专题09 数列（中）-通项与求和（数学竞赛真题汇编）高中数学全国通用

专题09 数列（中） 一、填空题 1．（2025·贵州预赛）已知斐波那契数列，则_____． 2．（2025·新疆预赛）已知数列满足，则 ． 3．（2025·北京预赛）定义数列．若的最小正周期为3，则_____． 4．（2024·江苏预赛）已知数列满足，其前项和为，若对任意的正整数，当时，恒有，则的值为_____． 5．（2024·贵州预赛）已知数列，则_____． 6．（2024·贵州预赛）已知数列满足，则的通项公式_____． 7．（2024·福建预赛）已知为数列的前项和，且，则成立的最大正整数的值为_____． 8．（2024·浙江预赛）已知数列满足：，，，则通项 ． 9．（2024·广西预赛）设数列满足，，其中等于的个位数，则 ． 10．（2024·重庆预赛）数列满足，若，则 ． 11．（2023·东莞预赛）已知数列满足，则_____． 12．（2023·内蒙古预赛）设满足，若对于任意的，都有，则_____． 13．（2023·山东预赛）数列中，，那么_____． 14．（2023·苏州预赛）已知数列满足，则的通项公式为_____． 15．（2023·新疆预赛）已知非零数列满足．则的值为_____．（用整数指数幂表示） 16．（2023·浙江预赛）已知数列满足，则_____． 17．（2022·广西预赛）设且．若，则_____． 18．（2022·浙江预赛）已知数列，则_____． 19．（2022·吉林预赛）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则_____． 20．（2022·吉林预赛）设数列的前项和满足：，则通项_____． 三、解答题 21．（2025·重庆预赛）已知数列满足，数列满足，为数列前项和． （1）若，求的通项公式； （2）对于给定的，求能取到的所有值． 22．（2025·广东预赛）已知数列满足：． 定义：． （1）求的值． （2）是否存在实数，使得，对任意恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 23．（2023·江西预赛）设正项数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：对任意互不相同的正整数，都有 24．（2022·四川预赛）已知各项均为正整数的数列满足：对于任意的正整数都有及，求数列的通项公式． 25．（2022·浙江预赛）设数列满足，证明： （1）数列单调递减； （2）存在一个常数使得． 26．（2022·甘肃预赛）已知数列满足：对任意正整数，有，其中表示数列的前项和．证明： （1）对任意正整数，有； （2）对任意正整数，有． 27．（2022·苏州预赛）已知数列满足，且． （1）证明：； （2）证明：． 一、填空题 1．（2024·全国联赛B卷）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 二、解答题 2．（2022·全国联赛A2卷）已知数列的各项均为非负实数，且满足：对任意整数，均有．若，求的最大可能值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 数列（中） 一、填空题 1．（2025·贵州预赛）已知斐波那契数列，则_____． 【答案】840 【详解】由题意可知：，故可求得和为840． 2．（2025·新疆预赛）已知数列满足，则 ． 【答案】 【详解】根据递推关系可得，则． 3．（2025·北京预赛）定义数列．若的最小正周期为3，则_____． 【答案】． 【详解】解法1：，要求等于，即，但时最小正周期为1，故，于是 解法2：记，则，故，但，故与相差的整数倍，从而是的整数倍，但因1不是周期，故，只能． 4．（2024·江苏预赛）已知数列满足，其前项和为，若对任意的正整数，当时，恒有，则的值为_____． 【答案】385 【详解】取； 取； 取； 取， 则． 又取， 于是 所以． 5．（2024·贵州预赛）已知数列，则_____． 【答案】33552 【详解】，则． 而， ，所以． 6．（2024·贵州预赛）已知数列满足，则的通项公式_____． 【答案】 【详解】 ，则； 同理可得 ， 所以． 7．（2024·福建预赛）已知为数列的前项和，且，则成立的最大正整数的值为_____． 【答案】1799 【详解】时， 又时，， 则． 于是 ，从而 所以． 8．（2024·浙江预赛）已知数列满足：，，，则通项 ． 【答案】 【详解】由，，得，两边平方得， 则， 即有，因此数列是常数列，， 所以． 9．（2024·广西预赛）设数列满足，，其中等于的个位数，则 ． 【答案】12108 【详解】，，，， ，，，， ，．一般地： ． ． 于是，，进一步有，． 因此，． 10．（2024·重庆预赛）数列满足，若，则 ． 【答案】 【详解】由可得， 则数列为等差数列，首项为，设公差为， 则 ， 故． 11．（2023·东莞预赛）已知数列满足，则_____． 【答案】 【详解】，则有 所以． 12．（2023·内蒙古预赛）设满足，若对于任意的，都有，则_____． 【答案】4044 【详解】 同理可证明． 则，又， 所以． 13．（2023·山东预赛）数列中，，那么_____． 【答案】 【详解】，不动点方程为． 则， 于是，所以． 14．（2023·苏州预赛）已知数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【详解】 又． 所以． 15．（2023·新疆预赛）已知非零数列满足．则的值为_____．（用整数指数幂表示） 【答案】 【详解】 则． 于是 16．（2023·浙江预赛）已知数列满足，则_____． 【答案】 【详解】 ． 则． 所以． 17．（2022·广西预赛）设且．若，则_____． 【答案】3333 【详解】 ， 则 18．（2022·浙江预赛）已知数列，则_____． 【答案】 【详解】 所以也满足上式． 19．（2022·吉林预赛）已知数列的各项均为正数，若对于任意的正整数，总有，且，则_____． 【答案】32 【详解】，于是． 20．（2022·吉林预赛）设数列的前项和满足：，则通项_____． 【答案】 【详解】时，， ，且， 所以． 三、解答题 21．（2025·重庆预赛）已知数列满足，数列满足，为数列前项和． （1）若，求的通项公式； （2）对于给定的，求能取到的所有值． 【详解】（1）若，则． 设，其中，则， 故只能是，所以 （2）我们归纳证明，所有可能的． 时，，命题成立； 假设时命题成立，即， 则当时，， 即或，即． 故时，命题也成立． 22．（2025·广东预赛）已知数列满足：． 定义：． （1）求的值． （2）是否存在实数，使得，对任意恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）存在，． 【详解】（1）注意到 因此为等比数列，公比为，． （2）由（1）知，从而， 裂项得， 故， 但显然即，易得，故上式右边小于1且当时趋向于1，故若上式小于对任意成立，这样的存在，其取值范围是． 23．（2023·江西预赛）设正项数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）求证：对任意互不相同的正整数，都有 【答案】（1） （2）证明见解析 【详解】（1）， 猜想：． 假设时结论成立，则时，有 ，即时结论也成立． 由归纳法原理知，对一切，都有． （2）设，则 ，即调换的位置后原式的值减小． 不妨设为的一个排列， 所以 24．（2022·四川预赛）已知各项均为正整数的数列满足：对于任意的正整数都有及，求数列的通项公式． 【答案】 【详解】利用恒等式，得， ，结合条件得 下面用数学归纳法证明． 当时，，且，则，结论成立； 当时，，结论成立； 假设时结论成立， 若，且，则； 若， 且，则，于是时结论也成立． 综上，由归纳法原理，对任意，都有． 25．（2022·浙江预赛）设数列满足，证明： （1）数列单调递减； （2）存在一个常数使得． 【答案】证明见解析 【详解】（1）显然时，利用数学归纳法易证，此时结论显然成立． 当时，； 假设，由于 ．从而对任意，都有． 又，所以数列单调递减． （2）显然时，，取，结论显然成立．当时， 令 其中． 于是 而，记． 则有，所以 综上，存在一个常数使得． 26．（2022·甘肃预赛）已知数列满足：对任意正整数，有，其中表示数列的前项和．证明： （1）对任意正整数，有； （2）对任意正整数，有． 【答案】证明见解析 【详解】（1）， 结合时，，于是或． 所以． （2）只需考虑同号的情况， 若均为正，此时，则． 于是，从而 同理可证均为负的情况．所以对任意正整数，有． 27．（2022·苏州预赛）已知数列满足，且． （1）证明：； （2）证明：． 【答案】证明见解析 【详解】（1） ， 于是与同号，又，从而． 所以． 综上，有． （2）由于 ， 于是． 所以． 一、填空题 1．（2024·全国联赛B卷）数列满足：，且对任意正整数，均有，则的通项公式为_____． 【答案】 【解析】， 则数列是以为首项，2为公比的等比数列， 因此． 二、解答题 2．（2022·全国联赛A2卷）已知数列的各项均为非负实数，且满足：对任意整数，均有．若，求的最大可能值． 【答案】 【详解】根据条件，对任意正整数，有 进而 ① 设，则． 由①知的各项均为非负实数当且仅当，即 注意到 故 由得，且显然． 由②进一步得．利用在（0，1）上单调减，可知 当时等号成立． 所以的最大可能值为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $