专题03 弹簧模型中的力与能（模型与方法讲义）（全国通用）2026年高考物理二轮复习讲练测

该高中物理高考复习讲义聚焦弹簧模型这一高频考点，系统整合静力学平衡、动力学分析及动量能量综合应用三大模块，按“模型解析-典例示范-分层演练”逻辑架构知识体系。通过考点梳理明确胡克定律、平衡条件、动量守恒等核心知识关联，结合典例解析指导变力分析、能量转化等解题方法，配套真题训练帮助学生突破弹簧模型中的力与能难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用分类建模教学策略，将弹簧模型细化为三类子模型，引导学生通过典例分析建构“弹力-运动-能量”的科学思维框架，培养模型建构与科学推理能力。设置基础演练、高考真题等分层练习，配合即时反馈机制，确保学生高效掌握解题规律，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用教学工具。

专题03 弹簧模型中的力与能 目录 【模型一】静力学中的弹簧模型 1 【模型二】动力学中的弹簧模型 3 【模型三】与动量、能量有关的弹簧模型 7 【模型一】 静力学中的弹簧模型 静力学中的弹簧模型一般指与弹簧相连的物体在弹簧弹力和其他力的共同作用下处于平衡状态的问题，涉及的知识主要有胡克定律、物体的平衡条件等，难度中等偏下。 【典例1】三个质量均为1kg的相同木块a、b、c和两根劲度系数为500N/m的相同轻弹簧p、q间的连接如图所示，其中a放在足够大的光滑水平桌面上。开始时p卫弹簧处于原长，木块都静止。现用水平力F缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面，已知q弹簧始终沿竖直方向，重力加速度g取。下列说法正确的是（    ） A．q弹簧上端向上移动的距离为2cm， p弹簧的左端向左移动的距离是4cm B．q弹簧上端向上移动的距离为4cm，p弹簧的左端向左移动的距离是4cm C．q弹簧上端向上移动的距离为4cm， p弹簧的左端向左移动的距离是8cm D．q弹簧上端向上移动的距离为2cm， p弹簧的左端向左移动的距离是6cm 【模型演练1】如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，两个质量均为m的物块a、b用劲度系数为k的轻质弹簧连接，两物块均恰好能静止在斜面上。已知物块a与斜面间的动摩擦因数是物块b与斜面间的动摩擦因数的两倍，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，弹簧始终在弹性限度内。则弹簧的长度与原长相比（　　） A．可能伸长了 B．可能伸长了 C．可能缩短了 D．可能缩短了 【模型演练2】如图所示，倾角为θ且表面光滑的斜面固定在水平地面上，轻绳跨过光滑定滑轮，一端连接物体c，另一端连接物体b，b与物体a用轻弹簧连接，c与地面接触且a、b、c均静止。已知a、b的质量均为m，重力加速度大小为g。则（　　） A．c的质量一定等于2msinθ B．剪断竖直绳瞬间，b的加速度大小为gsinθ C．剪断竖直绳之后，a、b将保持相对静止并沿斜面下滑 D．剪断弹簧瞬间，绳上的张力大小为mgsinθ 【模型二】动力学中的弹簧模型 动力学中的弹簧模型主要涉及关联物体在弹簧作用下的运动，该运动过程中弹簧的弹力往往是变力，物 体的加速度、速度等物理量均与弹簧的形变量有关，试题难度中等。 【典例2】物块a、b中间用一根轻质弹簧相接，放在光滑水平面上，，如图甲所示。开始时两物块均静止，弹簧处于原长，时对物块a施加水平向右的恒力F。时撤去，在0~2s内两物体的加速度随时间变化的情况如图乙所示。弹簧始终处于弹性限度内，整个运动过程中以下分析正确的是（　　） A．恒力 B．若F不撤去，则2s后两物块将一起做匀加速运动 C．撤去F瞬间，a的加速度大小为 D．物块b的质量为 【模型演练1】如图1所示，物块A、B紧靠在一起放置在水平地面上，水平轻弹簧一端与A拴接，另一端固定在竖直墙壁上。开始时弹簧处于原长，物块A、B保持静止。时刻，给B施加一水平向左的恒力F，使A、B一起向左运动，当A、B的速度为零时，立即撤去恒力。物块B的图像如图2所示，其中至时间内图像为直线。弹簧始终在弹性限度内，A、B与地面间的动摩擦因数相同。下列说法正确的是（　　）      A．时刻A、B分离 B．改变水平恒力F大小，的时间不变 C．时间内图像满足同一正弦函数规律 D．和时间内图2中阴影面积相等 【模型演练2】在某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可视为质点）从弹簧上端由静止释放，小球沿竖直方向向下运动，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图所示，其中和为已知量。下列说法中不正确的是（　　） A．小球向下运动至速度为零时所受弹簧弹力大小为 B．弹簧劲度系数为 C．小球向下运动过程中的最大动能为 D．当弹簧压缩量为时，弹簧的弹性势能为 【模型演练3】幼儿园的小朋友用一轻弹簧将、两辆玩具小车（视为质点）连接在一起，在两侧施加外力、进行“拔河”游戏，观察小车的运动情况，如图所示。已知轻弹簧的原长为、劲度系数为，两小车质量相同，一切摩擦均可忽略。下列说法正确的是（　　） A．若，且两小车相对静止，则两车距离为 B．若，且两小车相对静止，则两车距离为 C．若，且两小车相对静止，则两车距离为 D．若，且两小车相对静止，则两车距离为 【模型三】与动量、能量有关的弹簧模型 与动量、能量有关的弹簧模型常涉及碰撞问题和弹簧弹力做功问题，因弹力为变力，一般不直接用功的定义式确定其功的大小，因此，常应用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹力做功或弹性势能。 【典例3】（2026·贵州安顺·模拟预测）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧一端固定于斜面底端，另一端与物块A连接，物块A静止时与斜面底端距离。弹簧原长，斜面长，物块B从斜面顶端由静止开始释放，A、B发生碰撞后粘在一起，碰撞时间极短。已知A、B质量均为，不计一切阻力，，弹性势能，弹簧未超过弹性限度，A、B均视为质点。则（   ） A．弹簧的劲度系数为 B．碰后A、B运动过程中的最大速度为 C．最低点的弹性势能为 D．返回到最大高度时的加速度大小为 【模型演练1】如图为某款弹力发射器的结构简图，光滑细圆筒竖直固定，管内轻弹簧下端固定在圆筒底部，弹簧处于自然伸长状态。第一次，在筒内距弹簧上端高为h处由静止释放一小球（小球直径比筒径略小）；第二次，用力推该小球，向下压弹簧，小球到某位置时由静止释放，小球上升到最高点时距弹簧上端的高为。已知重力加速度大小为g，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），小球的质量为m且视为质点，弹簧的劲度系数为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．第一次，小球下落时，动能最大 B．第一次，小球下落过程中的最大动能为 C．第二次，小球弹起过程中的最大动能为 D．第二次，小球释放瞬间的最大加速度大小为 【模型演练2】如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为30°，B、C两小球通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，放在倾角为30°带有挡板的固定光滑斜面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，保证滑轮两侧细线均与斜面平行，且C球与挡板接触。已知A的质量为2m，B的质量为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。现释放A球，下列说法正确的是（　　） A．初始时，弹簧形变量大小为 B．A沿斜面下滑时其所受重力的最大功率为 C．A沿斜面下滑的最大位移大小为 D．A沿斜面下滑至位移最大时，挡板对C的支持力大小为 【模型演练2】如图甲所示，光滑水平面上有大小相同的小球A和B靠在一起，小球A与轻绳组成单摆，小球B与轻弹簧组成的弹簧振子，刚开始小球A和B均处于静止状态。现将小球A向左拉开一个较小角度（小于5°）并时由静止释放，经最低点时与小球B发生碰撞，碰撞时间可忽略不计，此后小球B运动的图像如图乙所示。以最低点为零势能面，小球A与B第一次碰撞后A球速度恰好为零，已知小球B的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．弹簧振子的周期等于 B．单摆的摆长等于 C．A球释放的高度为 D．A球运动的最大速率为 1．（2025·福建·高考真题）如图，物块A、B用轻弹簧连接并放置于水平传送带上，传送带以1m/s的恒定速率顺时针转动。t=0时，A的速度大小为2m/s，方向水平向右，B的速度为0，弹簧处于原长，t=t1时（t1为未知量），A第一次与传送带共速，弹簧弹性势能0.75J。已知A、B可视为质点，质量分别为1kg、2kg，与传送带的动摩擦因数为0.5、0.25；A与传送带相对滑动时会留下痕迹，重力加速度大小取，A、B始终在传送带上，弹簧始终在弹性限度内，则（　　） A．在t=时，A的加速度大小比B的小 B．t=t1时，B的速度大小为0.5m/s C．t=t1时，弹簧的压缩量为0.2m D．0﹣t1过程中，A在传送带上留下的划痕长度小于0.05m 2．（2025·甘肃·高考真题）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 3．（2025·河北·高考真题）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 4．（2025·云南·高考真题）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程I：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间 5.如图所示，质量为m的物块P与物块Q（质量未知）之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P物体一瞬时初速度，并把此时记为0时刻，规定向右为正方向，内P、Q物块运动的图像如图所示，已知时刻P、Q的加速度最大，其中t轴下方部分的面积大小为S，则（　　）    A．物体Q的质量为 B．时刻Q物体的速度大小为 C．时刻弹簧的弹性势能为 D．时间内弹簧对P物体做功不为零 6.一横截面为直角三角形的木块如图所示放置，质量均为m的A、B两物体用轻质弹簧相连放在倾角为30°的斜面上，物体C放在倾角为60°的斜面上，B与C之间用轻质细线连接，A、C质量的比值为，整个装置处于静止状态，已知物体A、B与斜面间的动摩擦因数相同且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧弹力大小为，C与斜面间无摩擦，则（　　）    A．物体A、B均受到摩擦力作用且等大反向 B．物体A受摩擦力作用且大小为，物体B不受摩擦力作用 C．弹簧处于拉伸状态，A、B两物体所受摩擦力大小均为，方向均沿斜面向下 D．剪断弹簧瞬间，物体A仍处于静止状态 7.如图甲所示，一轻质弹簧放置在光滑水平桌面上，一端固定在墙壁上，另一端拴接物体A，质量均为的物体A、B接触但不粘连。压缩弹簧至某一位置（弹性限度以内）后由静止释放A、B，同时给物体B施加水平向右的力使之做匀加速直线运动，与作用时间的关系如图乙所示，则下列说法正确的是（    ） A．A、B分离时，弹簧刚好为原长状态 B．A、B分离时，B的加速度大小为 C．A、B分离时，A的速度大小为 D．开始有作用时，弹簧的压缩量为 8．某个缓冲装置的主要部分是弹簧，工作过程可简化为以下情境：轻质弹簧原长，劲度系数，左端固定在竖直墙上。以弹簧左端为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴。水平地面上一滑块从P点以某一速度水平向左冲向弹簧，如图1所示。滑块经弹簧缓冲后运动到最左端处的Q点，又被弹簧弹开，最后恰好停在P点。滑块从Q点到P点过程中，加速度a随位置坐标x的变化规律如图2所示。已知弹簧始终在弹性限度内，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．滑块与水平地面间的动摩擦因数 B．滑块的质量 C．P点的坐标 D．滑块从P点向左运动时的动能 9．如图所示，质量为5kg的物块A放在一个纵剖面为矩形的静止木箱内，A和木箱水平底面之间的动摩擦因数为。A的右边连接一根劲度系数为轻弹簧且处于静止状态，此时弹簧被压缩了6cm。现要使A恰能相对木箱底面移动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。试求： (1)A静止时，弹簧弹力的大小； (2)如果让木箱在竖直方向上运动，其加速度； (3)如果让木箱在水平方向上运动，其加速度。 10．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 弹簧模型中的力与能 目录 【模型一】 静力学中的弹簧模型 1 【模型二】动力学中的弹簧模型 3 【模型三】与动量、能量有关的弹簧模型 7 【模型一】 静力学中的弹簧模型 静力学中的弹簧模型一般指与弹簧相连的物体在弹簧弹力和其他力的共同作用下处于平衡状态的问题，涉及的知识主要有胡克定律、物体的平衡条件等，难度中等偏下。 【典例1】三个质量均为1kg的相同木块a、b、c和两根劲度系数为500N/m的相同轻弹簧p、q间的连接如图所示，其中a放在足够大的光滑水平桌面上。开始时p卫弹簧处于原长，木块都静止。现用水平力F缓慢地向左拉p弹簧的左端，直到c木块刚好离开水平地面，已知q弹簧始终沿竖直方向，重力加速度g取。下列说法正确的是（    ） A．q弹簧上端向上移动的距离为2cm， p弹簧的左端向左移动的距离是4cm B．q弹簧上端向上移动的距离为4cm，p弹簧的左端向左移动的距离是4cm C．q弹簧上端向上移动的距离为4cm， p弹簧的左端向左移动的距离是8cm D．q弹簧上端向上移动的距离为2cm， p弹簧的左端向左移动的距离是6cm 【答案】C 【解析】开始时p弹簧处于原长，可知q弹簧处于压缩状态，由胡克定律，得压缩量为 c木块刚好离开水平地面时，q弹簧伸长量为 p弹簧伸长量为 则q弹簧上端向上移动的距离为4cm；p弹簧的左端向左移动的距离是8cm。故选C。 【模型演练1】如图所示，倾角为的斜面固定在水平地面上，两个质量均为m的物块a、b用劲度系数为k的轻质弹簧连接，两物块均恰好能静止在斜面上。已知物块a与斜面间的动摩擦因数是物块b与斜面间的动摩擦因数的两倍，可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，弹簧始终在弹性限度内。则弹簧的长度与原长相比（　　） A．可能伸长了 B．可能伸长了 C．可能缩短了 D．可能缩短了 【答案】A 【详解】AB．设b与斜面间的动摩擦因数为弹簧的形变量为x，对a物体受力分析，由平衡条件得 对b物体受力分析，由平衡条件得 解得 A正确，B错误； CD．因物块a与斜面间的动摩擦因数大于物块b与斜面间的动摩擦因数，当弹簧处于压缩状态时两物体不能均恰好能静止在斜面上，CD错误； 故选A。 【模型演练2】如图所示，倾角为θ且表面光滑的斜面固定在水平地面上，轻绳跨过光滑定滑轮，一端连接物体c，另一端连接物体b，b与物体a用轻弹簧连接，c与地面接触且a、b、c均静止。已知a、b的质量均为m，重力加速度大小为g。则（　　） A．c的质量一定等于2msinθ B．剪断竖直绳瞬间，b的加速度大小为gsinθ C．剪断竖直绳之后，a、b将保持相对静止并沿斜面下滑 D．剪断弹簧瞬间，绳上的张力大小为mgsinθ 【答案】D 【详解】A．根据平衡条件对a、b整体受力分析可得 对c受力分析可得 可知 故A错误； D．剪断弹簧的瞬间，弹簧弹力消失，因，故物体b仍保持静止，b的加速度为0，绳子拉力 故D正确； B．弹簧的弹力为 kx=mgsinθ 剪断竖直绳后瞬间，弹簧弹力不突变，此时对b物体 kx+mgsinθ=ma 则加速度为2gsinθ，故B错误； C．剪断竖直绳后瞬间，弹簧弹力不变，a的加速度大小为0，与b物体的加速度不同，两物体不会保持相对静止沿斜面下滑，故C错误。 故选D。 【模型二】动力学中的弹簧模型 动力学中的弹簧模型主要涉及关联物体在弹簧作用下的运动，该运动过程中弹簧的弹力往往是变力，物 体的加速度、速度等物理量均与弹簧的形变量有关，试题难度中等。 【典例2】物块a、b中间用一根轻质弹簧相接，放在光滑水平面上，，如图甲所示。开始时两物块均静止，弹簧处于原长，时对物块a施加水平向右的恒力F。时撤去，在0~2s内两物体的加速度随时间变化的情况如图乙所示。弹簧始终处于弹性限度内，整个运动过程中以下分析正确的是（　　） A．恒力 B．若F不撤去，则2s后两物块将一起做匀加速运动 C．撤去F瞬间，a的加速度大小为 D．物块b的质量为 【答案】C 【详解】A．时，弹簧弹力为零，对，根据牛顿第二定律可得，故A错误； B．根据图像与时间轴所围的面积表示速度的变化量，由图像可知，时的速度大于的速度，所以若此时不撤去，弹簧在之后的一段时间内会继续伸长，的加速度减小，的加速度增大，并不能一起做匀加速运动，故B错误； D．时，、整体加速度相同，对整体，根据牛顿第二定律可得 解得，故D错误； C．2s时，对，根据牛顿第二定律可得弹簧弹力大小为 撤去瞬间，弹簧弹力不会突变，此时的加速度大小为，故C正确。 故选C。 【模型演练1】如图1所示，物块A、B紧靠在一起放置在水平地面上，水平轻弹簧一端与A拴接，另一端固定在竖直墙壁上。开始时弹簧处于原长，物块A、B保持静止。时刻，给B施加一水平向左的恒力F，使A、B一起向左运动，当A、B的速度为零时，立即撤去恒力。物块B的图像如图2所示，其中至时间内图像为直线。弹簧始终在弹性限度内，A、B与地面间的动摩擦因数相同。下列说法正确的是（　　）      A．时刻A、B分离 B．改变水平恒力F大小，的时间不变 C．时间内图像满足同一正弦函数规律 D．和时间内图2中阴影面积相等 【答案】D 【详解】A．由题意结合题图2可知，时刻弹簧弹力与物块A、B所受的摩擦力大小相等，弹簧处于压缩状态，时刻弹簧刚好恢复原长，A、B刚要分离，故A错误； CD．t=0时刻弹簧处于原长，时刻弹簧刚好恢复原长，根据图像与坐标轴围成的面积代表位移可知，和时间内图2中阴影面积相等，不满足同一正弦函数规律，故D正确，C错误； B．改变水平恒力F大小，则弹簧压缩量变化，两物体分开时B的速度变化，则的时间变化，故B错误； 故选D。 【模型演练2】在某星球表面将一轻弹簧竖直固定在水平面上，把质量为m的小球P（可视为质点）从弹簧上端由静止释放，小球沿竖直方向向下运动，小球的加速度a与弹簧压缩量x间的关系如图所示，其中和为已知量。下列说法中不正确的是（　　） A．小球向下运动至速度为零时所受弹簧弹力大小为 B．弹簧劲度系数为 C．小球向下运动过程中的最大动能为 D．当弹簧压缩量为时，弹簧的弹性势能为 【答案】A 【详解】A．设该星球的重力加速度为，小球刚放到弹簧上时，满足，只受星球吸引力的作用，由图知，方向竖直向下；当弹簧的压缩量为时，小球的加速度为0，此时弹簧的弹力为 之后小球继续向下运动直至速度为0，弹簧的压缩量继续增大，可知当小球的速度为0时，弹簧的弹力，故A错误，符合题意； B．设竖直向下为正方向，故对小球受力分析可知 故小球运动的加速度大小为 当时，，可得 故B正确，不符合题意； C．由图可知，当弹簧的压缩量为时，小球的加速度为0，此时小球的速度最大，动能最大；由动能定理可得 故C正确，不符合题意； D．当弹簧的压缩量为时，弹簧的弹性势能为 故D正确，不符合题意。 故选A。 【模型演练3】幼儿园的小朋友用一轻弹簧将、两辆玩具小车（视为质点）连接在一起，在两侧施加外力、进行“拔河”游戏，观察小车的运动情况，如图所示。已知轻弹簧的原长为、劲度系数为，两小车质量相同，一切摩擦均可忽略。下列说法正确的是（　　） A．若，且两小车相对静止，则两车距离为 B．若，且两小车相对静止，则两车距离为 C．若，且两小车相对静止，则两车距离为 D．若，且两小车相对静止，则两车距离为 【答案】AC 【详解】A B．由于，对A、B小车及弹簧整体而言，受力平衡。对B小车有，，A、B两车间距为，故A正确，B错误； C D．由于，相对静止时，A、B小车及弹簧整体向右加速，对整体根据牛顿第二定律有，可得；对B小车有；联立两式可得弹簧的伸长量为，故稳定后，A、B两车间距为，故C正确，D错误。 故选AC。 【模型三】与动量、能量有关的弹簧模型 与动量、能量有关的弹簧模型常涉及碰撞问题和弹簧弹力做功问题，因弹力为变力，一般不直接用功的定义式确定其功的大小，因此，常应用动能定理、机械能守恒定律或能量守恒定律来间接求解弹力做功或弹性势能。 【典例3】（2026·贵州安顺·模拟预测）如图所示，倾角为的光滑斜面固定在水平面上，轻质弹簧一端固定于斜面底端，另一端与物块A连接，物块A静止时与斜面底端距离。弹簧原长，斜面长，物块B从斜面顶端由静止开始释放，A、B发生碰撞后粘在一起，碰撞时间极短。已知A、B质量均为，不计一切阻力，，弹性势能，弹簧未超过弹性限度，A、B均视为质点。则（   ） A．弹簧的劲度系数为 B．碰后A、B运动过程中的最大速度为 C．最低点的弹性势能为 D．返回到最大高度时的加速度大小为 【答案】ACD 【详解】A．物块A静止时弹簧弹力 弹簧的压缩量为 根据胡克定律有，故A正确； B．设B与A碰前瞬间的速度为，对物块B由动能定理得 解得 之后A、B发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律有， 得碰后A、B的速度 当弹簧弹力等于A、B的总重力沿斜面向下的分力时，A、B的速度最大，设此时弹簧的压缩量为，则 由A、B、弹簧组成的系统机械能守恒有 解得，，故B错误； C．设物块A、B速度减为0时弹簧压缩量为，由A、B、弹簧组成的系统机械能守恒有 解得 到达最低点时弹性势能为，故C正确； D．A、B碰后一起在斜面上做简谐运动，根据简谐运动的对称性可知，A、B返回到最大高度时的加速度与最低点的加速度等大反向，设加速度大小为，运动的最低点时，根据牛顿第二定律有 解得，故D正确。 故选ACD。 【模型演练1】如图为某款弹力发射器的结构简图，光滑细圆筒竖直固定，管内轻弹簧下端固定在圆筒底部，弹簧处于自然伸长状态。第一次，在筒内距弹簧上端高为h处由静止释放一小球（小球直径比筒径略小）；第二次，用力推该小球，向下压弹簧，小球到某位置时由静止释放，小球上升到最高点时距弹簧上端的高为。已知重力加速度大小为g，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能（x为弹簧的形变量），小球的质量为m且视为质点，弹簧的劲度系数为，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．第一次，小球下落时，动能最大 B．第一次，小球下落过程中的最大动能为 C．第二次，小球弹起过程中的最大动能为 D．第二次，小球释放瞬间的最大加速度大小为 【答案】BD 【详解】A．当小球加速度为时动能最大，设弹簧的压缩量为，此时 解得 即第一次小球下落时动能最大，故A错误； B．根据机械能守恒 解得，故B正确； C．小球动能最大时，弹簧的压缩量为，根据机械能守恒 解得，故C错误； D．第二次，设小球释放瞬间弹簧的压缩量为，根据机械能守恒 解得 根据牛顿第二定律， 解得，故D正确。 故选BD。 【模型演练2】如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，斜面倾角为30°，B、C两小球通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，放在倾角为30°带有挡板的固定光滑斜面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，保证滑轮两侧细线均与斜面平行，且C球与挡板接触。已知A的质量为2m，B的质量为m，C的质量为4m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。现释放A球，下列说法正确的是（　　） A．初始时，弹簧形变量大小为 B．A沿斜面下滑时其所受重力的最大功率为 C．A沿斜面下滑的最大位移大小为 D．A沿斜面下滑至位移最大时，挡板对C的支持力大小为 【答案】ACD 【详解】A．对小球B受力分析可知，小球B仅受重力和斜面的支持力无法平衡，则弹簧对小球B有沿斜面向上的支持力，则初始时弹簧处于压缩状态，设压缩量为，由B沿斜面方向受力平衡可得 解得，故A正确； B．A沿斜面下滑至速度最大时，加速度为0，由牛顿第二定律可知绳上的拉力为 此时对B沿斜面方向的受力，有 联立解得 因为，一开始释放的位置弹簧的弹性势能与速度最大位置时弹簧的弹性势能相等，由系统机械能守恒得 联立解得 A所受重力的最大功率为，故B错误； C．据对称性，A沿斜面下滑的最大位移大小为，故C正确； D．此时弹簧的伸长量为 此时对C做受力分析由平衡方程有 联立解得，故D正确。 故选ACD。 【模型演练2】如图甲所示，光滑水平面上有大小相同的小球A和B靠在一起，小球A与轻绳组成单摆，小球B与轻弹簧组成的弹簧振子，刚开始小球A和B均处于静止状态。现将小球A向左拉开一个较小角度（小于5°）并时由静止释放，经最低点时与小球B发生碰撞，碰撞时间可忽略不计，此后小球B运动的图像如图乙所示。以最低点为零势能面，小球A与B第一次碰撞后A球速度恰好为零，已知小球B的质量为m，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．弹簧振子的周期等于 B．单摆的摆长等于 C．A球释放的高度为 D．A球运动的最大速率为 【答案】BCD 【详解】A．小球B获得向右速度，向右减速到零，又反回初始位置，弹簧振子运动半个周期，即弹簧振子的周期为，故A错误； B．根据周期公式 解得摆长，故B正确； CD．由题知，小球A与小球B发生碰撞后，小球B的速度为v0，小球A静止，则A、B两球的质量相等，速度交换，且该碰撞为弹性碰撞，即小球A在与小球B碰撞前的速度为 设小球的质量为，根据机械能守恒有 解得 因为在最低点速度最大，故小球A的最大速度为v0，故CD正确。故选BCD。 1．（2025·福建·高考真题）如图，物块A、B用轻弹簧连接并放置于水平传送带上，传送带以1m/s的恒定速率顺时针转动。t=0时，A的速度大小为2m/s，方向水平向右，B的速度为0，弹簧处于原长，t=t1时（t1为未知量），A第一次与传送带共速，弹簧弹性势能0.75J。已知A、B可视为质点，质量分别为1kg、2kg，与传送带的动摩擦因数为0.5、0.25；A与传送带相对滑动时会留下痕迹，重力加速度大小取，A、B始终在传送带上，弹簧始终在弹性限度内，则（　　） A．在t=时，A的加速度大小比B的小 B．t=t1时，B的速度大小为0.5m/s C．t=t1时，弹簧的压缩量为0.2m D．0﹣t1过程中，A在传送带上留下的划痕长度小于0.05m 【答案】BD 【详解】AB．根据题意可知传送带对AB的滑动摩擦力大小相等都为 初始时A向右减速，B向右加速，故可知在A与传送带第一次共速前，AB整体所受合外力为零，系统动量守恒有， 代入数值解得t=t1时，B的速度为 在A与传送带第一次共速前，对任意时刻对AB根据牛顿第二定律有， 由于，故可知 故A错误，B正确； C．在时间内，设AB向右的位移分别为，，由功能关系有 解得 故弹簧的压缩量为 故C错误； D．A与传送带的相对位移为 B与传送带的相对为 故可得 由于时间内A向右做加速度逐渐增大的减速运动，B向右做加速度逐渐增大的加速运动，且满足，作出AB的图像 可知等于图形的面积，等于图形的面积，故可得 结合 可知，故D正确。 故选BD。 2．（2025·甘肃·高考真题）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（   ） A．小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B．剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为 C．小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D．小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为 【答案】BC 【详解】A．剪断细线后，弹力大于A的重力，则A先向上做加速运动，随弹力的减小，则向上的加速度减小，当加速度为零时速度最大，此时弹力等于重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误； B．剪断细线之前则 剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A由牛顿第二定律 解得A的加速度 选项B正确； C．剪断细线之前弹簧伸长量 剪断细线后A做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量 即振幅为 由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确； D．由上述分析可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。 故选BC。 3．（2025·河北·高考真题）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．左侧小物块沿斜面做简谐运动 B．细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大 C．右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等 D．若增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长 【答案】AC 【详解】A．对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有 此时，对右侧小物块，有 联立可得 则左侧小物块受到的合外力 ，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确； B．根据以上分析，可得，绳拉力保持不变，故B错误； C．同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确； D．弹簧振子振动周期，与斜面夹角无关，故D错误。 故选AC。 4．（2025·云南·高考真题）如图所示，倾角为的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数。过程I：Q以速度从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在OM（含O、M点）之间 【答案】CD 【详解】A．设的距离为，过程I，根据动能定理有 设的距离为，过程Ⅱ中，当Q速度最大时，根据平衡条件 P、M两点之间的距离 联立可得 故A错误； B．根据功能关系，可知过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中Q和弹簧组成的系统损失的机械能为 结合 可得 但在过程Ⅱ中单独对于Q而言机械能是增加的，故B错误； C．设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移，根据能量守恒定律 结合 解得 故C正确； D．无论Q从何处释放，Q在斜面上运动过程中，弹簧与Q初始时的势能变为摩擦热，当在点时，满足 当在点时，满足 所以在OM（含O、M点）之间速度为零时，Q将静止，故D正确。 故选CD。 5.如图所示，质量为m的物块P与物块Q（质量未知）之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长。现给P物体一瞬时初速度，并把此时记为0时刻，规定向右为正方向，内P、Q物块运动的图像如图所示，已知时刻P、Q的加速度最大，其中t轴下方部分的面积大小为S，则（　　）    A．物体Q的质量为 B．时刻Q物体的速度大小为 C．时刻弹簧的弹性势能为 D．时间内弹簧对P物体做功不为零 【答案】BC 【详解】A．时间内Q所受弹力方向向左，P所受弹力方向始终向右；时刻，P、Q所受弹力最大且大小相等，由牛顿第二定律可得 解得物体Q的质量为 故A错误； B．根据图像与横轴围成的面积表示速度变化量，可知时间内，Q物体的速度变化量大小为 则时刻Q物体的速度大小为，故B正确； C．时刻两物体具体相同的速度v，根据对称性可知，时刻P、Q物体的速度大小为 设物体P的初速度为，根据动量守恒可得 解得 设时刻弹簧的弹性势能为，根据能量守恒可得 联立解得 故C正确； D．设时刻P物体的速度为；根据动量守恒可得 解得 可知时刻P物体的速度大小等于时刻P物体的速度大小，则时刻P物体的动能等于时刻P物体的动能，故时间内弹簧对P物体做功为零，故D错误。 故选BC。 6.一横截面为直角三角形的木块如图所示放置，质量均为m的A、B两物体用轻质弹簧相连放在倾角为30°的斜面上，物体C放在倾角为60°的斜面上，B与C之间用轻质细线连接，A、C质量的比值为，整个装置处于静止状态，已知物体A、B与斜面间的动摩擦因数相同且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧弹力大小为，C与斜面间无摩擦，则（　　）    A．物体A、B均受到摩擦力作用且等大反向 B．物体A受摩擦力作用且大小为，物体B不受摩擦力作用 C．弹簧处于拉伸状态，A、B两物体所受摩擦力大小均为，方向均沿斜面向下 D．剪断弹簧瞬间，物体A仍处于静止状态 【答案】CD 【详解】ABC．根据题意可知，物体C的质量为，其重力沿斜面的分力为，取A、B及中间的弹簧为系统，则有 所以 又动摩擦因数，所以A、B一定受摩擦力作用，且方向均沿斜面向下，由于物体A受到的摩擦力方向沿斜面向下，所以弹簧处于拉伸状态，物体A、B的受力分析分别如下图1、2所示 根据受力平衡有 将代入得 故AB错误，C正确； D．由上述分析可知，对于A，斜面对它的最大静摩擦力 剪断弹簧瞬间，A受摩擦力向上，由于 物体A仍处于静止状态，故D正确。 故选CD。 7.如图甲所示，一轻质弹簧放置在光滑水平桌面上，一端固定在墙壁上，另一端拴接物体A，质量均为的物体A、B接触但不粘连。压缩弹簧至某一位置（弹性限度以内）后由静止释放A、B，同时给物体B施加水平向右的力使之做匀加速直线运动，与作用时间的关系如图乙所示，则下列说法正确的是（    ） A．A、B分离时，弹簧刚好为原长状态 B．A、B分离时，B的加速度大小为 C．A、B分离时，A的速度大小为 D．开始有作用时，弹簧的压缩量为 【答案】BC 【详解】A．物体A、B分离时，B只受拉力作用，加速度大于零，此时A的加速度与B的相同，则弹簧弹力大于零，弹簧处于压缩状态，故A错误； B．物体A、B分离后，B的加速度不变，即拉力不变，由图乙可知，此时拉力为，则B的加速度为 故B正确； C．物体A、B分离时，A、B的速度相同，均为 故C正确； D．时，对A、B整体由牛顿第二定律得，弹簧弹力为 运动后，弹簧压缩量 此时弹簧弹力为 联立解得 故D错误。 故选BC。 8．某个缓冲装置的主要部分是弹簧，工作过程可简化为以下情境：轻质弹簧原长，劲度系数，左端固定在竖直墙上。以弹簧左端为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴。水平地面上一滑块从P点以某一速度水平向左冲向弹簧，如图1所示。滑块经弹簧缓冲后运动到最左端处的Q点，又被弹簧弹开，最后恰好停在P点。滑块从Q点到P点过程中，加速度a随位置坐标x的变化规律如图2所示。已知弹簧始终在弹性限度内，重力加速度。下列说法正确的是（　　） A．滑块与水平地面间的动摩擦因数 B．滑块的质量 C．P点的坐标 D．滑块从P点向左运动时的动能 【答案】AC 【详解】A．滑块从P点向左先做匀减速运动，接触弹簧后做加速度逐渐增大的减速运动，直到弹簧被压缩到最短时到达Q点，加速度达到最大，然后向右先做加速度逐渐减小的加速运动，当运动到弹簧弹力等于滑动摩擦力时，加速度减小到0，速度向右达到最大，设此时位置坐标为，此后，滑块继续向右做加速度逐渐增大的减速运动，脱离弹簧后再做匀减速运动，到达P点时速度减为0。由题图2可知，滑块向右脱离弹簧后的加速度大小，由 解得 故A正确。 B．滑块在Q点将要向右滑动时，有 由题图2知 解得 故B错误。 C．滑块运动到弹簧弹力等于滑动摩擦力时，有 解得 将纵坐标a乘以滑块的质量m可将图像转化为图像，由动能定理有 可知图像与x轴所围的面积表示动能的变化量，则对滑块由Q点到P点的过程，由动能定理有 解得 故C正确。 D．滑块从P点向左运动到又回到P点，滑块的动能全部转化为因摩擦产生的热量，由能量守恒定律有 故D错误。 故选AC。 9．如图所示，质量为5kg的物块A放在一个纵剖面为矩形的静止木箱内，A和木箱水平底面之间的动摩擦因数为。A的右边连接一根劲度系数为轻弹簧且处于静止状态，此时弹簧被压缩了6cm。现要使A恰能相对木箱底面移动。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。试求： (1)A静止时，弹簧弹力的大小； (2)如果让木箱在竖直方向上运动，其加速度； (3)如果让木箱在水平方向上运动，其加速度。 【答案】(1)12N (2)，竖直向下 (3)，水平向右；，水平向左 【详解】（1）根据胡克定律可知，弹簧弹力大小为 （2）若恰好发生相对滑动，则有最大静摩擦力与弹簧弹力相等，设木箱对物块的弹力为N，则有 可解得 对物块列牛顿第二定律，有 解得，方向竖直向下。 （3）若在水平方向上运动，此时木箱对物块的弹力为 最大摩擦力为 若摩擦力方向向右，对物块分析，则有 可解得，方向向右。 若摩擦力方向向左，对物块分析，则有 可解得，方向向左。 10．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 1 学科网（北京）股份有限公司 $