精品解析：福建省同安第一中学2026届高三上学期期初摸底考数学试题

同安一中2025~2026学年（上）期初摸底考 高三数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：D 2. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法的运算法则即可求解. 【详解】解：因为复数满足（i为虚数单位），所以， 故选：D. 3. 的展开式中含的系数为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 的展开式通项为 ，令 ， 的系数为 ，故选A. 【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 4. 已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（ ） 1 2 3 4 0 4 7 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】计算出，，可知线性回归直线一定过，从而求出. 【详解】由题可知，， 则； 又在线性回归直线上，则， 所以，故. 故选：A. 5. 从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式（ ） A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 【答案】A 【解析】 【分析】由分类加法原理即可求解. 【详解】第一种情况：乙不参加，共种情况， 第二种情况：乙参加，甲必然参加，共种情况，总计42种情况. 故选：A. 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，即，再利用三角形内角和为即可求角. 【详解】由正弦定理得， 即， 所以，在中，所以， ，又，所以， 则． 故选：B． 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据题意求出点的坐标，再根据即可容易求得. 【详解】由题可知，渐近线方程为， 故可得直线方程为， 联立， 即可求得点坐标为， 又因为点P在以线段为直径的圆外， 故可得， 则， 则，解得， 则离心率. 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率范围的求解，属中档题；本题的难点在于点坐标的求解，以及点在圆外的转化. 8. 已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 39π C. 26π D. 13π 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据题设中的条件求出外接球球心的坐标，求出半径即可得表面积. 【详解】令是三棱锥P-ABC外接球的球心，是在平面上的射影.，分别为的中点，则∥. ∵，∴. ∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面 ∵是等边三角形，∴，是的重心. 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. ∵，，则， ∴，. 设，由,得， 化简得解得. ∴三棱锥外接球的表面积为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】通过特殊值验证排除错误选项，结合基本不等式推导的范围，进而分析各选项中式子的取值情况. 【详解】选项A：取，则，，故，A错误. 选项B：，由得，故， 当且仅当时取等号，B正确. 选项C：，由得， 当且仅当时取等号，C正确. 选项D：，由得， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：BCD 10. 等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（ ） A. ， B. 等差数列的公差 C. 使成立的n最小为10 D. 当时，取得最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，由等差数列的前n项和为、可得即可判断；对于B，只需求出，然后由即可判断；对于C，直接解不等式即可判断；对于D，由n为正整数即可判断. 【详解】对于A选项，因数列为等差数列，，则，且， 则，所以，A错误； 对于B选项，由A知，则，则， 则公差，B正确； 对于C选项，由，得或，因为n为正整数，所以n最小值为10，C正确； 对于D选项，因为n为正整数，所以D错误. 故选：BC. 11. 已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 点B到D的准线的距离为2 C. 直线AB与抛物线D相交 D. 若点，则的最小值为3 【答案】ABD 【解析】 【分析】由抛物线的性质求得判断A，根据抛物线的定义判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，根据抛物线的定义与圆的性质判断D． 【详解】对于A选项，因为D的准线与圆C相切，则，即，A正确； 对于B选项，由A可知抛物线焦点即为圆心，则由抛物线定义知点B到D的准线的距离等于，B正确； 对于C选项，点，设，则由B选项知，，可得，， 抛物线方程，对应函数为，导函数为， 则点B处的切线斜率为，则直线AB与抛物线相切，C错误； 对于D选项，点位于抛物线内，的最小值等价于的最小值， 过点M作准线的垂线，垂足为，则，的最小值为点E到准线的距离，即为5， 则最小值为，D正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：定点到圆上点的距离的最值利用定点到圆心的距离加减半径可得，抛物线上的动点定点的距离与到焦点的距离之和的最小值可根据抛物线的定义转化为定点到准线的距离． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由二项式定理即可得解. 【详解】由二项式定理得， 所以. 故答案为：. 13. 某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率计算公式进行计算即可. 【详解】设事件“从8道题中抽4道题，第一题不会答”，事件“从8道题中抽4道题，至少有2道题会答”.， 则， 所以该生在第一题不会答的情况下及格的概率为. 故答案为： 14. 设函数的定义域为，，当时，．若，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意可求得的周期为12，利用对称性质结合且，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性及对称性求出的值． 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以，所以，所以函数周期是， 由可知， 又可知，所以， 由及可知，所以， 所以，结合，求得， 所以当时，． 所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等比数列，是，的等差中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设的公比为，利用等差中项和等比数列通项公式建立关系求出，得解； （2）利用错位相减法求解. 【小问1详解】 设的公比为，因为为，的等差中项， 所以，即， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 设的前项和为，又， ，① ，② ①②得， 所以. 16. 随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； （2）采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）有关联 （2）分布列： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据独立性检验的基本思想，计算，即可判断是否有关联； （2）随机变量服从二项分布，根据古典概型概率公式，求出每次抽取的人爱好该运动的概率，根据二项分布性质，求出分布列，计算出期望. 【小问1详解】 设：爱好某项体育运动与性别无关， . 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为爱好某项体育运动与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 由题知、从男生中随机选取1人，爱好该项运动的概率为，即， 所以， 即，， ，， ， 其分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 17. 如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的大小. 【答案】（1）证明：连接，   ∵，均为正三角形，为的中点，∴，， 平面，，∴平面， 平面，∴， ，，平面，∴平面， 平面，∴. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用线面垂直的判定与性质，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ∵平面平面，平面平面， ，，平面，平面， ∴平面，平面， 故以为原点，，，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，∴， ，且平面，平面，平面， 由平面，则，又，， 平面，∴平面，∴， 设平面的法向量为，则 令得是平面的一个法向量， 显然平面的一个法向量为，∴， 故所求角为. 18. 已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明：依题意可设直线l的方程为，，，. 联立得， 由韦达定理得，， 则直线PM的方程为， 即， 其中 ， 则直线PM的方程为， 故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义得到，，故C的方程为； （2）（ⅰ）设直线l方程为，，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，直线PM的方程为，代入两根之和，两根之积求出，故直线PM过定点，即P、M、Q三点共线； （ⅱ）计算出，得到的取值范围为. 【小问1详解】 因为，由椭圆定义可知，曲线C为以和为两焦点的椭圆， 其中，解得，，故C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）， ， 因为，所以，， 所以的取值范围为. 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若存在，使得．证明：． 【答案】（1） （2） （3） 由函数， 可得， 设，由， 可得， 则， 又由，可得， ∴函数为单调递增函数， ∴，即， ∴， 由（2）知，当时，，， ∴， 即， ∴， 代入可得： ， 则， ∴， 又因为时，， 所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）对求导，再结合导数的几何意义求切线方程即可； （2）方法一：构造函数，结合导数分和两种情况进行讨论即可求得k的范围； 方法二：构造函数，只需在时恒成立即可 又，且所以要使当时，，必须满足，即，再根据这个结论进行验证即可； 方法三：利用参变分离的方法，构造函数，，最后需要结合洛必达法则求解； （3）由，可得，利用函数为单调递增函数，可得，所以，结合（2）得，代入化简得，又因为时，所以得. 【小问1详解】 当时，， ∴ 又∴ ∴切线方程为； 【小问2详解】 方法一： 设 只需在时恒成立即可 又，且 所以要使当时，， 必须满足，即． 下面证明时满足题意： ①当时，由，， 令， 由（1）知，在上单调递增， 所以， 所以当时，，即； ②当时，， 令，，则， 所以在上单调递增， 又，当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时，， 所以当时，不恒成立． 综上所述，实数的取值范围是． 方法二： 设， 则， 令，则， 当时，， ，在上单调递增， 即在上单调递增， 所以所以在上单调递增， 所以， 所以符合题意； 当时，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，即在上恒成立， 所以， 所以符合题意； 当时，在上恒成立， 在上单调递增， 即在上单调递增，又因为 当时，， 所以存在，使得， 当时，，即在上单调递减， 当时， 综上所述，实数的取值范围是． 方法三：参变分离得： 令，， ∵，∴ ∴在区间上单调递减 ∴ ∴ ∴在区间上单调递减 ∴ ∴ ∴在区间上单调递减 ∴ 由洛必达法则可得： 综上所述，实数的取值范围是． 【小问3详解】 略 【点睛】利用导数解决函数中的恒成立问题，常用以下两种方法： ①参变分离法：参变分离法是把参数和自变量进行分离，分离到等式或不等式的两边，从而消除参数的影响，把含参问题转化为不含参数的最值、单调性、零点等问题，当然使用这种方法的前提是可以进行自变量和参数的分离； ②含参讨论法：含参讨论法是指通过分析参数对函数相应性质的影响，然后划分情况进行相应分析，解决问题的方法，该类方法的关键是找到讨论的依据或分类的情况，该方法一般在分离参数法无法解决问题的情况下，才考虑采用. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 同安一中2025~2026学年（上）期初摸底考 高三数学试卷 本卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中含的系数为 A. B. C. D. 4. 已知变量，的一组统计数据如下表所示.计算得两个变量线性相关，且关于的线性回归方程为则实数的值为（ ） 1 2 3 4 0 4 7 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 从甲乙丙丁戊五人中挑选四人参加接力赛，乙若参加必须是甲的下一棒，则一共有多少种不同的安排方式（ ） A. 42 B. 45 C. 48 D. 51 6. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，且，则∠B＝（ ） A. B. C. D. 7. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥P-ABC中，平面平面，且平面ABC是边长为的等边三角形，，，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ） A. 52π B. 39π C. 26π D. 13π 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，且，则（ ） A. B. C. D. 10. 等差数列的前n项和为，已知，，则下列选项中正确的是（ ） A. ， B. 等差数列的公差 C. 使成立的n最小为10 D. 当时，取得最小值 11. 已知圆和抛物线的准线相切于点A，点B为圆C与抛物线D的一个交点，点N，M分别为圆C与抛物线D上的动点，则下列选项中正确的是（ ） A. B. 点B到D的准线的距离为2 C. 直线AB与抛物线D相交 D. 若点，则的最小值为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，则的值为________． 13. 某生在一次考试中，共有8道题供选择，已知该生会答其中5道题，随机从中抽4道题供该生回答，至少答对2道题则及格，则该生在第一题不会答的情况下及格的概率是________ 14. 设函数的定义域为，，当时，．若，且，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知为等比数列，是，的等差中项． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 随机抽取了某中学的200名学生，调查他们是否爱好某项体育运动，得到数据如下： 性别 爱好 不爱好 合计 男 90 30 120 女 40 40 80 合计 130 70 200 （1）根据小概率值的独立性检验，分析爱好某项体育运动是否与性别有关； （2）采用样本估计总体的方式，以此样本的频率作为相应事件发生的概率，现从全市中学生中随机抽取4名男生，求抽取的4人中爱好该项运动的人数X的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 附表如下： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，已知、均是边长为2的等边三角形，且平面平面，为的中点，且. （1）证明：； （2）若，，求平面与平面夹角的大小. 18. 已知曲线C到两个定点和的距离和为定值4. （1）求C的方程； （2）过点的直线l（斜率存在且不为0）与C交于M，N两点，N关于x轴的对称点为P.已知. （ⅰ）证明：P、M、Q三点共线； （ⅱ）求的取值范围. 19. 已知函数，． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）设，，若存在，使得．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $