期末重点专题专训03 一元二次方程的解法（诊讲评提闭环专训） 2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

期末重点专题专训03一元二次方程的解法（诊讲评提闭环 专训)数学华师大版九年级上册 问题导航：一元二次方程的基本解法有那些？它们前后有没有关联性？ 主要解法有：开方法，配方法、公式法、因式分解法 若x2=3(平方根的基本概念)开方法 (x-2)2=4,3(x-2)2=3 x2+2x+1=0,x2+2x+1=5(能不能配成完全平方式) x2-2x=3,x2+4x+2=5 其关联性为： x2-3x+5=0,2x-5x-2=0 x2+bx+c=0(能不能利用配方法求解) 公式法产生过程 因式分解有几种方法就对应因式分解法解方程有几种方法 一、诊断卷 1、若一元二次方程(x+a)=b（a,b为常数)，化成一般形式为x2-4x+3=0, 则a,b的值分别是( A.-2,1 B.2,1 C.2,-1 D.-2,-1 2、用求根公式解一元二次方程3x2-2x=1时，a,b,c的值是( A.a=3,b=-1,c=-2 B.a=3,b=-2,c=1 C.a=3,b=-2,c=-1 D.a=3,b=2,c=1 3、一元二次方程x2-16=0的根是() A.4 B.-4 C.±4 D.16 4、用求根公式法解方程x2-2x-5=0的解是() A.x1=1+V6,x2=1-V6 B.x1=2+V6,x2=2-6 C.x1=1+V5,x2=1-V5 D.x1=2+V5,x2=2-5 5、若关于x的一元二次方程(a+1)x++a-1=0的一个根是0，则a的值为() A.1 B.-1 C.1或-1 D.月 6、下列一元二次方程的根是r=5±5+4x3x1的是（) 2×3 A.3x2+5x+1=0B.3x2-5x+1=0C.3x2-5x-1=0D. 3x2+5x-1=0 7、若关于x的方程a(x+m)+b=0的解是x=2,x2=-1(a,m,b均为常数， a≠0)，则方程a(-x-m+1)+b=0的解是() A.x1=1,x2=-2 B.x=1,x2=0 C.x=3,x2=-2 D.=3,x2=0 8、解方程： (1)(2x-1)2-16=0;(2)2(x-1)2=3x-3. (3)x2+3x-10=0;(4)(2x-1)2=4(2x-1): (5)3x2-4x-2=0. 9、“a2≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方 式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1,.(x+2)2≥0，∴.(x+2)2+1≥1，. x2+4x+5≥1.即：x2+4x+5的最小值是1.试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式x2-4x+6最值： (2)已知x2-4x+y2+2y+5=0,求x+y的值； (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小. 10、综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中 解决问题的基本思维方式.方程x4-6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程 的特点，它的解法通常是：设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2-6y+5=0, 解这个方程得：y=1,,=5 当y=1时，x2=1,.x=±1 当y=5时，x2=5,.x=±V5 所以原方程有四个根：5=1，七，=-1，=5，x,=- 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想. 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：(x2-x)2-4(x2-x)-12=0. (2)若(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,求x2+y2的值。 二、例题示范 例题示范1：解方程：16x2-8x+1=2(1-4x) 解：16x2-8x+1=2(1-4x), 16x2-8x+1-2+8x=0, 16x2=1, 2=品 则x=士 所以X1=子为2=- 例题示范2：请阅读下列解方程x4-2x2-3=0的过程. 解：设x2=t,则原方程可变形为t2-2t-3=0,即(t-3)(t+1)=0,得t=3,t2=-1. 当t=3,x2=3,∴.x=V3,x=-V3,当t=-1,x2=-1,无解. 所以，原方程的解为x=V3,x,=-V3. 这种解方程的方法叫做换元法。 用上述方法解下面两个方程： (1)x4-x2-6=0; (2)(x2+2x)°-2(x2+2x)-3=0. 解：(1)解：设x2=t,则原方程可变形为t2-t-6=0,即(t-3)(t+2)=0, 解得：=3，t2=-2. 当t=3时，x2=3,x=3,x2=-5, 当t=-2,x2=-2,无解. 所以，原方程的解为x=√5，七，=-√3. (2)解：设x2+2x=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,即(y-1)2=4, 解得：=3，y2=-1. 当y=3时，x2+2x=3,即(x+1)2=4, .x+1=+2, .x1=1,x2=-3, 当y=-1时，x2+2x=-1,即(x+1)=0, 解得：x,=x4=-1. 所以，原方程的解为x=1,x2=-3,x=-1 例题示范3：(25-26九年级上·湖南·阶段练习)阅读题例，解答下题： 例：解方程x2-x-1-1=0 解： 当x-1≥0，即x≥1时x2-(x-1)-1=0,x2-x=0 解得：x1=0(不合题设，舍去)，x2=1 (2)当x-1<0,即x<1时x2+(x-1)-1=0,x2+x-2=0 解得x1=1(不合题设，舍去)x2=-2 综上所述，原方程的解是x=1或x=-2 依照上例解法，解方程x2+2x+2引一4=0. 解：①当x+2≥0，即x≥-2时， x2+2(x+2)-4=0, x2+2x=0, x(x+2)=0, 解得x1=0,x2=-2: ②当x+2<0,即x<-2时， x2-2(x+2)-4=0, x2-2x-8=0, (x-4)(x+2)=0 解得x1=4(不合题设，舍去)，x2=-2(不合题设，舍去). 综上所述，原方程的解是x=0或x=-2 例题示范4：(25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习)我们定义一种新的运算符 号“※”：ab=a2-ab. 例如：(-3)※2=(-3)2-(-3)×2=15， (1)若x(-2)=2x+1,则x= (2)若3※[x※(-4)]=0，求x的值. 解：(1)解：根据题意，得x-2)=x2-(-2)x=x2+2x, 又x※(-2)=2x+1, .x2+2x=2x+1, .x2=1, .x=±1； (2)解：根据题意，得x※(-4)=x2-(-4)x=x2+4x, 3※x※(-4)]=3※(x2+4x)=32-3(x2+4x)=-3x2-12x+9, :3※[x※(-4)]=0， .-3x2-12x+9=0, 解得x1=-2+V7,x2=-2-V7. 例题示范5：(25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习)阅读下面的例题. 解方程x2-x-2=0, 解：原方程化为x2-x-2=0. 令y=x,原方程化成y2-y-2=0,解得y1=2,y2=-1. 当x|=2时，x=±2：当x|=-1时（不合题意，舍去）. .原方程的解是x1=2,x2=-2. 请模仿上面的方法解方程：(x-1)2-5x-1-6=0. 解：原方程化为x-12-5x-1-6=0, 令y=|x-1,原方程化成y2-5y-6=0, 解得：y1=6,y2=-1, 当|x-1=6, x-1=±6， 解得：x1=7,x2=-5; 当x-1=-1时（舍去). 则原方程的解是x1=7,x2=-5. 例题示范6：定义-种运异△规定：a△b={a:0)·如3△2-3× 2=6,(-3)△2=(-3)2-22=5.若(x-1)△(2-x)=-6,则x的值 为 解：令x-1≥2-x, 解得：x≥1.5， 当x≥1.5时，x-1≥2-x, 则(x-1)(2-x)=-6, 整理得：x2-3x-4=0, 因式分解得：x+1)x-4)=0, 解得：x=-1（舍)或x=4, 当x<1.5时，x-1<2-X, 则(x-1)2-(2-x)2=-6, 整理得：2x-3=-6, 解得：x=-1.5, 综上，x的值为-1.5或4， 故答案为：-1.5或4. 三、评估卷 1、(25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习)方程x2+5x+=0的左边配成一 个完全平方式后，所得的方程为( A.（x+)=}B.(x+)°=器c.(x+)}=4D.(x+= 2、关于x的一元二次方程的新定义：若关于x的一元二次方程：a1(x-m)2+n=0 与a2(x-m)2+n=0,称为“同族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x- 3)2+4=0就是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程：2(x-1)2+1= 0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”.那么代数式ax2+bx+ 2031能取的最小值是( A.2026 B.2023 C.2028 D.2025 3、(24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习)在公式法解方程√5x2+45x=25时， b2-4ac的值是（ ) A.16 B.24 C.72 D.64 4、若a-b=-1,则下列x的值一定是关于x的方程x2+2bx+4=0的根的是( A.x=-2 B.x=0 C.x=1 D.x=2 5、已知(x2+y2+1)=81,则x+y2= 6、设是方程x2+x-2025=0的实数根，则m2+m= 7、解方程： (1)x2+8x-20=0 (2)(x-1)(x+2)=2(x+2) (3)x2-6x+4=0:(配方法) (4)(2x+1)2=-6x-3. 8、阅读下列例题的解答过程： 解方程：3(x-2)+7(x-2)+4=0. 解：设x-2=y,则原方程可以化为3y2+7y+4=0 ∴.a=3,b=7,c=4 .b2-4ac=72-4x3x4=1>0 y=-7±迈7生1 2×36 5m=-1y=号 当y=-1时，x-2=-1 .x=1 当=号时，？专 ∴原方程的解为=山，号 请仿照上面的例题解方程：2(x2-3-5(x2-3)+2=0. 9、(24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习)我们知道：任何有理数的平方都是 一个非负数，即对于任何有理数，都有α2≥0成立，所以，当a=0时，有最小 值a2=0. 【应用】 (1)代数式(x-1)2有最小值时，x=: (2)代数式m2+3的最小值是 【探究】 求代数式n2+4n+9的最小值，小明是这样做的： n2+4n+9 =n2+4n+4+5 =(n+2)2+5. .当n=-2时，代数式n2+4n+9有最小值，最小值为5. (3)请你参考小明的方法，求代数式a2-6a-3的最小值，并求此时a的值. 10、阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如a2+ 2a-4=a2+2a+1-1-4=(a+1)2-5 .(a+1)2≥0， .a2+2a-4=(a+1)2-5≥-5， 因此，代数式a2+2a-4有最小值-5 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式a2-2a+2的最小值为 (2)试比较a2+b2+11与6a-2b的大小关系，并说明理由： (3)已知：a-b=2,ab+c2-4c+5=0,求代数式a+b+c的值. 期末重点专题专训03 一元二次方程的解法（诊讲评提闭环专训）数学华师大版九年级上册 问题导航：一元二次方程的基本解法有那些？它们前后有没有关联性？ 主要解法有：开方法，配方法、公式法、因式分解法 其关联性为： 一 、诊断卷 1、若一元二次方程 （a，b为常数），化成一般形式为，则a，b的值分别是（    ） A．，1 B．2，1 C．2， D．， 2、用求根公式解一元二次方程时，a，b，c的值是（     ） A． B． C． D． 3、一元二次方程x2﹣16＝0的根是（　　） A．4 B．﹣4 C．±4 D．16 4、用求根公式法解方程的解是（　　） A． B． C． D． 5、若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D. 6、下列一元二次方程的根是的是（ ） A. B. C. D. 7、若关于x的方程的解是，（a，m，b均为常数，），则方程的解是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8、解方程： (1)；(2)． (3) ；(4)； (5)． 9、“”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式，例如：，∵，∴，∴．即：的最小值是1．试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式最值； (2)已知，求的值； (3)比较代数式与的大小． 10、 综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方式．方程是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设，那么，于是原方程可变为， 解这个方程得：， 当时，， 当时，， 所以原方程有四个根：， ， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：． (2)若，求的值。 二、例题示范 例题示范1：解方程： 解：， ， ， ， 则， 所以 例题示范2：请阅读下列解方程的过程． 解：设，则原方程可变形为，即，得，． 当，，∴，，当，，无解． 所以，原方程的解为，． 这种解方程的方法叫做换元法． 用上述方法解下面两个方程： (1)； (2)． 解：（1）解：设，则原方程可变形为，即， 解得：，． 当时，，∴，， 当，，无解． 所以，原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可变形为，即， 解得：，． 当时，，即， ∴， ∴，， 当时，，即， 解得：． 所以，原方程的解为，，． 例题示范3：（25-26九年级上·湖南·阶段练习）阅读题例，解答下题： 例：解方程 解： 当，即时 解得：（不合题设，舍去）， （2）当，即时 解得（不合题设，舍去） 综上所述，原方程的解是或 依照上例解法，解方程． 解：当，即时， ， ， ， 解得，； 当，即时， ， ， 解得不合题设，舍去，不合题设，舍去． 综上所述，原方程的解是或 例题示范4：（25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习）我们定义一种新的运算符号“”：． 例如：． (1)若，则____________； (2)若，求的值． 解 ：（1）解：根据题意，得， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意，得， ， ∵， ∴， 解得． 例题示范5：（25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习）阅读下面的例题． 解方程． 解：原方程化为． 令，原方程化成，解得，． 当时，；当时（不合题意，舍去）． ∴原方程的解是，． 请模仿上面的方法解方程：． 解：原方程化为， 令，原方程化成， 解得：，， 当， ， 解得：，； 当时（舍去）． 则原方程的解是，． 例题示范6：定义一种运算“”，规定：，如，．若，则的值为 ． 解：令， 解得：， 当时，， 则， 整理得：， 因式分解得：， 解得：（舍）或， 当时，， 则， 整理得：， 解得：， 综上，的值为或， 故答案为：或． 三、评估卷 1、（25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习）方程的左边配成一个完全平方式后，所得的方程为（   ） A． B． C． D． 2、关于的一元二次方程的新定义：若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”如与就是“同族二次方程”现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”那么代数式能取的最小值是（    ） A． B． C． D． 3、（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（     ） A．16 B．24 C．72 D．64 4、若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是（   ） A． B． C． D． 5、已知，则 ． 6、设是方程的实数根，则_________． 7、解方程： (1) (2) (3)；（配方法） (4)． 8、阅读下列例题的解答过程： 解方程：． 解：设，则原方程可以化为 ∴，， ∴ ∴ ∴， 当时， ∴ 当时， ∴ ∴原方程的解为， 请仿照上面的例题解方程：． 9、（24-25九年级上·江苏盐城·阶段练习）我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有成立，所以，当时，有最小值． 【应用】 （1）代数式有最小值时，______； （2）代数式的最小值是______； 【探究】 求代数式的最小值，小明是这样做的： ． ∴当时，代数式有最小值，最小值为5． （3）请你参考小明的方法，求代数式的最小值，并求此时a的值． 10、阅读以下材料： 利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 ∵， ∴， 因此，代数式有最小值 根据以上材料，解决下列问题： (1)代数式的最小值为　 　； (2)试比较与的大小关系，并说明理由； (3)已知：，求代数式的值． 四、提升卷 1、（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（） A． B． C．2 D．3 2、（24-25九年级上·湖南常德·课后作业）已知，则 ． 3、关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 4、已知正数x，y满足方程，求（    ） A． B． C．0 D．1 5、（24-25九年级上·湖南株洲·阶段练习）若，则 6、（24-25九年级上·湖南常德·期中）新定义，若关于的一元二次方程：与，称为“同类方程”．如与是“同类方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同类方程”．那么代数式能取的最大值是 ． 7、（25-26九年级上·江西赣州·阶段练习）某中学数学社团组织了一场“方程解谜大挑战”活动，小颖要解决这样一个方程问题；若社团活动室的矩形文化墙的长和宽（单位：米）的值都满足方程，求文化墙的长和宽．以下是小颖解方程的过程： 解：．第一步 第二步 第三步 ，第四步 ．第五步 (1)小颖的解题过程从第___________步开始出现错误． (2)请完成这个方程的正确解题过程，帮小颖算出文化墙的长和宽． 8、解方程： (1)； （2）解方程： (3) (4) (4) (配方法) 9、（2024九年级上·山东济宁·学业考试）阅读材料：为解方程（x2－1）2－5（x2－1）＋4＝0，我们可以将x2－1视为一个整体，然后设x2－l＝y，则（x2－1）2＝y2，原方程化为y2－5y＋4＝0． 解得y1＝1，y2＝4 当y＝1时，x2－1＝1．∴x2＝2．∴x＝±； 当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±． ∴原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－ 请利用以上知识解决下列问题： 如果，求的值． 解方程： 10、（24-25九年级上·湖南怀化·期中）我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 11、（24-25九年级上·山东菏泽·期中）【阅读材料】 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式，这种方法称之为配方法．例如，将．配方的目的不仅可以简化计算，还能利用完全平方的非负特性，解决一些数学问题．配方变形可以用来解我们第4章要学习的一元二次方程，还可以用来求第章二次函数的“最值”问题．例如：求代数式的最值． 解：因为   （分离常数项）   （提二次项系数）   （配方） 所以当时，代数式取得最小值3． 再如：求代数式的最值． 解：因为 所以当时，代数式取得最大值． 【材料理解】 时，代数式的最 （“大”或“小”）值为 ． 【迁移应用】 如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． 设厘米，试用含的代数式表示矩形工件的面积； 运用“配方法”求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $期末重点专题专训03一元二次方程的解法（诊讲评提闭环 专训)数学华师大版九年级上册 (解析篇) 问题导航：一元二次方程的基本解法有那些？它们前后有没有关联性？ 主要解法有：开方法，配方法、公式法、因式分解法 若x2=3(平方根的基本概念)开方法 (x-2)2=4,3(x-2)2=3 x2+2x+1=0,x2+2x+1=5(能不能配成完全平方式) x2-2x=3,x2+4x+2=5 其关联性为： x2-3x+5=0,2x-5x-2=0 ax2+bx+c=0(能不能利用配方法求解) 公式法产生过程 因式分解有几种方法就对应因式分解法解方程有几种方法 一、诊断卷 1、若一元二次方程(x+a)2=b（a,b为常数)，化成一般形式为x2-4x+3=0, 则a,b的值分别是( A.-2,1 B.2,1 C.2,-1 D.-2,-1 【参考答案】A 2、用求根公式解一元二次方程3x2-2x=1时，a,b,c的值是( A.a=3,b=-1,c=-2 B.a=3,b=-2,c=1 C.a=3,b=-2,c=-1 D.a=3,b=2,c=1 【参考答案】C 3、一元二次方程x2-16=0的根是() A.4 B.-4 C.±4 D.16 【参考答案】C 4、用求根公式法解方程x2-2x-5=0的解是（) A.x1=1+V6,x2=1-V6 B.x1=2+V6,x2=2-V6 C.x1=1+V5,x2=1-5 D.x1=2+V5,x2=2-V5 【参考答案】A 5、若关于x的一元二次方程(a+1)+x+a-1=0的一个根是0，则a的值为() A.1 B.-1 C.1或-1 D. 解得：a±1， 方程为一元二次方程， ∴.at1≠0， ∴.a≠-1， ∴.a1. 故选：A. 6、下列一元二次方程的根是x=5±V5+4×3x1 的是() 2×3 A.3x2+5x+1=0B.3x2-5x+1=0 C.3x2-5x-1=0 D 3x2+5x-1=0 【参考答案】D 7、若关于x的方程a(x+m)+b=0的解是x=2,x,=-1(a,m,b均为常数， a≠0)，则方程a(-x-m+1)+b=0的解是() A.x=1,x2=-2 B.x=1,x2=0 C.x1=3,x2=-2 D.x=3,x2=0 【参考答案】D 解：将a(-x-m+1)2+b=0化为a(x+m-1)2+b=0 把方程a(x+m-1)+b=0看作关于x-1的一元二次方程， 而关于x的方程a(x+m)}+b=0的解是x=2,x,=-1, 所以x-1=2,x-1=-1, 所以x=3,x2=0. 故选：D. 8、解方程： (1)(2x-1)2-16=0: (1)解：(2x-1)2-16=0 (2x-1)2=16 2x-1=±4， .2x-1=4或2x-1=-4, .2x=5或2x=-3, 解得x1=x2=- (2)2(x-1)2=3x-3. (2)解：2(x-1)2=3x-3 2(x-1)2-(3x-3)=0 2(x-1)2-3(x-1)=0 [2(x-1)-3](x-1)=0 (2x-2-3)(x-1)=0 (2x-5)(x-1)=0 .2x-5=0或x-1=0, ∴.2x=5或x=1, 解得x=3,x2=1. (3)x2+3x-10=0: (3)x2+3x-10=0 (x+5)(x-2)=0 x+5=0或x-2=0 5=2,5,=-5； (4)(2x-1)2=4(2x-1): (4)解：.(2x-1)2=4(2x-1), .(2x-1)2-4(2x-1)=0, .(2x-1-4)(2x-1)=0, ∴.2x-1-4=0或2x-1=0, 解得x1=三为=君 (5)3x2-4x-2=0. (5)解：.3x2-4x-2=0, ∴.a=3,b=-4,c=-2, ∴.△=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-2)=40>0, ∴x=-btyb2-4ac-4牡vo 2a 6 3k-20 解得x1=2+vo, 3 9、“≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方 式，例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1,,(x+2)2≥0，.(x+2)2+1≥1，. x2+4x+5≥1.即：x2+4x+5的最小值是1.试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式x2-4x+6最值； (2)已知x2-4x+y2+2y+5=0,求x+y的值： (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小. 解：（1)解：x2-4x+6=x2-4x+4+2=-2)2+2 故当x-2=0,即x=2时，代数式x2-4x+6最小值为2； (2).x2-4x+y2+2y+5=0,则x2-4x+4+y2+2y+1=0, .(x-2)2+(y+1)2=0,即x-2=0,y+1=0, .x=2,y=-1, ∴.x+y=2-1=1: (3)x2-1-(2x-3)=x2-2x+2=(x-1)2+1, .(x-1)≥0， .(x-1)+1>0, ∴.x2-1>2x-3. 10、综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中 解决问题的基本思维方式.方程x4-6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程 的特点，它的解法通常是：设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为y2-6y+5=0, 解这个方程得：y=1,y,=5 当y=1时，x2=1,.x=±1 当y=5时，x2=5,x=±V5 所以原方程有四个根：5=1，x,=-1,=V5,x=-√ 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想. 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：x2-x)2-4(x2-x)-12=0. (2)若(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,求x2+y2的值。 解：（1)解：设x2-x=y 原方程可变为：2-4y-12=0 解得：y=-2,y,=6, 当y=-2时，x2-x=-2 x2-x+2=0 :△=b2-4ac=(←1y-4×1×2=-7<0 .方程无解 当y=6时，x2-x=6 x2-x-6=0 解得：x=3,x2=-2 .原方程有2个根：x=3,x,=-2 (2)解：设x2+y2=mm≥0) 原方程可变为：(m+1)(m+3)=8 .m2+3m+m+3=8 整理得：m2+4m-5=0 解得：=-5（舍去)，2=1 x2+y2的值为1 二、例题示范 例题示范1：解方程：16x2-8x+1=2(1一4x) 解：16x2-8x+1=2(1-4x), 16x2-8x+1-2+8x=0, 16x2=1, 2=六 则x=士 所以x1=,x2=-是 例题示范2：请阅读下列解方程x4-2x2-3=0的过程. 解：设x2=t,则原方程可变形为t-2t-3=0,即(t-3)(t+1)=0,得，=3，t2=-1. 当t=3,x2=3,∴.x=5,x=-V3,当t=-1,x2=-1,无解. 所以，原方程的解为x=√3，x,=-√3. 这种解方程的方法叫做换元法。 用上述方法解下面两个方程： (1)x4-x2-6=0: (2)(x2+2x)-2(x2+2x)-3=0. 解：(1)解：设x2=t,则原方程可变形为t2-t-6=0,即(t-3)(t+2)=0, 解得：=3，t2=-2. 当t=3时，x2=3,.x=V3,为=-V3, 当t=-2,x2=-2,无解 所以，原方程的解为x=√3，x,=-√3. (2)解：设x2+2x=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,即(y-1)=4, 解得：=3,2=-1. 当y=3时，x2+2x=3,即(x+1)2=4, .x+1=2, .x=1,x2=-3, 当y=-1时，x2+2x=-1,即(x+1)2=0, 解得：x,=x=-1. 所以，原方程的解为x=1,x2=-3,x=-1. 例题示范3：(25-26九年级上·湖南·阶段练习)阅读题例，解答下题： 例：解方程x2-x-1-1=0 解： 当x-1≥0，即x≥1时x2-(x-1)-1=0,x2-x=0 解得：x1=0(不合题设，舍去)，x2=1 (2)当x-1<0,即x<1时x2+(x-1)-1=0,x2+x-2=0 解得x1=1(不合题设，舍去)x2=-2 综上所述，原方程的解是x=1或x=-2 依照上例解法，解方程x2+2x+2-4=0. 解：①当x+2≥0，即x≥-2时， x2+2(x+2)-4=0, x2+2x=0, x(x+2)=0, 解得x1=0,x2=-2; ②当x+2<0,即x<-2时， x2-2(x+2)-4=0, x2-2x-8=0, (x-4)(x+2)=0 解得x1=4(不合题设，舍去)，x2=-2(不合题设，舍去). 综上所述，原方程的解是x=0或x=一2 例题示范4：（25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习)我们定义一种新的运算符 号“※”：ab=a2-ab. 例如：(-3)※2=(-3)2-(-3)×2=15. (1)若x※(-2)=2x+1,则x= (2)若3※[x※(-4)]=0，求x的值. 解：(1)解：根据题意，得x(-2)=x2-(-2)x=x2+2x, 又x(-2)=2x+1, .x2+2x=2x+1, .x2=1, .x=±1； (2)解：根据题意，得x※(-4)=x2-(-4)x=x2+4x, 3※[x※(-4)]=3※(x2+4x)=32-3(x2+4x)=-3x2-12x+9, 3※[x※(-4)]=0， .-3x2-12x+9=0, 解得x1=-2+V7,x2=-2-V7, 例题示范5：(25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习)阅读下面的例题. 解方程x2-x-2=0. 解：原方程化为x2-x-2=0. 令y=lx,原方程化成y2-y-2=0,解得y1=2,y2=-1. 当x=2时，x=±2：当|x=-1时（不合题意，舍去）. ∴.原方程的解是x1=2,x2=-2。 请模仿上面的方法解方程：(x-1)2-5引x-1-6=0. 解：原方程化为x-12-5引x-1-6=0, 令y=Ix-1,原方程化成y2-5y-6=0, 解得：y1=6,y2=-1, 当x-1=6, x-1=+6, 解得：x1=7,x2=-5; 当x-1=-1时（舍去)， 则原方程的解是x1=7,x2=-5. (ab(a≥b) 例题示范6：定义一种运算“△？，规定：a△b={a2a2)）,如3△2=3× 2=6,(-3)△2=(-3)2-22=5.若(x-1)△(2-x)=-6,则x的值 为 解：令x-1≥2-x, 解得：x≥1.5， 当x≥1.5时，x-1≥2-x, 则(x-1)(2-x)=-6, 整理得：x2-3x-4=0, 因式分解得：x+1)x-4)=0, 解得：x=-1（舍)或x=4, 当x<1.5时，x-1<2-x, 则(x-1)2-(2-x)2=-6, 整理得：2x-3=-6, 解得：x=-1.5, 综上，x的值为-1.5或4， 故答案为：-1.5或4. 三、评估卷 1、(25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习)方程x2+5x+2=0的左边配成一 个完全平方式后，所得的方程为() A.(+9)=B.(x+9)=会c.(+)2=4D.(+= 解：x2+5x+}0 2+5x= +x4图=+ (x+)=4 故选：C 2、关于x的一元二次方程的新定义：若关于x的一元二次方程：a1(x一m)2+n=0 与a2(x-m)2+n=0,称为“同族二次方程”.如2(x-3)2+4=0与3(x- 3)2+4=0就是“同族二次方程”.现有关于x的一元二次方程：2(x-1)2+1= 0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”.那么代数式ax2+bx+ 2031能取的最小值是( ) A.2026 B.2023 C.2028 D.2025 【参考答案】A 解：：2(x-1)2+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”， (a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)(x-1)2+1=(a+2)x2-2(a+2)x+a+ 3, 4+32习.第得{2i0 ·ax2+bx+2031=5x2-10x+2031=5(x-1)2+2026 :代数式ax2+bx+2031取的最大值是2026 故选：A 3、（24-25九年级上·湖南娄底·阶段练习)在公式法解方程√5x2+45x=25时， b2-4ac的值是（ ) A.16 B.24 C.72 D.64 【参考答案】C 解：√5x2+4V5x=25,即V5x2+4√5x-2W3=0 ∴b2-4ac=(4W3)-4xW3-2W3)=48+24=72, 故选：C. 4、若a-b=-1,则下列x的值一定是关于x的方程x2+2bx+4=0的根的是( A.x=-2 B.x=0 C.x=1 D.x=2期末重点专题专训03一元二次方程的解法（诊讲评提闭环 专训)数学华师大版九年级上册 (解析篇) 问题导航：一元二次方程的基本解法有那些？它们前后有没有关联性？ 主要解法有：开方法，配方法、公式法、因式分解法 若x2=3(平方根的基本概念)开方法 (x-2)2=4,3(x-2)2=3 x2+2x+1=0,x2+2x+1=5(能不能配成完全平方式) x2-2x=3,x2+4x+2=5 其关联性为： x2-3x+5=0,2x-5x-2=0 ax2+bx+c=0(能不能利用配方法求解) 公式法产生过程 因式分解有几种方法就对应因式分解法解方程有几种方法 一、诊断卷 1、若一元二次方程（x+a=b(a,b为常数)，化成一般形式为x2-4x+3=0, 则a,b的值分别是() A.-2,1 B.2,1 C.2,-1 D.-2,-1 【参考答案】A 2、用求根公式解一元二次方程3x2-2x=1时，a,b,c的值是() A.a=3,b=-1,c=-2 B.a=3,b=-2,c=1 C.a=3,b=-2,c=-1 D.a=3,b=2,c=1 【参考答案】C 3、一元二次方程x2-16=0的根是() A.4 B.-4 C.±4 D.16 【参考答案】C 4、用求根公式法解方程x2-2x-5=0的解是() A.x1=1+V6,x2=1-V6 B.X1=2+V6,x2=2-V6 C.x1=1+V5,x2=1-5 D.x1=2+5,x2=2-V5 【参考答案】A 5、若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a的值为 () A.1 B.-1 C.1或-1 D.2 解得：a=±1， 方程为一元二次方程， ∴.a+1≠0， .∴.a≠-1， ∴.a=1. 故选：A. 6、下列一元二次方程的根是x=-5±V5+4×3x1的是（) 2×3 A.3x2+5x+1=0 B.3x2-5x+1=0 C.3x2-5x-1=0 3x2+5x-1=0 【参考答案】D 7、若关于x的方程ax+m)2+b=0的解是x=2,x2=-1(a,m,b均为常数， a≠0)，则方程a(-x-m+12+b=0的解是() A.x=1,x2=-2 B.x=1,x2=0 C.x=3,x2=-2 D.x=3,x2=0 【参考答案】D 解：将a-x-m+12+b=0化为a(x+m-1)2+b=0 把方程a(x+m-1)2+b=0看作关于x-1的一元二次方程， 而关于x的方程ax+m)+b=0的解是x=2,x2=-1, 所以x-1=2,x-1=-1, 所以x=3,x=0. 故选：D 8、解方程： (1)(2x-1)2-16=0: (1)解：(2x-1)2-16=0 (2x-1)2=16 2x-1=±4， 2x-1=4或2x-1=-4, .2x=5或2x=-3, 解得x1=,X2=-: (2)2(x-1)2=3x-3. (2)解：2(x-1)2=3x-3 2(x-1)2-(3x-3)=0 2(x-1)2-3(x-1)=0 [2(x-1)-3](x-1)=0 (2x-2-3)(x-1)=0 (2x-5)(x-1)=0 .2x-5=0或x-1=0, .2x=5或x=1, 解得x1=,X2=1. (3)x2+3x-10=0; (3)x2+3x-10=0 (x+5)(x-2)=0 x+5=0或x-2=0 .=2，=-5; (4)(2-1)2=4(2x-1): (4)解：(2x-1)2=4(2x-1), .(2☒-1)2-4(2x-1)=0, .(2x-1-4)(2x-1)=0, ∴.2x-1-4=0或2x-1=0, 解得x1=号，2=： (⑤)3x2-4x-2=0. (5)解：.3x2-4x-2=0, ∴.a=3,b=-4,c=-2, ∴4=b2-4ac=(-4)2-4×3×(-2)=40>0, ∴x=-bh64ac =4牡40 2a 6 ,2=面 解得x=四 3 9、“'≥0”这个结论在数学中非常有用，有时我们需要将代数式配成完全平方式， 例如：x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+22+1,.(x+22≥0，.(x+2)2+1≥1， x2+4x+5≥1.即：x2+4x+5的最小值是1.试利用“配方法”解决下列问题： (1)求代数式x2-4x+6最值； (2)己知x2-4x+y2+2y+5=0,求x+y的值； (3)比较代数式x2-1与2x-3的大小. 解：（1)解：x2-4x+6=x2-4x+4+2=x-2)2+2 故当x-2=0,即x=2时，代数式x2-4x+6最小值为2； (2).x2-4x+y2+2y+5=0,则x2-4x+4+y2+2y+1=0, .(x-2+(y+12=0,即x-2=0,y+1=0, .x=2,y=-1, ∴.x+y=2-1=1; (3)x2-1-(2x-3)=x2-2x+2=(x-1)2+1, ,(x-12≥0， .(x-12+1>0, ∴.x2-1>2x-3. 10、综合实践：“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中 解决问题的基本思维方式.方程x4-6x2+5=0是一个一元四次方程，根据该方程 的特点，它的解法通常是：设x2=y,那么x=y2,于是原方程可变为 y2-6y+5=0, 解这个方程得：y=1,2=5 当y=1时，x2=1,x=1 当y=5时，x2=5,.x=±V5 所以原方程有四个根：x=1,x2=-1,x,=√5，x4=-√5 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想. 请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题： (1)解方程：(x2-x)2-4(x2-x)-12=0. (2)若(x2+y2+1)(x2+y2+3)=8,求x2+y2的值。 解：(1)解：设x2-x=y 原方程可变为：y2-4y-12=0 解得：y=-2,y2=6, 当y=-2时，x2-x=-2 x2-x+2=0 :△=b2-4ac=(-1)2-4×1×2=-7<0 .方程无解 当y=6时，x2-x=6 .x2-x-6=0 解得：x=3,2=-2 ∴.