第十八章分式单元复习课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了分式的概念、性质、运算及分式方程的解法与应用，通过思维导图将分式及其性质、分式运算（乘除、加减、混合运算）、分式方程等核心内容有机串联，构建起“概念-性质-运算-应用”的完整知识网络，清晰呈现各知识点间的内在逻辑。 其亮点在于采用“知识点讲解-典型例题-变式训练-单元检测”的递进式复习策略，如分式方程应用题通过“行程问题”“工程问题”等实例，培养学生的模型意识和应用意识，例题设计兼顾基础与综合，既巩固运算能力又发展推理意识。分层检测题帮助学生精准定位薄弱环节，教师可据此实施个性化复习指导，有效提升复习效率。

第十八章 分式 单元复习 1 1 2 3 思维导图 知识讲解 单元检测 目 录 CONTENTS 2 思维导图 01 3 整式　 字母　 分母 4 知识讲解 02 5 知识点1 分式的概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那 么式子 叫作分式．分式 中，A叫作分子，B叫作 ． 分母 6 例1、下列各式：① xy；② ；③x2－ ；④ ＋y；⑤ ；⑥ ；⑦－3x2.其中是分式的有 ，是整式的有 ．(填序号) ②④⑤⑥ ①③⑦ 7 知识点2 分式有、无意义与值为0的条件 (1)分式 有意义→B≠0； (2)分式 无意义→B＝0； (3)分式 的值为0→A＝0且B≠0. 8 　　例1、填空： 　　(1)当x 时，分式 有意义； 　　(2)当x 时，分式 无意义； 　　(3)当x 时，分式 有意义． ≠0 ＝－2 ≠1 9 例2、x满足什么条件时，下列分式的值为0? (1) ； (2) . 　　解：(1)由题意，得x＋5＝0且x≠0，即x＝－5. (2)由题意，得x2－9＝0且x－3≠0，即x＝－3. 10 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值 ，即 ＝ ， ＝ (C≠0)，其中A，B，C是整式． 不变 知识点3 分式的基本性质 11 　　例1、填空： 　　(1) ＝ ； 　　(2) ＝ ； 　　(3) ＝ (x≠3)． 12 知识点4 分式的符号法则 例1、不改变分式的值，使下列各式的分子和分母中都不含 “－”号． 　(1)－ ＝ 　 　 ； 　(2)－ ＝ 　 　 ； 　(3) ＝ 　－ 　 ． 　 　－ 　 － 13 例2、不改变分式的值，把下列各式中分子与分母的各项系数化为整数． 　　(1) ； (2) . 　解：(1)分式的分子与分母同时乘6，得 　　原式＝ ＝ . 　　(2)分式的分子与分母同时乘10，得 　　原式＝ ＝ . 14 知识点5 分式的约分、最简分式 分式约分：分子、分母约去所有公因式 最简分式：分子、分母无公因式 15 　例1、约分： 　(1) ； (2) . 　　解： (1) 原式＝ ＝ . 　　 (2) 原式＝ ＝ . 　　 16 　　知识点6 分式的通分、最简公分母 　　 　　 　　 分式通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。 结果：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母(最简公分母)。 17 例1、(1) 与 的最简公分母是 ，通分为 　 　 与 ⁠； 　　(2) 与 的最简公分母是 ，通分为  　 与 ． 4a2x 10a2b2c 18 　　例2、通分： 　　(1) 与 ； 　　(1)解：最简公分母是xy(x＋y)(x－y)． 　　 ＝ ＝ ， 　　 ＝ ＝ . 19 　　(2) 与 . 　　(2)解：最简公分母是(a＋1)2(a－1)． 　　 ＝ ＝ ， 　　 ＝ ＝ . 　　 20 知识点7 分式的乘、除法法则 　　(1)分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即 · ＝ 　 　 ； 　　(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ÷ ＝ · ＝ 　 　 ． 21 　　例1、计算： 　　(1) · ； 　　解：原式＝ · 　　＝ ＝ . 22 　　(2) ÷ . 　　解：原式＝ · 　　 ＝－ . 23 　　例1、计算： · ÷ . 　　解：原式＝ · · 　　 ＝－ . 知识点8 分式的乘除混合运算 24 　　知识点9 分式的乘方 　　一般地，当n是正整数时， ＝ · · · = ＝ ⁠， 即分式乘方要把分子、分母分别乘方． n个 n个 n个 25 　　例1、计算：(1) ＝ ＝ 　 　 ； 　　(2) ＝ ＝ 　 　 ； 　　(3) ＝ 　 　 ＝ 　 　 ． 26 　　知识点10 分式乘除与乘方的混合运算 　　例1、计算： · . 　　