3.1.1 椭圆的标准方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3.1.1　椭圆的标准方程 (教师独具内容) 课程标准：1.了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程． 教学重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程． 教学难点：椭圆标准方程的推导． 核心素养：通过研究椭圆的定义及标准方程，提升数学抽象素养、数学运算素养和逻辑推理素养． 核心概念掌握 知识点一　椭圆的定义 平面上到两个定点F1，F2的距离之和为常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距． 知识点二　椭圆的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图象 焦距 |F1F2|＝2c 焦点坐标 (±c，0) (0，±c) a，b，c的关系 a2－c2＝b2 1．对椭圆定义的理解 设两定点F1，F2，点到F1，F2的距离之和为2a. (1)当2a>|F1F2|时，点的轨迹是椭圆； (2)当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是以F1，F2为端点的线段； (3)当2a<|F1F2|时，点的轨迹不存在． 2．用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 (1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是两个坐标轴上都有可能； (2)设方程 ①依据上述判断设方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)； ②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)； (3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b，c或m，n的方程组； (4)得方程：解方程组，将a，b，c或m，n代入所设方程即为所求． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.(　) (2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(　) (3)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式：Ax2＋By2＝1(其中A>0，B>0，A≠B)．(　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√ 2．做一做 (1)设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 (2)a＝5，c＝3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为______． (3)椭圆的方程为＋＝1，则a＝____，b＝____，c＝____． (4)椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为4，则P到另一个焦点的距离为____． 答案　(1)A　(2)＋＝1　(3)3　2　　(4)6 核心素养形成 题型一　椭圆的定义 例1　下列命题是真命题的是____．(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(－1，0)，F2(1，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝的点P的轨迹为椭圆； ②已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，则满足|PF1|＋|PF2|＝4的点P的轨迹为线段； ③已知定点F1(0，4)，F2(0，－4)，则满足|PF1|＋|PF2|＝10的点P的轨迹为椭圆； ④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． [解析]　①因为<2，所以点P的轨迹不存在；②因为|PF1|＋|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P的轨迹是线段F1F2；③因为|PF1|＋|PF2|＝10>8，所以点P的轨迹为椭圆；④到定点F1(－3，0)，F2(3，0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴)． [答案]　②③ 感悟提升 定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件． [跟踪训练1]　(1)已知点M是平面α内的动点，F1，F2是平面α内的两个定点，则“点M到点F1，F2的距离之和为定值”是“点M的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆”的(　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　若点M到点F1，F2的距离之和恰好为F1，F2两点之间的距离，则轨迹不是椭圆，所以前者不能推出后者．根据椭圆的定义，椭圆到两焦点的距离之和为常数2a，所以后者能推出前者，故前者是后者的必要不充分条件．故选C. (2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E，则点E的轨迹是(　) A．圆 B．椭圆 C．线段 D．射线 答案　B 解析　连接EA，OA(图略)，根据线段垂直平分线的性质，可得|EA|＝|EB|，|EO|＋|EA|＝|OB|>|OA|，即点E到点O和点A的距离之和等于圆的半径|OB|，且|OB|>|OA|，根据椭圆的定义，可得点E的轨迹是以点O和点A为焦点的椭圆．故选B. 题型二　求椭圆的标准方程 例2　(1)已知B，C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于20，求这个三角形的顶点A的轨迹方程． [解]　以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy.如图所示． 由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)，c＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝20，|BC|＝8， 得|AB|＋|AC|＝12>8＝|BC|， 因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝12，但点A不在x轴上． 由a＝6，c＝4，得b2＝a2－c2＝36－16＝20. 所以点A的轨迹方程为＋＝1(y≠0)． (2)求经过P1，P2两点的椭圆的标准方程． [解]　解法一：①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 依题意，知解得 ∵a2＝<＝b2， ∴焦点在x轴上的椭圆不存在． ②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 由题意，得解得 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：设所求椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)． 由题意，得 解得 ∴所求的椭圆方程为5x2＋4y2＝1，其标准方程为＋＝1. 感悟提升 1.椭圆标准方程的两种求法 (1)定义法：利用椭圆的定义求动点的轨迹方程，应先根据动点具有的特点，验证是否符合椭圆的定义，即动点到两定点的距离之和是否是一常数，且该常数(定值)大于两定点间的距离，若符合，则动点的轨迹为椭圆，然后根据椭圆的定义得到相应的a，b，c，最后写出椭圆的标准方程． (2)待定系数法 ①先设出椭圆的标准方程＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，然后求出待定的系数代入方程即可． ②若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在x轴上和在y轴上两种情况讨论，也可设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)． ③与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＞－λ)，与椭圆＋＝1(a＞b＞0)有公共焦点的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0，b2＞－λ)． 2.求椭圆标准方程的关注点 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面． (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，从而判断方程的形式． (2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解． [跟踪训练2]　(1)求满足下列条件的椭圆的标准方程． ①两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点； ②两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26； ③过点Q(2，1)，且与椭圆＋＝1有公共的焦点． 解　①易知椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)． 由椭圆的定义，知2a＝ ＋ ＝2， 所以a＝. 又c＝2，所以b2＝a2－c2＝10－4＝6. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. ②因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． 因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5. 所以b2＝a2－c2＝144. 所以所求椭圆的标准方程为＋＝1. ③解法一：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)， 由＋＝1，得c2＝5，则a2－b2＝5.(*) 又点Q(2，1)在所求椭圆上，所以＋＝1，(**) 由(*)(**)得a2＝＋5，b2＝， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：设所求椭圆方程为＋＝1(λ>－4)． 因为点Q(2，1)在所求椭圆上，所以＋＝1， 解得λ＝－4， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. (2)已知圆C1：(x－4)2＋y2＝169，圆C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹曲线的形状及方程． 解　如图所示，由已知可得圆C1与C2的圆心坐标分别为C1(4，0)，C2(－4，0)，其半径分别为r1＝13，r2＝3. 设动圆的圆心为C，其坐标为(x，y)，动圆的半径为r. 由于圆C1与圆C相内切，依据两圆内切的充要条件可得|CC1|＝r1－r.① 由于圆C2与圆C相外切，依据两圆外切的充要条件可得|CC2|＝r2＋r.② 由①＋②可得|CC1|＋|CC2|＝r1＋r2＝13＋3＝16，即点C到两定点C1与C2的距离之和为16，且|C1C2|＝8，可知动点C的轨迹为椭圆，且以C1与C2为焦点． 由题意，得c＝4，a＝8， 所以b2＝a2－c2＝64－16＝48. 所以椭圆的方程为＋＝1， 所以动圆圆心的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，其方程为＋＝1. 题型三　椭圆的定义及标准方程的应用 例3　(1)如图所示，已知经过椭圆＋＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A，B两点，F1是椭圆的左焦点． ①求△AF1B的周长； ②如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长有变化吗？为什么？ [解]　①如题图，由题意知，A，B在椭圆＋＝1上， 故有|AF1|＋|AF2|＝2a＝10，|BF1|＋|BF2|＝2a＝10，|AF2|＋|BF2|＝|AB|， 所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝20. 所以△AF1B的周长为20. ②如果AB不垂直于x轴，△AF1B的周长仍为20不变，因为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a，与AB和x轴是否垂直无关． (2)如图所示，点P是椭圆＋＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△PF1F2的面积． [解]　在椭圆＋＝1中，a＝，b＝2， ∴c＝＝1. 又P在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.① 在△F1PF2中，由余弦定理知， |PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos30° ＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.② ①式两边平方，得 |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20.③ ③－②，得(2＋)|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|sin30°＝8－4. 感悟提升 1.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)椭圆的定义能够对一些距离问题进行转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解． 2．椭圆中的焦点三角形 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形，解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解． 3．椭圆的标准方程中应注意的几个问题 (1)a2＝c2＋b2，a>b>0，a最大，其中a，b，c构成如图的直角三角形，我们把它称为“特征三角形”． (2)方程中的两个参数a与b，确定椭圆的形状和大小；焦点F1，F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型． (3)方程Ax2＋By2＝C表示椭圆的充要条件：ABC≠0，且A，B，C同号，A≠B. [跟踪训练3]　(1)已知F1为椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P为椭圆上半部分上任意一点，A(1，1)为椭圆内一点，求|PF1|＋|PA|的最小值． 解　由椭圆的方程5x2＋9y2＝45可知a2＝9，b2＝5，c2＝4，左焦点F1(－2，0)，右焦点F2(2，0)，如图所示． P为椭圆上半部分上一点，由椭圆的定义有|PF1|＋|PF2|＝6. 而|PF1|＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋|PF2|－|PF2|＝6－(|PF2|－|PA|)． 在△PAF2中，因为||PF2|－|PA||<|AF2|，当且仅当P，A，F2三点共线时，|PF2|－|PA|＝|AF2|＝. 所以当P，A，F2三点共线时，|PF1|＋|PA|有最小值为6－. (2)已知椭圆＋＝1的两焦点为F1，F2，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积． 解　由已知得a＝2，b＝， 所以c＝＝＝1. 从而|F1F2|＝2c＝2. 在△PF1F2中，由勾股定理可得 |PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4. 又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4， 所以|PF2|＝4－|PF1|. 从而有(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4. 解得|PF1|＝. 所以△PF1F2的面积S＝|PF1|·|F1F2|＝××2＝. 随堂水平达标 1．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是(　) A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1 答案　D 解析　由题意知，椭圆的焦点在x轴上，且c＝2，所以a2＝2＋4＝6，因此椭圆的方程为＋＝1.故选D. 2．“2<k<5”是“方程＋＝1表示的曲线是椭圆”的(　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　B 解析　由方程＋＝1表示的曲线是椭圆，可得解得2<k<5且k≠，因为2<k<5且k≠⇒2<k<5，而2<k<5推不出2<k<5且k≠，所以“2<k<5”是“方程＋＝1表示的曲线是椭圆”的必要不充分条件． 3．(多选)与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆是(　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 答案　BCD 解析　与椭圆＋＝1有公共焦点的椭圆方程可设为＋＝1(λ>－16)．对比各选项可知，当λ＝－2时，得＋＝1；当λ＝5时，得＋＝1；当λ＝－9时，得＋＝1.故选BCD. 4．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝____，∠F1PF2＝____． 答案　2　120° 解析　由椭圆＋＝1知a＝3，c＝＝，∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF2|＝6－|PF1|＝2.在△F1PF2中，由余弦定理，得cos∠F1PF2＝＝＝－.又0°<∠F1PF2<180°，∴∠F1PF2＝120°. 5．已知圆A：x2＋(y＋6)2＝400，圆A内一定点B(0，6)，圆C过B点且与圆A内切，求圆心C的轨迹方程． 解　设动圆C的半径为r，则|CB|＝r. ∵圆C与圆A内切，∴|CA|＝20－r. ∴|CA|＋|CB|＝20. 又|AB|＝12，∴|CA|＋|CB|＝20>|AB|. ∴圆心C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆． ∵2a＝20，2c＝12， ∴a＝10，c＝6，b2＝64. 又A，B在y轴上， ∴圆心C的轨迹方程为＋＝1. 课后课时精练 一、选择题 1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点F在BC上，则△ABC的周长是(　) A．2 B．6 C．4 D．12 答案　C 解析　由题可知a＝，由椭圆的定义得|BF|＋|BA|＝|CF|＋|CA|＝2a＝2，∴(|BF|＋|CF|)＋|BA|＋|CA|＝|BA|＋|CA|＋|BC|＝4，即△ABC的周长为4.故选C. 2．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是(　) A．(3，＋∞) B．(－∞，－2) C．(－∞，－2)∪(3，＋∞) D．(－6，－2)∪(3，＋∞) 答案　D 解析　由椭圆＋＝1的焦点在x轴上，可得解得所以a＞3或－6＜a＜－2.故选D. 3．已知动点M(x，y)满足＋＝2，则动点M的轨迹是(　) A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段 答案　D 解析　设F1(0，－)，F2(0，)．由题意知动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2＝|F1F2|，故动点M的轨迹是线段F1F2. 4．已知椭圆＋＝1上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为坐标原点，则|ON|＝(　) A．2 B．4 C．6 D. 答案　B 解析　设F1为椭圆的左焦点，F2为椭圆的右焦点，连接MF2，由N是MF1的中点，O是F1F2的中点可知|ON|＝|MF2|.又|MF2|＝2a－|MF1|＝10－2＝8，所以|ON|＝4. 5．(多选)椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点的坐标可以是(　) A．(0，－3) B. C．(0，3) D. 答案　AC 解析　记F1(－4，0)，F2(4，0)，|PF1|·|PF2|≤＝＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立．∴P应在椭圆与y轴的交点处，∴P点的坐标是(0，3)或(0，－3)． 二、填空题 6．椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的____倍． 答案　7 解析　由已知椭圆的方程得a＝2，b＝，c＝3，不妨设F1(－3，0)，F2(3，0)．由于焦点F1和F2关于y轴对称，∴PF2必垂直于x轴．∴P或P，|PF2|＝，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝.∴|PF1|＝7|PF2|. 7．已知P为椭圆＋＝1上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为____． 答案　7 解析　由题意知，椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM|＋|PN|的最小值为|PF1|＋|PF2|－1－2＝7. 8．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，M是椭圆上的一点，且在y轴的左侧，过点F2作∠F1MF2的平分线的垂线，垂足为N，若|ON|＝2(O为坐标原点)，则|MF2|－|MF1|＝____，|OM|＝____． 答案　4　2 解析　如图，延长F2N，MF1并相交于Q点，由题知，MN⊥F2Q，且MN平分∠F1MF2，所以|MF2|＝|MQ|，N为F2Q的中点，又因为O为F1F2的中点，所以ON綊F1Q，因为|ON|＝2，所以|F1Q|＝4，|MF2|－|MF1|＝4.因为|MF2|＋|MF1|＝8，所以|MF2|＝6，|MF1|＝2，所以|MF2|2＝|MF1|2＋|F1F2|2，所以MF1⊥OF1，所以|OM|＝＝2. 三、解答题 9．求符合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在x轴上，且经过点(2，0)和点(0，1)； (2)与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，且经过点； (3)焦点在y轴上，且与y轴的一个交点为P(0，－10)，P到它较近的一个焦点的距离等于2. 解　(1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵椭圆经过点(2，0)和(0，1)， ∴∴ 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. (2)解法一：∵椭圆＋y2＝1的焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)， ∴可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 又椭圆经过点， ∴解得a2＝4，b2＝3. 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 解法二：由题意知椭圆的焦点坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 又＋ ＝＋＝4， ∴2a＝4，即a＝2，∴b2＝a2－c2＝22－12＝3， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. (3)∵椭圆的焦点在y轴上， ∴可设它的标准方程为＋＝1(a>b>0)． ∵P(0，－10)在椭圆上，∴a＝10. 又P到它较近的一个焦点的距离等于2， ∴－c－(－10)＝2，故c＝8， ∴b2＝a2－c2＝36， ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1. 10.如图，已知点P(3，4)是椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，若·＝0. (1)求椭圆的方程； (2)求△PF1F2的面积． 解　(1)∵·＝0， ∴△PF1F2是直角三角形， ∴|OP|＝|F1F2|＝c. 又|OP|＝＝5，∴c＝5. ∴椭圆的方程为＋＝1. 又P(3，4)在椭圆上，∴＋＝1， ∴a2＝45或a2＝5. 又a>c，∴a2＝5舍去． 故所求椭圆的方程为＋＝1. (2)由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝6，① 又|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，② 由①2－②得2|PF1|·|PF2|＝80， ∴S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝×40＝20. 1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0，1)，且3a2＝4b2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P在这个椭圆上，且|PF1|－|PF2|＝1，求∠F1PF2的余弦值． 解　(1)依题意，知c＝1， 又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2， 所以a2－a2＝1，即a2＝1， 所以a2＝4，b2＝3， 故椭圆的标准方程为＋＝1. (2)因为点P在椭圆上， 所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×2＝4. 又|PF1|－|PF2|＝1， 所以|PF1|＝，|PF2|＝. 又|F1F2|＝2c＝2， 所以由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝. 故∠F1PF2的余弦值为. 2.如图所示，△ABC的底边BC＝12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程． 解　以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6，0)，C(－6，0)，CE，BD分别为AB，AC边上的中线， 则|BD|＋|CE|＝30. 由重心的性质可知， |GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20. ∵B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且20>12， ∴G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆的两个焦点，但点G不在x轴上， ∴2c＝|BC|＝12，c＝6，2a＝20，a＝10， ∴b2＝a2－c2＝102－62＝64， 故此三角形重心G的轨迹方程为＋＝1(x≠±10)． 19 学科网（北京）股份有限公司 $$