第19讲：工程问题（基础）—通用版2025年秋季学期六年级数学思维专题训练30讲

通用版六年级数学思维专题训练 第19讲:工程问题（基础） 概念回顾 定义：工程问题主要是研究工作总量、工作时间和工作效率三者之间关系的问题。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 基本概念 1.工作总量：工作总量是指完成某项任务所需要完成的任务数量。 2.工作时间：工作时间是指完成某项任务所需要的时间。 3.工作效率：工作效率是指完成任务的数量与完成某项任务所需要的时间之比。 解题关键 把工作总量看作单位“1”，工作效率就是工作时间的倒数，然后根据题目的具体情况，灵活运用公式。 典型例题 1.一项工程，甲单独做需要36天时间，乙单独做需要30天时间，如果甲、乙合作需要多少天？ 【解析】将整个工程总量看作单位“1”，根据题意可知甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，两人合作每天能完成总量的，所以两人合作的话，需要1÷（）=（天）。 答案：甲乙合作需要天完成。 2.一项工程，甲单独做需要35天时间，甲、乙合作需要20天时间，如果乙单独做需要多少天？ 【解析】将整个工程总量看作单位“1”，根据题意可知甲的工作效率：1÷35=，甲乙合作的工作效率：1÷20=，那么乙的工作效率：，乙单独做所需的时间：1÷（）=（天）。 答案：乙单独完成需要天。 同类练习 1.一项工程，甲单独做需要18天时间，甲、乙合作需要8天时间，如果乙单独做需要多少时间？ 2.一件工作，甲独做要用7小时，乙独做要用5小时，两人合做几小时后还剩下这项工作的？ 拓展练习 1.一项工程，甲、乙合作需要30天完成，乙、丙合作需要25天完成，由乙单独做需要40天完成，那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？ 2.一项工程，甲单独做50天完成，乙单独做70天完成，现在两人合做，中间甲因病休息若干天，所以经过了35天才完成，问中间甲休息了几天？ 方法总结 解题思路 解答工程问题的关键是把工作总量看作单位“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。 解题技巧 1.单独完成：如果一个人单独完成某项任务，可以用工作效率×时间，来计算完成任务所需的总工作量。 2.合作完成：如果多人合作同时完成某项任务，可以用总工作量÷多人合作的工作效率，来计算完成该任务所需的总时间。 专项练习 1.一项工程，甲单独做需要40天，甲乙合作需要30天，求乙单独做需要多少天？ 2.一批零件，甲单独做6小时完成，乙单独做8小时完成。现在两人合作，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？ 3.班里要出一份黑板报，吴立单独画完要3天，何晴单独画完要2天，他们二人共同合作出这个黑板报多少天可以完成？ 4.杨积村杨桃大丰收，村民要将运56吨杨桃运到市场，已知如果用大货车4小时可以运完，如果用小货车则需要8小时可以运完。如果大货车和小货车两车一起运，多少小时可以运完？ 5.端午节快到了，食堂打算包200个粽子，吴阿姨单独包完要12个小时，刘叔叔和吴阿姨合作只需要4个小时，那么刘叔叔单独包完这些粽子要多少个小时？ 6.市政工程要修一条下水道，工程一队单独完成要15天，工程二队单独完成要10天，两个工程队共同修了5天后，其余的由工程二队单独做，还需要几天才能修完？ 7.铁路工程队要检修一段256千米长的铁道，甲工程队单独检修要15天完成，乙工程队单独检修12天完成。甲工程队先单独检修完这段铁道的以后，两个工程队合作，还需要多少天才能检修完这段铁道？ 8.一年一度的植树节到了，学校组织六年级同学去植树。六（1）班单独种完所有树苗要6小时，六（2）班单独种完所有树苗要9小时。现在由六（2）班先植树4小时后，剩下的由两个班共同合作，还需要多少小时才能完成？ 9.师徒两人加工一种零件。用同样的时间，徒弟可以加工3个，师傅可以加工5个。如果两人共同加工200个这样的零件，师傅、徒弟分别要加工多少个？ （10）商店有一批布，第一天卖出，第二天卖出余下的，第三天补进了第二天剩下的，这时还有存布698米。问原来有布多少米？ 参考答案 同类练习 1.解析：根据甲单独做的时间和甲、乙合作所需时间可得。 乙单独做的时间：1÷（）=（天） 答案：乙单独完成需要天。 2.解析：根据甲、乙单独做所需的时间可得： （）÷（）=（小时） 答案：两人合作小时后还剩下这项工作的小时后还剩下这项工作的。 拓展练习 1.解析：根据甲、乙合作时间，乙、丙合作需要时间，乙单独做时间可得。 甲的工作效率为： 丙的工作效率为：1 甲乙丙合作效率为：，完成项目需要时间：（天） 答案：完成这项工程需要天。 2.解析：根据甲、乙单独做所需时间可得。 甲工作的时间：（）÷25（天） 甲休息的时间：35-25=10（天） 答案：甲中间休息了10天。 专项练习 1.答案：乙单独做需要120天。 解析：把整个工程看成“1”，甲一天做，两人合作做需要，所以乙单独做需要(天）。 2.答案：这批零件共有168个。 解析：设总工作量为1，则甲每小时完成，乙每小时完成，甲比乙每小时多完成，二人合做时每小时完成。因为二人合做需要[1÷（）]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以每小时甲比乙多做零件:24÷[1÷（﹞]=7（个），这批零件共有：7÷（）=168（个）。 3.答案：他们二人共同合作出这个黑板报天可以完成。 解析：把一份黑板报看作单位“1”，则吴立的工作效率为，何晴的工作效率为，两人合作的工作效率为（），利用公式“工作总量÷工作效率=工作时间”，可求出答案。 列式:1÷（）=（天）。 4.答案：小时可以运完。 解析：把杨桃的总数量看成看作单位“1”，则大货车的工作效率为，小货车的工作效率为。利用公式“工作总量÷工作效率=工作时间”，可求出答案。 列式：1÷（）=（小时）。 5.答案：刘叔叔单独包完这些粽子要6个小时。 解析：由题可知，刘叔叔和吴阿姨的工作效率之和为，吴阿姨的工作效率为，刘叔叔的工作效率为：，所以，（小时）。 6.答案：还需要天才能修完。 解析：需要先求出两个工程队共同修5天的工作总量，用1减去这5天的工作总量就是剩下的工作总量。由题可知，工程一队的工作效率为，工程二队的工作效率为，两队合作5天的工作总量为：，进而得出剩余的工作总量：。所以，（天）。 7.答案：还需要4天才能检修完这段铁道。 解析：由题可知，甲乙两队合作的工作效率是，甲工程队先单独检修完这段铁道的后，那么剩下总工作量是，剩余的工作时间为：÷（）=4（天）。 8.答案：还需要2小时才能完成。 解析：先用六（2）班的工作效率乘4，计算出六（2）班4小时完成的工作量。再用工作总量减去六（2）班4小时完成的工作量，可以计算出剩下的工作量。 六（2）班5小时完成的工作量：； 剩余的工作总量：； 剩余工作量所需时间：÷（）=2（小时）。 9.答案：师傅加工125个，徒弟加工75个。 解析：由题可知，徒弟和师傅的工作效率的比是3:5，徒弟的工作效率是两人工作效率的和，徒弟加工零件的个数为：200×=75（个），师傅加工零件的个数为:200-75=125（个）。 10.答案：原来有布698米。 解析：第一天后剩下： 第二天卖出的：； 两天后剩下：； 第三天补进的： 与698对应的分率是：，所以原来有布698米。 学科网（北京）股份有限公司 $