高一数学上学期期末模拟卷02（人教A版，举一反三）【测试范围：人教A版必修第一册】

2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷02 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版必修第一册全册； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（5分）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（5分）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（5分）已知函数的部分图象如图所示 ①函数的图象关于对称 ②函数的图象关于直线对称 ③函数在上单调递增 ④若函数有两个零点，则实数的取值范围为 以上说法正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（5分）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 8．（5分）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（6分）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 11．（6分）已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若对任意，成立，则实数的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为 ． 13．（5分）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 14．（5分）已知函数.若函数有4个零点，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 16．（15分）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 17．（15分）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 18．（17分）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 19．（17分）已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且使，则是的生成函数． (1)判断函数是否是的生成函数； (2)若是的生成函数. ①判断并证明的单调性； ②令，若恒成立，求实数的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学上学期期末模拟卷02 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知集合，则的整数元素的个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解题思路】根据题意，求出集合，再利用并集运算求出，得解. 【解答过程】由题意得，则， 所以的整数元素为，共6个. 故选：B. 2．（5分）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】根据充分条件和必要条件的含义进行辨析即可. 【解答过程】因为，所以， 当时，无意义，所以“”时，“”不一定成立； 当时，，所以“”能推出“”. 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3．（5分）已知，且，，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【解题思路】由，可得，利用的代换结合基本不等式求出最小值． 【解答过程】，， 当且仅当，即时取等号. 故选：A. 4．（5分）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对数函数的单调性确定的取值范围，由指数函数的图像及单调性确定的取值范围即可比较大小. 【解答过程】由对数函数在上单调递增，所以，所以， 对数函数在上单调递增，所以，所以， 因为指数函数的图像在轴上方且在定义域上单调递减， 所以，所以， 所以： 故选：B. 5．（5分）若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据诱导公式，弦切互化和同角三角函数基本关系式即可求解； 【解答过程】因为，所以， 即，得． 所以． 故选：B． 6．（5分）已知函数的部分图象如图所示 ①函数的图象关于对称 ②函数的图象关于直线对称 ③函数在上单调递增 ④若函数有两个零点，则实数的取值范围为 以上说法正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解题思路】根据图象确定函数的解析式，由正弦函数性质判断ABC；结合函数的零点个数与函数图象的交点个数之间的关系即可判断D. 【解答过程】由图可知，，所以，得， 则，将点代入得：， 所以，又，所以，所以. 对于①，， 所以点是图象的一个对称点，故①正确； 对于②，因为，为最小值， 所以函数的图象关于直线对称，故②正确； 对于③，由，得， 令，则，函数在上单调递减，故③错误； 对于④，若在上有两个零点，则方程在上有两个根， 即函数与直线在上有两个交点. 由，得，所以， 所以，所以，故④错误． 故选：B． 7．（5分）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 【答案】D 【解题思路】根据题意，依次分析各选项是否正确，综合可得出答案. 【解答过程】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误； 对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误； 对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，的零点，即方程的根 显然不是方程的根； 当，方程化为，作出两函数与的图像如图： 由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：D. 8．（5分）已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作函数的图象，令，条件可转化为有两个根，，，结合二次函数性质列不等式就可得结论. 【解答过程】当时，；当时，． 作函数的图象可得， 令，则． 当时，方程没有解， 当时，方程有一个解， 当时，方程有两个解， 当时，方程有三个解， 因为恰有个零点， 所以有两个根（不妨设）． 所以， 由韦达定理可得． 要使有个零点，则需满足． 设，则． 解得， 所以实数的取值范围是． 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列各式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】对于A，根据根式性质化简即可判断，对于B，根据对数运算公式化简即可判断，对于C，根据分数指数幂的运算性质化简，，，即可判断，根据换底公式的推论及对数运算性质化简，，即可判断. 【解答过程】对于A，，A正确， 对于B，，B错误， 对于C，因为，， ，， 所以，C正确， 对于D，因为， ， 所以，D错误， 故选：AC. 10．（6分）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【解题思路】由已知条件知方程的两根，，结合根与系数关系可得，，依次判断各个选项. 【解答过程】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）已知函数在上单调，且对任意，满足，．则（   ） A． B．函数在上单调递减 C．函数是奇函数 D．若对任意，成立，则实数的取值范围是 【答案】ACD 【解题思路】对于A：赋值，令即可得结果；对于B：先求得，再结合题意即可判断；对于C：根据奇函数的定义分析判断即可；对于D：根据奇偶性和单调性可得，结合恒成立问题分析求解. 【解答过程】因为对任意，满足， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项B：因为，且， 可得，即， 又因为函数在上单调，所以函数在上单调递增，故B错误； 对于选项C：设， 令，可得， 即，可得， 所以函数是奇函数，故C正确； 对于选项D：因为，即， 可得， 又因为函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 可得，且，整理可得， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 可得，则， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：ACD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，点是终边上一点，则的值为 ． 【答案】 【解题思路】应用任意角的三角函数定义计算即可. 【解答过程】因为点是终边上一点，则. 故答案为：. 13．（5分）某地火力发电厂大气污染物排放标准规定：排放废气中二氧化硫最高允许浓度为.为满足此要求，该地一火力发电厂通过某种工艺对排放废气进行过滤处理，处理后废气中剩余二氧化硫的浓度（单位：）与处理时间（单位：分钟）满足关系式：，其中为二氧化硫的初始浓度.若该火力发电厂排放废气中二氧化硫的初始浓度为，那么从现在起至少经过 分钟才能达到排放标准.（结果精确到整数, ） 【答案】 【解题思路】根据题干给出的关系式，结合排放标准列出不等式，再通过对数运算求解不等式即可. 【解答过程】由题意得， ，其中为二氧化硫的初始浓度， 又二氧化硫的初始浓度为，， 又排放废气中二氧化硫最高允许浓度为，， 两边同时取对数，得， 即，， 又，解得， 又结果精确到整数，从现在起至少经过分钟才能达到排放标准. 故答案为：. 14．（5分）已知函数.若函数有4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】先将方程 变形为,根据数形结合思想,与必须有4个交点,即可求出的范围. 【解答过程】 函数有4个不同的零点，即为有4个不等实根，作出的图象，因为，所以， 可得时，与的图象有4个交点， 所以，即得. 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知全集为R，集合，集合或． (1)若是成立的充分不必要条件，求的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或； (2)． 【解题思路】（1）由是成立的充分不必要条件所以是的真子集，进而求出结果； （2）由 可得且，解不等式即可求出结果． 【解答过程】（1）因为是成立的充分不必要条件，所以是的真子集， 则或，解得或， 又因为所以或， 所以的取值范围为或； （2），且 ∴且，即 故的取值范围是． 16．（15分）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. (1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本） (2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)150台，万元 【解题思路】（1）根据投入成本及销售收入写出利润函数即可； （2）分段分别利用二次函数配方法和基本不等式求最值，再比较大小得解即可. 【解答过程】（1）当时，； 当时， ， 则. （2）当时，， 当时，万元. 当时， 万元. 当且仅当，即时，上式等号成立. 又，则当该产品的年产量为150台时， 该公司所获年利润最大，最大年利润是万元. 17．（15分）已知函数（其中a，b均为常数，且）的图象经过点与点． (1)求a，b的值； (2)求不等式的解集； (3)设函数，若对任意，存在，使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）直接待定系数法求解即可； （2）结合（1）得，进而得，再解指数不等式即可得； （3）根据题意，转化为函数在上的值域为函数在上的值域的子集，进而根据集合关系求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即，解得： 所以， （2）由（1）知，， 所以，即， 所以，令， 则， 解得；解得， 所以，的解集为，即，解得， 所以不等式的解集为 （3）由得函数， 当时，， 故， 当时， 因为对任意，存在，使得成立， 所以是的子集， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 18．（17分）已知函数的部分图象如图所示．    (1)求的解析式； (2)先将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象，若对任意，，求实数的最小值． 【答案】(1) (2)12 【解题思路】（1）根据图象上的最值、周期和点的坐标，结合正弦函数的图象和性质求解即可； （2）先根据三角函数图象的伸缩变换得到，再求出在上的值域，将原问题转化为即可求解. 【解答过程】（1）根据图象可得，，则， 因为，所以， 将代入的解析式，得， 结合图象知，解得， 因为，所以， 所以． （2）由（1）知， 将的图象向左平移个单位长度得的图象， 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的2倍得的图象， 因为，所以，则， 所以， 故在上的值域为， 对任意的，，则只需即可， 所以，即实数的最小值为12． 19．（17分）已知函数与的定义域均为，若对任意区间，存在且使，则是的生成函数． (1)判断函数是否是的生成函数； (2)若是的生成函数. ①判断并证明的单调性； ②令，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)是 (2)①为上的增函数，证明见解析；② 【解题思路】（1）对，且，整理可得，根据结合生成函数的定义判断即可； （2）①根据生成函数的定义可得，根据函数单调性的定义证明即可；②令，，根据奇偶性和单调性的定义可知在上单调递增，且为奇函数，则原不等式可转化为恒成立，利用单调性的概念求解即可. 【解答过程】（1）由题意，且，， 由，得， 则存在，，使得，，满足， 所以是的生成函数. （2）①由生成函数的定义可得，且，， 因为， 所以，即， 也即， 又，所以，即， 所以函数为上的增函数. ②， 令，， 由函数单调性的性质可得函数在上单调递增， 又， 所以函数也是上的奇函数， 若恒成立，则恒成立， 即恒成立， 所以恒成立，即， 解得实数的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $