15.2线段的垂直平分线（基础篇）练习2025-2026学年沪科版数学八年级上册

15.2线段的垂直平分线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 线段垂直平分线的定义 · 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 · 几何语言描述：若直线 ( l ) 经过线段 ( AB ) 的中点 ( O )，且 ( l ⊥ AB )，则直线 ( l ) 是线段 ( AB ) 的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理 · 内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 3线段垂直平分线的判定定理 · 内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 几何语言描述：若点 ( P ) 满足 ( PA = PB )，则点 ( P ) 在线段 ( AB ) 的垂直平分线上。 线段垂直平分线的尺规作图 · 步骤： 1. 分别以线段 ( AB ) 的两个端点 ( A )、( B ) 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点 ( C ) 和点 ( D )； 2. 作直线 ( CD )，则直线 ( CD ) 即为线段 ( AB ) 的垂直平分线。 · 依据：到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，故点 ( C )、( D ) 均在 ( AB ) 的垂直平分线上，两点确定一条直线。 型 习 练 题 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．由线段垂直平分线的性质得，求出，进而可求出的周长． 【详解】解：由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 故选：B． 2．如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键是熟练应用知识点解题； 由垂直平分线可得，则周长可求． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴ ∵， ∴的周长为：． 故选：C ． 3．如图，中，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的角平分线 C．是边上的垂线 D．是边的垂直平分线 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，掌握三角形中线的定义是解答本题的关键． 先表示出和的周长，再根据其差为6，可得，进而可得，问题得解． 【详解】解：的周长为：， 的周长为：， ∵，，要使和的周长的差是， ∴， 即：， 则有：， ∴， 故是边上的中线， 故选：A． 4．如图是我国古建筑框架示意图，顶部可看作，是的垂直平分线．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本题的关键．根据垂直平分线的性质，得出，证明，再逐一判断即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ∴，故A，B，D正确， 由已知条件无法得出，即不一定成立，选项C符合题意． 故选：C． 5．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据是的垂直平分线，得，又因为的周长为16，的周长为10，得，，即可求出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴ ∵的周长为16， ∴， ∵的周长为10， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 线段垂直平分线的判定 6．如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，先结合，，得出，故点D在的垂直平分线上，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 则点D在的垂直平分线上， 故选：A． 7．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，则点P在直线的垂直平分线上，若有，则直线是的垂直平分线，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴点P在直线的垂直平分线上， ∴若，则直线是的垂直平分线，故D说法正确，符合题意 根据现有条件无法证明A、B、C中的结论，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D ． 8．如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据规划一个公交车站到三座商场的距离相等，以及到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，则该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点，即可作答． 【详解】解：∵要规划一个公交车站到三座商场的距离相等， ∴该公交车站应建在三角形三条边的垂直平分线的交点（到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上）， 故选：A 9．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，熟知到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， 根据现有条件，无法证明垂直平分， 故选A． 10．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质．由“”可证，可得，，由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， ，， ， ，， ， 故选：A． 作已知线段的垂直平分线 11．如图，要在河边l上修建一个抽水站，将河水送到A，B两点处．该站建在河边l的什么地方，可使铺设的两条直管道的长度相等？试在图中确定该点，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 连结，用尺规作出的垂直平分交l于点D即可． 【详解】解：如图，垂直平分， 则， 故点D即为所求作． 12．为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示．为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P．要求点P到村庄A，B，C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，垂直平分线的尺规作图，先连接，根据点P到村庄A，B，C的距离都相等，得出点是在的垂直平分线的交点上，故分别作出的垂直平分线，其交点即为点． 【详解】解：点P的位置如图所示： 13．如图，已知锐角，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—作线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法及性质是解此题的关键．根据线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线交于点P，点P即为所求， 【详解】解：如图，点P即为所求作： 14．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； (2)若，，的周长为19，求的长． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的尺规作图，作出线段即可； （2）根据线段垂直平分线的性质证得，，进而证得，，根据的周长求出的长即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 答：的长为． 15．作图题： (1)把下图补成以l为对称轴的轴对称图形． (2)已知公路l的同旁有两个村庄A，B，要在公路上建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站点P的位置．（不要求写作法，但保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，轴对称作图，掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键． （1）根据作轴对称图形的步骤作图即可； （2）连接，作线段的垂直平分线，交直线于点，由线段垂直平分线的性质可知点到点的距离相等，故点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.2线段的垂直平分线 （30分提至70分使用） 义 览 概 讲 课 索 探 新 线段垂直平分线的定义 · 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 · 几何语言描述：若直线 ( l ) 经过线段 ( AB ) 的中点 ( O )，且 ( l ⊥ AB )，则直线 ( l ) 是线段 ( AB ) 的垂直平分线。 线段垂直平分线的性质定理 · 内容：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 3线段垂直平分线的判定定理 · 内容：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 几何语言描述：若点 ( P ) 满足 ( PA = PB )，则点 ( P ) 在线段 ( AB ) 的垂直平分线上。 线段垂直平分线的尺规作图 · 步骤： 1. 分别以线段 ( AB ) 的两个端点 ( A )、( B ) 为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点 ( C ) 和点 ( D )； 2. 作直线 ( CD )，则直线 ( CD ) 即为线段 ( AB ) 的垂直平分线。 · 依据：到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，故点 ( C )、( D ) 均在 ( AB ) 的垂直平分线上，两点确定一条直线。 型 习 练 题 线段垂直平分线的性质 1．如图，在中，的周长为，，观察图中尺规作图的痕迹，则的周长是（    ） A．9 B．12 C．15 D．18 2．如图，中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的周长是（   ） A． B． C． D． 3．如图，中，，，要使和的周长的差是，则横线上加的条件为（    ） A．是边上的中线 B．是的角平分线 C．是边上的垂线 D．是边的垂直平分线 4．如图是我国古建筑框架示意图，顶部可看作，是的垂直平分线．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在中，是的垂直平分线，的周长为16，的周长为10，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 线段垂直平分线的判定 6．如图，在中，已知点D在上，，则点D在（   ） A．的垂直平分线上 B．的垂直平分线上 C．的中点处 D．的平分线上 7．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．则下列说法正确的是（    ） A． B．直线是的垂直平分线 C．直线是的角平分线 D．若，则直线是的垂直平分线 8．如图，三座商场的位置如图所示，现要规划一个公交车站到三座商场的距离相等，该公交车站应建在（   ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条中线的交点 C．三角形三条高所在直线的交点 D．三角形三个内角的角平分线的交点 9．如图，在四边形中，，，则下列说法正确的是（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．以上说法均不正确 10．如图，在四边形中，，点为边的中点，连接，且，延长交的延长线于点．若，，则的长为（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 作已知线段的垂直平分线 11．如图，要在河边l上修建一个抽水站，将河水送到A，B两点处．该站建在河边l的什么地方，可使铺设的两条直管道的长度相等？试在图中确定该点，并说明理由． 12．为了解决“空心村”问题，优化农村资源配置，某地把A，B，C三个村合并成一个行政村，三个村的位置如图所示．为了方便处理垃圾，现准备为三个村建一个垃圾收集点P．要求点P到村庄A，B，C的距离都相等，请在图中用直尺和圆规作出点P的位置（保留作图痕迹）． 13．如图，已知锐角，请用尺规作图法，在边上求作一点P，使．（保留作图痕迹，不写作法） 14．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接． (1)尺规作图（保留作图痕迹）作出的垂直平分线，并标记D，E两点； (2)若，，的周长为19，求的长． 15．作图题： (1)把下图补成以l为对称轴的轴对称图形． (2)已知公路l的同旁有两个村庄A，B，要在公路上建一个公交车上落站，使上落站到两个村庄的距离相等，请确定上落站点P的位置．（不要求写作法，但保留作图痕迹） 学科网（北京）股份有限公司 $