5.2.1三角函数的概念（培优教学课件）数学人教A版2019必修第一册

该高中数学课件聚焦“三角函数的概念”，系统讲解任意角三角函数的定义、各象限符号判定及诱导公式一。课堂从初中锐角三角函数定义导入，通过“任意角三角函数如何定义”的问题衔接，以单位圆中特殊角坐标探究为支架，引导学生抽象出三角函数定义，构建前后知识联系。 其亮点在于以问题链驱动探究，如通过α=π/6等特殊角坐标探究培养数学眼光（抽象能力、几何直观），通过证明第三象限角充要条件发展数学思维（推理能力），用规范符号表达公式和解题过程强化数学语言（符号意识）。典例涵盖给角、给点、含参数点等类型，题型分类清晰，小结系统，助力学生理解应用，教师可高效备课。

5.2.1 三角函数的概念 第五章 三角函数 人教A版2019必修第一册·高一 1、正弦函数： 2、余弦函数： 3、正切函数： 前情回顾 在初中，我们是如何定义三角函数的呢？ 任意角的三角函数应该如何定义呢？ 学 习 目 标 1 2 3 通过单位圆理解并掌握任意角的三角函数的定义； 能判断三角函数在各象限内的符号． 理解并记忆诱导公式（一）． 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的三角函数的定义 3 题型探究 2 三角函数各个象限的符号 新知探究1 探究1： （1）当 时，点 坐标为？ （2）当 或 时，点 坐标为？ （3）当 ，终边与圆的交点是否唯一确定？ 如图，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为.射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为. 新知探究1 探究1： （1）当 时，点 坐标为？ 利用勾股定理可以发现，当 时，点的坐标是 （2）当 或 时，点 坐标为？ 同理，当 时，点的坐标是 当 时，点的坐标是 如图，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为.射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为. 新知探究1 探究1： 逆时针的旋转角与坐标的关系是唯一确定的 即横坐标与纵坐标都是角的函数 （3）当 ，终边与圆的交点是否唯一确定？ 如图，以单位圆的圆心为原点，以射线为轴的非负半轴，建立直角坐标系，点的坐标为，点的坐标为.射线从轴的非负半轴开始，绕点按逆时针方向旋转角，终止位置为. 新知1 任意角的三角函数 下面给出这些函数的定义：设 是一个任意角， ，其终边 与单位圆相交于点 把点 的纵坐标 叫做 的正弦函数，记作 ，即 ； 把点 的横坐标 叫做 的余弦函数，记作 ，即 ； 把点 的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 ，即 ； 当 终边在 轴上，此时 ， 无意义， 但除此以外对于确定的角 ，比值 也是唯一确定的。 称以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标比值为函数值的函数 为正切函数。 定义域为 定义域为 定义域为 新知探究1 探究2： 在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数.设，把按锐角三角函数定义求得的锐角的正弦记为，并把按本节三角函数定义求得的的正弦记为.与是相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 新知探究1 例1： 求的正弦、余弦和正切值. 在直角坐标系中，作易知的终边与单位圆的交点坐标为.所以有： 典例分析 ［例1］利用定义求2π/3 的正弦、余弦和正切值． 解析： 如图所示，的终边与单位圆的交点为 ，过 点作轴于点 ， 在中，，，则 ， ，则, ． 所以， ， ． 典例分析 ［例2］已知角的终边与单位圆交于点, ，则___________. 解析： 的终边与单位圆交于点,故, ，所以 . 典例分析 ［例3］已知角的顶点在坐标原点，始边在 轴的非负半轴上，终边与单位 圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则 _____． 解析： 设,，由，得，所以 ， 所以，又因为点在第二象限，所以，即, ， 故 . 新知1 任意角的三角函数 2.坐标法求三角函数 如图5.2-4，设是一个任意角，它的终边上任意一点(不与原点重合)的坐标为,点与原点的距离为. 求证： 新知1 任意角的三角函数 如图，设角的终边与单位圆交于交点分别 过点，作轴的垂线，垂足分别为则： ，，， 于是，，即. 因为与同号，所以 即同理可得， 新知1 任意角的三角函数 设直角坐标系中任意大小的角 终边上一点 （不与原点O 重合）的 坐标为 ,它到原点的距离为 , ,则任意角 的三角函数为 三角函数 定义 表示式 定义域 典例分析 ［例1］已知角 的终边经过点，点到坐标原点的距离为 ， 则 的值为 解析：根据题意，，所以 ， ，所以 . 典例分析 ［例2］变式：将例1中“点”变为“点” 求 , , 的值. 解析：当 时， ， ， ； 当时， ， 典例分析 ， . 综上所述, ； 当时，， ； 当时，， . 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的三角函数的定义 3 题型探究 2 三角函数各个象限的符号 新知探究2 探究 根据任意角的三角函数定义，先将正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域填入教材表5.2-1，再将这三种函数的值在各象限的符号填入教材图5.2-6中的括号. y x o ( ) ( ) ( ) ( ) y x o ( ) ( ) ( ) ( ) y x o ( ) ( ) ( ) ( ) 正弦值y在一、二象限为正， 三、四象限为负。 余弦值x在一、四象限为正， 二、三象限为负。 正切值 在一、三象限为正， 二、四象限为负。 新知2 三角函数各个象限中的符号 求证：角为第三象限角的充要条件是 先证充分性，即如果式都成立，那么为第三象限角. 因为式成立，所以角的终边可能位于第三或第四象限，也可能与轴的负半轴重合； 又因为式成立，所以角的终边可能位于第一或第三象限. 因为式都成立，所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三象限角. 必要性，即若为第三象限角，则有且成立. 新知2 三角函数各个象限中的符号 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等． 由此得到一组公式: 由公式一可知，三角函数值有“周而复始”的变化规律，即角α的终边每绕原点转一周，函数值将重复出现. 利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为转化为求 (或0°360°)角的三角函数值. 典例分析 ［例1］ 确定下列三角函数值的符号，然后用计算工具验证： 典例分析 ［例2］ 设，点在第二象限，则角 的取值范围是________. 解析：因为在第二象限，所以则 是第四象限角， 又，所以, . , 典例分析 ［例3］ 求下列各式的值： （1） ； 解析： ． 学习过程 01 03 02 目录 1 任意角的三角函数的定义 3 题型探究 2 三角函数各个象限的符号 题型探究 三角函数的定义 题型1 ［例1］已知 的终边经过点，则 _________. 解析：根据三角函数的定义， . 题型探究 三角函数的定义 题型1 ［例2］若的终边与的终边垂直，且 ，则 ( ) A. B. C. D. 解析：选A.因为 的终边与的终边垂直，且 ，所以 ，则 . √ 题型探究 三角函数的定义 题型1 ［例3］已知,，角的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合， 终边上有两点，且，则 ( ) A. B. C. D.4 解析：选B.由三角函数的定义可知 ， 即 . √ 三角函数值的符号 题型2 题型探究 ［例1］（多选）已知 ，则函数 的值可能为( ) A. B. C.1 D.3 解析：当是第一象限角时， ; 当是第二象限角时， ; 当是第三象限角时， ; 当是第四象限角时， . √ √ 三角函数值的符号 题型2 题型探究 ［例2］ “角为第三象限角”是“ ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选A.因为是第三象限角，所以；因为，如， 则 不是第三象限角.故“角 为第三象限角”是“ ”的充分不必要条件. √ 诱导公式一的应用 题型3 题型探究 ［例1］ 的值为__________. 解析： . 诱导公式一的应用 题型3 题型探究 ［例2］求值： _ __． 解析： . 诱导公式一的应用 题型3 题型探究 ［例3］在平面直角坐标系中，点 位于第____象限. 解析： ， ， 所以 在第四象限. 四 课堂小结 2.三角函数的符号判定; 今天学习了哪些内容？ 1.三角函数的定义; 3.三角函数诱导公式一。 感谢聆听! $