期末复习02 填空题压轴十三大类型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024六年级上册

期末复习02 填空题压轴十三大类型 目录 典例详解 类型一、由点在数轴上的位置判断结论正误 类型二、化简绝对值 类型三、有理数的简便运算 类型四、数轴中的动点问题 类型五、有理数运算的实际应用 类型六、代数式的化简求值 类型七、一元一次方程的解 类型八、实际问题与一元一次方程 类型九、由线段之间的和差倍分求线段长度 类型十、线段的动态问题 类型十一、分类讨论在角度中的计算 类型十二、与钟面角有关的角度计算 类型十三、动角问题 压轴专练 类型一、由点在数轴上的位置判断结论正误 1．四个有理数m，n，p，q在数轴上的位置如图所示，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的是 ． 2．如图，已知点在数轴上对应的数分别是，点为的中点，且，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 3．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．正确的是 ． 4．已知：a，b，c三个数在同一条数轴上的位置如图所示，给出以下4个式子：①；② ；③；④，其中错误的结论是 （填序号） 类型二、化简绝对值 5．已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ． 6．已知a、b、c的位置如图，则化简 ． 7．若，则 ． 8．已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为 ． 9．在a，b，c，d，e中，每个字母的值恰好是，0，2这三个数值中的一个，若，则 ． 10．对于有理数，y．若，则的值是 ． 类型三、有理数的简便运算 11．填空： + + ． 从中可知，分别把 数和 数结合在一起相加，计算更简便． 12．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 13．用简便方法计算 ； 类型四、数轴中的动点问题 14．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数3，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，运动时间（）为 秒时，、、三点中恰有一点为另外两点的中点． 15．已知，数轴上、、三点对应的数分别为，4，，从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，设运动时间为，当点P到A、B两点的距离比为时，则的值为 ． 16．如图所示∶已知，现有P点和Q点分别从A，B两点出发相向运动，P点速度为，Q点速度为，当Q到达A点后掉头向C点运动，Q点在向C的运动过程中经过B点时，速度变为，P，Q两点中有一点到达C点时，全部停止运动，那么经过 s后的距离为． 17．如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2单位/秒的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒，P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，则此时线段的长为 ． 类型五、有理数运算的实际应用 18．实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 19．某甲于上午时分钟由码头划船出游，计划最迟于时返回原码头，已知河水的流速为千米小时，划船时，船在静水中的速度可达千米小时，如果甲每划分钟就需要休息分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头 千米远． 20．如图，学校数学兴趣小组活动室的门上安装了密码锁．请根据门上的小提示，确定正确的密码是 ． 数学兴趣活动室欢迎你！ 6#4@7=284270 4#7@8=563288 8#4@6=244872 3#9@8=密码 21．一项工程，若甲工程队单独做，每工作2天休息1天，14天可以完工，若乙工程队单独做，每工作3天休息1天，15天可以完工，若丙工程队单独做，一直不休息，也要15天才能完工，现在让甲、乙、丙三队共同合作，且每工作1天休息1天，共需要 天完工． 类型六、代数式的化简求值 22．如果，则的值为 ． 23．当时，代数式的值为3，则的值是 ． 24．若，，且，则 ． 25．当时，代数式的值为2023，则当，代数式的值为 ． 26．若，则的值为 ． 类型七、一元一次方程的解 27．方程的解为 28．已知是关于的方程的解，则 ． 29．已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是 ． 30．若是方程的解，则 ． 31．已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 类型八、实际问题与一元一次方程 32．如图所示，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，每本课本厚度相同：若有一摞课本的顶部距离地面的高度为，那么这摞课本有 本． 33．如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．现把瓶内的溶液全部倒在一个圆柱形的杯子里，杯内的溶液高度为．