2025-2026学年浙教版数学九年级上册期末复习专题：几何中的二次函数关系

2025年浙教版九年级第一学期期末复习专题：几何中的二次函数关系 1.如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），阴影部分的面积为y（cm2）． （1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少． 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C分别在x轴、y轴上，点B（2，2），D，E分别是边OA、CO上的动点，且OD＝CE．设D（x，0），0＜x＜2，△BDE的面积为S． （1）用含x的式子表示S； （2）当x的值为多少时，S的值最小？求这个最小值． 3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 4.配方： （1）若x2﹣6x+7＝（x+m）2+n，则m＝　﹣3　 ，n＝　﹣2　 ． （2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以4cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为t（0＜t≤6），当t为何值时，△PBQ的面积最大？求该最大值． 5.如图，在周长为18的矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上（均不与顶点重合），CF＝1，DF＝2BE，设BE＝x，梯形AECF的面积为S． （1）求S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）当x＝2，3时，对应的梯形AECF的面积分别为S1，S2，比较S1，S2的大小，并说明理由． （3）求S的最大值． 6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，运动时间为t，△PBQ的面积为S． （1）当t是多少秒时，S的值为20mm2？ （2）问S随t如何变化？当t取何值时，S最大？S最大值是多少？ 7.综合与实践： 小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中BC不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边AB，CD的长均为x米，长方形花圃的面积为y米2． （1）在x，y这两个变量中，自变量是 x ，因变量是 y ； （2）BC＝ 　 米（用含x的式子表示），请判断当x＝0.5时是否符合题意，并说明理由； （3）求y与x之间的关系式； （4）根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①m＝ 　 　 ，n＝ 　 　 ； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：　 　 ． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 8.在正方形ABCD中，AB＝2，E是射线CB上的一个动点．连接BD，过点E作EF∥BD，与正方形的一边交于点F，连接AE，AF．设EC的长为x，△AEF的面积为y． （1）如图1，当点E在BC边上时（不与B，C两点重合），EF交边CD于点F．求y关于x的函数表达式． （2）如图2，当点E在CB的延长线上时，点F落在边AB上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求△AEF面积的最大值． 9.如图，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm，点M以1cm/s的速度从点B向点C运动，点N以2cm/s的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形ABMND的面积为Scm2． （1）写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； （2）当运动多少秒时五边形ABMND的面积最小？并求出最小面积． 10.如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y． （1）当a＝2，y＝3时，求x的值； （2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？ 11.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值． 12.已知矩形ABCD的对角线BD长为x，设矩形面积为S． （1）若x＝6，求S的最大值； （2）若矩形的周长为12，求： ①x的取值范围； ②S关于x的函数表达式． 13.已知周长为acm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为 　 ； （2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 14.如图点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）设AB＝a，∠A＝60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？说明理由并求出最大面积． 15.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2om/s的速度向点C移动．当点P到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． （1）PQcm时，求x的值； （2）当x为何值时，△BPQ的面积最大？最大是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年浙教版九年级第一学期期末复习专题：几何中的二次函数关系 1.如图，一张正方形纸板的边长为8cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE＝BF＝CG＝DH＝x（cm），阴影部分的面积为y（cm2）． （1）求y关于x的函数解析式并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，阴影部分的面积最大，最大面积是多少． 【解答】解：（1）∵AE＝BF＝CG＝DH＝xcm， ∴BE＝CF＝DG＝AH＝（8﹣x）cm， y＝4x（8﹣x）＝﹣2x2+16x（0＜x＜8）， （2）y＝﹣2x2+16x＝﹣2（x﹣4）2+32， ∵a＝﹣2＜0， ∴当x＝4时，y有最大值为32， 故当x＝4时，阴影部分面积最大值为32cm2． 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C分别在x轴、y轴上，点B（2，2），D，E分别是边OA、CO上的动点，且OD＝CE．设D（x，0），0＜x＜2，△BDE的面积为S． （1）用含x的式子表示S； （2）当x的值为多少时，S的值最小？求这个最小值． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A，C分别在x轴、y轴上，点B（2，2）， ∴BC＝BA＝CO＝OA＝2， ∵D（x，0），0＜x＜2， ∴OD＝x， ∴OD＝CE＝x， ∴OE＝AD＝2﹣x， ∴S△BDE＝S正方形OABC﹣S△BCE﹣S△EOD﹣S△BDA ， 故； （2）， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当x＝1时，S取得最小值，最小值为． 3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）求几秒后，△PBQ的面积等于6cm2． （2）P、Q在运动过程中，是否存在时间t，使得△PBQ的面积最大，若存在求出时间t和最大面积，若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）设经过t秒以后△PBQ面积为6， ∵∠B＝90°，AB＝7cm，BC＝10cm．点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动， ∴PB＝7﹣t，BQ＝2t， ∴S△PBQ（7﹣t）•2t＝6． ∴t＝1或t＝6； ∵当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ∴0≤t≤5． ∴t＝1． 答：1秒后△PBQ的面积等于6cm2； （2）存在时间t，使得△PBQ的面积最大，理由如下： 由题意得：S△PBQ（7﹣t）•2t＝﹣t2+7t＝﹣（t）2． ∵0≤t≤5， ∴当t时，△PBQ面积最大为． 4.配方： （1）若x2﹣6x+7＝（x+m）2+n，则m＝　﹣3　 ，n＝　﹣2　 ． （2）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以4cm/s的速度移动．如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时停止运动．设动点运动时间为t（0＜t≤6），当t为何值时，△PBQ的面积最大？求该最大值． 【解答】解：（1）x2﹣6x+7＝（x﹣3）2﹣2， ∴m＝﹣3，n＝﹣2， 故答案为：﹣3，﹣2； （2）根据题意得AP＝2tcm，BQ＝4tcm， ∴BP＝（12﹣2t）cm， 设△PBQ的面积为Scm2， ∴S（12﹣2t）×4t＝﹣4t2+24t＝﹣4（t﹣3）2+36， ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下， ∵0＜t＜6， ∴0＜t≤3时，△PBQ的面积S随出发时间t的增大而增大；3＜t＜6时，△PBQ的面积S随出发时间t的增大而减小； 当t＝3时，S的值最大，最大值为36． 5.如图，在周长为18的矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上（均不与顶点重合），CF＝1，DF＝2BE，设BE＝x，梯形AECF的面积为S． （1）求S关于x的函数表达式及x的取值范围． （2）当x＝2，3时，对应的梯形AECF的面积分别为S1，S2，比较S1，S2的大小，并说明理由． （3）求S的最大值． 【解答】解：（1）设BE＝x，则DF＝2BE＝2x， ∵矩形ABCD的周长为18，CF＝1， ∴AB＝CD＝2x+1， ∴AD＝BC[18﹣2（2x+1）＝8﹣2x， ∵S矩形ABCD＝BC•CD＝（8﹣2x）（2x+1），S△ADF，S△BCE， ∴S＝S矩形ABCD﹣S△ADF﹣S△BCE＝（8﹣2x）（2x+1）x2+2x+8（0＜x＜4）． （2）当x＝2，3时，对应的梯形AECF的面积分别为S1，S2，则S1＞S2， 理由：∵S＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，S随x的增大而减小， ∵2＜3， ∴S1＞S2； （3）∵S＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∴当x＝1时，S的值最大，最大值为9． 6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，运动时间为t，△PBQ的面积为S． （1）当t是多少秒时，S的值为20mm2？ （2）问S随t如何变化？当t取何值时，S最大？S最大值是多少？ 【解答】解：（1）由题意得，结合函数的图象，△PBQ的面积S随出发时间t变化，先增大然后减小． 又∵AP＝2tmm，BQ＝4tmm，且AB＝12mm，BC＝24mm， ∴BP＝（12﹣2t）mm， ∴SBP×BQ（12﹣2t）×4t＝24t﹣4t2，即S＝24t﹣4t2（0＜t＜6）． 当S的值为20mm2时，则20＝24t﹣4t2（0＜t＜6）， 解得t＝1秒或t＝5， 故当t＝1或5秒时，S的值为20mm2； （2）∵BQ＝4t＞0，BP＝12﹣2t， ∴0＜t＜6， ∵S＝24t﹣4t2＝﹣4（t﹣3）2+36， ∵﹣4＜0， ∴S先增大后减小，当t＝3时，S有最大值，最大值为36mm2． 7.综合与实践： 小明要用总长为12米的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙（墙长9米），另外三边是篱笆，其中BC不超过9米，如图所示．设垂直于墙的两边AB，CD的长均为x米，长方形花圃的面积为y米2． （1）在x，y这两个变量中，自变量是 x ，因变量是 y ； （2）BC＝ 　12﹣2x 米（用含x的式子表示），请判断当x＝0.5时是否符合题意，并说明理由； （3）求y与x之间的关系式； （4）根据（3）中y与x之间的关系式补充下面表格： x（米） 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 … y（米2） 13.5 16 17.5 m 17.5 n 13.5 … ①m＝ 　18　 ，n＝ 　16　 ； ②请观察表格中的数据，并写出y随x变化的一个特征：　当x＜3时，y随x的增大而增大（答案不唯一）　 ． ③在y随x变化的过程中，问y是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y的最值（注明是最大值，还是最小值）及此时x的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意，根据变量的意义，可得自变量是x，因变量是y． 故答案为：x；y． （2）由题意，∵篱笆的总长为12米，CD＝AB＝x， ∴BC＝12﹣2x． 当x＝0.5时不符合题意．理由如下： 将x＝0.5代入12﹣2x得，BC＝12﹣2×0.5＝11＞9． ∴当x＝0.5时不符合题意． 故答案为：12﹣2x． （3）由题意，∵BC＝12﹣2x，AB＝x， ∴y＝（12﹣2x）x＝﹣2x2+12x． ∴y与x之间的关系式为y＝﹣2x2+12x． （4）①由题意，结合（3）y＝﹣2x2+12x， ∴m＝﹣2×32+12×3＝18，n＝﹣2×42+12×4＝16． 故答案为：18；16． ②由题意，观察表格中的数据，可得当x＜3时，y随x的增大而增大（或当x＞3时，y随x的增大而减小；或当x＝3时，y取得最大值，答案不唯一）． ③由题意，∵y＝﹣2x2+12x＝﹣2（x﹣3）2+18． ∴在y随x变化的过程中，y存在的最大值为18，此时x的值为3． 8.在正方形ABCD中，AB＝2，E是射线CB上的一个动点．连接BD，过点E作EF∥BD，与正方形的一边交于点F，连接AE，AF．设EC的长为x，△AEF的面积为y． （1）如图1，当点E在BC边上时（不与B，C两点重合），EF交边CD于点F．求y关于x的函数表达式． （2）如图2，当点E在CB的延长线上时，点F落在边AB上时（不与A，B两点重合），写出自变量x的取值范围，并求△AEF面积的最大值． 【解答】解：（1）由题意，∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2， ∴∠ABC＝∠C＝∠ADC＝∠BAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝45°， ∴EF∥∥BD， ∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠CFE＝∠CDB＝45°， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CF＝CE＝x， ∴BE＝DF＝2﹣x， ∴S△AEF＝S正方形ABCD﹣S△ABE﹣S△ADF﹣S△CEF ． ∴． （2）∵EF∥BD， ∴∠CEF＝∠CBD＝45°，∠EFB＝∠ABD＝45°． ∴∠BEF＝∠EFB， ∵BE＝BF， ∴BE＝BF＝x﹣2， ∴AF＝AB﹣BF＝4﹣x， ∵点F落在边AB上时，且不与A，B两点重合， ∴ ∴2＜x＜4． ∵， 且， ∴当x＝3时，y最大，且△AEF面积最大值为0.5． 9.如图，矩形ABCD中，AB＝10cm，BC＝5cm，点M以1cm/s的速度从点B向点C运动，点N以2cm/s的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形ABMND的面积为Scm2． （1）写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； （2）当运动多少秒时五边形ABMND的面积最小？并求出最小面积． 【解答】解：（1）第t秒钟时，AM＝t，故CM＝（5﹣t），CN＝2t， 故． ∵S矩形ABCD＝5×10＝50． ∴； （2）， ∵1＞0， ∴当秒时，S有最小值． 10.如图，点E，F，G，H分别位于边长为a的正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，AG＝x，正方形EFGH的面积为y． （1）当a＝2，y＝3时，求x的值； （2）当x为何值时，y的值最小？最小值是多少？ 【解答】解：（1）设正方形ABCD的边长为a，AG＝x，则DG＝a﹣x， ∴GH＝GF，∠HGF＝90°， ∴∠AGH+∠DGF＝90°， ∴∠AHG＝∠DGF， 在△AHG和△DGF中， ， ∴△AHG≌△DGF（AAS）， 同理可证△AHG≌△DGF≌△CFE≌△BHE， ∴AG＝DF＝CE＝BH＝x，AH＝BE＝CF＝DG＝a﹣x ∴EF2＝CF2+CE2＝（a﹣x）2+x2＝2x2﹣2ax+a2， ∴y＝EF2＝2x2﹣2ax+a2， 当a＝2，y＝3时，2x2﹣4x+4＝3， 解得：x； （2）∵y＝2x2﹣2ax+a2＝2（xa）2a2， 即：当xa（即H在AB边上的中点）时，正方形EFGH的面积最小，最小的面积为a2． 11.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，若AC+BD＝10，求四边形ABCD的面积最大值． 【解答】解：∵AC⊥BD， ∴四边形ABCD的面积•AC•BD， 设AC＝x， ∵AC+BD＝10， ∴BD＝10﹣x， ∴四边形ABCD的面积SAC•（10﹣AC） x2+5x （x﹣5）2， ∵0， ∴当AC＝5，四边形ABCD的面积最大，最大值为． 12.已知矩形ABCD的对角线BD长为x，设矩形面积为S． （1）若x＝6，求S的最大值； （2）若矩形的周长为12，求： ①x的取值范围； ②S关于x的函数表达式． 【解答】解：（1）设BC＝m， ∵BC⊥CD， ∠BCD＝90°， ∴BC2+CD2＝BD2， ∴， ∴， ∴S2＝m2（36﹣m2）＝﹣m4+36m2＝﹣（m2﹣18）2+324， ∵（m2﹣18）2≥0， ∴S2≤324， 当（m2﹣18）2最小时，即为0时，S2有最大值324， ∴S的最大值为18； （2）①设矩形的一边长为a，则另一边长为6﹣a， ∵x2＝a2+（6﹣a）2＝2（a﹣3）2+18， ∵0＜a＜6， ∴18≤x2＜36， ∵x＞0， ∴； ②S＝a（6﹣a）＝﹣a2+6a， 由①得x2＝a2+（6﹣a）2＝2a2﹣12a+36＝﹣2（﹣a2+6a）+36， ∴，即． 13.已知周长为acm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）之间的函数图象如图所示． （1）a的值为 　44cm ； （2）当x为何值时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？ 【解答】解：（1）∵周长为acm（a为定值）的矩形的一边长y（cm）与它的邻边长x（cm）， ∴a＝2（x+y）， ∵当x＝12时，y＝10， ∴a＝2（12+10）＝44． 故答案为：44cm； （2）∵由（1）知，a＝44cm，a＝2（x+y）， ∴y＝22﹣x， ∴S矩形＝xy＝x（22﹣x）＝﹣x2+22x（x＞0）， ∴当x11时，S矩形最大＝﹣112+22×11＝121（cm2）． 答：当x＝11cm时，该矩形的面积最大，最大面积是121cm2． 14.如图点E，F，G，H分别在菱形ABCD的四条边上，BE＝BF＝DG＝DH，连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH． （1）求证：四边形EFGH是矩形； （2）设AB＝a，∠A＝60°，当BE为何值时，矩形EFGH的面积最大？说明理由并求出最大面积． 【解答】（1）证明：∵DG＝DH， ∴， 同理，∠CGF， ∴∠DGH+∠CGF， 又∵菱形ABCD中，AD∥BC， ∴∠D+∠C＝180°， ∴∠DGH+∠CGF＝90°， ∴∠HGF＝90°， 同理，∠GHE＝90°，∠EFG＝90°， ∴四边形EFGH是矩形； （2）解：如图连接BD，交EF于M， ∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°， ∴AD＝AB， ∴△ABD和△BCD是等边三角形， ∴BD＝AB＝a， ∴S△BCD＝S△ABDAB2a2， 则菱形ABCD的面积是：a2， 设BE＝x，则AE＝a﹣x， ∵BE＝DH，AB＝AD， ∴AH＝AE， ∵∠A＝60°， ∴△AEH是等边三角形， ∴EH＝AE＝a﹣x 在Rt△BME中，∠ABD＝60°，BE＝x， ∴EMx ∴EF＝2EMx 则矩形EFGH的面积y＝HE×EF＝（a﹣x）•x（x2﹣ax）（x）2a2， ∴当x时，矩形EFGH的面积最大， ∴BE时，矩形EFGH的面积最大，最大面积为a2． 15.如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发沿边AB以1cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿边BC以2om/s的速度向点C移动．当点P到点B后，运动停止，设运动时间为x（s）． （1）PQcm时，求x的值； （2）当x为何值时，△BPQ的面积最大？最大是多少？ 【解答】解：（1）由题意，BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2xcm， 在Rt△BPQ中，由勾股定理得，BP2+BQ2＝PQ2， 则（6﹣x） 2+（2x） 2＝（4） 2， 解得 x1＝0.4，x2＝2， 故满足条件的x的值为0.4或2； （2）由题意，△BPQ的面积S（x﹣3）2+9， ∵﹣1＜0， ∴当x＝3时，△BPQ的面积最大，最大值是9． 1 学科网（北京）股份有限公司 $