第24章 圆（单元测试·基础卷）数学沪科版九年级下册

2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第24章 圆 建议用时：120分钟，满分：150分 一、单选题 1．剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A．该图形是中心对称图形，故该选项符合题意； B．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2．已知点与点关于原点对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，两点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标分别互为相反数，根据此性质列出方程求解m和n，再计算的值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：， ∴。 故选：A． 3．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 4．如图，是的直径，是的弦，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，三角形内角和定理，掌握圆的相关性质是解题关键．由直径可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ， 故选：C． 5．已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 【答案】C 【分析】此题考查了直线与圆的位置关系、垂线段最短等知识，正确理解直线与圆的三种位置关系是解题的关键．设点到直线的距离为，根据垂线段最短，可得，根据直线与圆的位置关系即可得答案． 【详解】解：设点到直线的距离为， ∵点在直线上，且， ∴，（垂线段最短）， ∵的半径为， ∴当时，直线与相交； 当时，直线与相切； ∴直线与的位置关系是相交或相切． 故选：C． 6．如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的圆，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关性质定理． 根据正五边形的性质，可得，进而得到图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 【详解】解：由题可得，，，， ，， ， 图中等腰三角形有：，，，，，共5个． 故答案为：C． 7．若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；根据弧长公式直接计算即可． 【详解】解：由题意得：； 故选B． 8．如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，，，，．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，若经过200次旋转，则此时点A的对应点的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转及点的坐标，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律． 根据题意求得点的坐标，根据每4次一循环，可得200次后回到开始位置，即点的坐标，即可求解． 【详解】解：依题意，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴，即， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴每4次旋转一个循环， ∵， ∴经过200次旋转，此时点的对应点的坐标为． 故选：D． 9．)如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 根据旋转的性质即可得到，，，，再根据三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理得出，再根据平角的定义求出，进而可求出． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到． ∴，，，， ∴，， ∵在中，， ∴， ∵，，三点在同一条直线上， ∴ ∴ 故选D． 10．如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点、、、四点共圆是解本题的关键． 先判断出点、、、四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图， 连接，， 点是的中点， ， ， ， ， ， 点、、、在以为直径的圆上， ， ∵， 在中，，， 根据勾股定理得， 故选：A． 二、填空题 11．如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，由圆周角定理得是圆形镜面的直径，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， ∵，， ∴， 故答案为：． 12.中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13．如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为： ． 【答案】3 【分析】此题重点考查三角形的内切圆与内心、角平分线的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．作于点H，因为是的高，所以于点D，由点O是的内心，证明平分，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点H， ∵是的高， ∴于点D， ∵点O是的内心， ∴平分， ∵点O在的平分线上，且于点H，于点D， ∴， ∴点O到边的距离为3， 故答案为：3． 14．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形、点的坐标变化规律等知识．根据题意分析得出点位置规律和长度的变化规律，进而得出答案． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，， 将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， 再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形， ……， ∴依此规律，可知，，，依次在轴的负半轴，轴的负半轴，轴的正半轴和轴的正半轴上，每4次一个循环， ∵， ∴在轴的负半轴上， 又∵，，，…， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 15．如图，将一块含角的三角板绕点A顺时针旋转得到，已知，连接，，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查旋转的性质、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴是等边三角形，， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】(1) (2) (3)圆内 【分析】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作出，的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出、两点的距离与半径比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作出，的垂直平分线的交点为，， 故答案为：； （2）如图，连接，即为半径， ， 故答案为：； （3）∵，， ， ∴点在内． 17．已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线； 18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． (2)求边扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作旋转图形，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得； （2）由题意可得边扫过的面积为扇形，且，，则边扫过的面积为以长为半径的圆面积的． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，边扫过的面积为扇形，且，， 边扫过的面积为． 19．如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标； (2)请在图中画出与关于绕原点顺时针旋转的． 【答案】(1)见详解， (2)见详解 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如图，即为所求，． （2）解： 如图，即为所求． 21．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题． 【答案】这块圆形木材的直径（）是26寸 【分析】设的半径为x寸，根据题意可得，在中，，，勾股定理求解即可． 【详解】设的半径为x寸， ∵，寸， ∴寸， 在中，，， 由勾股定理得， 解得. ∴的直径（寸）. 答：这块圆形木材的直径（）是26寸. 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键． 22．如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）由圆周角的性质可得，由等腰三角形的性质可证，可求，即可求解； （2）通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 是直径， 是的切线； （2）解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 23．利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【答案】任务一：①米②任务二：不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：根据垂径定理米，设的半径为，则米，在中利用勾股定理列方程求解即可；抛物线的解析式为，把点和点代入即可求出抛物线解析式； 任务二：在抛物线型拱桥中，把代入解析式求出的值即可判断． 【详解】解：任务一： 设计成圆弧型， 设的半径为， ∵米， ∴米， ∵， ∴米， 在中，， ， 解得：， 圆弧所在圆的半径为米； ②设计成抛物线型， 设抛物线的解析式为， 又抛物线经过点和点， ， 解得， 抛物线的解析式为； 任务二： 在抛物线型拱桥中， ∵， ∴， 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第24章 圆 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点与点关于原点对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．8 3．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 4．如图，是的直径，是的弦，，则为（   ） A． B． C． D． 5．已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 6．如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7.若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 8.如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，，，，．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，若经过200次旋转，则此时点A的对应点的坐标为（） A． B． C． D． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11．如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 12．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 13．如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为： ． 14．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 三、解答题（9小题共90分） 15．（8分）如图，将一块含角的三角板绕点A顺时针旋转得到，已知，连接，，求的度数及的长． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 17．（8分）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． (2)求边扫过的面积． 19．（10分）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标； (2)请在图中画出与关于绕原点顺时针旋转的． 21．（1分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题． 22．（12分）如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．（14分）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第25章 圆 （参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A A C C C C B D D A 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11． 12． 13．3 14． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．如图，将一块含角的三角板绕点A顺时针旋转得到，已知，连接，，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】本题主要考查旋转的性质、含30度直角三角形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，然后可得是等边三角形，进而问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴是等边三角形，， ∴．（8分） 16．如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 【答案】(1) (2) (3)圆内 【分析】本题考查了图形与坐标综合，勾股定理，点与圆的位置关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）作出，的垂直平分线的交点即可求解； （2）利用勾股定理求解； （3）求出、两点的距离与半径比较即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，作出，的垂直平分线的交点为，， 故答案为：；（2分） （2）如图，连接，即为半径， ， 故答案为：；（6分） （3）∵，， ， ∴点在内．（8分） 17．已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了切线的判定定理，圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余等知识点，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由直径所对的圆周角是直角可得，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，即，然后根据切线的判定定理即可得出结论； 【详解】证明：是的直径， ， ∵ ， ， ， 即：， 是的切线；（8分） 18．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． (2)求边扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作旋转图形，正确得出对应点位置是解题关键． （1）分别作出绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得； （2）由题意可得边扫过的面积为扇形，且，，则边扫过的面积为以长为半径的圆面积的． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （4分） （2）如图，边扫过的面积为扇形，且，， 边扫过的面积为． （8分） 19．如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查圆内接四边形，同弧或等弧所对圆周角相等，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据圆内接四边形的性质求解即可； （2）根据圆内接四边形的性质得到，则，由同弧所对圆周角相等即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴；（5分） （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴．（10分） 20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标； (2)请在图中画出与关于绕原点顺时针旋转的． 【答案】(1)见详解， (2)见详解 【分析】本题考查作图-旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）解： 如图，即为所求，． （5分） （2）解： 如图，即为所求．（10分） 21．《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题． 【答案】这块圆形木材的直径（）是26寸 【分析】设的半径为x寸，根据题意可得，在中，，，勾股定理求解即可． 【详解】设的半径为x寸， ∵，寸， ∴寸， 在中，，， 由勾股定理得， 解得. ∴的直径（寸）. 答：这块圆形木材的直径（）是26寸.（12分） 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，掌握垂径定理是解题的关键． 22．如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）由圆周角的性质可得，由等腰三角形的性质可证，可求，即可求解； （2）通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 是直径， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 是直径， 是的切线；（6分） （2）解：，， ， ，， ， ， ， ， ．（12分） 23．利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 【答案】任务一：①米②任务二：不能，理由见解析 【分析】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 任务一：根据垂径定理米，设的半径为，则米，在中利用勾股定理列方程求解即可；抛物线的解析式为，把点和点代入即可求出抛物线解析式； 任务二：在抛物线型拱桥中，把代入解析式求出的值即可判断． 【详解】解：任务一： 设计成圆弧型， 设的半径为， ∵米， ∴米， ∵， ∴米， 在中，， ， 解得：， 圆弧所在圆的半径为米；（4分） ②设计成抛物线型， 设抛物线的解析式为， 又抛物线经过点和点， ， 解得， 抛物线的解析式为；（8分） 任务二： 在抛物线型拱桥中， ∵， ∴， 当时，， 货船不能顺利通过抛物线型拱桥．（14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元测验卷 第24章 圆 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．剪纸是我国源远流长的传统工艺，下列剪纸中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点与点关于原点对称，则的值是（   ） A． B． C．1 D．8 3．如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 4．如图，是的直径，是的弦，，则为（   ） A． B． C． D． 5．已知的半径为，点在直线上．若，则直线与的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交或相切 D．相离或相切或相交 6．如图，在的内接正五边形中，，交于点，则图中等腰三角形的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 7.若一个扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的弧长为（   ） A． B． C． D． 8.如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，，，，．将绕点O顺时针旋转，每次旋转，若经过200次旋转，则此时点A的对应点的坐标为（） A． B． C． D． 9．如图，将绕点顺时针旋转得到，若，，三点在同一条直线上，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11．如图，一圆形玻璃镜面被损坏了一部分，为了得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺量得，，则该圆形镜面的直径为 ． 12．中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是 ． 13．如图，点O是的内心，连接，若的高，则点O到边的距离为： ． 14．如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且．将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，……，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的坐标是 ． 三、解答题（9小题共90分） 15．（8分）如图，将一块含角的三角板绕点A顺时针旋转得到，已知，连接，，求的度数及的长． 16．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一段圆弧经过格点A，B，C（小正方形的边长均为1）． (1)直接写出圆弧所在的圆心坐标：__________； (2)的半径为__________； (3)若点，则点在__________．（填“圆内”“圆上”或“圆外”） 17．（8分）已知：如图，是的直径，点、在上，．求证：是的切线； 18．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)画出将绕点按顺时针方向旋转所得到的． (2)求边扫过的面积． 19．（10分）如图，四边形是的内接四边形，点G在边的延长线上． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)请在图中画出与关于原点中心对称的，并写出点的坐标； (2)请在图中画出与关于绕原点顺时针旋转的． 21．（1分）《九章算术》是我国古代第一部自成体系的数学专著，代表了东方数学的最高成就，它的算法体系至今仍在推动着计算机的发展和应用.书中记载：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深1寸（寸），锯道长1尺（1尺=10寸）．问这块圆形木材的直径（）是多少？”如图所示，请根据所学的知识解答上述问题． 22．（12分）如图，等腰内接于，，为直径，连接交于点，延长至点，使得，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．（14分）利用素材解决问题： 《桥梁的设计》 问题驱动 某地欲修建一座拱桥，桥的底部两端间的水面宽度（如图1），称为跨度，桥面最高点到AB的距离，称为拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧型或抛物线型，若修建拱桥的跨度，拱高． 设计方案 方案一 方案二 设计类型 圆弧型 抛物线型 任务一 ①如图2，设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径．（点O为圆心，OC⊥AB，交⊙O于点C，交AB于点D．） ②设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，求拱桥的函数解析式． 任务二 如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得，，通过计算，我们确定：设计成圆弧型拱桥，货船可以顺利通过．如果设计成抛物线型，货船能否顺利通过？请写出结论并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $