3.4.3空间向量在几何中的应用—求角的大小（教学课件）数学沪教版2020选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量在几何中求角的应用，系统覆盖异面直线所成角、线面角、二面角的向量解法。导入通过回顾平行、距离的向量表示，以问题链引导学生对比向量夹角与几何角的范围、公式，搭建从向量运算到几何问题的转化支架。 其亮点在于问题驱动探究（如辨析线线角与方向向量夹角的联系），结合正方体、正四面体等分层例题变式，小结清晰呈现三类角的范围与公式。融入数学抽象（几何问题向量化）、逻辑推理（问题链辨析关系），助力学生深化转化思想，教师可直接用案例与练习提升教学效率。

3.4.3空间向量在几何中的应用—求角的大小 第三章 空间向量及其应用 学习目标 教学重点：掌握用空间向量解决立体几何中平行、垂直及夹角、距离等问题的方法。教学难点：实现立体几何与空间向量运算的转化，尤其是复杂场景下的模型构建。。 理解空间向量在立体几何中的应用逻辑； 掌握用向量解决平行、垂直、夹角、距离具体方法； 提升用向量法解决几何问题的能力。 课程目标 学科素养 数学抽象：几何问题抽象为向量模型； 逻辑推理：向量条件与几何结论的关系； 数学运算：准确进行向量运算解决问题； 直观想象：结合空间模型理解向量坐标； 数学建模：用向量模型解决几何问题。 新知引入 线线 线面 面面 使得 使得 ，使得 新知引入 四种类型的距离求法 距离类型 求解（转化）方法 点到直线 的距离 已知直线外一点,直线过点B,直线的单位方向向量为 ，设 ，则点到直线的距离 点到平面 的距离 已知平面 外一点,B为平面 上一点,且 的一个法向量为 ,则点 到平面 的距离 线面距离 线面距离可以转化为点面距离求解 面面距离 面面距离可以转化为点面距离求解 新知引入 异面直线所成角 线面角 二面角 线线所成角范围： 线面所成角范围： 二面角的平面角范围： 新知探究 思考：我们已经能用向量表示直线、平面，那么能用向量研究夹角问题吗？ 问题1：若直线与的方向向量分别为，，则直线与所成角与向量夹角<, >的区别与联系是什么？ 直线所成角 向量夹角 cos cos cos 本质：两直线所成角就是它们的方向向量所成角或其补角。 新知探究 问题2：若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角与向量夹角<, >的区别与联系是什么？ 新知探究 问题3：平面的法向量为，平面的法向量为，则二面角的平面角与向量夹角<,>的区别与联系是什么？ 二面角的平面角 平面与平面的夹角：四个二面角中不大于二面角。 两平面夹角的范围是 典例精讲 例5：如图，在正方体中，、分别是、的中点， 求直线与所成角的大小。 解：设正方体的棱长为，以点为原点，分别以与的 方向为与轴的正方向，建立空间直角坐标系，则可得有关点的坐 标分别为、、、， 因此，直线与的方向向量分别是与 从而， 所以，直线与所成角的大小为 练习巩固 练习1：如图，在棱长为的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和夹角的余弦值. 解：(化为向量问题)如图，以作为基底， 则. 设向量与的夹角为，则直线和夹角的余弦值等于. (进行向量运算) 又和均为等边三角形，所以.所以 (回到图形问题)所以直线和夹角的余弦值为 练习巩固 解：（法二）(建系)如图取中点为点，由题可知为正三角形， ，如图，以点为原点， 为轴， 为轴,建立空间直角坐标系 (求点坐标)则 ，， (求相关向量坐标)从而， (进行向量运算) , > (回到图形问题)所以直线和夹角的余弦值 练习1：如图，在棱长为的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和夹角的余弦值. 典例精讲 例6 如图，在四棱锥中，平面中，，，，，.求直线与平面所成角的大小。 解：因为平面，，则可取点为原点，分别以 与的方向为与轴的正方向，建立空间直角坐标系。 作交于点，则又，由勾股定理， 易知是等腰直角三角形，从而1，2.于是，可得 有关点的坐标分别为、、、， 所以，， 设平面的法向量为，则。即，，取，从而得到平面的一个法向量为 典例精讲 例6 如图，在四棱锥中，平面中，，，，，.求直线与平面所成角的大小。 设直线与平面所成角的大小为，则 所以，直线与平面所成角的大小为 练习巩固 练习2：如图，在棱长为的正四面体(四个面都是正三角形)中分别为的中点，求直线和平面所成角的正弦值. 解： (建系)如图取中点为点，由题可知为正三角形， ，如图，以点为原点， 为轴， 为轴,建立空间直角坐标系 (求点坐标)则 ，， (求相关向量坐标)从而， 又由题易知为平面的法向量 (进行向量运算) (回到图形问题) 直线和平面所成角的正弦值为 练习巩固 利用空间向量求线面角的解题步骤： 练习巩固 变式2：如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. (1)证明：由已知可得，， 又所以平面. 又平面，所以平面平面. (2)如图，作，垂足为.由(1)得，平面. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系. 练习巩固 变式2：如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且. (1)求证：平面平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 由(1)可得，. 又因为，所以. 又，，所以.所以，. 则，，，，. 又为平面的一个法向量，设与平面所成角为， 则. 所以与平面所成角的正弦值为. 练习巩固 练习3：如图，在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，，. 求平面与平面夹角的余弦值. 解：以为原点，所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设平面的法向量为，平面的法向量为， 因为平面，所以平面的一个法向量为. 由题，有，， 所以设，则 所以所以取，则 . 平面与平面的夹角的余弦值为 练习巩固 变式3-1： 在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，是的中点，求平面与平面的夹角. 解：如图，建立空间直角坐标系，设 则 设平面的法向量为 由，得 令得取 练习巩固 变式3-2：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (1)求证：平面； 解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，设. (1)证明：连接，交于点，连接. 依题意得. 因为底面是正方形，所以点是它的中心， 故点的坐标为，且，. 所以，即. 而平面，且平面，因此平面. 练习巩固 变式3-2：如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点. (2)求证：平面； 解：(2)证明：依题意得. 又，故 所以. 由已知，且，所以平面. 练习巩固 变式3-2：(3)求平面与平面的夹角的大小. 解：(3)已知，由(2)可知， 故是平面与平面的夹角. 由(2)可知点的坐标为，则. 因为，所以 即.设， 则. 所以，点的坐标为. 又点的坐标为，所以. 所以. 所以，即平面与平面的夹角大小为. 练习巩固 解：取的中点,则,平面 取的中点,连接 两两垂直,以为原点建立如图所示的空间直角坐标系 则 ， =(-1,2,)， 设平面的法向量为, 取,则 设平面的夹角为,则 变式3-3：如图,正三棱柱的所有棱长都为,求平面与平面夹角的余弦值 A A1 B1 C1 C B x y z O H 小结 用空间向量研究夹角问题 直线与直线所成角 直线与平面所成角 平面与平面所成角 注：二面角， 感谢聆听 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。 ——华罗庚 $