛物线的定义，得，故A正确； 对于B，线段的中点的到轴的距离为，故B正确； 对于C，因为 ， 所以与不垂直，故错误； 对于D，由，可得， 由抛物线定义，得， 所以，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）在等差数列中，已知，，则 . 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用等差数列性质求解. 【解答过程】在等差数列中，由，得，即， 解得，而，所以. 故答案为：. 13．（5分）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【解题思路】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程. 【解答过程】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一）. 14．（5分）某圆形拱梁示意图如图所示，该圆拱的跨度是10m，拱高是1m，每隔1m需要一根支柱支撑，则支柱的长度为 m．（精确到0.01m）参考数据：    【答案】0.65 【解题思路】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【解答过程】    以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为 ，              设圆拱所在的圆的方程是， 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得，                         故圆拱所在的圆的方程是，                       将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为0.65m． 故答案为：0.65. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果； （2）由求出，再由两平行线的距离求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 16．（15分）设等差数列的前项和为，已知，，求： (1)数列的通项公式； (2)数列的前项和． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）应用等差数列的通项公式、前n项和公式及已知列方程求基本量，即可得的通项公式； （2）应用分组求和、裂项相消法求. 【解答过程】（1）等差数列中，由，得，由，得， 联立，解得，所以； （2）因为， 所以， 整理得. 17．（15分）已知圆心为C的圆经过点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的方程； (2)已知直线l过点且直线l截圆C所得的弦长为2，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【解题思路】根据圆心在弦的中垂线上，也在直线上求解可得圆心，进而求得半径即可得圆的方程； 先讨论直线l斜率不存在时，再设直线l的点斜式，根据垂径定理求解即可. 【解答过程】（1）由题意圆心在弦的中垂线上， 又中点，， 则弦的中垂线斜率，故中垂线方程：，即， 联立可得，，即， 故圆的半径. 故圆的方程： （2）当直线斜率不存在时，直线l与圆不相交； 当直线斜率存在时，设方程， 因为直线l截圆C所得的弦长为2，故圆心到的距离. 则到的距离， 则，即，解得或. 故方程，即或. 18．（17分）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而根据点斜式即可求解； （2）令得，令，则，从而令，则利用导数求出最小值可得答案. 【解答过程】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 19．（17分）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【解题思路】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【解答过程】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $