4.4一次函数的应用 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册

4.4一次函数的应用 同步练习 一、单选题 1．若一个正比例函数的图象经过两点，则b的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 2．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．体重的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉天后的体重为，则与之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，在y轴上有一点，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，设运动的时间为，连接．当运动到与全等时，t的值为（　　） A．2 B．4 C．2或4 D．2或6 4．定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“励志点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“励志点”，点，也是“励志点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“励志点”，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 5．某共享单车公司推出一种新的计价方式：前15分钟收费1.8元，之后每超过1分钟收费1.5元（不足1分钟按1分钟计算）．小华骑行了t分钟（且为整数），需要支付的总费用y元，则y与t的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 6．一次函数中，x与y的部分对应值如下表： x 0 1 2 y 0 那么一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段的中点，点P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 8．已知小明和小红进行千米跑步练习，两人沿着同一条公路同时从甲地出发，到达乙地后折返甲地，两人全程保持匀速运动，若两人距离甲地的路程（米）与跑步时间（分钟）的函数图象如图所示，则小明完成练习比小红早（    ） A．分钟 B．分钟 C．分钟 D．分钟 9．已知一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ） A． B． C． D． 10．已知平面直角坐标系中有三点，，，若直线将分成面积之比为两部分，则的值是（   ） A．2 B．2或 C．2或 D．或 二、填空题 11．直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是 ． 12．已知直线过点和点，则关于x的方程的解为 ． 13．边长为1个单位长度的个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线平分这个正方形所组成的图形的面积，则的值为 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，、，动点在直线上，动点在轴上，当取最小值时，点的坐标为 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值 ． 三、解答题 16．某实验室测试新型太阳能充电器，将其置于恒定光照下，每隔一段时间记录一次电池电量百分比，发现这种新型太阳能充电器的电池电量百分比是其充电时间的一次函数，已知这种太阳能的充电时间为时，电池电量为；这种太阳能的充电时间为时，电池电量为． (1)求y与x之间的函数表达式；（无需写出自变量的取值范围） (2)当电池电量达到时，其充电时间是多少小时？ 17．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发．设客车离甲地的距离为（单位：），出租车离甲地的距离为（单位：），两车行驶的时间为（单位：h），，关于的函数关系如下图所示． (1)根据图象，分别求出，关于的函数表达式． (2)求两车相遇的时间． 18．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 19．某游乐园票价为每人120元，为了吸引客源，该游乐园在“双11”期间推出了针对团体的优惠活动，具体内容如下： ①若团体人数不足10人，则不享受优惠； ②若团体人数在10人及以上，则有两种优惠方案可供选择； 方案一：每人都享受七五折优惠； 方案二：其中10人享受八五折优惠，其余人享受六折优惠． 期中练习后，为了让孩子们放松一下，三个家庭准备到该游乐园游玩，已知A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人． (1)若这三个家庭直接去游乐园，则购买门票共需花费多少元？ (2)为了享受优惠，他们准备再邀请一些人组成团体一起去该游乐园，假设他们共邀请了x个人，请解决下列问题： ①若他们选择方案一，设购买门票共需花费y元．试用含x的代数式表示y； 若他们选择方案二，设购买门票共需花费w元，试用含x的代数式表示w． ②当时，选择哪种方案更合算？请通过计算说明． 20．如图，直线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B． (1)求线段的长； (2)已知点C在x轴上，连接BC，若的面积是8，求点C的坐标； (3)若P是坐标轴上的一点，且，直接写出点P的坐标______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《4.4一次函数的应用 同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D A C D D C A D 1．D 【分析】本题考查了待定系数法求出正比例函数解析式以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据给定点的坐标，利用待定系数法求出正比例函数解析式是解题的关键． 由点的坐标，利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再利用正比例函数图象上点的坐标特征即可求出b的值． 【详解】设正比例函数解析式为， 又图象过点， 所以，则， 又图象也过点， 时，， 所以． 故选：D． 2．A 【分析】本题主要考查一次函数的应用，理解数量关系并正确列式是关键． 根据体重减少的规律，初始体重减去每天减少的重量乘以天数，即可得到x天后的体重． 【详解】解：∵ 初始体重为，每天减重， ∴ x天后减重， ∴ 剩余体重， 故选：A． 3．D 【分析】本题考查了一次函数的性质，全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．由直线的函数解析式，令求点坐标，求点坐标；根据题意可知，，则，所以，则时间内移动了，可算出值． 【详解】解：对于直线， 当时，；当时，， ，， ， ∵当运动到与全等时 ∴，分为两种情况： ①当在上时，， ， 动点从点以每秒1个单位的速度沿轴向左移动2个单位，所需要的时间是2秒钟； ②当在的延长线上时，， 则，此时所需要的时间（秒）， 故选：D． 4．A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据“励志点”的定义，点满足，构成一个正方形，一次函数经过点 ，且与正方形有交点，通过求直线经过正方形顶点时的k值，确定k的取值范围． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 即． ∴直线方程为． 当直线经过点时， 代入得， 解得； 当直线经过点时， 代入得 ， 解得， ∴当时，直线与正方形有交点，即存在“励志点”． 故选：A． 5．C 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据计价规则，总费用包括前15分钟的固定费用1.8元和超过15分钟部分按每分钟1.5元计算的费用． 【详解】解：前15分钟收费1.8元，超过部分分钟数为 ，收费为 元， 总费用 ， 故选：C． 6．D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，此题实际上是求当时，所对应x的值，根据表格求解即可． 【详解】解：根据表格可得：当时，， 即一元一次方程的解是， 故选：D． 7．D 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，最小值为，如图． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的解析式为． 令，则，解得：， 点的坐标为． 故选：D． 8．C 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，解题的关键是正确理解图象信息． 根据函数图象，求出两人的速度，进一步计算，求解即可． 【详解】解：由函数图象得， 小红跑步的速度为（米/分钟）， 小明跑步的速度为（米/分钟）， 则小明比小红早（分钟） 故选：． 9．A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据图象可得，一次函数的图象经过点， 即当时，自变量的值就是对应的一元一次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据图象可得，一次函数的图象经过点， ∴方程的解是， 故选：． 10．D 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，根据题意作出图形，利用数形结合的思想进行解答，由题意有两种情况，需要进行分类讨论求解． 【详解】解：根据题意作出如下图形： 直线经过点，且将的面积分成两部分， 由图可知有两种情况， 当直线经过时，则，解得：， 当直线经过时，，解得：， 的值为：或， 故选：D． 11． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵直线上有一点的坐标是， ∴当时，， ∴方程的解是， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系：一次函数与x轴交点的横坐标即为一元一次方程的解． 根据一次函数与一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴的交点坐标是点， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作轴于点，则，结合直线平分这8个正方形所组成的图形的面积，可得，从而得到点的坐标为，代入中即可求解． 【详解】解：过点作轴于点，则， ∵直线平分这8个正方形所组成的图形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 把代入得： 解得：． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查的是一次函数的性质，最短路径问题，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键． 作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则，可得当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长，再求出直线的解析式，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点D，连接，作点B关于直线的对称点E，连接，则， ∴， 即当点D，P，Q，E四点共线时，取最小值，最小值为的长， ∵、， ∴点， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点． 故答案为： 15．4 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．首先确定点的坐标，当点在的延长线上时，的值最大． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接． ，， 直线的解析式为：． 联立解得 ． ， ． ． 当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4． 故答案为：4． 16．(1) (2)2 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用． （1）根据题意设，再利用待定系数法求解解析式即可． （2）把代入解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵这种新型太阳能充电器的电池电量百分比是其充电时间的一次函数， 设， ∵这种太阳能的充电时间为时，电池电量为；这种太阳能的充电时间为时，电池电量为， ∴， 解得：， ∴y与x之间的函数表达式为：． （2）解：当时， ∴， 解得：， ∴当电池电量达到时，其充电时间是小时． 17．(1)关于的函数表达式为，关于的函数表达式为 (2)两车相遇的时间为 【分析】本题通过考查一次函数的应用，正确从图象上获取信息，借助函数图象表达题目中的信息，读懂图象是关键． （1）可根据待定系数法来确定函数关系式； （2）令，解方程，即可求解． 【详解】（1）设关于的函数表达式为 由图可知，，解得 故关于的函数表达式为 设关于的函数表达式为 由图可知，，，解得 故关于的函数表达式为 （2）当出租车与客车相遇时，由题意，得，解得 故两车相遇的时间为． 18．(1)3 (2)①；②；③， 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）①由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ②函数可以改写成，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③根据题意得，令或，解方程即可． 【详解】（1）解：令，则，即 故答案为：； （2）①解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ②根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③根据题意得，， 则或 解得或 故答案为：，． 19．(1)购买门票共需花费元 (2)①方案一：；方案二：；②选择方案二更划算 【分析】本题考查了一次函数的应用，正确表示出不同的表达式是解题的关键． （1）依据题意可得不享受优惠，计算即可； （2）①依据题意，分别根据购票方案一，方案二，表示出购买门票的费用； ②依据题意，将代入各个表达式对比即可． 【详解】（1）解： A家庭有4人，B家庭有3人，C家庭有2人， 则共有（人）， 购买门票共需花费（元）， 答：购买门票共需花费元； （2）解：①方案一:； 方案二： ②当时，（元）； （元）， ， 故选择方案二更划算． 20．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，勾股定理，坐标与图形等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法． （1）先求出点，点坐标，然后利用勾股定理即可求解； （2）设点，由三角形的面积公式可求解； （3）分两种情况：当点P在x轴上时，设点P的坐标为，当点P在y轴上时，设点P的坐标为，分别列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 把代入得：， 解得：， 点，点， ，， ； （2）解：设点， 的面积是16， ， ， 或， 点坐标为或； （3）解：当点P在x轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 当点P在y轴上时，设点P的坐标为， ∵，， ∴， 解得：， ∴此时点P的坐标为； 综上分析可知：点P的坐标为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $