第10讲：比例应用题—通用版2025年秋季学期六年级数学思维专题训练30讲

通用版六年级数学思维专题训练 第10讲:比例应用题 概念回顾 寻找不变量:题目中可能存在和、部分或差保持不变的情况。抓住这些不变量，有助于更好地解决问题。 解题技巧 1.分成若干份:将问题中的量划分为若干份，有助于简化计算和理解。 2.计算1份的值:首先求出1份的数值，然后利用比例关系计算其他份的数值。 3.关注恒定量:在解题过程中，关注那些在变化过程中保持恒定的量，这将有助于更快地找到解决方案。 典型例题 1.萌萌按2:5的比配制了一瓶350mL的稀释液，350mL是配好后的稀释液的体积，也就是浓缩液和水的体积之和；2:5表示浓缩液和水的体积之比，求浓缩液和水的体积分别是多少？ 【解析】把比看作分得的份数。稀释液中浓缩液与水的体积之比是2:5，说明在350mL稀释液中浓缩液占2份，水占5份，一共是7份。先把稀释液的总体积平均分成7份，求出每份是多少毫升；再分别求出浓缩液的2份和水的5份各是多少毫升。 总份数:2+5=7（份） 每份是:350÷7=50（mL） 浓缩液有:50×2=100（mL） 水有:50×5=250（mL） 答案:浓缩液是100mL；水是250mL。 2.某化肥厂4天生产化肥32吨。照这样计算，生产256吨化肥要用多少天？ 解析:此题是工作效率一定，工作量与工作时间成正比例的问题。以4天生产的32吨为1份数，256吨里含有多少个32吨，就有多少个4天。 4×（256÷32） =4×8 =32（天） 答案:生产256吨化肥要用32天。 同类练习 1.小李、小孙、小黄三人各自独立完成同一件工作，所用时间之比是2:3:5，则三人完成工作效率之比是多少？ 2.在一个小镇上，有两个不同的社区花园，花园A和花园B。花园A的志愿者人数是花园B的3倍。为了平衡两个花园的志愿者人数，镇上的花园协会决定从花园A中调7名志愿者到花园B。调整后，花园A的志愿者人数与花园B的志愿者人数之比变为2:3。那么原来两个花园各有多少志愿者？ 拓展练习 1.有一批水果，每箱装36千克，可装40箱。如果每箱多装4千克，需要装多少箱？ 2.甲、乙两个仓库共有棉花2600包。从甲仓库运走了它的，从乙仓库运走了它的，乙仓库剩下的棉花比甲仓库的多130包。两个仓库原有棉花谷多少包? 方法总结 基本思路:找准题目的不变量。共有三种形式:一是抓住和不变，二是抓住部分不变，三是抓住差不变。通过抓住不变量，可以更好地解决问题。 注意约束条件:有些问题中可能存在约束条件，要将约束条件纳入解题的考虑范围内。 适当画图:对于一些几何问题，可以适当画图辅助分析，以便更好地理解问题和解决问题。 专项练习 1.甲、乙两个工人上班，甲比乙多走的路程，而乙比甲的时间少，甲、乙的速度比是多少? 2.已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求甲:乙:丙。 3.一项公路的修建工程被平均分成两份承包给甲、乙个工程队建设，两个工程队建设了相同多的一段时间后，分别剩下60%、40%的任务没有完成，已知两个工程队的工作效率（建设速度）之比3:1，求这两个工程队原先承包的修建公路长度之比。 4.在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元，已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲、乙、丙各捐多少元？ 5.甲、乙两人原有的钱数之比为6:5，后来甲又得到180元，乙又得到30元，这时甲、乙钱数之比为18:11，求原来两人的钱数之和为多少？ 6.下图是一个园林的规划图，其中，正方形的是草地，圆的是竹林，竹林比草地多占450平方米。问:水池占多少平方米? 7.甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余240元，乙节余480元，甲本月收入多少元？ 8.某次数学竞赛设一、二、三等奖，已知: ①甲、乙两校获一等奖的人数相等； ②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6； ③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%； ④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；甲校获二等奖的人数是乙校 获二等奖人数的4.5倍。那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？ 9.有两包糖，每包糖内装有奶糖、水果糖和巧克力糖。已知: ①第一包糖的粒数是第二包糖的 ②在第一包糖中，奶糖占25%；在第二包糖中，水果糖占50%。 ③巧克力糖在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍。当两包糖混合在一起时，巧克力糖占28%。 求第一包与第二包中水果糖占所有糖的百分比。 （10）幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生。已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？ 参考答案 同类练习 1.解析:用份数思考，小李、小孙、小黄三人各自独立完成同一件工作所用时间的份数分别为2份、3份、5份，同时将这一件工作的工作量视为1，根据效率=总工作量÷时间，可知小李、小孙、小黄三人各自的工作效率分别为、、，则他们三人完成工作的效率之比为15:10:6。 答案:三人完成工作效率之比=15:10:6。 2.解析:由题意可知，属于A花园和B花园的志愿者人数固定不变，用份数思考，原来A花园和B花园的人数之比是3:1，总人数为4份；后来A花园和B花园的人数之比是2:3，总人数为5份。把调整前后的4份和5份变成相同的份数20份，那么A花园与B花园原来的人数比变为15:5，后来的变为8:12。从A花园调7名志愿者到B花园时，对应减少了:15-8=7（份），先求一份对应:7÷（15-8）=1（人/份），则A花园有志愿者:1×15=15（人），B花园有志愿者:1×5=5（人）。 答案:花园A原来有15名志愿者；花园B原来有5名志愿者。 拓展练习 1.解析:题中水果的总重量不变，每箱装的多，则装的箱数就少，即每箱装的重量与装的箱数成反比例。 如果把原来要装的40箱看做1份数，那么现在需要装的箱数就是原来要装箱数的:36÷（36+4）= 现在需要装的箱数是:40×=36（箱） 答案:需要装36箱。 2.解析:由题意可知，甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后，甲仓库剩下（1-），即，乙仓库剩下:（1-）=。这就是说，把甲仓库的棉花分成8份时，甲仓库剩下的是2份；把乙仓库的棉花分成5份时，乙仓库剩下的也是2份。但是，乙仓库剩下的2份比甲仓库剩下的2份多130包。可以看出，乙仓库的1份比甲仓库的1份多出:130÷2=65（包）。如果把乙仓库原有的棉花减少5个65包，再把剩下的棉花平均分成5份，这时乙仓库的每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。这样，从两仓库棉花的总数2600包中减去5个65包，再把剩下的棉花平均分成13份（其中甲仓库8份，乙仓库5份），其中的8份就是甲仓库原有的包数。 甲仓库原有的包数:（2600-65×5）÷（8+5）×8=2275÷13×8=1400（包） 乙仓库原有的包数:2600-1400=1200（包） 答案:甲仓库原有包数1400包；乙仓库原有的包数1200包。 专项练习 1.答案:甲、乙的速度比是12:11。 解析:因为甲比乙多走了的路程，说明甲走的路程是乙走的路程的1+=，又因为乙比甲的时间少，那么说明甲用的时间是乙用的时间的1+=，所以甲的速度是乙的速度的÷=，即甲、乙的速度比是12:11。 2.答案:甲:乙:丙是3:4:5。 解析:由题意可列出如下算式: 甲=(乙+丙）……① 乙=（甲+丙）……② 丙=(甲+乙）……③ 将①式等号两边同时乘以3，得到算式:3甲=乙+丙，将此式称作④式。 将②式等号两边同时乘以2，得到算式:2乙=甲＋丙，将此式称作③式。 ④-③=3甲一2乙=乙+丙一甲一丙，可求出4甲=3乙，所以甲:乙=3:4; 将③式等号两边同时乘以7，得到算式:7丙=5(甲+乙），因为甲=乙，所以7丙=乙，乙:丙=7:，化简得乙:丙=4:5，故甲:乙:丙=3:4:5。 3.答案:这两个工程队原先承包的修建公路之比是9:2。 解析:方法一:甲工程队以乙工程队建设的3倍速度，仅完成了1-60%=40%的承包任务，而乙工程队完成了1-40%=60%的承包任务，所以甲工程队承包任务的40%等于乙工程队承包任务的60%×3=180%，甲工程队的承包任务是乙工程队承包任务的180%÷40%=450%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为450%:1=9:2。 方法二:两个工程队完成的工程任务（修建公路长度）之比等于工作效率之比，等于3:1，而他们分别完成了各自任务的1-60%=40%和1-40%=60%，所以两个工程队承包的修建公路长度之比为:（3÷40%）:（1=60%）=9:2。 4.答案:甲捐38元，乙捐22元，丙捐20元。 解析:由于甲比丙多捐18元，所以甲、乙所捐资的和比乙、丙所捐资的和多18元，那么甲、乙所捐资的和为:18÷（10-7）×10=60（元），乙、丙所捐资的和为:60-18=42（元）。所以，甲捐了:80-42=38（元），乙捐了:60-38=22（元），丙捐了:38-18=20（元）。 5.答案:原来两人的钱数之和为660元。 解析:两人原有钱数之比为6:5，如果甲得到180元，乙得到150元，那么两人的钱数之比仍为6:5，现在甲得到180元，乙只得到30元，相当于少得到了120元，现在两人钱数之比为18:1，可以理解为:两人的钱数分别增加180元和150元之后，钱数之比为18:15，可现在乙的钱数减少了:150-30=120（元），两人的钱数之比变为18:11，所以120元相当于:15-11=4份，则1份为:120÷4=30（元），后来两人的钱数之和为:30×（18+11）=870（元），所以原来两人的总钱数之和为:870-180-30=660（元）。 6.答案:水池面积是150平方米。 解析:正方形的是草地，那如果水池占1份，草地的面积便是3份:圆的是竹林，水池占1份，竹林的面积是6份。从而竹林比草地多出的面积是:6-3=3（份）。3份的面积是450平方米，可见1份面积是:450÷3=150（平方米），即水池面积是150平方米。 7.答案:甲本月的收入为600元。 解析:首先，明确关系式:节余=收入-支出，甲、乙本月收入的比是5:8，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是3:4，如果乙节余480元，甲节余:480÷8×5=300（元），那么两人支出的钱数之比也是5:8，现在甲只节余240元，说明多支出了:300-240=60(元），结果支出的钱数之比从5:8变成了3:4，即6:8，所以这60元就对应:6-5=1（份），那么甲支出了:60×6=360（元），所以甲本月收入为:360+240=600（元）。 8.答案:乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于24%。 解析:由①、②可知甲、乙两校获奖总人数的比为6:5，不妨设甲校有60人获奖，则乙校有50人获奖，由③知两校获二等奖的共有:（60+50）×20%=22（人）；由③知甲校获二等奖的有:22÷（4.5+1）×4.5=18（人）；由④知甲校获一等奖的有60-60×50%-18=12（人），那么乙校获一等奖的也有12人，从而所求百分数为:12÷50×100%=24%。 9.答案:第一包与第二包中水果糖占所有糖的百分比是44%。 解析:设第一包有糖4份，第二包有糖6份。则第一包有奶糖:4×25%=1（份），第二包有水果糖:6×50%=3（份）。第一包巧克力的百分比是第二包的二倍，则第一包巧克力糖的粒数是第二包的×2=。已知两包共有巧克力:（6+4）×28%=2.8（份）。所以第一包有1.6份，第二包有1.2份。于是第一包有水果糖:4-1-1.6=1.4（份）。那么两包共有水果糖:1.4+3=4.4（份），则水果糖占所有糖的比例为:4.4÷(6+4）×1O0%=44%。 10.答案:大班有女生12名。 解析:由于男、女生人数有比例关系，而且知道总数，所以可以用鸡免同笼的方法。假设18名女生全部是大班，则大班男生数:女生数=5:3=30:18，即男生应有30人，实际上男生有32人，相差2个人；又因为中班男生数:女生数=2:1=6:3，以3个中班女生换3个大班女生，每换一组可增加:6-5=1（个）男生，所以需要换2组，所以大班女生有:18-3×2=12（名）。 学科网（北京）股份有限公司 $