24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习 一、单选题 1．已知半径为5，平面内有一点P，，则点P与的位置关系是（   ） A．点P在内 B．点P在外 C．点P在上 D．无法判断 2．下列选项中可以用来证明命题“如果，那么”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 3．如图，的半径为3，点到直线的距离为5，是直线上的一个动点，与相切于点，则的最小值是（   ） A． B．3 C．5 D．4 4．如图，交于点，与相切于点点在上．若，则等于（    ） A． B． C． D． 5．已知直线和相交，的半径为2，则圆心到的距离的值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．如图，是四边形的内切圆，若该四边形的周长是12，面积是24，则的半径是（   ） A． B．3 C．4 D．6 7．如图，，与相切于点与交于点．若，则的长为（   ） A．0.5 B．1 C． D．2 8．用反证法证明“若的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P在外”．首先应假设（    ）． A． B．点P在外 C． D．点P在上或点P在内 9．如图，是锐角三角形的外接圆，，，，垂足分别为D，E，F，连接，，．若，的周长为20，则的长为（   ） A．8 B．4 C．3 D．3.5 10．如图，以的边为直径作交于点，连接，过点作于点．若要使是的切线，则下列补充的条件不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．用反证法证明命题“已知，，则．”的第一步应先假设 ． 12．如图，，圆心在边上的半径为，．若沿方向移动，当与相切时，圆心O移动的最短距离为 ． 13．如图，是半圆的直径，，点是半圆圆弧上一动点，连接，以为边，向上方作等边，连结，则的最大值为 ． 14．平面内有两点P，O，的半径为5，若，则点P与的位置关系是 （填写“圆内”“圆外”和“圆上”其中一个） 15．如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是 ． 三、解答题 16．如图， 内接于，，过点O作，交于点E，连接，且．求证：是的切线． 17．如图，是的直径，点C是上除点A，点B外的一点． (1)如图1，作出弧的中点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图2，点D是弧的中点，于点E，求证：是的切线； (3)如图3，点D是弧的中点，点F在上，与相交于点G，弧所对的圆心角为，，，． ①求出的长； ②写出的长为______． 18．如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．如图，中，，以为直径作交于点，作交于点．    (1)求证：是的切线； (2)延长交的延长线于点，若，，求半径的长． 20．老舍先生作品《骆驼祥子》的主人公是个以拉车为生的贫苦车夫．人力车涉及了很多复杂的机械设计．如图是人力车的侧面示意图，为车轮的直径，过圆心O的车架一端点C着地时，地面与车轮相切于点D，连接，． (1)小明猜想，小明的猜想正确吗？请说明理由． (2)若车架端点C到车轮与地面的接触点D之间的距离米，的长为米，求车轮的半径． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 同步练习2025-2026学年人教版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B A C B D D D 1．A 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，点与圆的位置关系由点到圆心的距离d和半径r决定：时点在圆内，时点在圆上，时点在圆外．根据点与圆的位置关系，比较点P到圆心O的距离与的半径大小即可判断． 【详解】解：∵的半径，， ∴， ∴点P在内． 故选：A 2．C 【分析】本题考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键． 证明命题为假需反例满足前提（）但结论不成立（），据此即可求解． 【详解】解：∵反例需满足且， ∴选项C中，且，符合反例条件， 选项A、B、D均不满足：A中，B中和不等于，D中和不等于， 故选：C． 3．D 【分析】本题主要考查切线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质及勾股定理是解题的关键；连接，则有，然后根据勾股定理可得，要使有最小值，则需满足取最小值即可，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∴， ∴， 要使有最小值，则需满足取最小值即可， ∴当时，有最小值5， ∴的最小值为； 故选D． 4．B 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，先由圆周角定理得到，由切线的性质得到，即可利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵切于点C， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系；解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 根据直线和圆相交，则圆心到直线的距离小于圆的半径，得． 【详解】解： 的半径 ，直线 l 与 相交， 圆心到直线的距离 ，即 ． 选项中只有 A．，故的值可以是1． 故选：A． 6．C 【分析】此题重点考查切线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地添加辅助线是解题的关键． 设与四边形的各边分别相切于点，连接，设的半径为，则，由，且四边形的周长是12，得，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与四边形的各边分别相切于点，连接，如图所示： ，、、， 设的半径为，则， ，且， ， 四边形的周长是12， ， ， ， 故选：C． 7．B 【分析】解题方法是利用切线长定理得，结合角度证为等边三角形，再通过切线垂直半径、勾股定理求线段长度；解题思路：由切线长定理得，证为等边三角形，结合求，再通过等腰三角形三线合一求，进而得． 【详解】解：∵是的切线， ∴，平分（切线长定理）， 又∵， ∴是等边三角形，， 如图，连接，则， ∵，， ∴垂直平分， ∴，． 在中，． 在中，， 设，则， 由勾股定理： 解得 ∴， ∴的长为． 故选：． 【点睛】本题考查圆的切线性质、等边三角形与直角三角形的应用，涉及知识点：切线长定理、切线与半径垂直、等腰三角形三线合一、勾股定理，解题关键是构造直角三角形并利用特殊角的性质，易错点是忽略切线与半径的垂直关系． 8．D 【分析】本题主要考查了反证法，否定命题判断的相反判断，从而肯定原来判断的正确性，这种证明法称为反证法． 反证法需假设原命题结论的否定．原命题结论为“点P在外”，其否定为“点P不在外”，即点P在圆上或圆内． 【详解】解∵ 反证法首先假设原命题结论不成立，原命题结论：点P在外， ∴ 其否定为：点P不在外， 又∵ 点与圆的位置关系只有三种：圆外、圆上、圆内， ∴ “点P不在外”等价于“点P在上或点P在内”． 故选D． 9．D 【分析】本题考查了三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵是锐角三角形的外接圆，， ∴点D、E、F分别是的中点， ∴， ∵的周长为20， ∴即， ∴， 故选：D． 10．D 【分析】本题考查切线的判定，根据切线的判定方法，结合各选项中给出的条件，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、， ， ∵， ， ， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； B、∵，是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； C、、，， 是△的中位线， ， ， ， ∵是的半径， 是的切线，故本选项不符合题意； D、当时，不能证明是的切线，故本选项符合题意； 故选：D． 11． 【分析】本题考查了反证法，掌握反证法的步骤是解题的关键． 反证法的步骤先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：原命题的结论是，其反面为，因此第一步应先假设． 故答案为． 12． 【分析】本题主要考查了切线的性质，直角三角形的性质， 当与相切时，，再根据直角三角形的性质得，然后根据可得答案． 【详解】解：如图所示，当与相切时，， 由题意可知，， ∴， ∴， 即圆心O移动的最短距离是． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，，根据圆周角定理得出，由三线合一的性质得出，根据勾股定理求出，根据证明，得出，则点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上，故当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为，即可求解． 【详解】解：以为边，在的上方作等边，设交于，连接、、、，则，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D在以F为圆心，定长（）为半径的圆上， ∴当、、三点共线，且在线段上时，取最大值为， 故答案为：． 14．圆内 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，当点到圆心的距离小于半径的长时，点在圆内；当点到圆心的距离等于半径的长时，点在圆上；当点到圆心的距离大于半径的长时，点在圆外． 根据点与圆的位置关系，通过比较点到圆心的距离与半径的大小进行判断即可． 【详解】解：∵的半径为5，，且， ∴点P在内部，即点P与的位置关系是圆内． 故答案为：圆内． 15．或或或 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是能够将移动的过程中两圆的位置关系全部考虑到． 在移动过程中有两次内切，两次外切，根据两圆的各种位置关系中圆心距和两圆的半径之间的关系列出有关时间t的方程求解即可． 【详解】解：设点运动到点时两圆相切， 两圆第一次外切时，， 有， 得， 两圆第一次内切时，， 有， 得， 两圆第二次内切时，， 有， 得， 两圆第二次外切时，， 有， 得， 故答案为：或或或． 16．见解析 【分析】本题考查了切线的判定定理、等边对等角、三角形外角的性质． 连接，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，即，根据得到，即，可知是的切线． 【详解】证明：连接， ， ， 是的切线． 17．(1)见解析 (2)见解析 (3)①② 【分析】（1）连接，作的垂直平分线即可； （2）连接，交于点，证四边形是矩形，即可求证； （3）①连接，作，由题意得：，，根据，，推出，，即可求解； ②根据，推出，得，求出，即可求解； 【详解】（1）解：如图所示：点D即为所求： （2）证明：连接，交于点，如图所示： ∵是的直径， ∴； ∵点D是弧的中点， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴是的切线； （3）解：①连接，作，如图所示： 由题意得：，， ∵， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了圆与三角函数的综合知识，涉及了垂径定理、圆周角定理，圆的切线证明等知识点，熟练掌握相关结论是解题关键； 18．(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 19．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线判定、等腰三角形，等边三角形性质等知识；解题的关键是通过连接得到平行关系，利用“垂直+半径”证切线；在求半径时，利用勾股定理建立方程；易错点是切线判定条件的完整推导， （1）连接，证明，结合推出，从而得证是切线； （2）通过证 相等，得到为等边三角形，利用获得边长关系，再用勾股定理建立方程，求得半径． 【详解】（1） 证明：连接， ， ，     ， ， ， ，     ，      ， 是的切线； （2） ， ，     是的直径， ， ， ， ， ， ，     在中，，， ， ， 半径的长为2. 20．(1)小明的猜想正确，证明见解析 (2)车轮的半径为米 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，以及勾股定理等知识，熟练掌握相关内容是解题的关键． （1）连接，由切线的性质可证，由直径所对的圆周角是直角可证，再证明，进而可证； （2）设车轮的半径为，则，然后根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：小明的猜想正确． 连接，如图 与相切， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ； （2）设车轮的半径为r，则 ， 米， ． 解得． 答：车轮的半径为米． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $