3.4圆周角和圆心角的关系第1课时（教学课件）数学北师大版九年级下册

北师大版·九年级下册 3.4 圆周角和圆心角的关系 第1课时 第三章 圆 学 习 目 标 1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理； 2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的几何问题；（重点） 3.了解圆周角的分类，会推理验证“圆周角与圆心角的关系”.（难点） 知识回顾 3.顶点在 ，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠BOC. 圆心 1. 的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 2.平分弦（不是 ）的直径垂直于弦，并且 . 垂直于弦 直径 垂径定理: 垂径定理的推论: 平分弦所对的弧 情境引入 如图，在足球射门的游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对球门AC的张角（∠BAC）有关．当球员在B、D、E三点射门时，他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC．这三个角的大小有什么关系？在这三点射门的效果一样吗？ 图中的三个角∠ABC，∠ADC，∠AEC，以前见过这种类型的角吗？它们有什么共同特征？ 新知探究 探究一：圆周角的定义 顶点在☉O上，角的两边分别与☉O相交. 图中的三个张角∠BAC，∠BAC，∠BAC的顶点各在圆的什么位置？它们的两边和圆是什么关系？ 想一想 新知探究 圆周角的定义： 知识归纳 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角概念的理解： (1)角的顶点在圆上； (2)角的两边都与圆相交.（两个条件缺一不可） 新知探究 · C O A B C O B C A B A B C O A B C O B A A 下列各图中的∠BAC是否为圆周角,并简述理由. （2） （1） （3） （5） （6） C （4） O 顶点在圆内 顶点在圆外 圆周角 圆心角 边AC没有与圆相交 圆周角 如图，∠AOB=80°． （1）请你画几个 所对的圆周角？这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流． （2）这些圆周角和圆心角∠AOB的大小有什么关系?你是怎么发现的?与同伴进行交流． 做一做 新知探究 探究二：圆周角定理及其推论 D E F （2）∠D=∠E= ∠F=∠AOB. 利用量角器得出弧AB所对的圆周角都等于40°，都等于弧AB所对的圆心角80°的一半． （1）∠D=∠E= ∠F=40° 使用量角器进行测量可得弧AB所对的圆周角的度数都相等． 新知探究 在图中，改变∠AOB的度数，你得到的结论还成立吗？说说你的想法，并与同伴交流． D E F 仍然成立！ 议一议 新知探究 圆周角定理： 知识归纳 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 你能不能证明这个定理呢？ 已知：如图，∠C是AB所对的圆周角，∠AOB是AB所对的圆心角. 求证：∠C=∠AOB. ⌒ ⌒ （1） 新知探究 （1）圆心O在∠C的一条边上； （2）圆心O在∠C的内部； （3）圆心O在∠C的外部. 分析：根据圆周角与圆心的位置关系，分三种情况讨论： 圆周角与圆心有几种不同的位置关系呢？ （2） （3） 新知探究 证明：（1）当圆心O在圆周角∠C的一边上时，如图(1)． ∵∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB=∠C+∠A． ∵OA=OC， ∴∠A=∠C． ∴∠AOB=2∠C， 即∠C=∠AOB. （1） 请你完成图（2）、（3）两种情况的证明． 新知探究 D 证明：（2）当圆心O在圆周角∠C的内部时，如图(2)． 如图，连接CO并延长，交圆O于D， ∵∠AOD是△AOC的外角，∠BOD是△BOC的外角， ∴∠AOD=∠ACO+∠A，∠BOD=∠BCO+∠B． ∵OA=OC，OB=OC， ∴∠A=∠ACO，∠BCO=∠B． ∴∠AOD=2∠ACO，∠BOD=2∠BCO． ∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO =2(∠ACO+∠BCO)=2∠ACB． 即∠ACB=∠AOB. 新知探究 D 证明：（2）当圆心O在圆周角∠C的外部时，如图(3)． 如图，连接CO并延长，交圆O于D， ∵∠AOD是△AOC的外角，∠BOD是△BOC的外角， ∴∠AOD=∠ACO+∠A，∠BOD=∠BCO+∠B． ∵OA=OC，OB=OC， ∴∠A=∠ACO，∠BCO=∠B． ∴∠AOD=2∠ACO，∠BOD=2∠BCO． ∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO =2(∠ACO-∠BCO)=2∠ACB． 即∠ACB=∠AOB. 新知探究 1.如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是(　　) A．25°   B．30°  C．40°  D．50° A 新知探究 （1）在足球射门的游戏中，球员在B、D、E三点射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？ 想一想 ⌒ 它们都是AC所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于∠AOC度数的一半，所以这三个角相等． 新知探究 （2）如图，在☉O中 = ，那么∠C和∠G的大小有什么关系?为什么? O F B A C E G ∠C=∠G. 理由：如图，连接AO，BO，EO，FO， ∵AB=EF， ∴∠AOB=∠EOF， ∵∠C=∠AOB，∠G=∠EOF， ∴∠C=∠G. ⌒ ⌒ 新知探究 圆周角定理的推论： 知识归纳 同弧或等弧所对的圆周角相等. 新知探究 2.如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝30°，则∠B＝(　　) A．150°   B．75° C．60°  D．15° B 典例分析 如图，所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为点C，交⊙O于点D，E在⊙O上． (1)∠AOD＝52°，求∠DEB的度数； (2)若AC＝，CD＝1，求⊙O的半径． 例1 解：(1)∵AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB， ∴ ， ∴∠DEB＝∠AOD＝×52°＝26°. (2)设⊙O的半径为x，则OC＝OD－CD＝x－1. ∵OC2＋AC2＝OA2， ∴(x－1)2＋()2＝x2，解得x＝4， ∴⊙O的半径为4. 典例分析 如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在弧AB上，连接CD交AB于点E，点B是 的中点. 求证：∠B＝∠BEC. 例2 证明：∵B是CD的中点， ∴BC＝BD， ∴∠BCE＝∠BAC. ∵∠BEC＝180°-∠B-∠BCE，∠ACB＝180°-∠BAC-∠B， ∴∠BEC＝∠ACB. ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∴∠B＝∠BEC. ︵ ︵ ︵ 巩固练习 基础巩固题 2.如图，AB是☉O的直径，C、D、E是☉O上的点，则∠1+∠2等于（　　） A．90° B．45° C．180° D．60° 1.如图，在☉O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于(　　)A.40° B.45°C.50° D.60° D A 巩固练习 基础巩固题 3.如图，☉O中，弦AB与CD交于点M，∠A=45°，∠AMD=75°，则∠B的度数是（　　） A．15° B．25° C．30° D．75° C 4.如图，点A、B、C是☉O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交圆O于点F，则∠BAF等于（　　） A．12.5° B．15° C．20° D．22.5° B 巩固练习 基础巩固题 5.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C, D为半圆上的两点，∠CAD=25°，则∠COD 的度数为 . 50° 6.如图，点B，C在☉O上，且BO＝BC， 则圆周角∠BAC ＝ . 30° 7.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角 ∠ADB= . D A O C B 50° 巩固练习 基础巩固题 8.如图，OA,OB,OC都是☉O的半径，∠AOB=50°, ∠BOC=70°.求∠ACB和∠BAC度数. B C O . 70° A 解：∵圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB所对的弧为 , ⌒ AB 同理∠BAC=∠BOC=35°. ∴∠ACB=∠AOB=25°. 巩固练习 基础巩固题 9.如图，△ABC的三个顶点都在☉O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长． 解：如图，连接OC. ∵ ∠AOC＝2∠B，∠DAC＝2∠B， ∴ ∠AOC＝∠DAC， ∴ CO＝AC. 又∵ OA＝OC， ∴ AO＝AC＝OC， ∴ △AOC是等边三角形， ∴ AC＝AO＝AD＝3 cm. 课堂小结 圆周角和圆心角的关系1 圆周角定理的推论 圆周角定理 圆周角定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 同弧或等弧所对的圆周角相等. 作业布置 1.必做题：习题3.4第1-3题。 2.探究性作业：习题3.4第4题。 感谢聆听!