11 2.6.2 圆与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（湘教版）

本讲义聚焦“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）两种判定方法展开。承接圆的方程、直线与圆位置关系，为解析几何综合应用搭建学习支架，包含知识点分类讲解、例题示范及对点练。 资料以任务驱动设计，通过表格对比位置关系图示与数量关系培养数学抽象，例题分步解析提升数学运算，综合应用问题（如公共弦、公切线）发展逻辑推理。课中辅助教师系统授课，课后课时测评助力学生查漏补缺，强化知识掌握。

2.6.2　圆与圆的位置关系 学习目标 1.掌握圆与圆的位置关系及判断方法，培养数学抽象的核心素养. 2.能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系，提升数学运算的核心素养. 3.能综合应用圆与圆的位置关系解决问题，提升数学运算、逻辑推理的核心素养. 任务一　圆与圆的位置关系 1.种类：圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含. 2.判定方法 (1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下： 位置 关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与 r1，r2 的 关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 ｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2 d＝｜r1－r2｜ d＜｜r1－r2｜ (2)代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(＋－4F1＞0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(＋－4F2＞0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 内切或外切 外离或内含 [微提醒]　(1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含； (2)圆和圆相交，两圆有两个公共点； (3)圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切. 已知圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，判断两圆的位置关系. 解：法一：(几何法)：圆C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，化为标准方程，得(x＋1)2＋(y＋4)2＝25. 圆C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，化为标准方程，得(x－2)2＋(y－2)2＝10. 所以圆C1的圆心是点(－1，－4)，半径r1＝5， 圆C2的圆心是点(2，2)，半径r2＝. 所以圆C1与圆C2的圆心距d＝＝3. 又因为圆C1与圆C2的半径之和为r1＋r2＝5＋， 半径之差为｜r1－r2｜＝5－. 所以d与｜r1－r2｜，r1＋r2的大小关系为｜r1－r2｜＜d＜r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相交. 法二：(代数法)：圆C1与圆C2的方程联立得到方程组 由①－②，得x＋2y－1＝0，③ 由③得y＝， 代入①并整理得x2－2x－3＝0.④ 又因为方程④的根的判别式Δ＝16＞0， 所以方程④有两个不相等的实数根， 所以圆C1与圆C2相交. 判断两圆的位置关系的两种方法 1.几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法. 2.代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数判断两圆位置关系. 对点练1.已知圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0与圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，则当两圆圆心之间的距离最短时，圆C1与圆C2的位置关系如何？ 解：把两圆的方程化为标准方程，得圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，圆C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4，则两圆圆心的坐标分别为(a，－2)，(－1，a)，半径分别为3，2，所以两圆的圆心距d＝＝＝，所以当a＝－时，d有最小值，且dmin＝，此时d＝＜｜3－2｜，所以圆C1与圆C2的位置关系是内含. 学生用书⬇第69页 任务二　两圆相切问题 已知圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线x＋y＝0相切于点A(3，)，求圆C的方程. 解：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， 因为圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切， 所以＝r＋1.① 又因为圆C与直线x＋y＝0相切于A(3，－)， 所以＝r，② ＝.③ 由①②③解得 故圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36. 处理两圆相切问题的2个步骤 1.定性：即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须分两圆内切还是外切两种情况讨论. 2.转化思想：即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时)的问题. 对点练2.若圆x2＋y2＝m与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0内切，则m＝　　　　. 答案：1或121 解析：圆x2＋y2＝m的半径r1＝. 圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的圆心坐标为(－3，4)，半径r2＝6. 因为两圆内切，且圆心距d＝5. 所以6－＝5或－6＝5. 解得m＝1或m＝121. 对点练3.求与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程. 解：已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4的圆心C(2，－1). 设所求圆B的圆心为B(a，b)，切点为A(4，－1)，则点C，A，B共线. 则b＝－1，又因为｜AB｜＝1， 可得a＝5或3. 即所求圆B的圆心B(5，－1)或(3，－1). 故圆B的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 任务三　与两圆相交有关的问题 (1)圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程为　　　　　　　　，公共弦长为　　　　. (2)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦长为2，则a的值为　　　　. 答案：(1)x－2y＋4＝0　2　(2)1 解析：(1)联立两圆的方程得方程组两式相减并化简，得x－2y＋4＝0， 此即两圆公共弦所在直线的方程. 法一：设两圆相交于A，B两点，则A，B两点的坐标满足方程组 所以｜AB｜＝＝2，即公共弦长为2. 法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3. 设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2， 即50＝(3)2＋l2，解得l＝， 故公共弦长为2. (2)由题意知，圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0的公共弦所在的直线的方程为2ay－2＝0， 而圆心(0，0)到2ay－2＝0的距离为d＝＝， 所以22＝()2＋()2，结合a＞0得a＝1. 1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 2.圆系方程 一般地过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆的方程可设为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他条件求出λ，即可得圆的方程、 对点练4.求经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程. 解：法一：解方程组得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2). 设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4. 则有＝， 解得a＝，故圆心为， 半径为 ＝. 故圆的方程为＋＝， 即x2＋y2－x＋7y－32＝0. 法二：因为圆x2＋y2＋6y－28＝0的圆心(0，－3)不在直线x－y－4＝0上，故可设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)， 其圆心为，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7. 故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0. 学生用书⬇第70页 1.圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 答案：D 解析：x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1， 圆心距为4，两圆半径和为3，因为4＞3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.故选D. 2.两圆x2＋y2＝r2，(x－3)2＋(y＋4)2＝4外切，则正实数r的值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：C 解析：显然两圆心的距离d＝5，因为两圆外切，所以r＋2＝5，所以r＝3.故选C. 3.已知圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10与圆C2：(x＋6)2＋(y＋3)2＝50交于A，B两点，则AB所在的直线方程是　　　　　　　　. 答案：2x＋y＝0 解析：两圆方程相减可得－16x－32－8y－8＝－40，整理得2x＋y＝0. 4.求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4内切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程. 解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则＝1.① 若两圆内切，则有＝｜2－1｜＝1，② 联立①②，解得a＝3，b＝－1，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1. 课时测评25　圆与圆的位置关系 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.圆O1：x2＋y2－4y＋3＝0和圆O2：x2＋y2－16y＝0的位置关系是(　　) A.相离 B.相交 C.相切 D.内含 答案：D 解析：因为r1＝1，r2＝8，｜O1O2｜＝＝6，则｜O1O2｜＜r2－r1，所以两圆内含. 2.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　) A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1) C.(－1，0)和(0，－1) D.(－1，0)和(0，1) 答案：C 解析：由 解得 所以两圆的交点坐标为(－1，0)和(0，－1). 3.圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则(　　) A.E＝－4，F＝8 B.E＝4，F＝－8 C.E＝－4，F＝－8 D.E＝4，F＝8 答案：C 解析：由题意联立两圆方程 得4x＋Ey－4－F＝0，则＝－1，＝1，解得E＝－4，F＝－8，故选C. 4.已知点M在圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4上，点N在圆C2：(x－1)2＋(y＋2)2＝4上，则｜MN｜的最大值是(　　) A.5 B.7 C.9 D.11 答案：C 解析：由题意知圆C1的圆心C1(－3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(1，－2)，半径r2＝2.因为两圆的圆心距d＝＝5＞r1＋r2＝4，所以两圆外离，从而｜MN｜的最大值为5＋2＋2＝9.故选C. 5.(多选)已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　) A.(x－5)2＋(y－7)2＝25 B.(x－5)2＋(y－7)2＝17 C.(x－5)2＋(y＋7)2＝9 D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25 答案：CD 解析：设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，所以(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，所以(x－5)2＋(y＋7)2＝9. 6.若圆x2＋y2－2x＋10y＋1＝0与x2＋y2－2x＋2y－m＝0相交，则m的取值范围是　　　　　　　. 答案：(－1，79) 解析：分别将两圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋5)2＝25，(x－1)2＋(y＋1)2＝m＋2.由两圆相交，得｜5－｜＜4＜5＋，解得－1＜m＜79. 7.圆x2＋y2＝50与圆x2＋y2－12x－6y＋40＝0公共弦所在的直线方程为　　　　　　　　　；公共弦长为　　　　. 答案：2x＋y－15＝0　2 解析：x2＋y2＝50与x2＋y2－12x－6y＋40＝0作差，得两圆公共弦所在的直线方程为2x＋y－15＝0， 圆x2＋y2＝50的圆心(0，0)到2x＋y－15＝0的距离d＝3， 因此公共弦长为2＝2. 8.以(3，－4)为圆心，且与圆x2＋y2＝64内切的圆的方程是　　　　　　　　　　　　　　　. 答案：(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169 解析：圆x2＋y2＝64的圆心为(0，0)，半径r'＝8， 所以圆心距d＝＝5， 设所求圆半径为r，则｜r－r'｜＝d， 所以｜r－8｜＝5， 所以r＝3或r＝13. 所以圆的方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝9或(x－3)2＋(y＋4)2＝169. 9.(10分)若圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2ay－6＝0的公共弦的弦长为，求a. 解：两圆的公共弦所在直线的方程为：x2＋y2－1－x2－y2－2x－2ay＋6＝0，化简得：2x＋2ay－5＝0，圆心(0，0)到直线2x＋2ay－5＝0的距离d＝， 又公共弦长的一半为，所以1＝d2＋，即1＝＋， 解得a＝±2. 10.(13分)a为何值时，圆C1：x2＋y2－2ax＋4y＋a2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2ay＋a2－3＝0，满足下列位置关系. (1)外切；(2)相交. 解：将两圆方程写成标准方程 C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－a)2＝4. 所以两圆的圆心和半径分别为C1(a，－2)，r1＝3；C2(－1，a)，r2＝2. 所以r1＋r2＝5，｜r1－r2｜＝1. 设两圆的圆心距为d， 则d2＝(a＋1)2＋(－2－a)2＝2a2＋6a＋5. (1)当d＝5，即2a2＋6a＋5＝25时，两圆外切，此时a＝－5或a＝2. (2)当1＜d＜5，即1＜2a2＋6a＋5＜25时，两圆相交，此时－5＜a＜－2或－1＜a＜2. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知圆M：(x－a)2＋y2＝4(a＞0)与圆N：x2＋(y－1)2＝1外切，则直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为(　　) A.1 B. C.2 D.2 答案：D 解析：由题意，知＝2＋1＝3，a＞0，所以a＝2，圆心M(2，0)到直线x－y－＝0的距离d＝＝1，所以直线x－y－＝0被圆M截得的线段的长度为2＝2，故选D. 12.过圆x2＋y2－x－y－2＝0与圆x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点(3，1)的圆的方程是　　　　　　　. 答案：x2＋y2－x＋y＋2＝0 解析：设所求圆方程为(x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝0，将(3，1)代入得λ＝－.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋y＋2＝0. 13.若☉O：x2＋y2＝5与☉O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度为　　　　. 答案：4 解析：如图所示， 在Rt△OO1A中， OA＝，O1A＝2， 所以OO1＝5， 所以AC＝＝2. 所以AB＝4. 14.(15分)已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1). (1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程； (2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且｜AB｜＝2，求圆O2的方程. 解：(1)由已知得O1(0，－1)，O2(2，1)， 则｜O1O2｜＝2.因为两圆外切， 所以｜O1O2｜＝r1＋r2， 所以r2＝｜O1O2｜－r1＝2－2， 故圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－8. 两圆的方程相减， 即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0. (2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝. 圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程： 4x＋4y＋－8＝0.① 作O1H⊥AB，则｜AH｜＝｜AB｜＝， ｜O1H｜＝＝＝. 即圆心(0，－1)到直线①的距离为＝， 得＝4或＝20， 故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20. 15.(17分)已知动点P与两个定点O(0，0)，A(3，0)的距离的比为. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)已知圆Q的圆心为Q(t，t)(t＞0)，且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围. 解：(1)设P(x，y)， 则｜AP｜＝2｜OP｜，即｜AP｜2＝4｜OP｜2， 所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)， 整理得(x＋1)2＋y2＝4. 所以动点P的轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4. (2)因为点Q的坐标为(t，t)(t＞0)，且圆Q与x轴相切，所以圆Q的半径为t，所以，圆Q的方程为(x－t)2＋(y－t)2＝t2. 因为圆Q与圆C有公共点，又圆Q与圆C的两圆心距为｜CQ｜＝ ＝， 所以｜2－t｜≤｜CQ｜≤2＋t， 即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2， 解得－3＋2≤t≤3. 所以实数t的取值范围是[－3＋2，3]. 学科网（北京）股份有限公司 $