原方程有2个根：x=3,x2=-2 (2)解：设x2+y2=m(m≥0) 原方程可变为：(m+1)(m+3)=8 .m2+3m+m+3=8 整理得：m2+4m-5=0 解得：m,=-5(舍去)，m2=1 x2+y2的值为1 二、例题示范 例题示范1：解方程：16x2-8x+1=2(1-4) 解：16x2-8x+1=2(1-4x), 16x2-8x+1-2+8x=0, 16x2=1, x2=t’ 则x=土 所以x1=去，为=一 例题示范2：请阅读下列解方程x‘-2x2-3=0的过程. 解：设x2=t,则原方程可变形为t-2t-3=0,即(t-3)(t+1=0,得t=3,t2=-1. 当1=3，x2=3,x=V5,x2=-V5,当1=-1，x2=-1,无解. 所以，原方程的解为x=5,x,=-√5. 这种解方程的方法叫做换元法. 用上述方法解下面两个方程： (1)x4-x2-6=0; (2)(x2+2x)2-2x2+2x-3=0. 解：(1)解：设x2=t,则原方程可变形为t2-t-6=0,即(t-3)(1+2)=0, 解得：4=3,12=-2. 当t=3时，x2=3,x=5,x,=-5, 当1=-2，x2=-2,无解. 所以，原方程的解为x=5,x,=-5. (2)解：设x2+2x=y,则原方程可变形为y2-2y-3=0,即(y-12=4, 解得：乃=3，乃=-1. 当y=3时，x2+2x=3,即(x+1)2=4, ∴.x+1=g2, x=1,x2=-3, 当y=-1时，x2+2x=-1,即(x+1)2=0, 解得：x=x4=-1. 所以，原方程的解为x=1,x=-3,x=-1. 例题示范3：(25-26九年级上·湖南·阶段练习)阅读题例，解答下题： 例：解方程x2-x-1-1=0 解： 当x-1≥0，即x≥1时x2-(x-1)-1=0,2-X=0 解得：81=0（不合题设，舍去），2=1 (2)当x-1<0,即x<1时x2+(x-1)-1=0,x2+x-2=0 解得x1=1(不合题设，舍去)82=-2 综上所述，原方程的解是x=1或x=一2 依照上例解法，解方程x2+2x+2-4=0. 解：①当x+2≥0，即x≥-2时， x2+2(x+2)-4=0, X2+2x=0, x(x+2)=0, 解得X1=0,X2=-2 ②当x+2<0,即x<-2时， x2-2(x+2)-4=0, x2-2x-8=0, (x-4)(x+2)=0 解得x1=4不合题设，舍去)，x2=-2(不合题设，舍去) 综上所述，原方程的解是x=0或x=一2 例题示范4：(25-26九年级上·甘肃定西·阶段练习)我们定义一种新的运算符 号“※”：a※b=a2-ab: 例如：（-3)※2=(-3)2-(-3)×2=15. (1)若x※(-2)=2x+1,则x= (2)若3※[x※(-4)]=0，求x的值. 解：(1)解：根据题意，得x※(-2)=x2-（-2)x=2+2x, 又X※(-2)=2x+1, ∴.x2+2x=2x+1, ∴.x2=1 ∴.x=±1； (2)解：根据题意，得x※(-4)=x2-(-4)x=2+4x, 3※[x※(-4)]=3※(x2+4x)=3-3(x2+4x)=-3x2-12x+9, :3※[x※(-4)]=0， ∴.-3x2-12X+9=0, 解得x1=-2+V7,2=-2-V7. 例题示范5：(25-26九年级上·江苏宿迁·阶段练习)阅读下面的例题. 解方程x2--2=0. 解：原方程化为x2-x-2=0. 令y=x,原方程化成y2-y-2=0,解得y1=2,y2=-1. 当x=2时，x=±2；当=-1时（不合题意，舍去）. 原方程的解是X1=2,X2=-2. 请模仿上面的方法解方程：(x-1)2-5引x-1-6=0. 解：原方程化为x-12-5x-1-6=0, 令y=k-,原方程化成y2-5y-6=0, 解得：y1=6,y2=-1, 当x-1=6, x-1=±6， 解得：81=7，X2=-5; 当x-1=-1时（舍去）. 则原方程的解是X1=7,X2=-5. (ab(a≥b) 例题示范6：定义一种运算“△”，规定：a△b= a2-b(a<b，如 3△2=3×2=6，（-3)△2=(-3-22=5.若 (x-1)△(2-x)=-6,则x的值为 解：令x-1≥2-， 解得：x≥1.5， 当x≥1.5时，x-1≥2-x 则(x-1)(2-)=-6, 整理得：x2-3x-4=0, 因式分解得：(8+1)(x-4)=0, 解得：x=-1（舍)或x=4, 当x<1.5时，x-1<2-x 则x-12-(2-x2=-6, 整理得：2s-3=-6, 解得：x=-1.5, 综上，x的值为-1.5或4， 故答案为：-1.5或4. 三、评估卷 1、(25-26九年级上·新疆伊犁·阶段练习)方程x2+5x+=0的左边配成 个完全平方式后，所得的方程为() A.(x+)=克 B.(x+)=器C.(x+)=等 D.（x+)2=￥ 解：x2+5x+=0 x2+5x=- x2+5x+()2=-+()2 (x+)2=竿 故选：C. 2、关于x的一元二次方程的新定义：若关于x的一元二次方程： a(&-m)+n=0与a(x-m+n=0,称为“同族二次方程”.如 2x-3)+4=0与3x-3)+4=0就是“同族二次方程”.现有关于x的一元 二次方程：2x-1)+1=0与(a+2)x2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程” .那么代数式x2+bx+2031能取的最小值是（) A.2026 B.2023 C.2028 D.2025 【参考答案】A 解：：2(x-1)2+1=0与(a+2)2+(b-4)x+8=0是“同族二次方程”， (a+2)x2+(b-4)x+8=(a+2)(x-1)2+1=(a+2)x2-2(a+2)x+a+3, 0-4+328+2),解：{b2-50 a+3=8 ·x2+bx+2031=5x2-10x+2031=5(x-1)2+2026 :代数式2+bx+2031取的最大值是2026 故选：A