则圆柱形的杯子的底面积是 ． 34．一条环形跑道长米，小海每分钟行米，乐乐每分钟行米，两人同时，同地，同向出发，分钟后第一次相遇，等于 分钟． 35．A、B两地在一条笔直的公路两端，甲车从A驶向B，乙车从B驶向A，甲乙两车同时出发，甲车的速度为40千米/时，乙车的速度是甲车的，1小时后，两车相距6千米，则A、B两地的距离是 千米． 36．某高速公路上行驶着货车和轿车，货车和轿车速度比为，已知货车的速度比最高限速少，轿车的速度比最高限速多，则此高速公路的最高限速是 ． 37．学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有29人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空11个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 人春游． 类型九、由线段之间的和差倍分求线段长度 38．一条水平直线上有，，三点，，，为的中点，则的长为 ． 39．如图，在中，，，点在上，点是的中点．若的周长和四边形的周长相等，则的长为 ． 40．如图，已知点C是线段上一点，，点E是的中点，点D是的中点．若，则线段的长为 ． 41．如图，P、Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分，点G是线段的中点，，则线段的长为 ． 42．如图，，为线段上两点，，且，则 ． 类型十、线段的动态问题 43．如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 44．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 45．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 46．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 47．如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 类型十一、分类讨论在角度中的计算 48．已知，则的度数为 ． 49．已知射线是的三等分线，射线为的角平分线，若，则 ． 50．已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 51．如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，若，则 ． 类型十二、与钟面角有关的角度计算 52．如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 53．（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 54．如图，钟面上的时间是8：30，再经过tmin，时针、分针第一次重合，则t的值为 ． 55．如果现在是，那么经过 分钟，分针与时针第一次相遇． 类型十三、动角问题 56．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 57．如图，点为直线上一点，以为顶点的直角绕点在直线上方旋转，作射线分别平分和． （1）当时，的度数为 ； （2）在旋转过程中，的度数始终为 ． 58．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将图中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数）， ． 59．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 60．如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 61．某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 1．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 2．从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 3．已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为12，则的值为 ． 4．已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值为，式子的值为 ． 5．已知当时，关于的代数式的值为3．则的值为 ． 6．汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，记第个图的圆点个数为个，其中，，…依此规律则， ，若，则 ． 7．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远．某工作室制作的粽子礼盒每份由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为 ． 8．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 9．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点与点B之间的距离为2，则C点表示的数是 ． 10．如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 11．如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，下列说法：①；②；③；④，正确的是 （填序号）． 12．如图，直线与相交于点，，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为 秒． 13．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习02 填空题压轴十三大类型 目录 典例详解 类型一、由点在数轴上的位置判断结论正误 类型二、化简绝对值 类型三、有理数的简便运算 类型四、数轴中的动点问题 类型五、有理数运算的实际应用 类型六、代数式的化简求值 类型七、一元一次方程的解 类型八、实际问题与一元一次方程 类型九、由线段之间的和差倍分求线段长度 类型十、线段的动态问题 类型十一、分类讨论在角度中的计算 类型十二、与钟面角有关的角度计算 类型十三、动角问题 压轴专练 类型一、由点在数轴上的位置判断结论正误 1．四个有理数m，n，p，q在数轴上的位置如图所示，若，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最大的是 ． 【答案】q 【分析】 【详解】解：， 和p互为相反数，0在线段m、p的中点处， ∴点q离原点最远， 绝对值最大的是q， 故答案为： 2．如图，已知点在数轴上对应的数分别是，点为的中点，且，则下列结论中：①；②；③；④．正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【分析】 【详解】解：且， ，原点在点、之间，故③正确； ，故①正确； ，故②正确； 点为的中点， ， 点表示的数为：， 即，故④正确； 正确的是①②③④； 故答案为：①②③④． 3．已知有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．正确的是 ． 【答案】①②③ 【详解】解：由图形得：，且， ∴①正确， ∵， ∴， ∴②正确， ∵， ∴， ∴③正确， ∵， ∴， ∴④错误， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查利用数轴上点的关系判断式子的取值，解题关键是看懂数轴及熟知运算法则． 4．已知：a，b，c三个数在同一条数轴上的位置如图所示，给出以下4个式子：①；② ；③；④，其中错误的结论是 （填序号） 【答案】②③ 【详解】①c在a的右边，因此c＞a，所以①正确； ②c与原点的距离更远，因此，所以②错误； ③根据题意可知，而a＜0，b＞0，因此－a＞b，故③错误； ④由②得，b＞0，c＜0，因此，故④正确； 故填：②③． 【点睛】本题考查了有理数大小比较：正数大于0，负数小于0；负数的绝对值越大，这个数越小，也考查了有理数的加法、绝对值的意义，比较基础． 类型二、化简绝对值 5．已知有理数，，在数轴上的位置如图，且，化简： ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由数轴可知，，，，且， ∴，，，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 6．已知a、b、c的位置如图，则化简 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由数轴得，，， ，，， ， 故答案为：． 7．若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，， 故，， ∴ ． 故答案为：． 8．已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】 【详解】解：当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 综上，原式的值为3或． 故答案为：3或． 9．在a，b，c，d，e中，每个字母的值恰好是，0，2这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】6或14 【详解】解：设字母中的个数为x，0的个数为y，2的个数为z，则满足方程组： ， 由第二式化简得， 即， 代入第一式得， 即， 所以， 由于，且、、为非负整数， 解得：时、； 时、； 当、、时，即一个、三个0、一个2，绝对值之和为： ； 当、、时，即两个、三个2，绝对值之和为： ． 故答案为：6或14． 10．对于有理数，y．若，则的值是 ． 【答案】3或 【分析】 【详解】解：∵， ∴x和y同号． ∴当且时， ∴， ∴ ， 当且时， ∴， ∴ ， 故答案为：3或． 类型三、有理数的简便运算 11．填空： + + ． 从中可知，分别把 数和 数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】 【详解】解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 12．乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 13．用简便方法计算 ； 【答案】 【详解】原式= 【点睛】本题考查了有理数混合运算中的简便运算，选择合适的简便方法是解题的关键． 类型四、数轴中的动点问题 14．在数轴上点表示数，点表示数，点表示数3，点、点和点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，运动时间（）为 秒时，、、三点中恰有一点为另外两点的中点． 【答案】或12 【详解】解：∵在数轴上点表示数，点表示数，点、点分别以每秒2个单位长度、1个单位长度的速度在数轴上同时向左运动， ∴点一定在点的左边， 运动秒后，点的位置为，点的位置为，点的位置为， 当点为点和点的中点时，有，解得； 当点为点和点的中点时，有，解得（不符合题意，舍去）； 当点为点和点的中点时，有，解得； 故答案为：或12． 15．已知，数轴上、、三点对应的数分别为，4，，从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，设运动时间为，当点P到A、B两点的距离比为时，则的值为 ． 【答案】1.5或3.75 【分析】 【详解】解：∵数轴上、、三点对应的数分别为，4，， ∴点P运动后表示的数是， 点P到A、B两点的距离比为时，， 当点P在点A左侧时，，， ∴ 解得； 当点P在点A、B之间时，，， ∴， 解得． 综上所述，当点P到A、B两点的距离比为时，则的值为1.5或3.75． 故答案为：1.5或3.75． 16．如图所示∶已知，现有P点和Q点分别从A，B两点出发相向运动，P点速度为，Q点速度为，当Q到达A点后掉头向C点运动，Q点在向C的运动过程中经过B点时，速度变为，P，Q两点中有一点到达C点时，全部停止运动，那么经过 s后的距离为． 【答案】或或或 【分析】 【详解】解：设运动的时间为t，由题意得：， ①如图①，当P、Q在上且P在Q左侧时， ， 则，解得； ②如图②，当P、Q在上且P在Q右侧时， 则，解得：， ③Q到达A时所用的时间为：， 此时，， 如图③，当Q从A出发还没有到B时， 则，解得：， 但此时，不符合题意， ④如图④，当Q到达B时， 此时所用时间为， 则，解得：； ⑤如图⑤，当Q超过P时， 则，解得：． 综上：当相距时，经过时间为或或或． 17．如图，数轴上线段，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是16．若线段以6单位/秒的速度向右匀速运动，同时线段以2单位/秒的速度向左匀速运动，设运动的时间为t秒，P是线段上一点，当点B运动到线段上时，若关系式成立，则此时线段的长为 ． 【答案】或 【详解】解：∵，，点A在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是， ∴点B在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是， 设线段未运动时点所表示的数为，点运动时间为， 则此时点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ，，，， ， ， 即：， ①当点在点右侧时， ， ， ； ②当点在点左侧时， ， ， ； 的长有2种可能，即或． 故答案为：或． 类型五、有理数运算的实际应用 18．实际测量一座山的高度时，有时需要在若干个观测点中测量两个相邻可视观测点的相对高度（如为90米表示观测点比观测点高90米），然后用这些相对高度计算出山的高度．下表是某次测量数据的部分记录，根据这次测量的数据，可得是 米． 90米 80米 米 50米 米 40米 【答案】225 【详解】解：因为（米），（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）， 因为（米），即（米）， 所以（米）， 因为（米）， 所以（米）． 故答案为：225． 19．某甲于上午时分钟由码头划船出游，计划最迟于时返回原码头，已知河水的流速为千米小时，划船时，船在静水中的速度可达千米小时，如果甲每划分钟就需要休息分钟，并且船在划行中不改变方向，只能在某次休息之后往回划，问甲最多能划离码头 千米远． 【答案】 【详解】解：甲划船的全部时间为小时分钟，他每划行分钟，休息分钟，周期为分钟， 所以甲一共可分为个分钟划行时间段，中间有个分钟休息， 如果甲开始向下游划，当他用个分钟的时间段向下游划时， 这时他离开码头的距离为：（千米）， 而返回用个分钟的时间段游划的距离和休息时水流所带距离为（千米）， 因为， 由此可见，甲如果开始向下游划，那么到点时他将无法返回出发地； 如果甲开始向上游划，那么他可以用个时间段向上游划， 这时他最远离开码头的距离为：（千米）， 又（千米）， 所以最后一个时间段，完全可以返回码头， 故答案为：． 20．如图，学校数学兴趣小组活动室的门上安装了密码锁．请根据门上的小提示，确定正确的密码是 ． 数学兴趣活动室欢迎你！ 6#4@7=284270 4#7@8=563288 8#4@6=244872 3#9@8=密码 【答案】 【分析】 【详解】由题意分析出的操作规则：结果是一个六位数，由三部分组成，前两位是b和c的乘积，中间两位是a和c的乘积，后两位是a与b的和与c的乘积， 所以对于，， 计算， ， ， 将连接，得到． 故答案为． 21．一项工程，若甲工程队单独做，每工作2天休息1天，14天可以完工，若乙工程队单独做，每工作3天休息1天，15天可以完工，若丙工程队单独做，一直不休息，也要15天才能完工，现在让甲、乙、丙三队共同合作，且每工作1天休息1天，共需要 天完工． 【答案】7 【详解】解：甲队周期为3天（2天工作天休息），又， 即4周期工作8天，余2天为工作天，总工作10天，效率为． 乙队周期为4天（3天工作天休息），又， 即3周期工作9天，余3天为工作天，总工作12天，效率为， 丙队一直工作，15天完工，效率为， 三队合作工作一天的工作量为． 则需要4个工作日完成工程，由于每工作1天休息1天，总天数为（天）． 故答案为：7． 类型六、代数式的化简求值 22．如果，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解：∵， ∴， ， ． 23．当时，代数式的值为3，则的值是 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵当时，代数式的值为3， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 24．若，，且，则 ． 【答案】5或 【分析】 【详解】因为，所以或； 因为，所以或； 又因为，所以与异号． ∴当时，，则； 当时，，则； ∴的值为5或． 故答案为：5或． 25．当时，代数式的值为2023，则当，代数式的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：当时，代数式， 所以． 当时， 代数式 ． 故答案为：． 26．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ， 故答案为：． 类型七、一元一次方程的解 27．方程的解为 【答案】5 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 故答案为：5． 28．已知是关于的方程的解，则 ． 【答案】 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是 ． 【答案】2 【分析】 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：2． 30．若是方程的解，则 ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为： ． 31．已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：解方程 移项可得 通分得到 即 系数化为1得 因为两个方程的解相同，把代入 得到 去分母得 移项可得 合并同类项得 系数化为1得 故答案为：． 类型八、实际问题与一元一次方程 32．如图所示，两摞规格完全相同的课本整齐地叠放在桌子上，每本课本厚度相同：若有一摞课本的顶部距离地面的高度为，那么这摞课本有 本． 【答案】20 【详解】解：这摞课本有x本， 由题意得，， 解得， ∴这摞课本有20本， 故答案为：20． 33．如图，一个瓶子的容积为，瓶内装着一些溶液．当瓶子正放时，瓶内溶液的高度为；倒放时，空余部分的高度为．现把瓶内的溶液全部倒在一个圆柱形的杯子里，杯内的溶液高度为．则圆柱形的杯子的底面积是 ． 【答案】80 【详解】解：设溶液的体积为， 根据题意得：， 解得， ， ， 故答案为：80． 34．一条环形跑道长米，小海每分钟行米，乐乐每分钟行米，两人同时，同地，同向出发，分钟后第一次相遇，等于 分钟． 【答案】 【详解】解：设他们第一次相遇是出发后分钟， 由题意得：， 解得， 所以分钟后他们第一次相遇， 故答案为：． 35．A、B两地在一条笔直的公路两端，甲车从A驶向B，乙车从B驶向A，甲乙两车同时出发，甲车的速度为40千米/时，乙车的速度是甲车的，1小时后，两车相距6千米，则A、B两地的距离是 千米． 【答案】76或64 【详解】甲车速度为40千米/时，乙车速度为千米/时，相对速度为千米/时． 设A、B两地距离为S千米． 若1小时后两车未相遇，则，解得． 若1小时后两车已相遇并继续行驶，则，解得． 故答案为：76或64． 36．某高速公路上行驶着货车和轿车，货车和轿车速度比为，已知货车的速度比最高限速少，轿车的速度比最高限速多，则此高速公路的最高限速是 ． 【答案】100 【详解】解：设货车速度为，则轿车速度为， 得方程： ， 解得：， 故最高限速为． 故答案为：100． 37．学校组织同学们春游，若每辆汽车坐45人，则有29人没有座位；若每辆汽车坐50人，则只有1辆汽车空11个座位无人坐，其余车辆全部坐满．共有 人春游． 【答案】389 【详解】解：设共有辆汽车．由题意可得 ， ， ， ， ∴总人数：（人）， 故答案为：． 类型九、由线段之间的和差倍分求线段长度 38．一条水平直线上有，，三点，，，为的中点，则的长为 ． 【答案】21或30/30或21 【分析】 【详解】解：当点为线段上时，如图， ∵， ， ， ． 为的中点， ， ． 当点为线段的延长线上时，如图， ∵， ， 为的中点， ， ． 综上所述，的长为或． 故答案为：21或30 39．如图，在中，，，点在上，点是的中点．若的周长和四边形的周长相等，则的长为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵的周长和四边形的周长相等， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故答案为：． 40．如图，已知点C是线段上一点，，点E是的中点，点D是的中点．若，则线段的长为 ． 【答案】16 【分析】 【详解】解：设线段的长为， ∵， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， 由题意得， ， ∴， 解得． 即线段的长为， 故答案为：16． 41．如图，P、Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分，点G是线段的中点，，则线段的长为 ． 【答案】18 【详解】解：∵P，Q两点将线段分成了1：2：6的三个部分， ∴， ∵点G是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 42．如图，，为线段上两点，，且，则 ． 【答案】9 【详解】解：∵， ∴ ∴ 解得：． 故答案为：9． 类型十、线段的动态问题 43．如图，嘉淇设计了一个电子游戏，电子屏幕上有一条直线l，在直线l上有等距分布的A，B，C，D四点，当出现光点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，光点P就会发出红光，则从光点P沿直线l从点A出发移动到终点D的过程中，发出红光的次数最多有 次． 【答案】5 【详解】解：由题意知，当P点经过任意一条线段中点的时候，光点P就会发出红光， ∵图中共有线段，它们共有6个中点，其中线段和的中点重合， ∴最多亮5次红灯． 故答案为：5． 44．已知线段和线段在同一直线上，线段（A在左，B在右）的长为a，长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动，M为的中点，N为的中点，线段的长为b，则线段的长为 （用a，b的式子表示）． 【答案】/ 【详解】解：∵M为的中点，N为的中点， ∴，． ∵线段和线段在同一直线上， 线段（A在左，B在右）的长为a， 长度小于的线段（D在左，C在右）在直线上移动， ∴分以下5种情况说明： ①当在左侧时，如图1， 即， ， ， ； ②当点D与点A重合时，如图2， 即 ， ； ③当在内部时，如图3， 即 ， ； ④当点C在点B右侧时， 同理可得：； ⑤当在右侧时， 同理可得：； 综上所述：线段的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查线段的和差，根据题意画出对应情况的图形是解题的关键，注意分类讨论思想的运用． 45．如图，已知线段，，半径，当点M在的上方，且时，点M绕着点O以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点N从点B沿线段向点A运动，若点M、N两点能相遇，则点N的运动速度为 ． 【答案】或 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时，则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时，则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 46．如图，已知线段，，半径，当点在的上方，且时，点绕着点以每秒的速度在圆周上逆时针旋转一周后停止，同时点从点沿线段向点运动，若点、两点能相遇，则点的运动速度为 ． 【答案】或 【详解】解：当点N与点M在点O左边相遇时， 则点N的速度为， 当点N与点M在点O右边相遇时， 则点N的速度为； 综上所述，点N的速度为或， 故答案为：或． 47．如图，射线上有A、B、C三点，满足，，．点P从点O出发，沿方向以的速度匀速运动，2秒后点Q从点C出发在线段上向点O匀速运动，当点Q运动到点O时，点P，Q停止运动．当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差，则点Q的运动速度是 ． 【答案】2 【详解】解：设点Q的运动速度是， 因为当点P运动到线段的中点D时，此时Q点距离到达D点还差， 所以， 整理得， 解得， 故答案为：． 类型十一、分类讨论在角度中的计算 48．已知，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】 【详解】解：∵， ∴， 当点在的内部时，； 当点在的外部时，； ∴的度数为或， 故答案为：或． 49．已知射线是的三等分线，射线为的角平分线，若，则 ． 【答案】或 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴或, ①当时，如图： ∵， ∴， 又∵射线为的角平分线， ∴， ∴； ②当时，如图： ∵， ∴， 又∵射线为的角平分线， ∴， ∴． 综上，或． 故答案为：或． 50．已知，画射线，使，平分，平分，则 ． 【答案】或 【详解】解：当射线在内时，如图1， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴. 当射线在外时，如图2， ∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴. 综上所述：或 故答案为：或． 51．如图，在线段上方作，点C、D分别为线段上动点，作射线、，过点O作射线、（和均在内部），满足，若，则 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当在的左边时， 设，， ∴， ∴，， ，， ∴， ， ， ， ∴， ∴； 如图，当在的右边时， 同理可得：， ， ， ； 故答案为：或． 类型十二、与钟面角有关的角度计算 52．如图，当时钟指向上午10∶15时，时针和分针所成的角的度数为 ． 【答案】 【详解】解：分针每分钟转，15分钟转；时针每小时转，每分钟转，10时15分时针转； 夹角为，取小于的角，． 故答案为：． 53．（1）时钟，时针与分针所夹的角是 ． （2）如图，此时钟面上的时间是10时40分，到11时，时针走过的度数是 ． 【答案】 155或205 【分析】 【详解】解：（1）钟表上4点50分，时针与分针的夹角可以看成．或． （2）如图，由钟面角的定义可知， ，， ∴， ∴， 故答案为：（1）或（2）． 54．如图，钟面上的时间是8：30，再经过tmin，时针、分针第一次重合，则t的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由时钟问题可知：一个大格对应的角度为，分针的转动速度为每分钟转，时针的转动速度为每分钟转， 已知钟面上的时间是8：30，此时分针与时针的夹角为， 由题意得： ， ， 解得，， 故答案为：． 55．如果现在是，那么经过 分钟，分针与时针第一次相遇． 【答案】 【分析】 【详解】解：时针速度：/分钟， 分针速度：/分钟 时，时针与分针的夹角为： 设经过分钟，分针与时针第一次相遇，可得 ， ， ， 故答案为：． 类型十三、动角问题 56．如图1，射线在的内部，图中共有3个角：，和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线是的“启仔等分线”．如图2，，若射线绕点P从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为秒当 时，射线是的“启仔等分线”． 【答案】秒或5秒或20秒 【分析】 【详解】解：由题意，可分四种情况： 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 所以 秒； 当时，， 不符合条件“当首次等于时停止旋转”，舍去． 故答案为：5秒或秒或20秒． 57．如图，点为直线上一点，以为顶点的直角绕点在直线上方旋转，作射线分别平分和． （1）当时，的度数为 ； （2）在旋转过程中，的度数始终为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：（）∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）∵， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 58．如图，点为直线上一点，过点作射线，使，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．将图中三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，设旋转时间为秒．当时，在旋转的过程中与始终满足关系（，为常数）， ． 【答案】19 【分析】 【详解】解：如图： 当时，旋转了，此时与重合， 当时，旋转了，此时与重合， 当时，在内部， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴， 整理得：， ∵等式与的大小无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：19． 59．一副直角三角板按如图放置，点在同一直线上，，，，和同时以相同的速度绕点分别向逆时针方向和顺时针方向旋转一周，当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了 ． 【答案】或或或 【详解】解：如图，作的平分线为，的平分线为， ∴，， ∴， 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当共线时，即反向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 如图，当和重合，即同向共线时， 设旋转角度为，即， 解得：； 当和的平分线在同一直线上时，这两个三角形都旋转了或或或 故答案为：或或或． 60．如图，是直线上一点，射线绕点顺时针旋转，从出发，每秒旋转，射线绕点逆时针旋转，从出发，每秒旋转，射线与同时旋转，设旋转的时间为秒，当旋转到与重合时，、都停止运动． （1）当时， ； （2）当 时，与夹角为． 【答案】 或或． 【分析】 【详解】解：（1）当时，，， ， 故答案为：； （2）当与重合时，、都停止运动， 由（1）可知，则旋转后停止运动， 秒，则时，、都停止运动， 则有， 运动共旋转度数为，则停止运动时，刚好旋转一周与重合， ①如图，、相遇前， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ②如图，、相遇后，第一次形成角， 由题意可知：，， ， 则有方程：， 解得：； ③如图，、相遇后，第二次形成角， 由题意可知：，， ， 则，， 则有方程：， 解得：， 故答案为：或或． 61．某同学设计了一个“魔法棒转不停”的程序，如图所示，点O，在直线上，第一步，绕点O顺时针旋转度至；第二步，绕点O顺时针旋转度至；第三步，绕点顺时针旋转度至，以此类推，在旋转过程中若碰到直线则立即绕点O反方向旋转．当时，则等于 度． 【答案】5或25 【分析】 【详解】解：根据题意，可对射线进行讨论分析： ①未反弹时，如图： ∵， ∴， ∴； 此时，满足题意； ②反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ， 此时，不符合题意，舍去； ③反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ， ， 此时，成立； ④反弹后落在之间，如图： ∴，， ∴， ∴， ∴，不合题意舍去； 综上所述，等于或． 故答案为：或． 1．在如图所示的运算程序中，若开始输入的值是5，第1次输出的结果是2，第2次输出的结果是，依次继续下去，……，第2027次输出的结果是 ． 【答案】4 【分析】 【详解】解：根据运算程序，依次计算输出结果： 第1次输入（非负数），输出， 第2次输入（非负数），输出， 第3次输入（负数），输出， 第4次输入（非负数），输出， 第5次输入（负数），输出， 第6次输入（非负数），输出， 第7次输入（非负数），输出， 第8次输入（负数），输出， 从第3次开始，输出结果以为一个周期循环， 除去前2次的次数：， 一个周期有3个结果，，刚好整除， 说明第2027次输出的结果是周期的最后一个数4． 故答案为：4． 2．从图（1）中找规律，并按此规律在图（2）的空格里填上合适的数． 【答案】答案见解析 【详解】解：观察（1）发现：， ， ， 规律为：下面两个数的和等于上面的一个数字； 根据规律得到：， ， ． 如图所示： 3．已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为12，则的值为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：由绝对值的几何意义，表示数x表示的点到数a表示的点之间的距离，表示数x表示的点到数b表示的点之间的距离， ∴表示数x表示的点到数a和数b表示的点的距离之和， ∴的最小值为， 的最小值为12，且， ， 即． 故答案为：． 4．已知与互为相反数，与互为倒数，的绝对值为，式子的值为 ． 【答案】1或 【分析】 【详解】解：因为互为相反数，且， 所以且 解得， 所以． 因为c与d互为倒数，所以． 因为，所以或， 于是，， 当时，原式； 当时，原式． 故答案为1或． 5．已知当时，关于的代数式的值为3．则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵当时，关于x的代数式的值为3， ∴． ∴ ． 故答案为：4． 6．汉字文化正在走进人们的日常消费生活.下列图形都是由同样大小的圆点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，记第个图的圆点个数为个，其中，，…依此规律则， ，若，则 ． 【答案】 52 21 【分析】 【详解】解：在图①中，圆点个数为 在图②中，圆点个数为 在图③中，圆点个数为 在图④中，圆点个数为． ． 图n中圆点个数为： ∴； 按此规律依次计算可知， ， 故答案为：，． 7．粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远．某工作室制作的粽子礼盒每份由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为 ． 【答案】 【详解】解：设用千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，蛋黄肉粽的数量为个，碱水粽的数量为个， 由于每份礼盒由3个蛋黄肉粽和2个碱水粽组成， 因此蛋黄肉粽与碱水粽的数量比需满足， 故得方程， 故答案为：． 8．已知关于x的方程（a，b为常数），无论k为何值，它的解总是，则的值是 ． 【答案】9 【分析】 【详解】解：把代入方程，得， 得，即， 整理得， 由于k为任意值，它的解总是， 故， 解得，， 所以， 故答案为：9． 9．一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是和7，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点与点B之间的距离为2，则C点表示的数是 ． 【答案】或 【详解】解：点A、B表示的数分别是和7，点A对应的点与点B之间的距离为2，假设点C表示的数为c， ，， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：， 点表示的数是或． 故答案为：或． 10．如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，则 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 故答案为：． 11．如图，点和点把线段分成三部分，点是线段的中点，，下列说法：①；②；③；④，正确的是 （填序号）． 【答案】①②④ 【分析】 【详解】解：设，，， 由，得，， 则， ∵是中点， ∴，故①正确； ，故②正确； ，，故③错误； 已知，故④正确． 故答案为：①②④． 12．如图，直线与相交于点，，一直角三角尺的直角顶点与点重合，平分，现将三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，同时直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转，设运动时间为秒（），当平分时，的值为 秒． 【答案】 【分析】 【详解】解：，平分， ， 直角三角尺的直角顶点为， ， 三角尺以每秒的速度绕点顺时针旋转，直线也以每秒的速度绕点顺时针旋转 秒后旋转的角度为，旋转的角度为， 当平分时， ， 旋转后的位置角度（相对于初始）为， 旋转后的位置角度（相对于初始）为， 两者的夹角， 解得． 故答案为． 13．如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段AC的中点，，，则线段BC的长为 ． 【答案】8或23 【分析】 【详解】解：如图1，点E为线段的中点，， ，， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 如图2，点E为线段AC的中点，， ， ， ， 点D是折线的“折中点”， ， ； 综上所述，或 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $