高二数学上学期期末模拟卷01（人教A版，举一反三）【测试范围：人教A版选择性必修第一册+选择性必修第二册第四章数列】

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第一册全册+选择性必修第二册第四章数列； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（5分）在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（5分）如图，平行六面体中，设，，，则（   ）    A． B． C． D． 4．（5分）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（5分）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 7．（5分）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 10．（6分）设等差数列的前项和 ，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 11．（6分）如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱和的中点，以D为原点，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A． B．是平面的一个法向量 C．直线CF与平面夹角的正弦值为 D．点C到平面的距离为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 13．（5分）已知，，，若，则的值为 . 14．（5分）已知双曲线：，点在上，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则的离心率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 16．（15分）已知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 17．（15分）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 18．（17分）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 19．（17分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.    (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角. 【解答过程】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为， 故，解得. 故该直线的倾斜角为. 故选：D. 2．（5分）在等差数列中，已知，，则的公差为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【解题思路】利用等差数列下标和的性质即可求解. 【解答过程】由，可得，所以， 所以，所以，又，所以， 所以，解得. 故选：A. 3．（5分）如图，平行六面体中，设，，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合图形，由空间向量的加减运算可得. 【解答过程】因为 ， ， ， 所以 ， 故选：A. 4．（5分）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 5．（5分）阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组，，进而可解答. 【解答过程】根据题意设椭圆的标准方程为. 则，解得： ，， 所以椭圆C的标准方程为. 故选：C. 6．（5分）已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【解题思路】根据等比中项性质通分计算即可. 【解答过程】依题意，， 则. 故选：D. 7．（5分）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【解答过程】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A. 8．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，在鳖臑中，平面，且，M为中点，为中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将三棱锥放入正方体中，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的余弦值． 【解答过程】由题可知两两垂直，且． 因此，如图所示正方体内的三棱锥即为满足题意的鳖臑， 以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，正方体棱长为2，    则，，，，，则，，． 设平面的法向量为， 则即 故可取．设直线与平面所成角为， 则，故， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【解题思路】根据直线倾斜角与斜率的关系可得选项A错误；根据直线两点式方程的限制条件可得选项B错误；计算直线过原点和不过原点时的直线方程可得选项C正确；根据截距的概念可得选项D正确. 【解答过程】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 10．（6分）设等差数列的前项和 ，则（   ） A．该数列的公差为 B． C．有最小值 D．有最小值 【答案】AC 【解题思路】利用、关系先求出通项公式，由此判断A、B，再利用数列函数的性质判断C、D. 【解答过程】设等差数列的公差为，因为 ， ， 当时，有， 得 ， 检验符合上式，所以， 对于A，，A正确， 定义B，，B错误， 对于C，根据 ， 可知时，有最小值， 所以C正确，D错误. 故选：AC. 11．（6分）如图所示，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱和的中点，以D为原点，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A． B．是平面的一个法向量 C．直线CF与平面夹角的正弦值为 D．点C到平面的距离为 【答案】BCD 【解题思路】对于A，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于B，由平面法向量求解即可；对于C，运用向量夹角余弦值公式计算即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【解答过程】对于A，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故A错误； 对于B，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故B正确； 对于C， ，则，则直线CF与平面夹角的正弦值为.故C正确. 对于D，，点到平面的距离为，故D正确. 故选：BCD． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）已知等比数列的前n项和为，且，则 ． 【答案】14 【解题思路】根据题意，利用等比数列的性质，得到也成等比数列，列出方程，即可求解． 【解答过程】由等比数列满足，可得等比数列的公比， 根据等比数列的性质，可得也成等比数列， 即， 得， 解得． 故答案为：. 13．（5分）已知，，，若，则的值为 . 【答案】 【解题思路】先求出，再根据可得，利用空间向量垂直的坐标运算列式可求的值. 【解答过程】因为，，所以， 由得，又， 所以，解得. 故答案为：. 14．（5分）已知双曲线：，点在上，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，若，则的离心率为 . 【答案】2 【解题思路】设点，利用点到直线的距离公式，结合点在上即可求解. 【解答过程】设点，则，即， 又两条渐近线方程为，即， 故有， 所以，所以， 所以． 故答案为：2． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知的三个顶点分别是，，，求： (1)线段AB的垂直平分线的方程； (2)的外接圆的方程. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）求出AB中点的坐标与直线AB的斜率，然后根据垂直平分线的性质算出AB的垂直平分线的方程； （2）设出的外接圆的一般式方程，根据A、B、C的坐标求出D、E、F，即可得到的外接圆的方程． 【解答过程】（1）根据题意，可得，所以AB的垂直平分线的斜率， 结合AB的中点为，可得AB的垂直平分线方程为，即； （2）设的外接圆的方程为， 根据题意，可得，解得， 所以的外接圆的方程为 16．（15分）已知向量， (1)若，求实数； (2)若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】(1) (2)且 【解题思路】（1）先求出，，根据向量共线得到方程，求出； （2）由题意得到，且与不同向共线，从而得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）因为，， 所以，， 因为，所以，解得：； （2）因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线， 由（1）知，，， 故， 解得且，即的取值范围为且. 17．（15分）已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【解答过程】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 18．（17分）已知抛物线的焦点为F，位于第一象限的点在抛物线C上，且．直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点． (1)若l的倾斜角为，求弦长的值； (2)若过F且与l垂直的直线交C于M，N两点，求四边形的面积的最小值， 【答案】(1)8 (2)32 【解题思路】（1）根据抛物线的定义求出p的值，求出直线l的方程，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解； （2）设直线l的方程为：，，与抛物线的方程联立，利用韦达定理和弦长公式求出和的值，再利用基本不等式求出四边形的面积的最小值． 【解答过程】（1）由题意可得，所以， 得抛物线C的方程为：，焦点为， 直线l的方程为：， 联立方程，消去y得， 设，则， 得弦长． （2）设直线l的方程为：，， 联立方程，消去x得， 设，则， 所以， 同理可得， 所以四边形的面积为： ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积的最小值为：. 19．（17分）如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD.    (1)证明：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理求解即可； （2）以为坐标原点，为轴建立坐标系，利用空间向量法求解即可. （3）借助空间中点到平面距离公式计算即可得. 【解答过程】（1）因为，， 则，即， 所以在中，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以； （2）因为底面，平面，所以， 结合（1）可知两两垂直， 以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，    所以，，，， 所以，，， 设平面的法向量， 则，取，则， 设平面的法向量， 则，取，则， 所以， 由图可知该二面角为钝角，故二面角的余弦值为； （3）由（2）知平面的法向量为，， 所以点到平面的距离. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $