专题02 二次函数（期末复习知识清单，6知识15题型1易错5方法）九年级数学上学期北师大版

专题02 二次函数（6知识&15题型&1易错&5方法清单） 【清单01】二次函数的概念 ·二次函数的表达式： ； ·注意：①等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；②等号的右边最高次数为 ，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；③a，b，c是常数，且a≠0. 【清单02】列二次函数关系式 一般步骤： ①根据题目信息，找到等量关系、已知量和未知量（自变量和因变量）； ②根据等量关系和已知量列含因变量和自变量的关系式； ③将函数关系式变形为的形式。 【清单03】二次函数y=a(x - h)2 +k图象与性质 y=a(x - h)2 +k a>0 a<0 图象 k>0,h>0 k>0,h<0 k<0,h>0 k<0,h<0 k>0,h<0 k>0,h>0 k<0,h>0 k<0,h<0 对称轴： 顶点坐标： 增减性 x>h，y随x的 ; x<h，y随x的增大而减小 x>h，y随x的增大而减小; x<h，y随x的 开口方向 开口向上 （图象在直线y=k的上方） 开口向下 （图象在直线y=k的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h 最值 x=h时，取得 x=h时，取得最大值k 二次函数 的平移 抛物线的形状不变，顶点位置由（0，0）平移到（h，k） 【清单04】二次函数的表达式 表达形式 解析式 关系 适用条件 一般式 把二次函数一般式y= ax2+bx+c化为顶点式y=a(x - h)2 +k， 其中h =，k= 函数上任意三点坐标 顶点式 坐标+ 任一点坐标 两点(根)式 对应一元二次方程有实根和存在时可列两点式， 函数与x轴无交点，不能如此表示。 与x轴的交点坐标+任一点坐标 【清单05】y= ax2+bx+c与x轴交点的个数与ax2+bx+c=0根的个数之间的关系 ·内容：一元二次方程 的解是其对应的二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标。 ·应用：①利用判别式 可以判断二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴是否有交点； ②根据二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交点的位置，可以判断ax2+bx+c=0的近似解。 y= ax2+bx+c(a≠0) 图象 a>0 a<0 令y=0，ax2+bx+c=0 ： 交点 ： 交点 ： 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 ·推广1：一元二次方程ax2+bx+c=h的根是二次函数y= ax2+bx+c与y=h(h是实数)交点的横坐标 ·推广2：二次函数与y=kx+b(k≠0，k、b是实数)交点的情况与一元二次方程的关系 y= ax2+bx+c(a≠0)与 y=kx+b(k≠0)图象的交点情况 图象 令y值相等，ax2+bx+c= kx+b ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 【清单06】二次函数的应用与模型思想 ·可抽象出二次函数图象的应用题 ①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题； ②表示出相关点的坐标； ③建立二次函数模型：求二次函数关系式 ④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等） ·销售等实际问题中的二次函数模型 1.根据题干信息确定二次函数关系式：①找变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式． 2.根据题意解决问题并做出决策 3.增长率问题：第三次的值=第一次的值×(1+增长率)² 【题型一】二次函数的定义 【例1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）若函数是y关于x的二次函数．则常数m的值是 ． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列各式中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． ★【题型二】根据二次函数的性质比较大小 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）已知点，在二次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）抛物线经过三点，则的大小关系为 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线，（）的图象上三个点的坐标分别为，，，若，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． ★【题型三】求二次函数的顶点坐标 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将二次函数化为顶点式，下列结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）二次函数的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1)； (2) 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数，当时，，则该二次函数图象的顶点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【题型四】根据系数判断二次函数的图象 【例4】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A．B． C． D． ★【题型五】根据二次函数的平移求解析式 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为 ． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）把抛物线向下平移3个单位长度，所得到的新抛物线的表达式为 ． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移 2 个单位后，得到的抛物线表达式为 ． 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． ★【题型六】求二次函数的最值 【例6】如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，求这个二次函数的最小值为 ． x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线下方的抛物线取一点M，过点M作平行于y轴的直线交于N，求线段的最大值． 【题型七】根据二次函数的性质求参数的值（范围） 【例7】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）二次函数的部分图象如图所示，若图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的一个正根为 ． 【例8】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 【变式8-1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求点B的坐标； (2)连接，现将二次函数的图象向下平移m个单位长度，使得顶点恰好落在线段上，请求出此时m的值． 【题型八】二次函数与一元二次方程的关系 【例9】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和，那么一元二次方程的两个根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）函数与x轴的交点如图所示，则方程的实数根 ， ． 【变式9-3】（24-25九年级上·陕西安康·期末）若方程的两个根是和，则二次函数的图象的对称轴是直线 ． 【题型九】根据二次函数对称性求最短路径 ·方法：应用对称轴性质求三点之间的最短距离，可作已知一点关于对称轴的对称点，再转化线段，根据两点之间线段最短，三点共线时即为所求最短距离． 【例10】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．      【变式10-1】如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． ★【题型十】根据表格判断二次函数的性质 ·方法：①先用待定系数法求二次函数解析式；②画草图，根据图象、性质解题。 【例11】（24-25九年级上·陕西西安·期末）二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 4 … y … 16 7 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点，都在抛物线上，则 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）抛物线上部分点的坐标如下表： … 0 1 … … … 下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．抛物线开口向下 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）二次函数的图象上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（   ） … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则y的取值范围是 【变式11-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）y与x的部分对应值如下表： x … 0 3 5 … y … 16 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线开口向下 B．有最小值 C．若，是抛物线上两点，则 D．当时， 【变式11-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下表列出了二次函数（，，为常数）的自变量与的几组对应值： … 0 1 3 … … 8 … 则下列说法不正确的是（   ） A．二次函数开口向上 B．若点，都在抛物线上，则 C．方程有两个相等的实数根 D．二次函数有最小值，最小值小于 【题型十一】二次函数的应用——增长率问题 【例12】（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为 ． 【题型十二】二次函数的应用——图形问题 【例13】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成． (1)请写出仓库面积S（），与边的长（m）之间的函数关系式； (2)当边的长是多少米时，仓库的面积最大? 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，要建一个矩形仓库，仓库的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入，现在围成仓库的木板长75米，设仓库的宽为x米，面积为y平方米． (1)求y与x的函数关系式； (2)若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为多少米？ 【变式13-2】某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长米，宽米，中心建设一个直径为米的圆形喷泉（空白部分），四周各角留一个矩形花坛（空白部分），且矩形花坛的长比宽多米． (1)若阴影部分铺设地砖的面积是平方米（取），求矩形花坛的长； (2)若在图中阴影部分铺绿色地砖，其余部分铺白色地砖，铺白色地面砖的费用为每平方米元，铺绿色地面砖的费用为每平方米元．矩形花坛的长是多少米时，铺设地砖的总费用最少？最少费用是多少？ 【题型十三】二次函数的应用——销售问题 【例14】（24-25九年级上·陕西西安·期末）由于猪肉市场的供不应求，近期猪肉价格居高不下，云腿猪肉店以每千克30元的成本购进猪肉销售，然后以每千克50元的价格售出，每天可售出100千克．在此基础上，若每千克猪肉每降价1元，则每天可多售出10千克．当每千克猪肉降价之后的售价为多少元时，每天销售猪肉获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【变式14-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）某社区新建了一栋三层停车楼，每一层的布局都如图所示．已知每层长70米，宽30米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．现停车位需要喷漆，且每层的喷漆面积为1200平方米．    (1)通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，多余的50个车位可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，该停车场就会少租出1个车位．当每个车位月租金上涨多少元时，总的月租金收入最大？最大收入是多少？ 【题型十四】二次函数的实际应用——拱桥/隧道模型（根据题意求变量的值） 【例15】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【变式15-1】图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． (1)求门拱所在的抛物线表达式； (2)如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度． 【变式15-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【题型十五】二次函数的实际应用——投球问题 【例16】（24-25九年级上·陕西西安·期末）排球运动是一种全身性的体育活动，它能够有效提升心肺功能，改善柔韧性和协调性．一名排球运动员在原点O处训练发球，球网高，与原点O的水平距离为，且与地面垂直，球场的边界（点K）与原点O的水平距离为，排球（看作点）从点O的正上方点处发出，排球经过的路径可以看作抛物线的一部分，当排球在距离发出点水平距离时，与地面的垂直距离最大，为，落地点为点H，如图，以点O为原点，点O，M，H，K，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（图中所有的点均在同一平面内）． (1)求排球经过路径所在抛物线的函数表达式． (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ 【变式16-1】如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【题型十五】二次函数的实际应用——开口向上抛物线模型 【例17】（24-25九年级上·陕西延安·期末）某厂房因用电需求增大，经审批现从80米外的输电铁塔上架设一根临时供电电缆到厂房楼顶处，供电电缆可近似看作一条抛物线的一部分．已知铁塔与厂房均垂直于地面，且米，电缆在距离铁塔50米的点P处最低，P到地面的距离为15米．如图，以O为原点，以所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在实际架设电缆时，电缆与地面的距离低于17.5米时存在高压线辐射，因此需要建立架空电力线路保护区，试问厂房是否在保护区外？ 【变式17-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）小明在自家院子里晾晒衣服时，他发现晾衣绳的形状可以近似地看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知 ，，之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为．    (1)求晾衣绳所在抛物线的函数解析式； (2)如图，由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数解析式为，且最低点离地面米，求水平距离． 【变式17-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面图的圆心所在直线）为轴的平面直角坐标系（如图）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数表达式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． ★【题型一】二次函数的实际应用——确定新二次函数的解析式 易错解析：二次函数的实际应用中，在求新的抛物线的解析式时，若出现“形状不变”的条件，说明新函数与原函数的a相同，可设顶点式，再用待定系数法求h、k即可。 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图，以水平方向为轴，喷水池中心为原点，过原点且垂直于轴的方向为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； (2)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，求扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否能到达点处，并说明理由． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上点A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处时达到最高，最高高度为，落点B距离喷水柱底端O处，以地面为x轴，柱形喷水装置所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度（即上下平移抛物线），使水流的最终落点与点O的距离为，问喷头A应该向哪个方向调整多少？ 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式及人水处点的坐标． (2)在该运动员的入水处点B的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后的运动路线对应的抛物线的表达式为．若该运动员的出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出的取值范围． 【题型一】根据解析式判断二次函数的性质 ·求解方法：①求出二次函数的解析式（待定系数法或其他知识确定二次函数解析式），并化为顶点式； ②画出二次函数的草图，判断其对称轴、顶点位置、增减性及与坐标轴交点等特征。 【例1】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新抛物线，下列关于这两条抛物线的描述正确的是（   ） A．对称轴相同 B．顶点的横坐标相同 C．顶点的纵坐标相同 D．开口方向相同 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知顶点为的抛物线经过点，有下列结论：①；②若点与点为抛物线上的两点，则；③；④关于的一元二次方程的两根分别为和．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】根据图象判断各系数的关系 ·二次函数图象与系数的关系： ①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口； ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在y轴右，（简称：左同右异）； ③常数项c决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于； ④x=1时，判断a+b+c的符号；x=-1时，判断a-b+c的符号. 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且），下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型三】二次函数的应用——最值问题 方法-利用二次函数的顶点式求最值： ·在函数问题中：①设二次函数图象上的点的坐标为（x，）；②利用两点间的距离公式表示出线段的长（一般情况下是建立一个新的二次函数）；③化为顶点式求最值 ·在图形问题中：①利用方程函数思想，设未知边长为x；②找等量关系，列问题中的量关于所设x的函数关系式（一个二次函数），化为顶点式求最值。 【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，若，则四边形面积的最大值为 ． 【例4】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）公路隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，如图1，其最高点P距离地面的高度为4米，宽度为8米．现以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建过程中，施工队需要搭建矩形支架（由三段组成）对隧道进行装饰，如图2，其中A，D在抛物线上，B，C在地面上，请你帮施工队计算一下这个支架总长的最大值． 【题型四】二次函数与图形综合——面积问题 ·二次函数与图形综合问题的解题步骤与技巧 步骤1：表示题干中的点的坐标 （1）定点——交点坐标：抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的交点坐标 先令ax2+bx+c=kx+b，求交点的横坐标；再代入直线，求交点的纵坐标. （2）动点：直线上的动点（坐标轴上的动点、平行于坐标轴的直线上的动点、一般直线y=kx+b上的动点） ① x轴上的动点（x，0）、y轴上的动点（0，y）、 直线x=2上的动点（2，y）、直线y=2上的动点（x，2）； ② 直线y=kx+b上的动点可设（x，kx+b）；（同时表示出x的取值范围） ③ 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)上的动点可设（x，ax2+bx+c）；（同时表示出x的取值范围） 步骤2：表达问题（问题出现面积、周长、线段关系时） （1）表示面积： ·三角形的面积：①直接运用面积公式：找三角形的底和高（平行于坐标轴）； ②补形：补成矩形再减去多出来的三角形的面积； ③分割（铅垂法）：过三角形上方顶点作x轴的垂线分割三角形 三角形面积等于水平宽度和铅锤高度乘积的一半，关键是求出铅锤线与三角形一边的交点。 如图：水平宽度指三角形底边两个顶点之间的水平距离，铅锤高度指从一个顶点垂直落到对边的高度。 公式为：面积 = (水平宽度×铅锤高度)÷2 → → ·四边形的面积：割补法（分割为几个三角形分别求面积作和） （2）表示周长：利用坐标求两点间距离，表示线段的长，再求线段和（注意无法确定点的位置时，可用绝对值表示两点距离） （3）表示线段关系：线段和、线段比值、线段相等（问题出现等腰三角形、全等三角形、平行四边形） ·最后利用坐标，表示两点间的距离，表示边长。 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点，连接求的面积． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点Q的坐标及的面积． 【变式5-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 【题型五】二次函数与图形综合——特殊三角形的存在性问题 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若是以，为腰的等腰三角形时，求出m的值． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）抛物线与轴相交于，两点（，分别在原点的左右两侧），与轴正半轴相交于点，且，的面积为（如图1）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型六】二次函数与图形综合——特殊四边形的存在性问题 【例7】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知拋物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求拋物线的表达式； (2)若点是直线上第一象限内的一个动点，将抛物线进行平移得到拋物线，点的对应点为点，是否存在以四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由． 【变式7-1】如图，在坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为． (1)求点，，的坐标及对称轴； (2)为上一动点，为抛物线上一动点，是否存在这样的点，，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型七】二次函数与图形综合——相似或全等三角形的存在性问题 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点在线段上，轴，交于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当与相似时，求点的坐标． 【变式8-1】如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，连接，在线段上有一动点P，且点P不与B、C重合，过P作y轴的平行线，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与相似时，求P点的横坐标． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数（6知识&15题型&1易错&5方法清单） 【清单01】二次函数的概念 ·二次函数的表达式：； ·注意：①等号左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式；②等号的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但是不能没有二次项；③a，b，c是常数，且a≠0. 【清单02】列二次函数关系式 一般步骤： ①根据题目信息，找到等量关系、已知量和未知量（自变量和因变量）； ②根据等量关系和已知量列含因变量和自变量的关系式； ③将函数关系式变形为的形式。 【清单03】二次函数y=a(x - h)2 +k图象与性质 y=a(x - h)2 +k a>0 a<0 图象 k>0,h>0 k>0,h<0 k<0,h>0 k<0,h<0 k>0,h<0 k>0,h>0 k<0,h>0 k<0,h<0 对称轴：x=h 顶点坐标：（h，k） 增减性 x>h，y随x的增大而增大; x<h，y随x的增大而减小 x>h，y随x的增大而减小; x<h，y随x的增大而增大 开口方向 开口向上 （图象在直线y=k的上方） 开口向下 （图象在直线y=k的下方） 开口大小 /a/的越大，抛物线开口越小，图象越靠近直线x=h 最值 x=h时，取得最小值k x=h时，取得最大值k 二次函数 的平移 抛物线的形状不变，顶点位置由（0，0）平移到（h，k） 【清单04】二次函数的表达式 表达形式 解析式 关系 适用条件 一般式 配方法把二次函数一般式y= ax2+bx+c化为顶点式y=a(x - h)2 +k， 其中h =，k= 函数上任意三点坐标 顶点式 顶点坐标+ 任一点坐标 两点(根)式 对应一元二次方程有实根和存在时可列两点式， 函数与x轴无交点，不能如此表示。 与x轴的交点坐标+任一点坐标 【清单05】y= ax2+bx+c与x轴交点的个数与ax2+bx+c=0根的个数之间的关系 ·内容：一元二次方程ax2+bx+c=0的解是其对应的二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标。 ·应用：①利用判别式可以判断二次函数y= ax2+bx+c的图像与x轴是否有交点； ②根据二次函数y= ax2+bx+c的图象与x轴交点的位置，可以判断ax2+bx+c=0的近似解。 y= ax2+bx+c(a≠0) 图象 a>0 a<0 令y=0，ax2+bx+c=0 ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 ·推广1：一元二次方程ax2+bx+c=h的根是二次函数y= ax2+bx+c与y=h(h是实数)交点的横坐标 ·推广2：二次函数与y=kx+b(k≠0，k、b是实数)交点的情况与一元二次方程的关系 y= ax2+bx+c(a≠0)与 y=kx+b(k≠0)图象的交点情况 图象 令y值相等，ax2+bx+c= kx+b ：两个交点 ：一个交点 ：无交点 存在实数根x1<x2 存在实数根x1=x2 不存在实数根 【清单06】二次函数的应用与模型思想 ·可抽象出二次函数图象的应用题 ①根据实际模型（示意图）建立平面直角坐标系，转化为数学问题； ②表示出相关点的坐标； ③建立二次函数模型：求二次函数关系式 ④运用二次函数的图象与性质进行决策（求最值、截线长等） ·销售等实际问题中的二次函数模型 1.根据题干信息确定二次函数关系式：①找变量之间的关系，列等量关系；②变形为二次函数的一般形式． 2.根据题意解决问题并做出决策 3.增长率问题：第三次的值=第一次的值×(1+增长率)² 【题型一】二次函数的定义 【例1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）若函数是y关于x的二次函数．则常数m的值是 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此得到且，再解方程即可． 【详解】解：由题意得且， 解得：， 故答案为：2． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．2 C．或2 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， 且， 解得：， 故选：B． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下列各式中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．根据二次函数的定义，对选项逐一分析判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； B、是反比例函数，不是二次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、自变量x最高次数是3，不是二次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． ★【题型二】根据二次函数的性质比较大小 【例2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知在二次函数的图象上，则的大小关系是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求自变量的值或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数函数值的计算与比较，解题的关键是根据二次函数解析式，通过直接代入点的横坐标求出对应函数值来比较大小． 直接将三点的横坐标、、分别代入二次函数的解析式，计算出、、的具体数值，再对数值进行大小比较，即可得出三者关系；也可先求对称轴判断增减性，但本题代入求值更直接高效． 【详解】解：分别将、、代入二次函数： 当时，； 当时，； 当时，； ∵， ∴ 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）已知点，在二次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确求得，是解题的关键．先根据二次函数的解析式求出，，然后比较大小即可得出结论． 【详解】解：∵点，在二次函数的图象上， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）抛物线经过三点，则的大小关系为 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则在对称轴左侧y随x增大而减小，再根据关于对称轴对称的点为，且可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧y随x增大而减小， ∵关于对称轴对称的点为，且， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线，（）的图象上三个点的坐标分别为，，，若，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，由题意得抛物线的对称轴为，开口向下，时有最大值．再根据已知条件可得出，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴时有最大值． ∵，， ∴A，C在的两侧，且A离对称轴较远， ∴， ∴， 故选：C． ★【题型三】求二次函数的顶点坐标 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将二次函数化为顶点式，下列结果正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了把二次函数的一般式化为顶点式；将已知的抛物线化为，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：A． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）二次函数的图象顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 根据二次函数，其顶点坐标为，即可获得答案． 【详解】解：对于二次函数， 其顶点坐标是． 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）求下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标： (1) (2) 【答案】(1)该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为 (2)该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握求二次函数顶点的方法，通过配方求解． （1）将抛物线解析式化为顶点式即可求解． （2）将抛物线解析式化为顶点式即可求解． 【详解】（1）解： ， 该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：， 该函数图象对称轴为直线，顶点坐标为． 【变式3-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数，当时，，则该二次函数图象的顶点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，由题意得，该二次函数图象的顶点坐标为，将代入，得，解得，即可得，，进而可得结论． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标为， ∵当时，， ∴， 解得． ∴，， ∴该二次函数图象的顶点位于第二象限． 故选：C． 【题型四】根据系数判断二次函数的图象 【例4】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图为一次函数的图象，则二次函数在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查了二次函数的图像以及一次函数图像与系数的关系．根据一次函数通过的象限确定a、b的正负是解题的关键． 根据一次函数的位置确定出，再结合二次函数的图像与系数的关系逐选项去分析即可． 【详解】解：由图象可知，一次函数的图象经过一、二、三象限，可得， A． 由二次函数图象可知，，不符合题意； B． 由二次函数图象可知，，符合题意； C． 由二次函数图象可知，，不符合题意； D． 由二次函数图象可知，，不符合题意； 故答案为：B． ★【题型五】根据二次函数的平移求解析式 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）将抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键；根据“上加下减”的法则进行解答即可． 【详解】解：抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为：，即． 故答案为：． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西汉中·期末）把抛物线向下平移3个单位长度，所得到的新抛物线的表达式为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查二次函数图象平移规律，解决本题的关键是要熟练掌握二次函数平移规律；根据二次函数平移规律：上加下减，左加右减，进行求解即可． 【详解】解：∵把抛物线向下平移3个单位长度， ∴所得到的新抛物线的表达式为， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）将抛物线先向右平移1个单位，再向下平移 2 个单位后，得到的抛物线表达式为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可解题． 【详解】解：抛物线先向右平移1个单位，再向下平移 2 个单位后，得到的抛物线表达式为， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数的图象向下平移个单位长度可以得到一个新的抛物线． (1)请你写出这个新抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在这个新抛物线上． 【答案】(1)新抛物线解析式为； (2)点在这个新抛物线上． 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【分析】本题考查的知识点是二次函数的平移规律、二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数的平移规律． （1）根据二次函数的平移规律：“左加右减，上加下减”，即可得解； （2）将点的横坐标代入新抛物线解析式能得到纵坐标即可判断该点在新抛物线上． 【详解】（1）解：根据二次函数的平移规律可得： 的图象向下平移个单位长度后得到的新抛物线解析式为； （2）解：将代入新抛物线解析式可得， 即点在抛物线上． ★【题型六】求二次函数的最值 【例6】如表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值，求这个二次函数的最小值为 ． x … 0 1 4 … y … 18 6 3 6 … 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】将，，代入，得，解方程组即可求出、、的值，进而得出二次函数解析式，然后求其最值，即可。 【详解】解：将，，代入，得： ，解得：， ， ， 该函数的最小值是． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知二次函数，当时，的最大值与最小值之和为 ． 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，将二次函数解析式利用配方法转化为顶点式，求得对称轴直线和顶点坐标，结合二次函数的最值作答即可． 【详解】解：二次函数，则该函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是， 所以当时，y的最大值是4， 因为， 所以当时，， 所以y的最大值与最小值之和为：． 故答案为：4． 【变式6-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于C． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线下方的抛物线取一点M，过点M作平行于y轴的直线交于N，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式，二次函数的最值，理解和掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法将A点的坐标代入抛物线的解析式中即可求解． （2）先求得直线的解析式，然后根据与y轴的平行可设点，，则，依据二次函数的性质即可求得的最大值． 【详解】（1）解：将代入抛物线中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令得，， ∴点B的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为：， 将点，代入得 ， ∴． 直线的解析式为：． 因平行于y轴，且点N在直线上，点M在抛物线上， 故设点，， ， 当时，的值最大， 最大值为：． 【题型七】根据二次函数的性质求参数的值（范围） 【例7】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）已知二次函数（a为常数），当时，y随x的增大而减小，则a的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，能够将增减性与对称轴及开口方向联系起来是解题关键．根据二次函数的图象和性质即可得解． 【详解】二次函数开口向下，对称轴为直线， 当时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， ， 故答案为：． 【变式7-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）二次函数的部分图象如图所示，若图象过点，对称轴为直线，则关于的一元二次方程的一个正根为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性是解题的关键． 根据图象过点，对称轴为直线，结合二次函数对称性即可求解． 【详解】解：∵图象过点，对称轴为直线， ∴与点关于对称轴直线的对称点为， ∴当时的函数值与时的函数值相等， ∴关于的一元二次方程的一个正根为， 故答案为： ． 【例8】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减． 根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出平移后的二次函数解析式，然后将点代入，得出关于的一元一次方程，解方程即可求出m的值． 【详解】解：二次函数的解析式为， 将该二次函数图象向上平移个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为， 平移后的抛物线经过点， ， 解得：． 【变式8-1】如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中，． (1)求点B的坐标； (2)连接，现将二次函数的图象向下平移m个单位长度，使得顶点恰好落在线段上，请求出此时m的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值、二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，平移，一次函数的性质等知识． （1）先利用待定系数法求出二次函数解析式，再利用轴对称的性质即可求出点B的坐标． （2）先利用待定系数法求出的解析式，再利用平移的性质求出顶点的坐标，再把平移后的顶点坐标代入的解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：将和代入中， 得 解得 ∴该二次函数的表达式为 ∴对称轴为直线． ∵， ∴点B的坐标为 （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为． 由（1）可知， 设的解析式为：， 则， 解得： ∴直线的表达式为． ∵平移后的顶点为， 由题意可得， 解得． 【题型八】二次函数与一元二次方程的关系 【例9】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则关于的一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 先利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的另一个交点坐标为，则方程的解为，，由于关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程，所以或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：由二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为， 即抛物线与轴的一个交点坐标为， ∵抛物线对称轴为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， 即方程的解为，， ∵关于的一元二次方程可看作关于的一元二次方程， ∴或， 解得，， 即关于的一元二次方程的解为，， 故选：D． 【变式9-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和，那么一元二次方程的两个根分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查的知识点是二次函数与一元二次方程的关系—抛物线与x轴的交点问题，解题关键是正确理解二次函数与一元二次方程的关系． 根据二次函数与一元二次方程的关系即可得解． 【详解】解：根据二次函数与一元二次方程的关系可得， 当二次函数的图象与轴两个交点的坐标分别是和时， 即一元二次方程有两个解，分别是，． 故选：． 【变式9-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）函数与x轴的交点如图所示，则方程的实数根 ， ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】此题考查了二次函数图象与x轴的交点和一元二次方程的解的关系，根据函数与x轴的交点为即可求出答案． 【详解】解：∵函数与x轴的交点为， 即当或时，， ∴方程的实数根，， 故答案为：，， 【变式9-3】（24-25九年级上·陕西安康·期末）若方程的两个根是和，则二次函数的图象的对称轴是直线 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一元二次方程的根与系数的关系，求出二次函数图象的对称轴． 【详解】解：方程的两个根是和， 二次函数的图象的对称轴是直线， 故答案为：． 【题型九】根据二次函数对称性求最短路径 ·方法：应用对称轴性质求三点之间的最短距离，可作已知一点关于对称轴的对称点，再转化线段，根据两点之间线段最短，三点共线时即为所求最短距离． 【例10】如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．      【答案】 【详解】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，      令，则，解得： ∴，， 当时，， ∴ 设直线的解析式为，带入得 ，解得：， ∴， 当时，， ∴点P的坐标为 【变式10-1】如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】． 【详解】假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． ★【题型十】根据表格判断二次函数的性质 ·方法：①先用待定系数法求二次函数解析式；②画草图，根据图象、性质解题。 【例11】（24-25九年级上·陕西西安·期末）二次函数中的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 4 … y … 16 7 0 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．若点，都在抛物线上，则 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据表中数据找出二次函数的对称轴，利用二次函数图象对称性、增减性和顶点坐标特点，即可解题，数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：A、当x逐渐增大时，y的值先变小再变大，所以，图象的开口向上，故不符合题意； B、根据，和，，可知二次函数的对称轴为，故不符合题意； C、∵图象的开口向上，对称轴为， ∴当时，y随x的增大而增大，故符合题意； D、∵，，，根据离对称轴越近，函数值越小， ∴，故不符合题意； 故选：C． 【变式11-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）抛物线上部分点的坐标如下表： … 0 1 … … … 下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．抛物线开口向下 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性和二次函数图象的性质，根据对称性可求出对称轴为直线，再由当时的函数值大于时的函数值可得抛物线开口向下，则可得到抛物线的增减性，再由对称性求出当时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵当时和时的函数值相同， ∴对称轴为直线，故A说法正确，不符合题意； ∵当时的函数值大于时的函数值， ∴抛物线开口向下，故D说法正确，不符合题意 ∴当时，随的增大而减小，故B说法正确，不符合题意； 由对称性可知，时的函数值与时的函数值相同， ∴当时，，故C说法错误，符合题意； 故选：C． 【变式11-2】（24-25九年级上·陕西延安·期末）二次函数的图象上部分点的坐标如下表，下列说法错误的是（   ） … 0 1 … … … A．抛物线开口向下 B．当时， C．当时，y随x的增大而减小 D．若，则y的取值范围是 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，先求出二次函数的对称轴为直线，结合表格可得当时，随着的增大而增大，当，随着的增大而减小，故抛物线开口向下，由对称性可得，当时，，从而即可得解． 【详解】解：由表格中点，可得对称轴为直线， 当时，随着的增大而增大，当，随着的增大而减小，故抛物线开口向下，故AC正确，不符合题意； 由表格可得，当时，，结合抛物线的对称性可得，当时，，故B错误，符合题意； 若，则y的取值范围是，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【变式11-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，且）y与x的部分对应值如下表： x … 0 3 5 … y … 16 0 0 … 下列结论正确的是（   ） A．抛物线开口向下 B．有最小值 C．若，是抛物线上两点，则 D．当时， 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，结合和时，此时，则该抛物线的对称轴是直线，则越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即抛物线开口向上，在对称轴时，函数值有最小值，且小于，即可作答． 【详解】解：依题意，和时，此时， 则该抛物线的对称轴是直线， ∵时，；时，，且， ∴越靠近对称轴的所对应的函数值越小，即抛物线开口向上； 故A选项不符合题意； 则在对称轴时，函数值有最小值，且时所对应的， 即抛物线有最小值，且小于， 故B选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，且对称轴是直线，越靠近对称轴的所对应的函数值越小，且 ∴， 则或， 故C选项不符合题意； ∵抛物线开口向上，且对称轴是直线，越靠近对称轴的所对应的函数值越小， ∴当时，， 即D选项符合题意， 故选：D． 【变式11-4】（24-25九年级上·陕西西安·期末）下表列出了二次函数（，，为常数）的自变量与的几组对应值： … 0 1 3 … … 8 … 则下列说法不正确的是（   ） A．二次函数开口向上 B．若点，都在抛物线上，则 C．方程有两个相等的实数根 D．二次函数有最小值，最小值小于 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，从而可判断选项A和D正确；求出和时，的值即可判断选项B正确；利用一元二次方程的根的判别式即可判断选项C不正确，由此即可出答案． 【详解】解：将点代入得：， 解得， 则二次函数的解析式为， ∵二次函数中的， ∴二次函数的开口向上，则选项A正确，不符合题意； 当时，， 当时，， ∴若点，都在抛物线上，则，选项B正确，不符合题意； 方程，即的根的判别式为， ∴方程有两个不相等的实数根，选项C不正确，符合题意； 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值，最小值为，选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【题型十一】二次函数的应用——增长率问题 【例12】（24-25九年级上·陕西西安·期末）据统计，7月份我国新能源汽车的销量为98万辆，8，9月份销量逐月增加．若第三季度的累计销量为万辆，平均月增长率为，则关于的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的解析式，学会由实际问题抽象出函数的关系式是解题的关键． 分别表示8月，9月的销量，再把7，8，9三月的销量加起来即可得到关于的函数解析式． 【详解】解：平均月增长率为， 则8月份销量为：， 9月份销量为：， ∴， 故选：D． 【变式12-1】某厂有一种产品现在的年产量是2万件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（万件）将随计划所定的x的值而确定，那么y与x之间的关系式应表示为 ． 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据平均增长问题，可得答案． 【详解】解：y与x之间的关系应表示为y＝2（x+1）2． 故答案为：y＝2（x+1）2． 【点睛】本题考查了函数关系式，利用增长问题获得函数解析式是解题关键，注意增加x倍是原来的（x+1）倍． 【题型十二】二次函数的应用——图形问题 【例13】（24-25九年级上·陕西西安·期末）某建筑商计划依靠一面长18米的墙建造一个如图所示的矩形仓库，仓库的另外三面用36米长的建筑材料围成． (1)请写出仓库面积S（），与边的长（m）之间的函数关系式； (2)当边的长是多少米时，仓库的面积最大? 【答案】(1) (2)当边的长为9米时，仓库的面积最大 【难度】0.85 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设为米，则有为米，然后可得函数关系式； （2）根据（1）中函数关系式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设为米， ∴为米； ∴． （2）解：∵， ∵S与的二次函数图象开口向下， ∴当时，S可取最大值， 当时，边的长为（米），仓库依靠的墙长度为18米，符合实际情况． ∴当时，仓库的面积可取最大； 答：当边的长为9米时，仓库的面积最大． 【变式13-1】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，要建一个矩形仓库，仓库的长边靠墙（墙长45米），并在与墙平行的一边开一道1米宽的门方便出入，现在围成仓库的木板长75米，设仓库的宽为x米，面积为y平方米． (1)求y与x的函数关系式； (2)若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为多少米？ 【答案】(1) (2)23米 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、求不等式组的解集、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用、一元一次不等式组的应用、一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数关系式是解答的关键． （1）先用x表示出仓库的长为米，然后利用矩形面积公式求得函数关系式； （2）由列方程求解即可． 【详解】（1）解：设仓库的宽为x米，则仓库的长为米， 根据题意，仓库的面积， ∵，解得， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：当时，由得， 解得，（舍去）， 答：若要建的矩形仓库的面积为690平方米，则仓库的宽为23米． 【变式13-2】某公园要铺设广场地面，其图案设计如图所示，矩形地面长米，宽米，中心建设一个直径为米的圆形喷泉（空白部分），四周各角留一个矩形花坛（空白部分），且矩形花坛的长比宽多米． (1)若阴影部分铺设地砖的面积是平方米（取），求矩形花坛的长； (2)若在图中阴影部分铺绿色地砖，其余部分铺白色地砖，铺白色地面砖的费用为每平方米元，铺绿色地面砖的费用为每平方米元．矩形花坛的长是多少米时，铺设地砖的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)米 (2)矩形花坛的长是米时，铺设地砖的总费用最少，最少费用是元 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（）设矩形花坛的宽是米，则长是米，根据阴影铺设地砖的面积是平方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得求解； （）设矩形花坛的长是米，则宽是米，总费用为元，根据题意列出与之间的二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，正确地理解题意列出方程和函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设矩形花坛的宽是米，则长是米， 依题意得，， 解得，（不合题意，舍去）， 答：矩形花坛的宽是米，长是米； （2）解：设矩形花坛的长是米，则宽是米，总费用为元， 根据题意得，， 即， ∴当时，取最小值，最小值为， 答：矩形花坛的长是米时，铺设地砖的总费用最少，最少费用是元． 【题型十三】二次函数的应用——销售问题 【例14】（24-25九年级上·陕西西安·期末）由于猪肉市场的供不应求，近期猪肉价格居高不下，云腿猪肉店以每千克30元的成本购进猪肉销售，然后以每千克50元的价格售出，每天可售出100千克．在此基础上，若每千克猪肉每降价1元，则每天可多售出10千克．当每千克猪肉降价之后的售价为多少元时，每天销售猪肉获得的利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】每千克猪肉降价之后的售价为元时，每天的猪肉的利润最大，最大为元 【难度】0.65 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握“每每问题”的解决方法是解题的关键． 设每千克猪肉的售价应降至元，每天的猪肉的利润为元，则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克，根据题意列出关于的函数关系式，再根据二次函数最值求解即可． 【详解】解：设每千克猪肉降价之后的售价为元，每天的猪肉的利润为元， 则每千克的销售利润为元，每天的销售量为千克， 则， 因为， 所以当时，取最大值， 答：当每千克猪肉降价之后的售价为元时，每天的猪肉的利润最大，最大为元． 【变式14-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）某社区新建了一栋三层停车楼，每一层的布局都如图所示．已知每层长70米，宽30米．阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道．现停车位需要喷漆，且每层的喷漆面积为1200平方米．    (1)通道的宽是多少米？ (2)据调查分析，停车场多余50个车位可以对外出租，当每个车位的月租金为200元时，多余的50个车位可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，该停车场就会少租出1个车位．当每个车位月租金上涨多少元时，总的月租金收入最大？最大收入是多少？ 【答案】(1)通道的宽是5米 (2)当每个车位的月租金上涨150元时，总的月租金收入最大，最大收入是12250元 【难度】0.65 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用知识点，解题的关键是根据题目中的数量关系列出方程和函数关系式。 （1）通过设通道的宽是米，根据每层总面积和喷漆面积列出关于通道宽的方程，求解得到通道宽。 （2）设每个车位的月租金上涨元，总的月租金收入为元，根据租金上涨与出租车位数量的关系列出月租金收入的函数关系式，再利用二次函数性质求最大值。 【详解】（1）解：设通道的宽是米，则每一层的停车位可合成长为米，宽为米的矩形． 依题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：通道的宽是5米． （2）设每个车位的月租金上涨元，总的月租金收入为元． 依题意，得． ， 当时，最大，最大值为12250元． 答：当每个车位的月租金上涨150元时，总的月租金收入最大，最大收入是12250元． 【题型十四】二次函数的实际应用——拱桥/隧道模型（根据题意求变量的值） 【例15】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，这是一个正在修建中的高速公路隧道，该高速公路隧道的横断面为抛物线，抛物线的最高点离地面的距离为米，宽度为米． (1)以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求该抛物线的表达式． (2)该隧道下方的公路是双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)该抛物线的表达式为，自变量的取值范围是； (2)其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意得出，，，设该抛物线的表达式为，再用待定系数法即可求解； （2）根据抛物线解析式求出，当时，自变量的值，即可得出在什么范围内能通过题中的车辆，根据题意得出车道需要的宽度，比较即可得解． 【详解】（1）解：依题得：，，， 设该抛物线的表达式为， 将代入得， 该抛物线的表达式为，其中自变量的取值范围是； （2）解：由（1）得，抛物线的表达式为， 则当时，， 解得， 其中，， 即在范围内，可通过高米的车辆， 要使双向行车道（正中间有一条宽为米的隔离带）其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆， 则能通过高米的车辆的宽度至少需为， ， 其中的一条行车道能行驶宽米、高米的车辆． 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的实际应用，解题关键是熟练掌握二次函数的实际应用． 【变式15-1】图1是某学校的大门，门拱形状可近似地看作抛物线，图2是其示意图，门拱底部与地面的交点记为，，最高点记为点，以所在直线为轴，过点垂直平分的直线为轴建立平面直角坐标系．学校综合实践小组测得，，且． (1)求门拱所在的抛物线表达式； (2)如图2，线段和线段分别表示大门两侧一钢笔造型的建筑．经测量和等高且，在距离点右侧处的门拱上方及其右侧对称位置悬挂标语框，已知一工作人员伸手到地面距离最高，求悬挂标语框时脚手架的最低高度． 【答案】(1)抛物线的表达式为 y =+5 (2)悬挂标语框时脚手架的高度最低为米 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用．用待定系数法求得相应的二次函数解析式是解决本题的关键；易错点是判断出悬挂位置处的点的横坐标． （1）先求出点B和点D的坐标，设抛物线解析式为：，把点B和点D的坐标代入可得a和h的值； （2）根据点A，B关于y轴对称，，求出点A的坐标，设点 E 右侧处为点I，从而得到I的坐标，求出时的高度，减去即可． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ， 且 ， ， 设抛物线的表达式为， 将 分别代入得 ， ， 抛物线的表达式为； （2）由题意可知，点A，B关于y轴对称，， ， 设点 E 右侧处为点I， 则， 当时，， 米， 答：悬挂标语框时脚手架的高度最低为米． 【变式15-2】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【难度】0.85 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 【题型十五】二次函数的实际应用——投球问题 【例16】（24-25九年级上·陕西西安·期末）排球运动是一种全身性的体育活动，它能够有效提升心肺功能，改善柔韧性和协调性．一名排球运动员在原点O处训练发球，球网高，与原点O的水平距离为，且与地面垂直，球场的边界（点K）与原点O的水平距离为，排球（看作点）从点O的正上方点处发出，排球经过的路径可以看作抛物线的一部分，当排球在距离发出点水平距离时，与地面的垂直距离最大，为，落地点为点H，如图，以点O为原点，点O，M，H，K，所在的直线为x轴，所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．（图中所有的点均在同一平面内）． (1)求排球经过路径所在抛物线的函数表达式． (2)通过计算判断发出后的排球能否越过球网？是否会出界？ 【答案】(1) (2)能越过球网，不会出界 【难度】0.65 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了实际问题与二次函数：投球问题(实际问题与二次函数)，待定系数法求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先依题意，得顶点坐标是，设函数表达式为，再代入进行计算，即可作答． （2）先把代入，得，再令代入，解得，因为，且，即，故不会出界． 【详解】（1）解：∵当排球在距离发出点水平距离时，与地面的垂直距离最大，为， ∴排球经过路径所在抛物线的顶点坐标是， 故设排球经过路径所在抛物线的函数表达式为， 依题意，把代入，得， 解得， ∴； （2）解：∵球网高，与原点O的水平距离为，且与地面垂直， ∴把代入， 得， ∴发出后的排球能越过球网， 令代入， 得， 解得， 则， ∵，且， ∴， 故不会出界． 【变式16-1】如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的A处射门，已知球门高为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式（不必写出自变量的取值范围）； (2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． 【答案】(1) (2)球不能射进球门，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出二次函数解析式． （1）用待定系数法，求出抛物线的解析式即可； （2）把代入抛物线解析式，求出y的值，然后与进行比较即可． 【详解】（1）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 把点代入，得， 解得 ∴抛物线的解析式为：． （2）解：当时，， ∴球不能射进球门． 【题型十五】二次函数的实际应用——开口向上抛物线模型 【例17】（24-25九年级上·陕西延安·期末）某厂房因用电需求增大，经审批现从80米外的输电铁塔上架设一根临时供电电缆到厂房楼顶处，供电电缆可近似看作一条抛物线的一部分．已知铁塔与厂房均垂直于地面，且米，电缆在距离铁塔50米的点P处最低，P到地面的距离为15米．如图，以O为原点，以所在直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在实际架设电缆时，电缆与地面的距离低于17.5米时存在高压线辐射，因此需要建立架空电力线路保护区，试问厂房是否在保护区外？ 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)厂房在保护区外，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查是二次函数的应用； （1）由题意可知，点坐标为，顶点的坐标为，设抛物线解析式为，待定系数法求解析式即可求解； （2）将代入中，解方程，结合题意取舍方程的解，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，点坐标为，顶点的坐标为， 设抛物线解析式为， 将代入中，得， 解得， 所以，抛物线的解析式为； （2）由题意，将代入中得到 解得或， ， 厂房在保护区外． 【变式17-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）小明在自家院子里晾晒衣服时，他发现晾衣绳的形状可以近似地看作一条抛物线．经过测量，他发现立柱，均与地面垂直．如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知 ，，之间的水平距离．绳子最低点与地面的距离为．    (1)求晾衣绳所在抛物线的函数解析式； (2)如图，由于晾晒的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小明用一根垂直于地面的立柱撑起绳子，的高度为，通过调整的位置，使左边抛物线对应的函数解析式为，且最低点离地面米，求水平距离． 【答案】(1)； (2)水平距离为米． 【难度】0.65 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）根据题意可得，抛物线的对称轴为，顶点坐标为，点，点，设抛物线的表达式为，将点代入求解即可； （）根据的最低点离地面米，可得，，将点代入可求出抛物线的表达式，根据的高度为，令，求出横坐标的值，即可求得，进而得到水平距离． 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，待定系数法求函数的解析式，函数图象平移的性质，以及利用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，      由题意得， 抛物线的对称轴为直线， 顶点的坐标为：顶点坐标为，点，点， 设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， 解得， ∴晾衣绳所在抛物线的函数解析式为； （2）解：如图所示，    由题知，的最低点离地面米， ∴， ∴抛物线的表达式为：， ∵点在抛物线上， ∴当时，， ∴， ∴， 则抛物线的表达式为， ∴当时，即， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，（米）， 答：水平距离为米． 【变式17-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面图的圆心所在直线）为轴的平面直角坐标系（如图）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数表达式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【答案】(1)； (2)． 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（）利用待定系数法求解析式即可； （）先求出此时水面距碗底的距离为，即，然后当代入，求出的值即可； 本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知点，点， 设抛物线的函数表达式为， 则，解得， ∴碗的轴截面所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵水面与桌面的距离为， ∴此时水面距碗底的距离为，即， 当时，， 解得，， ∴液面的宽度为． ★【题型一】二次函数的实际应用——确定新二次函数的解析式 易错解析：二次函数的实际应用中，在求新的抛物线的解析式时，若出现“形状不变”的条件，说明新函数与原函数的a相同，可设顶点式，再用待定系数法求h、k即可。 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图，以水平方向为轴，喷水池中心为原点，过原点且垂直于轴的方向为轴建立平面直角坐标系． (1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式； (2)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，求扩建改造后喷水池水柱的最大高度． 【答案】(1) (2)米 【难度】0.65 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的知识点是二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象及其性质是解此题的关键． （1）设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，代入点，求出a值，此题得解； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出抛物线与y轴的交点坐标，由抛物线的形状不变可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，代入点可求出b值，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出结论． 【详解】（1）解：设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， 将代入中得：， 解得：， ∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． （2）解：当时， ． 设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为． ∵函数的图象过点， ∴， 解得：， ∴改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为， ∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米． 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否能到达点处，并说明理由． 【答案】(1)第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为 (2)水流能到达点处，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为，且过，设抛物线的解析式为，用待定系数法解答即可求解； （2）利用平移求出第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值，即可判断求解． 【详解】（1）解：根据题意得出第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得， ， 第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：由题意得第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 令，得， 第二次灭火时水流所在抛物线过点， 水流能到达点处． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，一个圆形水池的中央安装了一个柱形喷水装置，装置上点A处的喷头向外喷水，喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处时达到最高，最高高度为，落点B距离喷水柱底端O处，以地面为x轴，柱形喷水装置所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的表达式； (2)在保证水流形状不变的前提下，上下调整喷头A的高度（即上下平移抛物线），使水流的最终落点与点O的距离为，问喷头A应该向哪个方向调整多少？ 【答案】(1) (2)喷头A应该向上调整 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法； （1）由题意得抛物线的顶点为，，由待定系数法设顶点式，即可求解； （2）设向上调高，由抛物线的平移规律得，将代入计算，即可求解； 理解横纵坐标的实际意义，能熟练用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得抛物线的顶点为，， 设抛物线的表达式为， ， 解得：， 抛物线的表达式； （2）解：设向上调高，则有 ， 经过， ， 解得：， 故喷头A应该向上调整． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，某跳水运动员在10米跳台上进行跳水训练，水面与轴交于点，运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处点A的坐标为．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线． (1)求运动员在空中运动时对应抛物线的表达式及人水处点的坐标． (2)在该运动员的入水处点B的正前方有M，N两点，且，，该运动员入水后的运动路线对应的抛物线的表达式为．若该运动员的出水处点D在之间（包括M，N两点），请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数的图象与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）设抛物线的解析式为，代入解析式，得，进而可得空中运动时对应抛物线的解析式为，令，则，求出满足要求的，进而可得点坐标； （2）先确定，，，将，，分别代入得到方程组，求解，即可确定k的取值范围． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 空中运动时对应抛物线的解析式为， 令，则， 解得（舍去），， 的坐标为． （2）解：由题意知，当抛物线经过点时，最大． ∵， ∴， ∵， ∴ 当经过点时， 将点代入得：， ∴ 解得：， 由题意知，当经过点时，最小， 将代入得：， ∴， 解得：， ∵该运动员的出水处点D在之间（包括M，N两点）， ∴． 【题型一】根据解析式判断二次函数的性质 ·求解方法：①求出二次函数的解析式（待定系数法或其他知识确定二次函数解析式），并化为顶点式； ②画出二次函数的草图，判断其对称轴、顶点位置、增减性及与坐标轴交点等特征。 【例1】（24-25九年级上·陕西商洛·期末）对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（　　） A．开口向上 B．顶点坐标 C．对称轴是直线 D．在时，随的增大而增大 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；根据二次函数的图象及性质逐一判断即可求解． 【详解】解：A、，抛物线的开口向下，则该选项错误，故不符合题意； B、顶点坐标为，则该选项错误，故不符合题意； C、对称轴是直线，则该选项正确，故符合题意； D、当时，随的增大而减小，则该选项错误，不符合题意； 故选：C 【变式1-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新抛物线，下列关于这两条抛物线的描述正确的是（   ） A．对称轴相同 B．顶点的横坐标相同 C．顶点的纵坐标相同 D．开口方向相同 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移及性质，根据二次函数的平移及性质可进行求解． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新抛物线的解析式为 的对称轴为直线，顶点为，开口向上， 的对称轴为直线，顶点为，开口向上， 故选：D． 【变式1-2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知顶点为的抛物线经过点，有下列结论：①；②若点与点为抛物线上的两点，则；③；④关于的一元二次方程的两根分别为和．其中正确结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一元二次方程的关系，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数的性质． 由抛物线的顶点为，代入得，即可判断①；确定抛物线开口向上，则当，随着的增大而减小，可得点的对称点也在抛物线上，由增减性判断②；顶点为的抛物线，开口向上，则，即可判断③；由于抛物线经过点，对称轴为直线，则也经过，故关于的一元二次方程的两根分别为和，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为，且经过点， ∴抛物线开口向上， ∴当，随着的增大而减小， ∵点， ∴由对称性得也在抛物线上， ∵，都在对称轴左侧， ∴，故②错误； ∵顶点为的抛物线，开口向上， ∴，故③正确； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴也经过， ∴关于的一元二次方程的两根分别为和，故④正确， 故选：C． 【题型二】根据图象判断各系数的关系 ·二次函数图象与系数的关系： ①二次项系数决定抛物线的开口方向，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口； ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左； 当与异号时（即），对称轴在y轴右，（简称：左同右异）； ③常数项c决定抛物线与轴交点，抛物线与y轴交于； ④x=1时，判断a+b+c的符号；x=-1时，判断a-b+c的符号. 【例2】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，由抛物线的开口方向，对称轴直线的位置，与轴交点的位置得出，，，故；由图象可知：，，即，故；由对称轴，，则，故有；由图象可知：顶点的纵坐标大于，从而得出不等式，求解即可得出，掌握二次函数图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象开口可知：， 由对称轴可知：， ∴， 又由抛物线与轴的交点可知：， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、由图象可知：，， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 、∵对称轴，， ∴， ∴，故原选项错误，符合题意； 、由图象可知：顶点的纵坐标大于， ∴， ∵， ∴， ∴，故原选项正确，不符合题意； 故选：． 【变式2-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）二次函数（a，b，c为常数，且）的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④图象过点．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数图像的知识；由抛物线的对称轴性质，可对③进行判断；利用抛物线与y轴交点的位置，则可对①进行判断；结合当时，，可对②进行判断；最后根据抛物线的对称性计算，即可完成求解． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴，即③正确； ∵抛物线与x轴的交点在x轴上方， ∴ ∴，即①不正确； 根据图象，当时，， ∴当时， ∴，即②不正确； ∵抛物线图象过点，对称轴为直线 ∴抛物线和x轴的另一个交点为， ∴抛物线图象过点，即④正确； 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·陕西铜川·期末）如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线，点A的坐标为，则下面的结论中：①；②；③；④当时，或，其中正确的结论个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．熟练掌握二次函数图像的开口方向，对称轴，与y轴交点，与x轴交点，对称性增减性，是解答本题的关键． 根据抛物线开口向下，得，对称轴是直线， 得，与y轴的交点在x轴上方，得 ，得，即可判断①；根据，得，即可判断②；当时，，即可判断③；根据点关于对称轴直线对称的点为，得当时，或，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∴， 故②不正确，不符合题意； ∵当时，， 即， 故③正确，符合题意； ∵点与点B关于对称轴直线对称， ∴， ∴当时，或， 故④正确，符合题意． 所以正确的有①③④共3个． 故选：B． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）已知抛物线如图所示，它与x轴的一个交点为，其对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度后得到抛物线（a、b、c为常数，且），下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数的平移、二次函数的图象与性质等知识，先根据平移方向和距离求出抛物线的对称轴为直线，可得出，，即可判断①；得到抛物线与x轴的两个交点为，，抛物线与y轴的负半轴相交，即可判断②；当时，，即可判断③；抛物线与x轴有两个交点，即可判断④． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴，即， 故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，它与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵将抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点为，， 又∵抛物线开口向下， ∴抛物线与y轴的负半轴相交， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴的两个交点为，，抛物线开口向下， ∴当时，， 故③正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故④正确； 综上可知，正确的结论是②③④， 故选：C． 【题型三】二次函数的应用——最值问题 方法-利用二次函数的顶点式求最值： ·在函数问题中：①设二次函数图象上的点的坐标为（x，）；②利用两点间的距离公式表示出线段的长（一般情况下是建立一个新的二次函数）；③化为顶点式求最值 ·在图形问题中：①利用方程函数思想，设未知边长为x；②找等量关系，列问题中的量关于所设x的函数关系式（一个二次函数），化为顶点式求最值。 【例3】（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形中，是边上的动点，，连接为的中点，连接，若，，则的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题关键是熟练运用二次函数解决问题．首先根据已知条件可得、、都是直角三角形，设，由含30度直角的三角形性质和勾股定理可得，再由直角三角形斜边中线等于斜边的一半得出，进而可得，由二次函数的性质求出的最小值，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，是线段的中点， ∴， ∴，即， ∴当时，取最小值为，此时取最小值． 答案为：． 【变式3-1】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形的对角线与相交于点，若，则四边形面积的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查二次函数的最值问题，解题的关键是作出三角形的高并且用代数式表示出三角形的面积．作于点，于点，设则，则四边形面积为，得，再由二次函数的最值公式求值即可． 【详解】解：如图，作于点，于点， ∵， ∴， ∴， 设则，设四边形面积为 ∴ ， 当时，有最大值为， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·陕西渭南·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点的坐标为，与轴交于点，直线经过两点． (1)求抛物线的解析式与顶点坐标； (2)若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以为边作矩形，设矩形的周长为，求当点在何位置时，周长有最大值，并求出最大值． 【答案】(1)，顶点 (2)当时，l取最大值为12 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）求出C点坐标，将，代入，即可求出抛物线的解析式；即可求出a，c，再进一步求解顶点坐标即可； （2）令=0，求出代入，得k的值；设，则E点坐标由点D，E的纵坐标相等得到， 表示出，，， 由矩形周长l：，从而求出周长的最大值及的坐标． 【详解】（1）解：直线经过点，当时，， ∴， 将，代入，得， 得， ∴抛物线的解析式为：； 当时，， ∴顶点坐标为； （2）解：当=0时， 解得：， ∴， 将代入， 得：， ∴ ， ∴直线为：， ∵D在直线上，设， 则E点坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴，， 矩形周长；   ∴当时，l取最大值为12， 此时． 【点睛】主要考查了一次函数，二次函数的解析式的求法，二次函数的图像与性质，二次函数的最大值；以及与几何图形结合的综合能力的培养，利用数形结合的思想，把代数与几何图形结合起来，以及利用点的坐标的意义表示线段的长度，用二次函数表示矩形的周长，从而求出二次函数的最值，是解本题的关键． 【变式4-1】（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线交轴于点，，交轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标． (2)如图，是抛物线上位于直线上方的动点，过点作轴的平行线，交直线于点，当的长度最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为，顶点坐标为 (2) 【难度】0.65 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式；（2）中用参数t表示抛物线上的点P、直线上点的坐标，再用t表示出的长是解题关键． （1）将点，坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论； （2）先求出直线的解析式，设出点坐标，表示出点坐标，建立，利用二次函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． ， 抛物线的解析式为，顶点坐标为； （2）解：令，得， 点． 设直线的函数解析式为． 把点，代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 设点，则点， ． ， 当时，的长度最大， 此时点的坐标为． 【变式4-2】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）公路隧道的修建在缩短运行距离、提高运输能力、减少事故等方面起到重要的作用．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，如图1，其最高点P距离地面的高度为4米，宽度为8米．现以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点O且垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求这条抛物线的解析式； (2)在隧道修建过程中，施工队需要搭建矩形支架（由三段组成）对隧道进行装饰，如图2，其中A，D在抛物线上，B，C在地面上，请你帮施工队计算一下这个支架总长的最大值． 【答案】(1)这条抛物线的解析式为； (2)这个支架总长的最大值是10米． 【难度】0.65 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并会利用数形结合思想解答． （1）先求出点，顶点即，然后用待定系数法求解即可； （2）设米、则米，根据周长公式列出函数解析式，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵为8米，最高点P距离地面的高度为4米， ∴点，顶点即 设抛物线的解析式为，把点M的坐标代入，得， 解得． 这条抛物线的解析式为； （2）解：∵四边形是矩形， ． 设米、则米，米． 设支架总长为w， 则． ∵， ∴当时， ∴w有最大值，且最大值为， 答：这个支架总长的最大值是10米． 【题型四】二次函数与图形综合——面积问题 ·二次函数与图形综合问题的解题步骤与技巧 步骤1：表示题干中的点的坐标 （1）定点——交点坐标：抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的交点坐标 先令ax2+bx+c=kx+b，求交点的横坐标；再代入直线，求交点的纵坐标. （2）动点：直线上的动点（坐标轴上的动点、平行于坐标轴的直线上的动点、一般直线y=kx+b上的动点） ① x轴上的动点（x，0）、y轴上的动点（0，y）、 直线x=2上的动点（2，y）、直线y=2上的动点（x，2）； ② 直线y=kx+b上的动点可设（x，kx+b）；（同时表示出x的取值范围） ③ 抛物线y= ax2+bx+c(a≠0)上的动点可设（x，ax2+bx+c）；（同时表示出x的取值范围） 步骤2：表达问题（问题出现面积、周长、线段关系时） （1）表示面积： ·三角形的面积：①直接运用面积公式：找三角形的底和高（平行于坐标轴）； ②补形：补成矩形再减去多出来的三角形的面积； ③分割（铅垂法）：过三角形上方顶点作x轴的垂线分割三角形 三角形面积等于水平宽度和铅锤高度乘积的一半，关键是求出铅锤线与三角形一边的交点。 如图：水平宽度指三角形底边两个顶点之间的水平距离，铅锤高度指从一个顶点垂直落到对边的高度。 公式为：面积 = (水平宽度×铅锤高度)÷2 → → ·四边形的面积：割补法（分割为几个三角形分别求面积作和） （2）表示周长：利用坐标求两点间距离，表示线段的长，再求线段和（注意无法确定点的位置时，可用绝对值表示两点距离） （3）表示线段关系：线段和、线段比值、线段相等（问题出现等腰三角形、全等三角形、平行四边形） ·最后利用坐标，表示两点间的距离，表示边长。 【例5】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的抛物线的对称轴为，与直线交于点，连接求的面积． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的几何应用，求出点坐标是解题的关键． 先求出一次函数解析式，得出点坐标，再求出抛物线的对称轴，进而求出点的坐标，最后根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：将代入，得， ∴点坐标为， 将点代入，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 令，则， 解得， ， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∴点的横坐标为， 将代入得，， ， ． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求此时点Q的坐标及的面积． 【答案】(1) (2)点Q的坐标为，面积为 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值． （1）根据抛物线与x轴交于点，，可以求得该抛物线的解析式； （2）根据Q是位于第一象限内抛物线上的一个动点和（1）中的结果，先设出点Q的坐标，然后求出点C的坐标，从而可以得到直线的解析式，再作轴交于点D，然后即可求得当的面积最大时，此时点Q的坐标及的面积． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，， ∴， 解得， 即该抛物线的函数表达式为； （2）解：设点Q的坐标为， ∵抛物线， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 设过点B和点C的直线解析式为， ， 解得，即直线的解析式为， 作轴交于点D，如图所示，则点D的坐标为， ∴， ∴当时，的面积取得最大值，此时， 即当的面积最大时，此时点Q的坐标为，面积为． 【变式5-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 【答案】(1) (2)，8 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来． （1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可； （2）连接，设点P坐标为（m，），，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可． 【详解】（1）解：∵、，， 设抛物线表达式为：， 将C代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：； （2）连接，设点P坐标为． ∵、，， 可得：，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8． 【题型五】二次函数与图形综合——特殊三角形的存在性问题 【例6】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，已知抛物线的图象与x轴交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是x轴上的动点，过P点作x轴的垂线分别交抛物线和直线BC于F、G．设点P的横坐标为m，若是以，为腰的等腰三角形时，求出m的值． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】等腰三角形的性质和判定、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】本题考查一次函数，二次函数的综合应用以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数表达式，并根据等腰三角形的性质列出方程求解． （1）利用已知点A，B的坐标代入抛物线表达式，通过解方程组求出二次函数的系数，从而得到抛物线表达式． （1）先求出直线的表达式，再根据点P的横坐标表示出点F，G的坐标，进而得出和的长度表达式，利用等腰三角形两腰相等的性质列出方程求解m的值． 【详解】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）由（1）抛物线的表达式为， 当时，， ∴点坐标为， 设直线的表达式为，已知，点坐标为 代入可得， 把代入， 解得， 所以直线的表达式为． 使是以，为腰等腰三角形， ∵点P的横坐标为m，故点，点， ，． 因，所以， 可得（舍去）或； 综上，或． 【变式6-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）抛物线与轴相交于，两点（，分别在原点的左右两侧），与轴正半轴相交于点，且，的面积为（如图1）． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)在抛物线上是否存在点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)或 【难度】0.65 【知识点】因式分解法解一元二次方程、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数综合，一次函数，等腰直角三角形的判定，直角三角形的性质，一元二次方程，熟练掌握这些性质，并通过题意构造符合题意的图形是解题的关键． （1）先得出点，利用，得出，再利用，得出，，得出，的坐标，分别利用待定系数法即可求出抛物线和直线的解析式； （2）利用是以为直角边的直角三角形，分两种情况：①当以为直角顶点时；②当点为直角顶点时，过点作轴的垂线，构造等腰直角三角形，设，利用等腰直角三角形得出线段相等，列式求解即可． 【详解】（1）解：令得， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 把、两点坐标代入中， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， 设直线解析式为， 将、两点坐标代入， 得：， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：存在，理由如下： ①当以为直角顶点时， 过点作，交抛物线于点．过点作轴于点，如图， ． 由，， 得， ∴， ， ， ， ， ， 设， 则， 解得：（舍），， ， 则； ②当点为直角顶点时， 过作交抛物线于点，过点作轴于点，设交轴于点， 如图， 轴， ， ， ，， ，， ， 设， 则， 解得：，（舍）， ， 即， 综上所述，的坐标是或． 【题型六】二次函数与图形综合——特殊四边形的存在性问题 【例7】（24-25九年级上·陕西西安·期末）已知拋物线与轴交于点，点，与轴交于点． (1)求拋物线的表达式； (2)若点是直线上第一象限内的一个动点，将抛物线进行平移得到拋物线，点的对应点为点，是否存在以四个点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出抛物线的平移方式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；平移方式见解析 【难度】0.4 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、利用菱形的性质求线段长、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 抛物线L的表达式为； （2）解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由： 点，点， ， 如图，当四边形为菱形时， 过点P作轴于点C， 令，则， ， ， 令，则， ， ， ， ， ， 轴， ， 四边形为菱形， ， ， ，， ∵点的对应点为点， ∴抛物线的平移方式为：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ， ， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位； 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ，， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 综上所述：先将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位；或先将抛物线向左平移3个单位，再向下平移3个单位；或先将抛物线向左平移6个单位，再向上平移6个单位． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【变式7-1】如图，在坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线的对称轴为． (1)求点，，的坐标及对称轴； (2)为上一动点，为抛物线上一动点，是否存在这样的点，，使得以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有点和点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，对称轴为直线：； (2)的坐标分别为：，或，或，． 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合) 【分析】（）对于，当时，；令，则 或，即可求解，再利用即可求出对称轴； （）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解； 当或为对角线时，同理可解； 本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质，中点坐标公式等，掌握知识点得应用及分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解：由得，当时，， 令，解得或， ∴的坐标分别为，，， 由点的坐标得，对称轴为直线：； （2）解：存在，理由： 设点，点，且， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：且， 解得：， 则点的坐标分别为：，； 当或为对角线时，同理可得： 且或 且， 解得： 或， 即点的坐标分别为：，或，； 综上，的坐标分别为：，或，或，． 【题型七】二次函数与图形综合——相似或全等三角形的存在性问题 【例8】（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．点在线段上，轴，交于点，交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式． (2)当与相似时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【难度】0.65 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，相似三角形的性质等知识，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可． （2）先根据已知条件得出，再利用平行线的性质得出， 再根据相似三角形的性质分或两种情况求解． 【详解】（1）解：设， 把点代入， 则 （2）解：，， 是等腰直角三角形， ∴， 轴， ， 若与相似，则或， 若，则轴， 点E的纵坐标为3， 当时， 或， ， 若， 设， 则， ， 的解析式为： 的解析式为：， 解方程组 或 综上∶或． 【变式8-1】如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图2，连接，在线段上有一动点P，且点P不与B、C重合，过P作y轴的平行线，交抛物线于点N，交x轴于点M，若以C、P、N为顶点的三角形与相似时，求P点的横坐标． 【答案】(1) (2)点的横坐标为或 【难度】0.65 【知识点】一次函数与几何综合、待定系数法求二次函数解析式、利用相似三角形的性质求解、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）由题意得点，点，点，则有，然后根据可得a的值，进而问题可求解； （2）由题意可分当时和当时，然后进行分类求解即可． 【详解】（1）解：令时，， 解得：； 当时，； 点，点，点， ， ， ， ， 抛物线的函数表达式为：． （2）解：以C、P、N为顶点的三角形与相似，且， 或， 若， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， 点的纵坐标为2， ， （舍去），， 点的横坐标为． 故点的横坐标为． 若， 设直线的解析式为，把点，点代入得， ，解得：， 直线的函数表达式为：． 设点，其中，则点，点， ， ，． ， ． ， 两边同除以可得，整理得， ， 点的横坐标为． 综上所述：点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及相似三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及相似三角形的性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $