专题08 立体几何（上）（竞赛真题汇编）-【竞赛】2024-2025学年高中数学竞赛能力培优真题汇编（全国通用）

备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题8 立体几何（上） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）在三棱锥中，若底面，且棱的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为_____． 2．（2024·全国联赛B卷）四面体中，，且的长分别为1，2，3，4，则四面体的体积为_____． 3．（2023·全国联赛B卷）设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为_____． 各省预赛试题汇编 4．（2024·广东预赛）已知四面体，点在内，满足的面积之比为在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为_____． 5．（2024·江苏预赛）三棱锥中，三条侧棱两两不等，且相互之间的夹角都是．若底面的三边分别为，则该三棱锥的体积为_____． 6．（2024·贵州预赛）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平行平面截帐篷，所得的截面四边形均为正方形，则该帐篷的体积为_____． 7．（2024·四川预赛）将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为 ． 8．（2024·北京预赛）在棱长为4的正方体中，为棱上的一点，且为截面上的动点，则的最小值等于 ． 9．（2024·福建预赛）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，点在棱上．若平面与底面所成角的余弦值为，则平面截正方体所得截面多边形的周长为_____． 10．（2024·江西预赛）是棱长为的正四面体面的中心，分别是面内的动点，则的最小值为_____． 11．（2024·浙江预赛）已知四面体的外接球半径为1，，，则球心到平面的距离为 ． 12．（2024·广西预赛）正三棱锥中，，．设是直线上一点，面与直线的夹角为，则线段的长度是 ． 13．（2024·内蒙古预赛）已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，过点A的一个平面截此棱柱，与侧棱，分别交于点，，若为直角三角形，则面积的最大值为 ． 14．（2024·新疆预赛）在棱长为2的正方体中，点为的中点，点为底面内一点，则满足的点的轨迹长度为_____． 15．（2024·上海预赛）一个顶点为､底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是 ． 16．（2024·重庆预赛）已知四面体ABCD满足，且异面直线AD与BC所成的角为，则四面体ABCD的外接球的体积为 ． 17．（2023·东莞预赛）已知4个半径为1的球两两外切，则这4个球构成的几何体的外切正四面体的棱长为_____． 18．（2023·福建预赛）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 19．（2023·广西预赛）椭圆围绕轴旋转一周得到旋转曲面．设是上的一点，则_____． 20．（2023·贵州预赛）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，设二面角的大小分别为，则_____． 21．（2023·江西预赛）边长为1的正六面体被一个平面所截的最大截面面积为_____． 22．（2023·内蒙古预赛）将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为_____． 23．（2023·山东预赛）正方体的底面内有一个动点，且平面，则的最大值是_____． 24．（2023·上海预赛）已知长方体中，是平面上一点，且，则满足上述条件的所有点所围成的平面区域的面积等于_____． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025年高中数学联赛一试及高校强基计划 专题8 立体几何（上） 全国联赛真题汇编 1．（2024·全国联赛A卷）在三棱锥中，若底面，且棱的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为_____． 【答案】 【详解】由条件知． 因此，进而． 在中，，故． 所以． 又该三棱锥的高为，故其体积为． 2．（2024·全国联赛B卷）四面体中，，且的长分别为1，2，3，4，则四面体的体积为_____． 【答案】 【解析】，设与的夹角为，则 ，得．过点作，则面，作交于点，则，从而面．则． 3．（2023·全国联赛B卷）设与为两个正四棱锥，且，点在线段上，且．将异面直线所成的角记为，则的最大可能值为_____． 【答案】 【详解】设正方形的中心为，由条件知垂直平面于点，又，由射影定理知．显然在之间． 以为原点，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设． 易知，因此． 所以． 当时，取到最大可能值． 各省预赛试题汇编 4．（2024·广东预赛）已知四面体，点在内，满足的面积之比为在线段上，直线交平面于点，且，则四面体与的体积之比为_____． 【答案】12 【详解】如图，设， 注意到 则． 而， 于是， 所以． 5．（2024·江苏预赛）三棱锥中，三条侧棱两两不等，且相互之间的夹角都是．若底面的三边分别为，则该三棱锥的体积为_____． 【答案】 【详解】设，依题意， ②-③得． 代入②得． 如图，，过点作平面的垂线，则垂足落在的角平分线上． 由于， 于是， 所以． 6．（2024·贵州预赛）如图是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平行平面截帐篷，所得的截面四边形均为正方形，则该帐篷的体积为_____． 【答案】 【详解】设底面的中心为，截面的中心为，，则正方形的边长 所以该帐篷的体积为 7．（2024·四川预赛）将棱长为1的正方体的上底面绕着其中心旋转得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为 ． 【答案】 【详解】 如图作出原正方体，与，的交点分别为，，与的交点为， 上底面非重叠部分是8个全等的等腰直角三角形， 设每个等腰直角三角形的边长为， 则，所以， 所以， 设该十面体的体积为， ． 8．（2024·北京预赛）在棱长为4的正方体中，为棱上的一点，且为截面上的动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【详解】设E关于面的对称点为，则面且， 以A为原点，向量为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 则平面的方程为， 设，则， 因为E与关于面对称，所以， 即， 又因为E与在面的两侧，所以． 因为面，所以，从而， 又，所以，从而， ， 故的最小值等于． 9．（2024·福建预赛）在棱长为6的正方体中，点分别为的中点，点在棱上．若平面与底面所成角的余弦值为，则平面截正方体所得截面多边形的周长为_____． 【答案】 【详解】如图，平面， 平面平面平面． 设，，则， 于是，从而三点共线，即截面多边形为． 易计算得，所以截面多边形的周长为． 10．（2024·江西预赛）是棱长为的正四面体面的中心，分别是面内的动点，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】如图，设分别关于面的对称点为，连接，分别交面于点，此时即为所求的最小值． 建立如图所示的直角坐标系，则 设为的中心， 于是 从而 同理可得．因此所求的最小值为． 11．（2024·浙江预赛）已知四面体的外接球半径为1，，，则球心到平面的距离为 ． 【答案】 【详解】如图所示： 因为球心在平面上的投影就是的外心， 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 解得，，四面体的外接球半径为1，即， 所以球心到平面的距离为． 12．（2024·广西预赛）正三棱锥中，，．设是直线上一点，面与直线的夹角为，则线段的长度是 ． 【答案】 【详解】设为的中点，点在直线上且为，的公垂线段． 由，， 可得，． 设，则，所以， ，所以， 解得，所以， 所以． 因为，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以为边在面上的射影，从而由， ，可得． 因此，． 13．（2024·内蒙古预赛）已知正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，过点A的一个平面截此棱柱，与侧棱，分别交于点，，若为直角三角形，则面积的最大值为 ． 【答案】 【详解】如图，设， 不妨设，则，即， 整理得：， 若，显然不成立，可得， 又因为，即，解得． 设的面积为S，则 ， 令， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且， 可知最大值是，所以． 14．（2024·新疆预赛）在棱长为2的正方体中，点为的中点，点为底面内一点，则满足的点的轨迹长度为_____． 【答案】 【解析】取中点，连接，因为此几何体是正方体，所以 平面，则，由，，则，所以满足的点的轨迹即为正方形内到点距离为2的点的轨迹．所以弧长． 15．（2024·上海预赛）一个顶点为､底面中心为的圆锥体积为1，若正四棱锥内接于该圆锥，平面与该圆锥底面平行，这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥的体积的最大值是 ． 【答案】 【详解】如图，设圆锥的底面半径为，高为． 则． 又设正四棱锥底面所在圆的半径为，高为． 于是． 从而． 等号成立当且仅当，即． 所以体积的最大值是． 16．（2024·重庆预赛）已知四面体ABCD满足，且异面直线AD与BC所成的角为，则四面体ABCD的外接球的体积为 ． 【答案】 【详解】由题设条件，可将四面体补成直三棱柱，如图所示， 则，所以即为异面直线AD与BC所成的角的平面角， 故， 于是，又，则， 设四面体ABCD的外接球球心为， 则在平面的投影为的外心，且， 由正弦定理知，，从而外接球半径， 于是体积． 17．（2023·东莞预赛）已知4个半径为1的球两两外切，则这4个球构成的几何体的外切正四面体的棱长为_____． 【答案】 【详解】如图，是边长为2的正四面体，其高为． 显然正四面体与外切正四面体 的中心重合，设为． 则到底面的距离为 正四面体的高为 所以正四面体的棱长为． 18．（2023·福建预赛）在菱形中，，将沿折起得到．若二面角为，则异面直线与所成角的余弦值为_____． 【答案】 【详解】为的中点，作平面，建立直角坐标系如图所示． 设，则为正三角形， 于是， ． 所以． 19．（2023·广西预赛）椭圆围绕轴旋转一周得到旋转曲面．设是上的一点，则_____． 【答案】3 【详解】如图，设椭圆与轴交于点，作轴于点，作轴交椭圆于点，则点在以为圆心，为半径的圆上． 于是． 20．（2023·贵州预赛）已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，设二面角的大小分别为，则_____． 【答案】2 【详解】点在平面上的射影为的垂心，则 于是 从而． 所以． 21．（2023·江西预赛）边长为1的正六面体被一个平面所截的最大截面面积为_____． 【答案】 【详解】如图，由对称性可知，截面垂直于对角线(或)时，截面为正六边形． 此时面积为； 另注意到正方体对角面的面积为， 且，显然． 所以最大截面面积为． 22．（2023·内蒙古预赛）将8个半径为2的球分两层放置于一个圆柱形容器中，使得每个球和与其相邻的四个球均相切，且与圆柱的一个底面和侧面都相切，则圆柱的高为_____． 【答案】 【详解】如图，是绕中心旋转得到的正方形， ，则 于是． 所以圆柱的高为． 23．（2023·山东预赛）正方体的底面内有一个动点，且平面，则的最大值是_____． 【答案】 【详解】如图，注意到平面平面，则平面． 由于，于是取最大值时最小，此时． 所以的最大值是． 24．（2023·上海预赛）已知长方体中，是平面上一点，且，则满足上述条件的所有点所围成的平面区域的面积等于_____． 【答案】 【详解】如图，的中点为，由，则点在以为球心，为半径的球面上． 易知平面平面平面平面， 又， 于是，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． 所以点所围成的平面区域的面积等于． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$