解：原式＝ · 　　＝ . 27 　　例2、计算： ÷ · . 　　解：原式＝ ÷ · 　　＝－ · · ＝－ . 28 　知识点11 分式的加减法法则 (1)同分母分式相加减， 不变，把分子 ． 用式子表示为 ± ＝ . (2)异分母分式相加减，先 ⁠，变为同分母的分式，再加减．用式子表示为 ± ＝ ± ＝ . 分母 相加减 通分 29 　例1、计算： + - . 　　解：原式＝ + - 　　＝ ＝ ＝1. 30 　　例2、计算： - - . 　　解：原式＝ + - ＝ 　　 ＝ ＝ ＝ ＝2x＋4. 31 　例3、计算：(1) + ； (2) - . 　解：(1)原式＝ + ＝ ＝ ＝ . 　　 (2) 原式＝ - ＝ ＝ ＝ . 　　 32 　　例4、计算： －a－1. 　　解：原式＝ －(a＋1) ＝ - 　　＝ ＝ . 33 分式的混合运算的运算顺序：先 ，再乘除，然后 ⁠ ，有括号的先算括号里面的． 乘方 加减 知识点12 分式的混合运算 34 　　例1、计算： · + . 　　解：原式＝ · + 　　 ＝ + 　　 ＝1. 35 　　例2、(+ )· . 　　解：原式＝(+ )· ＝ · 　　 ＝ · ＝ . 36 例1、先化简，再求值：(a+1- )÷ ，其中a＝ ＋2. 　　解：原式＝ ÷ 　　＝ · 　＝a－2. 　　当a＝ ＋2时，原式＝ ＋2－2＝ . 知识点13 分式的化简求值 37 例2、先化简： ÷(-1)，再从－1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值． 　　解：原式＝ ÷ 　　＝ · 　　＝1－m. 　　∵m2－1≠0，m2＋m≠0， 　　∴m≠0，±1.∴m取2. 　　∴把m＝2代入，得原式＝1－2＝－1. 38 一般地，当n是正整数时，a－n＝ (a≠0)．这就是说，a－n(a≠0)是an的倒数． 知识点14 负整数指数幂 39 　　例1、计算： 　　(1)2-3＝ ⁠； 　　(2) ＝ 　 　 ； 　　(3) ＝ 　－ 　 ． － 40 　　　　 　　例1、计算：(1)a-2b2·(ab-1)-2； 　　解： (1)原式＝a-2b2·a-2b2 ＝a-4b4 　　＝ . 　　(2)4xy2z·(－2x-2yz-1)-2. 　 (2)原式＝4xy2z· x4y-2z2＝x5z3. 知识点15 整数指数幂的运算 41 　　例2、计算： ＋(2 025－π)0＋ . 　　解：原式＝－2＋1－3 　　＝－4. 42 小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1≤a<10，n是正整数． 　　 知识点16 用科学记数法表示绝对值小于1的数 43 例1、用科学记数法表示下列各数： 　　(1)0.000 301＝ ； 　　(2)－0.000 052 6＝ ⁠． 3.01×10-4 －5.26×10-5 44 　分母中含未知数的方程叫作分式方程． 知识点17 分式方程的概念 45 　　例1、已知下列方程，其中是关于x的分式方程的个数为（　B　） 　　① ＝4；② ＝5；③ ＝1；④ ＝6； 　　⑤ ＝x＋7； ⑥ x2－ x＋4＝0. B A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个 46 解分式方程的步骤：①去分母(两边同时乘 ⁠， 化为整式方程)；②解整式方程；③ (将整式方程的解代入最简公分母，若不为0，则是原方程的解；否则不是原方程的解)． 最简公分母 检验 知识点18 解分式方程 47 　　例1、解方程： - ＝－3. 　　解：把原方程化为 + ＝－3. 　　方程两边乘(x－2) ，得1＋1－x＝－3(x－2)．解得x＝2. 　　检验：当x＝2时，x－2＝0， 　　因此x＝2不是原分式方程的解． 　　所以，原分式方程无解． 48 　　例2、解方程： + ＝ . 　　解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得 　　(x－1)＋2(x＋1)＝4.解得x＝1. 　　检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0， 　　因此x＝1不是原分式方程的解． 　　所以，原分式方程无解． 49 例3、某化肥厂由于采取了新技术，每天比原计划多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么该化肥厂原计划每天生产化肥多少吨？ 　　解：设该化肥厂原计划每天生产化肥x吨． 　　依题意，得 ＝ .解得x＝6. 　　经检验，x＝6是原分式方程的解，且符合题意． 　　答：该化肥厂原计划每天生产化肥6吨． 50 例4、某灯具厂计划加工6 000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量． 　　解：设该灯具厂原计划每天加工x套彩灯． 　　依题意，得 - ＝5.解得x＝400. 　　经检验，x＝400是原分式方程的解，且符合题意． 　　答：该灯具厂原计划每天加工400套彩灯． 51 例5、某项工程若由甲工程队单独做需要40天完成，现在甲、乙两个工程队共同做20天后，由于甲工程队有其他任务，剩下工程由乙工程队再单独做了20天才完成任务．则乙工程队单独完成该工程需要多少天？ 　　解：设乙工程队单独完成该工程需要x天． 　　依题意，得(+ )×20＋ ＝1.解得x＝80. 　　经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意． 　　答：乙工程队单独完成该工程需要80天． 　　 52 例6、已知甲车的速度比乙车的速度快30 km/h，甲车行驶200 km所 需的时间与乙车行驶120 km所需的时间相同，求乙车的速度． 　　解：设乙车的速度为x km/h. 　　 依题意，得 ＝ .解得x＝45. 　　 经检验，x＝45是原分式方程的解，且符合题意． 　　答：乙车的速度为45 km/h. 53 例7、甲、乙两名学生到离校2.4 km的“人民公园”参加志愿者活动，甲同学步行，乙同学骑自行车，骑自行车速度是步行速度的4倍，甲出发 30 min后乙同学出发，两名同学同时到达，求乙同学骑自行车的速度． 解：设甲同学步行的速度为x km/h，则乙同学骑自行车的速度为4x km/h. 30 min＝ h. 　　由题意，得 - ＝ .解得x＝3.6. 　　经检验，x＝3.6是原分式方程的解，且符合题意． 　　∴4x＝3.6×4＝14.4. 　　答：乙同学骑自行车的速度为14.4 km/h. 54 单元检测 03 55 　1． 计算(－8)-2的值为（　B　） B 一、选择题 A． 64 B． C． －64 D． － 56 　2． 下列各式从左到右的变形正确的是（　D　） A． ＝－ B． ＝ C． ＝ D． ＝ D 57 　　3． 将分式方程 ＝ 去分母后，得到的整式方程是（　A　） A． x－2＝2x B． x2－2x＝2x C． x－2＝x D． x＝2x－4 A 58 4． 小王从A地开车去B地，两地相距240 km.原计划平均速度为x km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　B　） A． - ＝1 B． - ＝1 C． - ＝1 D． x＋1.5x＝240 B 59 5． 能使分式 的值为零的所有x的值是（　B　） A． 1 B． －1 C． 1或－1 D． 2或1 B 60 6． 在分式 ， ， ， 中，最简分式有 ⁠个． 7． (跨学科)袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新 唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为0.000 008 4米，用科学记数法表示0.000 008 4＝ 8.4×10n，则n为 ⁠． 2 －6 　二、填空题 61 8．若3ab－3b2－2＝0，则代数式(1- )÷ 的值为 　 　 ． 9．若分式方程 ＝3－ 的解为正整数，则整数m的值为 ⁠． －1 62 　　 10． 计算： (1) ÷ · ； 　　解：（1）原式＝ · · 　　＝－ . 三、解答题 　　(2) －a＋2. （2）原式＝ －(a－2) 　　＝ - ＝ 　　＝ . 63 11． 已知a>3，代数式：A＝2a2－8，B＝3a2＋6a， C＝a3－4a2＋4a. 　　(1)因式分解A； 　　解：(1)A＝2a2－8＝2(a2－4)＝2(a＋2)(a－2)． 64 (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 　　(2)答案不唯一．选择A，B时： 　　 ＝ ＝ ＝ . 　　 ＝ ＝ ＝ . 65 12． 先化简，再求值：(- )÷ ，其中x是满足 －1≤x＜3的整数． 　　解：原式＝ ÷ 　　＝ · ＝ . 　　∵x2－1≠0，x≠0， 　　∴x≠±1，x≠0. 　　∴当x＝2时，原式＝ ＝ . 66 13． 列方程解应用题：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲 队单独施工一个月完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？ 　　解：设乙队单独施工x个月能完成总工程． 　　依题意，得(+ )× ＝1－ .解得x＝1. 　　经检验，x＝1是原分式方程的解，且符合题意． 　　∴乙队单独施工1个月可以完成总工程． 　　∵ ＜1，∴乙队的施工速度快． 67 谢谢观看 68 $