精品解析：四川省泸州市古蔺县金兰街道护家初级中学校2025-2026学年上学期期中考试九年级数学试题

护家中学2025年秋期九年级数学期中监测试卷 一、选择题（36分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，方程变为，的最高次数为，故不是一元二次方程，不符合题意； B、中含有两个未知数和 ，故不是一元二次方程，不符合题意； C、中含有分式 ，分母含未知数，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； D、，移项、合并同类项得：，是整式方程，只含有一个未知数，且的最高次数为，故是一元二次方程，符合题意； 故选：D ． 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标．根据抛物线顶点式的顶点坐标为 ，直接读取h和k的值． 【详解】解：∵ 抛物线方程为，可化为， ∴ 顶点坐标为． 故答案为：D． 4. 已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】把代入方程得，然后解关于的方程． 【详解】解：把代入方程，得：， 解得：． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题关键． 5. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． A、图象的开口向上的说法错误； B、当时，y随x的增大而减小的说法正确； C、当时，y随x的增大而减小的说法错误； D、图象的对称轴是直线的说法错误． 故选：B． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等边对等角、三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，由等边对等角结合三角形内角和定理得出，从而得出，即可得解． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 将抛物线向右平移1个单位，则所得拋物线的解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ 原抛物线为向右平移1个单位， ∴ 新解析式为 故选C． 8. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是掌握配方法解一元二次方程． 先将常数项移到方程的右边，再在两边加上一次项系数一半的平方即可． 【详解】解：， 移项，得， 两边同时加上9，得， 即， 故选：A． 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据，可知其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，当时，随的增大而增大，从而判断出答案． 【详解】解：，， 其开口向上，对称轴为，其顶点坐标为，故A、B正确； 当时，随的增大而增大，故D错误； 当时，，与轴交于正半轴，故C正确； 故选：D． 10. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用每组安排比赛的场数=每组邀请球队数每组邀请球队数，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 11. 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正方形的性质可得，，，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，，则，由此即可判断①正确；根据垂线段最短可得当时，的值最小，最小值为，由此即可判断②错误；根据全等三角形的性质可得，由此即可判断③正确；利用勾股定理可得，由此即可判断④正确；先求出的周长为，从而可得，再在中，利用勾股定理求解即可判断⑤正确． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形，则结论①正确； ∴的面积为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， 此时在中，，， ∴的最小值为， ∴面积的最小值是，则结论②错误； ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 即四边形的面积始终不变，结论③正确； 在中，， 由上已得：的最小值为1， ∴长度的最小值是，结论④正确； ∵， ∴的周长为， 又∵的周长为， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得或，均符合题意， ∴当或时，使得的周长是，结论⑤正确； 综上，所有正确结论的序号是①③④⑤． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、一元二次方程的应用、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 12. 已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程、不等式的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系是解题的关键．由题意得，二次函数图象开口向上，则有，且方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系得到，解出的取值范围，再根据的取值范围求出的最大值，列出不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：当时，x的取值范围为或， 二次函数图象开口向上，且方程的解为，， ，是方程的两根， ， 解得：， 又， 当时，有最大值4，即， 解得：， a的范围是． 故选：A． 二、填空题（18分） 13. 一元二次方程的根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，直接把方程化为两个一次方程求解即可. 【详解】解：， ∴或， 解得：，， 故答案为：， 14. 国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是列方程的关键．根据“新年互送贺卡一张”得每个人都要求送其他的人一张贺卡，即每人需送出张贺卡，进而求出全组共送的数量，再根据等量关系“全组共送贺卡张”， 列方程即可． 【详解】解：这个小组共有人，每人需送出张贺卡， 全组共送贺卡张， 全组共送贺卡张， ， 故答案为：． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是_______． 【答案】2027 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的定义（方程的根满足方程等式）、韦达定理（一元二次方程两根之和的计算）及代数式的化简求值；掌握利用方程根的定义将高次项降次为一次项，进而简化代数式，是解题的关键。先根据韦达定理得出方程两根之和，再利用m是方程根的性质，将m代入方程得；把代入待求代数式，化简为，最后将代入，计算结果为2027。 【详解】解：由条件可知，， 是方程的一个实数根， ， 即， ， 原式 故答案为： 16. 如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是____________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质． 抛物线开口向上，，与y轴交点在负半轴，；由对称轴，可得，利用这几个关系式可求出其他结论． 【详解】解：由图象知，抛物线过点，对称轴为直线， ∴抛物线过点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ，故②正确； 由图象知，抛物线开口向上， ， ， ， 而抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ， ∴，故③正确； ， ， ， ， ，故④错误． 故答案为：①②③． 三、解答题（52分） 17. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即：， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．根据证明，推出，即可得证． 【详解】略 18. 已知二次函数的图象分别经过点，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若在抛物线上，求出点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查利用待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是运用待定系数法求解析式． （1）直接将点，，代入二次函数解析式，然后解方程组即可； （2）将代入二次函数解析式求得m，即可求得点的坐标． 【小问1详解】 解：将点，，代入得：， 解得： ∴二次函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时， 所以点P的坐标为． 19. 如图，在长、宽的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 【答案】2米 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设道路的宽为x米，由题意易得方程，进而求解即可． 【详解】解：设道路的宽为x米． 根据题意，得：， 整理得：，即， 解得：，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：道路的宽应为2米． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】（1） 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． （2）， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根，熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算，即可证明； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，，结合题意可列出关于m的等式，解出m即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得：， ∵， ∴， ∴ ∴即： ∴，． 21. 已知关于的一元二次方程方程有两个实数根． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】（1） 证明：∵关于的一元二次方程中， ， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2） 1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）根据证明即可； （2）由题意知，，由，可得，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意知，， ∵， ∴，即， 解得， ∴的值是1． 22. 如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理， 对于（1），根据旋转得，再根据等腰直角三角形的性质得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），根据等腰直角三角形的性质，再根据勾股定理求出，即可得，然后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 解：将等腰直角三角形绕点A旋转得到， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等腰直角三角形， ∴， 根据勾股定理，得， 由（1）得，， 根据勾股定理，得． 23. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】（1）每件衬衫的售价90元 （2）每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解； （2）由结合二次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得： 且（即）， 解得：（舍弃）， ∴， 答：每件衬衫的售价90元 【小问2详解】 解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元， 则， ∴，开口向下， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元． 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 【答案】（1） （2） （3），最大值为 【解析】 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； 【小问3详解】 解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 则， ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 护家中学2025年秋期九年级数学期中监测试卷 一、选择题（36分） 1. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于的方程的一个根是-1，则的值是（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 5. 对于二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 当时，y随x的增大而减小 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 图象的对称轴是直线 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，其中点恰好落在边上，则（ ） A. B. C. D. 7. 将抛物线向右平移1个单位，则所得拋物线的解析式是（ ）． A. B. C. D. 8. 用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴是直线 C. 与轴交于正半轴 D. 当时，随的增大而减小 10. 我国的乒乓球“梦之队”在巴黎奥运赛场上大放异彩，奥运会乒乓球比赛的第一阶段是团体赛，赛制为单循环赛（每两队之间都赛一场）．共安排28场比赛，设邀请个球队参加比赛，可列方程得（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③④ B. ①②③⑤ C. ①③④⑤ D. ①③④ 12. 已知二次函数（），当时，x的取值范围为或，则a的范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（18分） 13. 一元二次方程的根是________． 14. 国庆期间，一个小组有若干人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡张，则这个小组共有人．根据题意，可列方程______． 15. 已知m，n是方程的两个实数根，则的值是_______． 16. 如图是二次函数的图像，对称轴是直线，则下列说法：；；；，其中正确的是____________ 三、解答题（52分） 17. 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 18. 已知二次函数的图象分别经过点，，． （1）求这个二次函数的解析式； （2）若在抛物线上，求出点的坐标． 19. 如图，在长、宽的矩形地块，修筑两条等宽且互相垂直的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积是，道路的宽应为多少？ 20. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 21. 已知关于的一元二次方程方程有两个实数根． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程的两个实数根，满足，求的值． 22. 如图，将等腰直角绕点逆时针旋转，得到，点落在边上，连接，． （1）求的度数． （2）若，求的长． 23. 某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． （1）求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； （2）求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 24. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． （3）点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $