3.4圆周角和圆心角的关系第2课时（教学课件）数学北师大版九年级下册

该初中数学课件聚焦圆周角定理推论及圆内接四边形性质，以“三角板确定圆形笑脸圆心”情境导入，通过复习圆周角定义与定理搭建支架，逐步探究直径与90°圆周角关系、圆内接四边形对角互补，形成完整知识脉络。 亮点在于以情境问题激发数学眼光，通过定理迁移与逆向推理培养数学思维，如推导90°圆周角所对弦是直径时先连半径再证三点共线。规范几何语言表述，小结清晰列推论性质，助力学生发展推理意识与应用意识，教师可高效备课。

北师大版·九年级下册 3.4 圆周角和圆心角的关系 第2课时 第三章 圆 学 习 目 标 1．掌握圆周角和直径的关系，会熟练运用解决问题；(重点) 2．培养学生观察、分析及理解问题的能力，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式．(难点) 知识回顾 2.圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 . 如下图， ∠ABC = . ●O A B C ●O A B C ●O A B C 1.圆周角定义: 顶点在 ,并且两边都和圆 的角叫圆周角. ●O B A C D E 圆上 相交 一半 ∠AOC 情境引入 问题：如图是一个圆形笑脸，给你一个三角板，你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗？ (1)观察下图,BC是⊙O的直径,它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？ A B C O 想一想 新知探究 探究一：圆周角定理的推论 解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°. （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）. 证明：∵BC为直径, ∴∠BOC=180°, ∴∠BAC=∠BOC, 新知探究 （2）观察下图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？ B C A O 解：弦BC是直径. 证明：连接OB、OC, ∵∠BAC=90°, ∴∠BOC=2∠BAC=180°, （圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）, ∴B、O、C三点在同一直线上, ∴BC是⊙O的一条直径. 注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线. 新知探究 圆周角定理的推论： 知识归纳 直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径. A B C O B C A O 几何语言： ∵BC为直径 ∴∠BAC=90° 几何语言： ∵∠BAC=90° ∴BC为直径 新知探究 问题解决：回归到最初的问题，你能确定圆形笑脸的圆心吗？ 利用三角板在圆中画出两个90°的圆周角，这样就得到两条直径，那么这两条直径的交点就是圆心. 新知探究 1.如图，BD是⊙O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(　　) A．30°   B．45°   C．60°  D．75° C (1)如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径，请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？ A B C O D 议一议 新知探究 探究二：圆内接四边形及其性质 解：∠BAD与∠BCD互补, ∵AC为直径, ∴∠ABC=90°,∠ADC=90°, ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°, ∴∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠BAD与∠BCD互补. 新知探究 (2)如图，C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间有的关系还成立吗？为什么？ A B C O D 解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立, 连接OB，OD, 1 2 ∵∠1+∠2=360°, ∴∠BAD+∠BCD=180°, ∴∠BAD与∠BCD互补. ∵∠BAD=∠2,∠BCD=∠1, （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半） 新知探究 圆内接四边形： 知识归纳 四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形；这个圆叫做四边形的外接圆。 A B C O D 思考：圆内接四边形有什么特殊的性质吗？ 新知探究 知识归纳 A B C O D 圆周角定理的推论3(圆内接四边形性质): 圆内接四边形的对角互补. 几何语言： ∵四边形ABCD为圆内接四边形 ∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补） 新知探究 2.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120° B．100° C．80° D．60° 解析：∵∠BOD＝120°， ∴∠A＝60°， ∴∠C＝180°－60°＝120°，故选A. A 想一想 如图，∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个外角，∠A与∠DCE的大小有什么关系？ A B C O D E 新知探究 ∠A与∠DCE互补 由圆内接四边形的性质可得∠A＋∠DCB＝180°.又∠DCB ＋∠DCE ＝180°，所以∠A＝∠DCE． 圆内接四边形性质的推论：圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角(就是和它相邻的内角的对角)． 新知探究 3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E是BC延长线上的一点，已知∠BOD＝110°，则∠DCE的度数为（　　） A.45° B.50° C.55° D.75° C 新知探究 议一议 在得出本节结论的过程中，你用到了哪些方法？请举例说明，并与同伴进行交流. 1.定理迁移法：例如，以圆周角定理为基础，直接迁移推导推论 “直径所对圆周角为 90°”. 2.逆向推理验证法：对推论和性质进行逆向思考验证。比如已知 “圆周角为 90°”，反向推导 “其所对弦为直径”。 如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长. 例1 A B C O 典例分析 解∵AB为直径, ∴∠BCA=90°, 在Rt△ABC中， ∠ABC=30°，AB=10, ∴AC=AB=5. 典例分析 如图所示，已知△ABC的顶点在⊙O上，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径. 求证：∠BAE＝∠CAD. 例2 证明:如图，连接BE. ∵ AE是⊙O的直径， ∴ ∠ABE＝90°， ∴ ∠BAE＋∠E＝90°. ∵ AD是△ABC的高， ∴ ∠ADC＝90°， ∴ ∠CAD＋∠C＝90°. ∵ AB＝AB， ∴ ∠E＝∠C. ∵ ∠BAE＋∠E＝90°，∠CAD＋∠C＝90°， ∴ ∠BAE＝∠CAD. ⌒ ⌒ 巩固练习 基础巩固题 1.如图，AB是⊙O的直径，∠BAD＝70°，则∠ACD的度数是(　　)A.20° B.15°C.35° D.70° A 2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E是CB的延长线上一点，∠EBA＝125°，则∠D＝(　　) A．65°   B．120°  C．125°  D．130° C 巩固练习 基础巩固题 3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　) A．120°   B．100° C．80°  D．60° A 4.如图，弦AB，CD相交于E点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD等于( ) A．37° B．74° C．54 ° D．64° B 巩固练习 基础巩固题 6.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　 　°． 7.如图，∠A=50°， ∠ABC=60 °，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于 . A C B O D E 130 110° 5.四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= . 70º 100º 巩固练习 基础巩固题 10.如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为 . 9.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=138°，则它的一个外角∠DCE等于 ． 69° 8.⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= . 90º 3 巩固练习 基础巩固题 11.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC是⊙O的直径，AB＝2，∠ADB＝45°．求⊙O半径的长． 解：∵ AC是⊙O的直径， ∴ ∠ABC＝90°． ∵ ∠ADB＝45°， ∴ ∠ACB＝∠ADB＝45°． ∵ AB＝2， ∴ BC＝AB＝2， ∴ AC＝＝， ∴ ⊙O半径的长为． 巩固练习 基础巩固题 12.如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC. 证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD. 又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，∴AB垂直平分CD， ∴AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD， ∴∠FGD＝∠ADC. 课堂小结 圆周角和圆心角的关系2 推论2 推论3（圆内接四边形性质） 直径所所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对的弦是直径. 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的概念 四个顶点都在圆上的四边形叫做圆内接四边形．这个圆叫做四边形的外接圆． 圆内接四边形性质的推论 圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角． 作业布置 1.必做题：习题3.5第1-3题。 2.探究性作业：习题3.5第4题。 感谢聆听! $