2026年中考数学复习 强基复习：圆

2026年中考数学复习 强基复习：圆 一、单选题 1．如图，四边形是⊙的内接四边形，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 3．如图所示，在⊙O中，=，∠A=30°，则∠B=（ ） A．150° B．75° C．60° D．15° 4．如图，正方形的边长，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则的长是（    ） A． B． C． D． 5．如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点P，且∠APC=45°，若PC2+PD2=8，则⊙O的半径为（　　） A． B．2 C．2 D．4 6．如图，是直径，弦于，连接，，则下列结论错误的是(  ) A． B． C． D． 7．的半径为10cm，弦，且，，则和的距离为（　　） A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm 8．如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，，弦于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G，若点H是AG的中点，则的度数为（　　） A．18° B．21° C．22.5° D．30° 二、填空题 9．如图，AB是的直径，AC，BC是的弦，若，则的度数为 ． 10．如图，，，是上的三点，，在圆心的两侧，若，，则的度数为 ．    11．已知弓形的弦长为，所在圆的半径为，则弓形的高为 12．如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径长为，母线长为.在母线上的点处有一块爆米花残渣，且，一只蚂蚁从杯口的点处沿圆锥表面爬行到点，则此蚂蚁爬行的最短距离为 ． 13．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝8，将△ABC终点A逆时针旋转（B与D为对应点）至△ADE，旋转过程中直线BD，CE相交于F，当AD从第一次与BC平行旋转到第二次与BC平行时，点F运动的路径长为 ． 14．如图，点M是半圆的中点，点A、C分别在半径OM和上，，，，则的半径为 ． 三、解答题 15．如图1是博物馆展出的古代车轮实物，《周礼·考工记》记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸……”据此，我们可以通过计算车轮的半径来验证车轮类型，请将以下推理过程补充完整． 如图2所示，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，半径为． 作弦AB的垂线OC，D为垂足，则___________． 经测量，，则___________；用含r的代数式表示___________． 在中，由勾股定理可列出关于r的方程：___________．解得． 通过换算，车轮直径约为六尺六寸，可验证此车轮为___________之轮．（填“兵车”或“田车”） 16．如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、， (1)证明： (2)若，，，求的长. 17．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． （1）求证：∠AOC=∠BOD； （2）试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论． 18．如图，有一座圆弧形拱桥，它的跨度为，拱高为，当洪水泛滥到跨度只有时，就要采取紧急措施．    (1)求拱桥所在圆的半径； (2)若某次洪水中，拱顶离水面只有，即，通过计算说明是否需要采取紧急措施． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B A B C C D 1．C 【分析】根据圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补，圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半，即可求解． 【详解】解：四边形是⊙的内接四边形，且， ， 又与同弧， ， 故答案选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形性质及圆周角定理，熟知圆内接四边形性质及圆周角定理是解题关键． 2．C 【分析】根据勾股定理和垂径定理即可求得． 【详解】解：在过点P的所有⊙O的弦中， 如图，当弦与OP垂直时，弦最短， 此时， 得其半弦长为4，则弦长是8， 故选：C． 【点睛】此题首先要能够正确分析出其最短的弦，然后综合运用垂径定理和勾股定理进行计算． 3．B 【详解】∵在⊙O中，=， ∴AB=AC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠B=∠C；又∠A=30°， ∴∠B==75°（三角形内角和定理）． 故选B． 考点：圆心角、弧、弦的关系． 4．A 【分析】根据条件可以得到△ABE是等边三角形，可求∠EBC=30°，然后利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∴， ∴的长为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形性质，弧长的计算公式,正确得到△ABE是等边三角形是关键. 如果扇形的圆心角是nº，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：． 5．B 【分析】过点作 连接根据垂径定理可得根据 得到对式子进行变换，即可求出半径. 【详解】过点作 连接 解得： 故选B. 【点睛】考查垂径定理，等腰直角三角形的性质等，把式子进行变形是解题的关键. 6．C 【分析】由题意可利用垂径定理判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案． 【详解】∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F， ∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点， A、，正确，故本选项错误； B、AF=BF，正确，故本选项错误； C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意； D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容． 7．C 【分析】分两种情况考虑：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作，由，得到，利用垂径定理得到E、F分别为的中点，分别求出与，由即可得到的长；当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作，由，得到，同理求出与，由即可求出的长． 【详解】解：当圆心位于与之间时，连接，如图1所示，过O作， ∵， ∴， ∴E、F分别为的中点， ∴，， 在中，，， 根据勾股定理得：， 在中，， 根据勾股定理得到， 此时和的距离； 当圆心在与一侧时，连接，如图2所示，过O作， 同理可得：， 此时和的距离， 综上，和的距离为2cm或14cm． 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 8．D 【分析】由圆周角定理可求∠ACB=90°，由弧的关系得出角的关系，进而可求∠ABC=30°，∠CAB=60°，由直角三角形的性质可求∠CAH=∠ACE=30°，即可求解． 【详解】解：∵AB是直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ABC+∠CAB=90°， ∵， ∴∠CAB=2∠ABC， ∴∠ABC=30°，∠CAB=60°， ∵CD⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠ACE=30°， ∵点H是AG的中点，∠ACB=90°， ∴AH=CH=HG， ∴∠CAH=∠ACE=30°， ∵∠CAF=∠CBF， ∴∠CBF=30°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，直角三角形的性质，求出∠CAB的度数是本题的关键． 9．/60度 【分析】根据圆周角定理，得到，即可求出的度数． 【详解】解：∵AB是的直径，AC，BC是的弦， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握直径所对的圆周角是，是解题的关键． 10．/100度 【分析】过A、O作的直径，首先根据等边对等角得到，，进而得到，然后利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：过A作的直径，交于D    ∵ ∴， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边对等角，圆周角定理，解答本题的关键是正确作出辅助线． 11．或 【分析】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是分情况讨论． 根据题意画出图形，由垂径定理得到，勾股定理求出，然后分两种情况求解即可． 【详解】如图所示，弦，半径，过点O作交于点D， ∴ ∴ ∴弓形的高； ∴弓形的高； 综上所述，弓形的高为或． 故答案为：或． 12． 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：， 底面周长， 将圆锥侧面沿剪开展平得一扇形，此扇形的半径，弧长等于圆锥底面圆的周长 设扇形圆心角度数为，则根据弧长公式得： ， ， 即展开图是一个半圆， 点是展开图弧的中点， ， 连接，则就是蚂蚁爬行的最短距离， 在中由勾股定理得， ， ， 即蚂蚁爬行的最短距离是． 故答案为：． 【点睛】考查了平面展开最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 13． 【分析】由题意和旋转的性质可知：，可知、、、四点共圆．随着的旋转可知，点运动的路径是 以、、、四点共圆的圆上，当AD从第一次与BC平行旋转到第二次与BC平行时，点运动的轨迹是以为直径的半圆，求出的长就可以求出点的路径长． 【详解】解：如图所示：连接， 由旋转的性质可知：和是等腰直角三角形． ∴， ∴、、、四点共圆． ∵， ∴该圆是以为直径圆． ∴随着的旋转可知：点运动的轨迹是以为直径的圆上． ∴当AD从第一次与BC平行旋转到第二次与BC平行时，点运动的轨迹是以为直径的圆的周长的一半． 由勾股定理可知： ∴当AD从第一次与BC平行旋转到第二次与BC平行时，点F运动的路径长为：， ∴点F运动的路径长为：． 故答案为：．          【点睛】本题考查了圆周角定理的推论、勾股定理等知识．通过圆周角定理的推论找到四点共圆是解决本题的关键． 14． 【分析】连接，易得点A在 上，在 中根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，在中可得直径，即可得到半径． 【详解】解：连接， ∵ 是圆的直径， ∴， ∵， ∴点A在 上， ∵点M是半圆的中点， ∴， ∴， 在中 ∵，， ∴ ， ∴ 在中 ， 的半径为 , 故答案为． 【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理及直径所对圆周角是直角，解题关键是得到点A在 上． 15．，，，，兵车 【分析】根据垂径定理，进行作答即可． 【详解】解：根据垂直弦的直径平分弦可知：， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴此车轮为：兵车之轮； 故答案为：，，，，兵车． 【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握：垂直于弦的直径，平分弦，是解题的关键． 16．(1)见解析 (2)的长为6 【分析】（1）根据A、B、C、D四点共圆得，根据得，即可得； （2）根据相似三角形的性质得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：∵A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 即的长为6． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算． 17．（1）证明见试题解析；（2）AC=BD，证明见试题解析． 【分析】（1）由于OA=OB，OC=OD，利用等边对等角易得∠A=∠B，∠OCD=∠ODC，而利用三角形外角性质可得∠OCD=∠A+∠AOC，∠ODC=∠BOD+∠B，从而可得∠A+∠AOC=∠BOD+∠B，再利用等量相减，差相等可得∠AOC=∠DOB； （2）过O作OE⊥AB于E，利用垂径定理有AE=EB，CE=ED，于是AE-CE=BE-DE，即AC=BD． 【详解】试题解析： （1）∵AO=OB,OC=OD ∴∠A=∠B,∠OCD=∠ODC ∴∠OCA=∠ODC ∴△ACO≌△ODB ∴∠AOC=∠DOB （2）过O作OE⊥AB于E ∴AE=EB,CE=ED ∴AC=BD 考点：等边对等角,三角形外角性质,垂径定理 18．(1) (2)不需要 【分析】（1）由垂径定理可得，设拱桥所在圆的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求解即可获得答案； （2）首先求得，，在中，由勾股定理可得，易知，即可获得结论． 【详解】（1）解：设拱桥所在圆的圆心为，连接，如下图，    由题意易知，点共线，且，则， 设拱桥所在圆的半径为，则， 在中，， 由勾股定理，可得，即， 解得， 所以，拱桥所在圆的半径为； （2）连接，如图， 由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴不需要采取紧急措施． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解题关键是运用垂径定理和勾股定理求得拱桥所在圆的半径． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $