双曲线 课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习 课时作业：双曲线 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可利用三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设，由面积公式求出，由勾股定理得出，结合第一定义再求出. 【详解】如下图：由题可知，点必落在第四象限，，设， ，由，求得， 因为，所以，求得，即， ，由正弦定理可得：，则由得， 由得，则， 由双曲线第一定义可得：，，所以双曲线的方程为. 故选：A 2．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断. 【详解】设，则的中点，可得， 因为在双曲线上，则，两式相减得，所以. 对于选项A： 可得，则， 联立方程，消去y得，此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得，则， 联立方程，消去y得，此时， 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得，则 由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线， 所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：，则， 联立方程，消去y得， 此时，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确；故选：D. 3．若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断． 【详解】当时， ，故方程表示双曲线， 因此“”是“方程表示双曲线”的充分条件， 方程表示双曲线时，需满足 ，即 或 ， 故“”不是“方程表示双曲线”的必要条件，故选：A. 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解. 【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为， 则抛物线的准线为，令，则，解得，所以, 又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以， 所以双曲线的离心率.故选：A. 5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A． B． C．3 D．2 【答案】A 【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设，椭圆和双曲线的离心率分别为 由余弦定理可得，① 在椭圆中，①化简为即即 在双曲线中，①化简为即即③ 联立②③得，由柯西不等式得即 即，当且仅当时取等号，故选A 6．已知椭圆（）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以原点为圆心，以的长轴为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由公共焦点得，取双曲线的渐近线方程为，圆直径，由直线与椭圆相交求得弦长，由对称性知该弦长是直径的，结合可求得得正确选项． 【详解】易知双曲线的焦点坐标为，所以， 取双曲线一条渐近线方程为，易知，，，， 截渐近线所得弦长为，由对称性，此弦长为的， 由题意，代入解得，则．故选：C． 7．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆心为，渐近线方程为，所以半径为，所以圆的方程是，即，选A. 8．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（ ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值. 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为， 从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为， 可以得出直线的方程为，分别与两条渐近线和联立， 求得，所以，故选B. 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（   ） A．的渐近线方程为 B． C．的焦距为4 D．四边形的面积为 【答案】ABD 【分析】根据等轴双曲线的性质判断A，设等轴双曲线和圆的方程，联立后求双曲线方程，以及交点的坐标，即可判断BCD. 【详解】A.等轴双曲线的渐近线方程为，故A正确； B.设等轴双曲线，圆，，，，，，， 联立，得，，，得，所以，故B正确；C. 等轴双曲线中，，所以焦距为，故C错误； D.由对称性可知，四边形是矩形，所以四边形的面积为，故D正确. 故选：ABD 10．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．三角形的周长是10 B．若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为4，则双曲线是 C．若，则点的轨迹方程是 D．若是双曲线右支上一动点，则的最小值是2 【答案】CD 【分析】根据条件，分别求得A、、坐标，根据两点间距离公式，可求得的周长，即可判断A的正误；先求得双曲线C的渐近线方程，进而可设出双曲线E的方程，根据条件，求得c值，可求得双曲线E的方程，即可判断B的正误；根据椭圆的定义，计算求解，可判断C的正误；根据三点共线时，距离最短，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：由题意圆心，，则， 所以，， 所以三角形的周长等于，故A错误； 选项B：双曲线C的渐近线方程为，所以设双曲线E的方程为， 因为双曲线的焦距为4，即，解得， 所以，解得， 所以双曲线E的方程为，即，故B错误； 选项C：因为，所以Q的轨迹为以为焦点的椭圆， 所以长轴，即，焦距，即， 又，所以的轨迹方程是，故C正确； 选项D：因为是双曲线右支上一动点，所以，故D正确. 故选：CD 11．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】设点，根据求得判断A；求出点的坐标，利用两点距离求出，根据双曲线定义求出，即可判断B；结合B选项，利用余弦定理求得，则为钝角，即可判断C；由得，即可判断D． 【详解】设点． 因为双曲线，所以，，，． 对于A，，所以，所以点到轴的距离为4，错误． 对于B，将代入得，则． 由双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，得． 由双曲线的定义得，所以，正确． 对于C，结合B选项，在中，， 且，则为钝角，所以为钝角三角形，正确． 对于D，由，得，且，所以，所以，错误．故选：BC 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 【答案】 【分析】以为圆心的圆与l相切于点P，，所以由点到直线的距离求出，由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可求出的值． 【详解】设双曲线的一条渐近线为， 则到直线的距离为，因为以为圆心的圆与l相切于点P，，所以， 又因为双曲线的离心率为，所以，则， 在中，，在，， 解得：，由余弦定理可得：，所以， 故答案为：．    13．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为 ． 【答案】 【分析】先求出双曲线方程，设直线，与双曲线联立，利用韦达定理化简即可. 【详解】由题意可得，，，解得，则， 设，与联立得， 设，则，则， 直线，，则，， 则故答案为： 14．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 . 【答案】 【分析】设，则，代入双曲线方程可得，从而可得答案. 【详解】双曲线 与圆 交于 四点， 且这四个点恰为正方形的四个顶点，设，则，所以，解得， 所以，即,故答案为：. 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 【答案】(1)； (2)当时，； (3)的最大值为. 【分析】（1）根据离心率的概念求出，再求出即可； （2）如图，易知为钝角，则，根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解； （3）设，：，联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立关于的方程，得，结合即可求解. 【详解】（1）由双曲线的方程知，，因为离心率为2，所以，得. （2）当时，双曲线，且. 因为点在第一象限，所以为钝角.又为等腰三角形，所以. 设点，且，则得，所以. （3）由双曲线的方程知，且由题意知关于原点对称. 设，则.由直线不与轴垂直，可设直线的方程为. 联立直线与双曲线的方程得消去，得， 且，即，得.， 由，得，所以，即， 整理得，所以， 整理得，所以.又，所以，解得， 所以，又，故的取值范围是，故的最大值为. 16．（15分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】（1）设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线的方程． （2）设出直线的方程，代入双曲线的方程，利用判别式及根与系数的关系求出的中点坐标，从而得到线段的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于0，求得的取值范围． 【详解】（1）解：设双曲线的方程为． 由题设得，解得，所以双曲线方程为． （2）解：设直线的方程为． 点，，，的坐标满足方程组 将①式代入②式，得，整理得． 此方程有两个不等实根，于是，且△． 整理得． ③ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标，满足，． 从而线段的垂直平分线方程为． 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，． 由题设可得． 整理得，． 将上式代入③式得，整理得，． 解得或． 所以的取值范围是． 17．（15分）设动点P到两定点和的距离分别为和，，且存在常数，使得． (1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程； (2)如图，过点的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在，使是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；. (2)存在；. 【分析】（1）在 中，利用余弦定理得出是一个常数，从而动点P的轨迹C是以 为焦点的双曲线，最后求出双曲线的方程即可； （2）在中，设,对于存在性问题，可先假设存在，即假设为等腰直角三角形，再利用方程组，求出的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在. 【详解】（1）证明：在中，， 因为存在常数，使得，故， ∴ （小于2的常数）， 故动点P的轨迹C是以为焦点，实轴长的双曲线，，双曲线方程为. （2）在中，设, 假设为等腰直角三角形，则  ,由②与③得，则, 由⑤得，即，又，， 故，故存在 满足题设条件． 18．（17分）已知双曲线的两条渐近线分别为，.    (1)求双曲线的离心率； (2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在；理由见解析 【分析】（1）由双曲线的渐近线得，再利用离心率的定义，即可得解； （2）当轴时，利用三角形面积公式，结合题意求出双曲线的方程，再利用一元二次方程根与系数的关系，结合三角形面积公式，再证明当直线与轴不垂直时，该双曲线也满足条件即可. 【详解】（1）因为双曲线E的渐近线分别为，， 所以，所以，故， 从而双曲线的离心率. （2）设双曲线的方程为，设直线与轴相交于点.    当轴时，若直线与双曲线有且只有个公共点，则. 又因为的面积为8，所以，因此，解得， 双曲线的一条渐近线方程为：，即， 此时双曲线的方程为. 若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为. 以下证明：当直线与轴不垂直时，双曲线也满足条件. 设直线的方程为，依题意，得或，则， 记.得，同理得. 由，得，即， 由得. 因为，所以. 又因为，所以，即与双曲线有且只有一个公共点. . 19．（17分）已知双曲线的右焦点为，点在C上． (1)求双曲线C的方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点． （ⅰ）设双曲线C在点P处的切线为，求双曲线左支上的点到直线距离的最小值； （ⅱ）设直线是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线的对称点为M，求点M满足的轨迹方程． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）根据题意可得，求解即可； （2）（ⅰ）法一：设的方程为：，与双曲线方程联立，求得的方程，利用平移法可求双曲线左支上的点到直线距离的最小值；法二：因为点在双曲线上，由双曲线的切线的性质可求得切线方程，进而利用平移法可求双曲线左支上的点到直线距离的最小值；（ⅱ）法一：分切线斜率是否存在两种情况讨论，设，利用判别式法求得，设点关于直线的对称点，可得，两式联立可得，化简整理可得轨迹方程.法二：设切点，双曲线在点Q处的切线为：， 设，分，两种情况讨论，当时，可得，∵利用点在双曲线上，代入计算化简即可. 【详解】（1）∵双曲线的右焦点为，点在C上． ∴，且，           解得：，∴双曲线的方程为． （2）（ⅰ）法一： 显然过点的切线斜率存在，设的方程为：， 联立，消y得：．          由，得，此时：．           设与平行且与双曲线左支相切的直线方程为， 联立，消y得， 由，得或（舍去）， ∴与平行且与双曲线左支相切的直线方程为， ∴双曲线左支上的点到直线距离的最小值为．           法二： ∵切点，∴双曲线在点P处的切线，           设平行于且与双曲线左支相切的直线为：， 联立，消y得，           由，得或（舍去），           ∴双曲线左支上的点到直线距离的最小值为．           （ⅱ）法一： ①当双曲线的切线斜率不存在时，，易得点；           ②当双曲线的切线斜率存在时，设， 联立，消y得：， 由，，得：．           设点关于直线的对称点， 则，           解得，           代入，得：． 化简：，           展开得， 即：， 化简得：．           ．           当时，即， M点的轨迹为点与F重合不合题意；           当时，即， M点的轨迹为以点圆心，半径为的圆， 此时点在圆上．           法二： 设切点，双曲线在点Q处的切线为：， ∵点关于直线的对称点为M，设， ①当时，，，易得．           ②当时，直线，斜率， 所以，解得，           ∵点在双曲线上， ∴，即，           ∴， 展开得， 即， 化简得，           ．           当时，即，M点的轨迹为点与F重合不合题意；     当时，即， M点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆， 此时点在圆上． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：双曲线 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.双曲线y 线=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为，.点P在双曲线右支上，直线PR的斜率为2.若AP四马 是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为() A.父上=1B.上 1 C.x D.上=1 28 48 831 84 2,设4，B为双曲线。1上两点，下列四个点中，可为线段4B中点的是() A.(1,1) B.（-1,2) C.(1,3) D.（-1,4) 3,若kR,则k>3”是方程无33表示双曲线的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知双曲线号茶=1a~0b~0的右焦点与被物线时：2pm0>0的焦点重合，超简我的准线交双前发干A B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若CD=√2AB|.则双曲线的离心率为() A.√2 B.5 C.2 D.3 5。已知只，乃是椭网和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠AP职亏则椭网和双由线的离心率的倒数 之和的最大值为() A.43 B.23 C.3 D.2 3 3 6.已知椭圆Cx+1(>b>0)与双曲线C,x2-三1有公共的焦点，C,的一条渐近线与以原点为圆心， 4 以C的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C恰好将线段AB三等分，则 13 A.a2= B.a2=13 c.b2= D.b2=2 2 2 7.以双曲线二=1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是() 916 A.x2+y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x+16=0 C.x2+y2+10x+16=0D.x2+y2+10x+9=0 8。已知双曲线C:菁-1,0为经标原点，F为c的有焦点，过F的直线与C的两条新近线的交点分别为以 N若△ON为直角三角形，则N=() A.2 B.3 C.2W3 D.4 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.己知焦点在x轴上的等轴双曲线C（对称中心为坐标原点O)的实轴长与圆O的半径相等，C与圆O在第一、 二、三、四象限分别交于P,Q,M,N四点，且PQ=10,则() A.C的渐近线方程为y=±x B.|pW=√6 C.C的焦距为4 D.四边形PQMN的面积为2√15 10.已知耳，F分别是双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点，点M是圆A:(x-2)+(y-3)=1上的动点，下列说法正 确的是() A.三角形AFF的周长是10 B.若焦点在y轴上的双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为4，则双曲线E是y2-x2=4 Q若Q-Q=6,则点@数迹方程是号+号=」 D.若P是双曲线右支上一动点，则PF+PM的最小值是2 1.已知点P在双曲线上=1上，R,R分别是左、右焦点，若PR耳的面积为20，则下列判断正确的有(） 169 A.点P到x轴的距离为号 20 B-p=9 C.△PFE,为钝角三角形 D.∠RPR 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.已加月、名是双自线r若芳-1a>0b~0的左有张点，/是T的一条茶近线，以R为周心的圆与1作切于 P.若双曲线T的离心率为√5，则sn∠P耳F=· 13.已知双由线五若多-a>0b>0的左、右限点分别为4，B,右焦古为P心0，其近续的方程为yx。 过F的直线1交B于C,D两点(C在x轴上方)，直线AC,BD分别交y轴于点P,Q,则|O的值为 1O01 若双曲线M:了1与圆0x+yr>0)交于A8,Q,D四点，且这四个点怡为正方形 顶点，则r= 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分)已知双酯线r-若-6>0，左、右碳点分别为4,4，过点M20的直线交双周线r于P0两点 (1)若T的离心率为2，求b ②若b=,6A4P为等腰三角形，且点P在绨一象限，求点P的坐标 (3)连接QO(O为坐标原点)并延长交T于点R,若AR·A,P=1,求b的最大值， 16.(15分)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F(-3,0),一条渐近线的方程是√5x-2y=0. (1)求双曲线C的方程： (2)若以（化≠0）为斜率的直线1与双曲线C相交于两个不同的点MN,线段N的垂直平分线与两坐标轴围成的三 角形的面积为 ,求女的取值范围。 17.(15分)设动点P到两定点F(-1,0)和F1,0)的距离分别为d1和d2,∠PF,=2θ，且存在常数(0<<1)， 使得d,d,sin28=. (I)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程； (2)如图，过点F的直线与双曲线C的右支交于A、B两点.问：是否存在入，使△耳AB是以点B为直角顶点的等 腰直角三角形？若存在，求出入的值；若不存在，说明理由. 1817分》已加双曲线日是若1a0b>0的两条新近线分别为：v=2x,么y-一2x AVY=2x y=-2x (1)求双曲线E的离心率； (2)如图，O为坐标原点，动直线1分别交直线l,l,于A,B两点(A,B分别在第一，四象限)，且△OAB的面积恒为8， 试探究：是否存在总与直线1有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明 理由. 10.（7分)已加双我C若茶=1aQ办>0的6焦点为P20,点2v万在C上 (1)求双曲线C的方程： (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义 该公共点为切线的切点 ()设双曲线C在点P处的切线为(，求双曲线左支上的点到直线马距离的最小值； ()设直线l,是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线，的对称点为M,求点M满足的轨迹方程.2026届高考数学一轮复习课时作业：双曲线 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.双曲线y 元厅=1a>0,b>0)的左、右焦点分别为，月点P在双曲线右支上，直线PR的斜率为2.若AP四三 是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为() A.父上=1 B.xy2 =1 C.y D. x2 v2 =1 28 48 831 84 【答案】A 【分析】可利用△P耳耳三边斜率问题与正弦定理，转化出三边比例，设PF,=,由面积公式求出，由勾股定理 得出c,结合第一定义再求出a 【详解】如下图：由题可知，点P必落在第四象限，∠P耳，=90°，设PF=, ∠PRR=8,∠PRR=8,由k%=tam8=2,求得sn8= 2 因为∠RP照=0，所以5k-1,求得太=号即m8 4=5由正弦定理可得：PPR=n日：血8：m90°=2：15，则由PE=m得P四=2=2x=V5m, 由8.=PP,=m2I=8得m=25,则P=25,Pg=45.RR2c=20.c=6， 由双曲线第定义可得：P-Pg=2a=25,a=26--口=5，所以双曲线的方程为女1 28 故选：A 2.设4，B为双曲线x2-上=1上两点，下列四个点中，可为线段4B中点的是() 9 A.(1,1) B.（-1,2) C.(1,3) D.(-1,4) 【答案】D 【分析】根据点差法分析可得k4Bk=9,对于A、B、D:通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断：对于C: 结合双曲线的渐近线分析判断. y+y2 【详解】设A(,片)，B(x2,),则AB的中点M +x y+y2 2 2 ,可得灰。=当业，k=2二-当+y 水-X2+X2x+x2 2 、 .=1 9 因为A,B在双曲线上，则 =1 两式相减得（代-）-广。上=0，所以k和青=兰-兰=9 9 x2-x2 9 对于选项A:可得k=1,k4B=9,则AB:y=9x-8, y=9x-8 联立方程 x2-上=1'消去y得722-2×72x+73=0,此时4=（←2×722-4×72×73=-238<0， 9 所以直线4与双面线没有交点，放A错误：对于透项B:可得k=-之女。=号则B= 95 -x- 2 ”2 95 y=- 联立方程 2,消去y得45+2×45x+61=0,此时△=(2x45-4×45x61=4x45x16<0, 9 所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误：对于选项C:可得k=3,k4a=3,则AB:y=3x 由双曲线方程可得a=1,b=3,则AB:y=3x为双曲线的渐近线， 9.7 8与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D:k=4k。},则B:y 97 y= 4x-4 联立方程 ,消去y得63x2+126.x-193=0, x2_2 =1 9 此时△=1262+4×63×193>0，故直线AB与双曲线有两个交点，故D正确：故选：D. 3.若keR,则k>3是“方程，C、少 =1表示双曲线”的() k-3k+3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合双曲线的定义，利用充分条件和必要条件的定义判断， 【详解】当k>3时，k-3>0,k+3>0,故方程，心广 =1表示双曲线， k-3k+3 因此~3是方程名-1表际双面续的充分条样。 方程x一2 k-3k+3 =1表示双曲线时，需满足(k-3k+3)>0,即k<-3或k>3， 故k>3”不是“方程。- k-3 k+3 =1表示双曲线”的必要条件，故选：A 4.已知双曲线 a2 b2 =1(a>0,b>0)的右焦点与抛物线y2=2px(D>0)的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A, B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若CD=√2AB|.则双曲线的离心率为() A.√ B.5 C.2 D.3 【答案】A 【分析】设公共焦点为(c,0),进而可得准线为x=-c,代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得α2=二c2 再由双曲线离心率公式即可得解， 【详解】设双信线器芳-a~0b>0与地物线，-2m00的会共焦点为仁0。 圆抛物线y2p(D≥0的准线为©，令c,则气合左山，解得y士所以B沙一 .b2 a 又因为双曲线的渐近线方程为y=±x,所以CD=2沙c,所以2e-25,即c=b,所以a=6-8= L 2c, 所以双曲线的离心率e=C=√2.故选：A 5.已知耳，乃是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且∠RP?=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数 3 之和的最大值为() A.43 B.23 C.3 D.2 3 3 【答案】A 【详解】试题分析：设椭圆的长半轴为a,双曲线的实半轴为a,(a>a),半焦距为c, 由椭圆和双曲线的定义可知， 设P=hPF=:耳=2c,椭圆和双曲线的离心率分别为e,e :∠RPR-号由余孩定理可得4c2=(+,-2o写，① 在椭圆中，①化简为即4c2=4忙-35，即3沿=】-山，② 4c2e2 在双曲线中，①化简为即4c2=4r+r5,即点=- 4c2 g*1.g 1,3 （ee, 即上+1≤， 1645 当且仅当e,= 3 ee, V33 ,e=VB时取等号，故选A 。已知椭圆C若+1(Q>b>0)与双曲线℃，x-上1有公英的焦点，C的一条渐近线与以原点为圆心 4 以C的长轴为直径的圆相交于A,B两点.若C恰好将线段AB三等分，则 A.m2=13 B.a2=13 D.b2=2 2 C.b=1 2 【答案】C 【分析】由公共焦点得2-b2=5,取双曲线的渐近线方程为y=2x,圆直径AB=2a,由直线y=2x与椭圆相交 1 求得弦长，由对称性知该弦长是直径的，结合2-b2=5可求得b,得正确选项. 【详解】易知双曲线C,:x_二=1的焦点坐标为5.0，所以G-2=5, 4 x2 y2 =1 ab 取双曲线一条渐近线方程为y=2x,易知AB=2a,2b2 V=2x V4a+b2' G我新五近线y=2x所得弦长为1=5。由对您性，此弦长为d的 由题意√5. 2ab V4a2+b31 12a,代入d-b2=5解得=2，则xs11 2 故选：C. 7.以双曲线y =1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是() 916 A.x2+y2-10x+9=0 B.x2+y2-10x+16=0 C.x2+y2+10x+16=0 D.x2+y2+10x+9=0 【答案】A 【详解】圆心为(5,0)，渐近线方程为4x±3y=0,所以半径为4×5=4，所以圆的方程是-5+y=16,即 5 x2+y2-10x+9=0,选A. 8.已知双曲线C: -y2=1,O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M 3 N若△OMN为直角三角形，则MM=() A.2 B.3 C.2W3 D.4 【答案】B 【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到∠FON=30°，根 据直角三角形的条件，可以确定直线MN的倾斜角为60或120°，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果 是相等的，从而设其倾斜角为60°，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得 MV,M子-，利用丙点同距离公式求得a的位 详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为±5，且右焦点为2,0)， 3 从而得到∠FON=30°，所以直线MN的倾斜角为60或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°， 得出直线MN的方程为y三3-2)，分别与两条渐近线y=一x利和-3： 3 求得MB,N-9,所以N-C-多+(5-=3，数选R 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知焦点在x轴上的等轴双曲线C(对称中心为坐标原点O)的实轴长与圆O的半径相等，C与圆O在第一、 二、三、四象限分别交于P,Q,M,N四点，且PQ=√10，则() A.C的渐近线方程为y=±x B.PN=6 C.C的焦距为4 D.四边形PON的面积为2√15 【答案】ABD 【分析】根据等轴双曲线的性质判断A,设等轴双曲线和圆的方程，联立后求双曲线方程，以及交点的坐标，即可 判断BCD 【详解】A.等轴双曲线的渐近线方程为y=±x,故A正确： B.设等轴双曲线C:x2-y2=a,圆O:x2+y2=4a2,a>0,P(xy),Q(-x,y),M(-x,-y),N(x,-y),x>0,y>0, x2-y2=a2 联立 r,,@2=a-0,得a=1,所以时-2y6=6,放B 2 2 正确：C.等轴双曲线C:x2-y2=1中，c2=2,所以焦距为2√2，故C错误： D.由对称性可知，四边形POMN是矩形，所以四边形PON的面积为POPW=V10×√6=215，故D正确 故选：ABD 10.已知耳，耳分别是双曲线C:x2-y2=-2的左、右焦点，点M是圆A:(x-2)+(y-3)2=1上的动点，下列说法正 确的是() A.三角形AFF的周长是10 B.若焦点在y轴上的双曲线E与双曲线C有相同的渐近线，且双曲线E的焦距为4，则双曲线E是y2-x2=4 c若QlQ6,则点@的钱途方程足写+号=1 D.若P是双曲线右支上一动点，则PF+PM的最小值是2 【答案】CD 【分析】根据条件，分别求得A、耳、F坐标，根据两点间距离公式，可求得AFF,的周长，即可判断A的正误： 先求得双曲线C的渐近线方程，进而可设出双曲线E的方程，根据条件，求得c值，可求得双曲线E的方程，即可 判断B的正误；根据椭圆的定义，计算求解，可判断C的正误；根据三点共线时，距离最短，可判断D的正误， 即可得答案 【详解】选项A:由题意圆心A(2,3),F(-2,0),F,(2,0),则FF=4, 所以AE=V(-2-2)2+(0-3)2=5,AE=V(2-2)2+(3-0)2=3, 所以三角形AFF,的周长等于4+3+5=12，故A错误： 选项B:双曲线C的蒲近线方程为y=女，所以设双曲线区的方程为号荐1， 因为双曲线E的焦距为4，即2c=4,解得c=2,所以4=a2+d,解得a2=2, 以双曲线8的方程为戈1，即少-2，故B错误 选项C:因为Q+Q=6>F,=4,所以Q的轨迹为以F,F,为焦点的椭圆， 所以长轴2a=6,即41=3，焦距2c1=4,即c1=2, 又=4-c=9-4=5,所以Q的轨迹方程是+二=1，故C正确 95 选项D:因为P是双曲线右支上一动点，所以PF+PM≥PE+PA-12AF,引-1=3-1=2，故D正确 故选：CD 1.已知点P在双曲线上-1上，R,R分别是左、右焦点，若PR耳的面积为20，则下列判断正确的有() 169 20 A.点P到x轴的距离为 B.IPl+lexJ=50 3 C.△PFE为钝角三角形 D.∠FPE,=3 【答案】BC 【分析】设点P(,少)，根据S.s×2c=20求得y,判断A:求出点P的坐标，利用两点距离求出P风， 根据双曲线定义求出P,即可判断B:结合B选项，利用余弦定理求得cos∠PE耳<O,则∠PF为钝角，即可 m愿得tm223-。+5,即可判断D b2 判断C;由SaR= 2 2203 【详解】设点P(xp,y). 因为双曲线C6)所以a=4,=3,c=V16子9=5,8I50 对于A,S5分210，小20，所以小4，所以点P到轴的座商为4，错误。 对于B将小4代入名号1物兮1，=号 169 由双曲线的对搭在，不防取点：的坐标为（兮4利P明《9-一 3 由双线的定义得P因2☑+8所以子号9正确 对于C,结合B选现，在PRR中，P-号>-2c=10>P-号 且cos∠PRR P四+E-P<0,则∠PR,乃为钝角，所以△PRR,为纯角三角形，正确。 2PFE引 b2 对于D,由Sa= m职，得m易9，且》：所以+若所以R号 2203 2(2 2 6 2 错误.故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12。已知名、及是双酯线r若本-1a>0b>0的左右焦点，1足r的一条新近线，以R为图心的圆与1相切于 P.若双曲线T的离心率为√5，则sin∠P= 【答案】 【分析】以E为圆心的圆与I相切于点P,P耳，⊥1，所以由点到直线的距离求出PF=b,由余弦定理求出PF, 再由余弦定理求出cos∠P耳F,即可求出sin∠PEE,的值. 【详解】设双线r等茶=a心Q6>0的一条新近线为1：-0. 则E(c,0)到直线：bx-y=0的距离为 6+ab,因为以为圆心的圆与1相切于点P,R11,所以PR=b bc 又因为双曲线r的离心率为5，所以S=V3,则c=√5a,b=2a, 在Rt△PFO中，cos∠PFE=二= havP.cosPRE-V6t-P l-P 3-4bc 4v6a2 解得：吗-6a,由余流定理可得：a∠阴只=追，所以m∠P明积=-om专 2Pr·2c 故答案为： 1 3 1以已加双线么言a~Q6>0的左，右顶点分别为8，右焦点为2，共特延线的方程为， 过F的直线I交E于C,D两点(C在x轴上方)，直线AC,BD分别交y轴于点P,Q,则 091 的值为 【容 OP 【分析】先求出双曲线方程，设直线CD:x=w+2,与双曲线联立，利用韦达定理化简 yy+即可。 lod myiy,+3y2 【详解】由愿意可得，c=2,名=V5,解得a=1,b=5c=2,则g:x- 31, 设cD=四+2，与g-号1联立得(m-小+12a+9-0, 设C,.D,)则人g=是=》则m头=+) 9 线cy.0-.则P0六0奇 y(y2+1)儿yy2+y1 (y+y2)+y y2w,+3)儿 1w,y2+3y2 3 y-3y故答案为： (y+y2)+3y2 -3y+9y,3 4 14.若双曲线M:x-二=1与圆0：2+y=r2(>0)交于A.8,C,D四点，且这四个点恰为正方形的四个 3 顶点，则”= 【答案】√5 【分析】设40，则m曰，代入双曲线方程可得m=子从而可得答案 【详解】双曲线M:x2-上=1与圆0：x2+y2=2(>0)交于A,8,C,D四点， 3 且这四个点恰为正方形的四个顶点，设A0L,),则mHn川，所以m2-_四-1，解得m=3 3 所以2=m2+n=2m=3,即r=√5，故答案为：√5. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(43分)已知双曲线Tt若1b>0,左、右顶点分别为4,4，过点M20的直线交双曲线「于P,Q两点 (1)若下的离心率为2，求b (2)若b=26 △MA,P为等腰三角形，且点P在第一象限，求点P的坐标. (3)连接Q0(O为坐标原点)并延长交T于点R,若AR·A,P=1,求b的最大值 【答案】(1)b=√3： ②当6=26时，p2,2W: 3 3)b的最大值为3 【分析】(1)根据离心率的概念求出C,再求出b即可： (2)如图，易知∠PA,M为钝角，则A,P=A,M=3,根据两点距离公式建立方程组，解之即可求解： (3)设P(:,y),2(x2,y,),PQ:x=y-2,联立双曲线方程，利用韦达定理和平面向量数量积的坐标表示建立 关于mb的方程，得公=9g·结合2即可求解 1 【详解1(1)由双曲线的方程知a=1,c=+6,因为离心率为2，所以S=1+办=2，得b=5 a 1 (2)当b=26时，双曲线r:x-3少-1，且4，，0) 3 8 因为点P在第一象限，所以∠PA,M为钝角.又△MAP为等腰三角形，所以A,P=A,M=3 √(x。-1)+=3, 。=2 设点P(x,),且x>0,y>0,则 =22·所以P2,22 得 (3)由双曲线的方程知A（-1,0),A(1,0),且由题意知9，R关于原点对称 设P(5,y),2(x2,y2)则R(-x2,-y2)由直线PO不与y轴垂直，可设直线PO的方程为x=w-2. x=y-2, 联立直线与双曲线的方程得：二：1消去x,得(6心-1少60+动=0， b1,1 且6r-1=0,甲m京得+y取=(1-W.4(西-功： 4b'm 3b2 由AR·A,P=1,得(-x2+1)(5-1)-y2=1,所以(x2-1)(5-1)+4%=-1,即(y2-3)(%-3)+y2=-1, 4bL+10=0: 整理得m+业-3my++0=0,所以m+1被3m元 理54w-10-0:所-gog又i安所u产” 京+33办1，解得6：#3， 1 所以b∈(0,3)U 10 33 又b>0,故b的取值范国是0列5， 3 故b的最大值为V30 16.(15分)已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是(-3,0)，一条渐近线的方程是√5x-2y=0. (1)求双曲线C的方程： (2)若以（化≠0）为斜率的直线1与双曲线C相交于两个不同的点M,N,线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三 角形的面积为，，求k的取值范围。 【答案】上=1 45 ②k的眼值范国是（寻(50uQ亭〔 【分析】(1)设出双曲线方程，根据焦点坐标及渐近线方程求出待定系数，即得双曲线C的方程， (2)设出直线I的方程，代入双曲线C的方程，利用判别式及根与系数的关系求出N的中点坐标，从而得到线段 N的垂直平分线方程，通过求出直平分线与坐标轴的交点，计算围成的三角形面积，由判别式大于O,求得k的 取值范围。 【详解】(1)解：设双曲线C的方程为 为a6京=1(a>0,b>0). 「ax2+b2=9 由题设得b√5，解得 6二5’所以双曲线方程为 a2=4 =1 45 la 2 (2)解：设直线l的方程为y=+m化≠0). y=kx+m 点M(6,),N,)的坐标满足方程组x2y =1 45 将①式代入②式，得女_(x+ -=1,整理得(5-4k)x2-8x-4m2-20=0. 4 5 此方程有两个不等实根，于是5-4k2≠0，且△=(-8k)2+4(5-4k2)(4m2+20)>0· 整理得m2+5-4k2>0.③ 由根与系数的关系可知线段N的中点坐标6，)满足X,=十=4m 22=54,=+=54 从而线段N的垂直平分线方程为y, k 5-4k2 北直线与输，y销的交点标分别为（识0，Q写2。 由题设可得二」 01g 9kn 整理得m2=5-42)2 1k1,k≠0. 将上式代入③式得5-4k -+5-4k2>0,整理得(4k2-5)(4k2-k|-5)>0,k≠0. k 解得0可kK5或Ik朴乏 4 防ut的以独宽国是身(50uo5ug网 21 17.(15分)设动点P到两定点(-1,0)和F1,0)的距离分别为d1和d2,∠耳P=28,且存在常数(0<1<1)， 使得dd,sin26=. (1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程： (2)如图，过点F,的直线与双曲线C的右支交于A、B两点.问：是否存在元，使△AB是以点B为直角顶点的等 腰直角三角形？若存在，求出入的值；若不存在，说明理由 2026届高考数学一轮复习 课时作业：双曲线 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．双曲线的左、右焦点分别为点在双曲线右支上，直线的斜率为2．若是直角三角形，且面积为8，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（    ） A． B． C． D． 3．若，则“”是“方程表示双曲线”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） A． B． C．3 D．2 6．已知椭圆（）与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以原点为圆心，以的长轴为直径的圆相交于两点.若恰好将线段三等分，则 A． B． C． D． 7．以双曲线的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 8．已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=（ ） A． B．3 C． D．4 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知焦点在轴上的等轴双曲线（对称中心为坐标原点）的实轴长与圆的半径相等，与圆在第一、二、三、四象限分别交于四点，且，则（   ） A．的渐近线方程为 B． C．的焦距为4 D．四边形的面积为 10．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是（    ） A．三角形的周长是10 B．若焦点在轴上的双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为4，则双曲线是 C．若，则点的轨迹方程是 D．若是双曲线右支上一动点，则的最小值是2 11．已知点在双曲线上，分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（    ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．已知是双曲线的左右焦点，l是的一条渐近线，以为圆心的圆与l相切于P．若双曲线的离心率为，则 ． 13．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，右焦点为，其渐近线的方程为，过F的直线l交E于C，D两点（C在x轴上方），直线AC，BD分别交y轴于点P，Q，则的值为 ． 14．若双曲线 与圆 交于 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 . 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）已知双曲线，左、右顶点分别为，过点的直线交双曲线于两点. (1)若的离心率为2，求. (2)若为等腰三角形，且点在第一象限，求点的坐标. (3)连接（为坐标原点）并延长交于点，若，求的最大值. 16．（15分）已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 17．（15分）设动点P到两定点和的距离分别为和，，且存在常数，使得． (1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程； (2)如图，过点的直线与双曲线C的右支交于 两点．问：是否存在，使是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．（17分）已知双曲线的两条渐近线分别为，.    (1)求双曲线的离心率； (2)如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，请说明理由. 19．（17分）已知双曲线的右焦点为，点在C上． (1)求双曲线C的方程； (2)若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点． （ⅰ）设双曲线C在点P处的切线为，求双曲线左支上的点到直线距离的最小值； （ⅱ）设直线是双曲线C上任意一点的切线，点F关于直线的对称点为M，求点M满足的轨迹方程． 学科网（北京）股份有限公司 $