八年级数学上学期第一次月考·培优卷（湘教版2024，举一反三）

八年级数学上学期第一次月考·培优卷 【湘教版2024】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期中）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件．根据分母不为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题意可知， 时，分式有意义， 解得． 故选：C． 2．（3分）下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的概念，根据因式分解的特征逐项判断即可．因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式． 【详解】A、是因式分解，运用平方差公式分解，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、不是因式分解，此选项是将前两个整式做了乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； C、不是因式分解，此选项是整式的乘法，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； D、不是因式分解，等号右边几个整式的积的形式，不符合因式分解的定义，本选项不合题意； 故选：A． 3．（3分）多项式与多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，公因式，掌握知识是解题的关键． 先利用平方差公式，完全平方公式进行因式分解，再确定两个多项式的公因式即可． 【详解】解：∵，， ∴多项式与多项式的公因式是． 故选A． 4．（3分）（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】由已知条件，将分式的分子部分因式分解用该条件替换，化简后即可求解． 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用因式分解法将分式化简． 【详解】∵ ∴ ． 故选：D． 5．（3分）（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，再把代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 6．（3分）（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，掌握性质是关键． 根据分式只有分子系数为小数，只需要把分子扩大倍数化为整数即可解答． 【详解】解∵中只有分子中系数含有小数，     ∴，， ∴把它的分子和分母中各项系数都化为整数， 故选：B． 7．（3分）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式及因式分解的应用，解题的关键是先利用平方差公式将原式进行因式分解，然后再进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 8．（3分）（24-25八年级下·四川资阳·期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的解，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法以及增根的定义进行计算即可． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得， 解得， 由于分式方程的解为正数， ∴， 即， 又因为分式方程的增根是， ∴， 解得， 综上所述，且． 故选：A． 9．（3分）（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．1 B． C．或 D．或3 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程无解问题．分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．依次去分母、去括号、移项、合并同类项，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求m的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 分式方程无解； 或， 解得：或， 所以m的值为或， 故选：C 10．（3分）我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如： ，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【分析】根据材料方法进行分组分解，最后根据多个因数之积为0，得出边长关系即可． 【详解】解：由题意： ∵， ∴， ∵a、b、c是△ABC的三边， ∴， ∴，即：， ∴△ABC的形状是等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解的实际应用，掌握材料介绍的因式分解方法，并且理解多个因数乘积为0时的情况是解题关键． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若分式与分式互为相反数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，相反数的定义，根据相反数的性质列出分式方程求解即可，掌握分式方程的解法、相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵分式与分式互为相反数， ∴ ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 12．（3分）（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解－运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． 13．（3分）（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：对于任意实数x，都有．若，，则将因式分解的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，因式分解，由新定义求出的值，得到，再由新定义得到，利用提公因式法及公式法即可求解，求出新定义表达式是解题的关键． 【详解】解：由，得， ， 解得， ∴， ∴， ， ， 故答案为：． 14．（3分）（24-25八年级下·四川巴中·期末）定义运算，如；，若，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，列分式方程解决实际问题，解题的关键是正确理解题意，列出方程． 根据题意列出方程，然后进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， ∵ ∴ 整理得 解得 经检验，原方程的根， 故答案为：4． 15．（3分）（24-25八年级上·河南漯河·期末）某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元第二次购进的该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍．试销时该品种草莓的进货价是每千克 元，两次共购进草莓 千克． 【答案】 5 3000 【分析】本题考查了分式方程的应用．设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次进货价为元，根据题意列出分式方程求解；再根据题意列式求解即可． 【详解】解：设试销时该品种草莓的进货价是每千克元，则第二次的进货价为元， 由题意得，， 解得：，     经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ∴（千克） ∴两次共购进草莓3000千克． 答：试销时该品种草莓的进货价是每千克5元；两次共购进草莓3000千克． 故答案为：5，3000 16．（3分）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，矩形和正方形的性质，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据图形可知，图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积，列式即可． 【详解】解：图中大长方形的面积：大长方形的长宽个边长为的大正方形个长为、宽为的长方形面积个边长为的小正方形面积， 即：， ∴根据图形写出一个多项式的因式分解为 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解题的关键． （1）先提取公因式，然后再运用平方差公式分解即可； （2）直接运用完全平方公式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（6分）利用因式分解计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平方差公式进行求解即可； （2）根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了利用因式分解进行简便计算，熟知完全平方公式和平方差公式是解题的关键． 19．（8分）（1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查的是分式方程的解法，分式的化简求值，掌握解分式方程的一般步骤、分式的加减混合运算法则是解题的关键． （1）根据解分式方程的一般步骤解方程即可； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为； （2） ， 当时，原式． 20．（8分）（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 21．（10分）（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 【答案】(1)提公因式法，公式法，分组分解法； (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）根据所给因式分解过程即可得到答案； （2）先利用平方差公式把第二次式子分解因式，再利用提公因式法分解因式即可； （3）先把原式变形为，再分组得到，据此分解因式即可． 【详解】（1）解：第二步用了分组分解法，第三步用了提公因式法，第四步运用公式法； （2）解：原式（第四步） （第五步） （3）解： ． 22．（10分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A与B是互为“和整分式”，“和整值” (2)①；② (3)或 【分析】（1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案； ②由，且分式D的值为正整数t．x为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：A与B是互为“和整分式”，理由如下： ∵，， ∴ ． ∴A与B是互为“和整分式”，“和整值”； （2）解：①∵，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数t．x为正整数， ∴或， ∴或（舍去） ∴； （3）解：， ∴， ∴， 整理得：， ∵方程无解， ∴当时 解得：， ∴当，即时，方程有增根， ∴， 解得：， 综上，的值为：或． 【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． 23．（12分）（24-25八年级下·广东佛山·期末）因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是根据示例的整体思想解决问题． （1）令，代入式子得； （2），令，原式，据此证明． 【详解】（1）解：令， ； （2） ， 令， 原式 ， 所以代数式的值为一个整数的平方． 24．（12分）（24-25七年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 【答案】(1)七（2）班每天植树棵数；七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数） (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查分式方程的应用及解分式方程，理解题意，找出题目中的等量关系是解题关键． （1）结合方程及等量关系即可得出； （2）结合两个方程可分别得出所列方程的等量关系； （3）根据分式方程的解法分别求解两个方程即可得． 【详解】（1）七（2）班每天植树棵数； 七（1）班植树150棵所用天数（或七（2）班植树120棵所用天数）． （2）选欣欣的方程，所用等量关系：七（1）班植树150棵所用时间七（2）班植树120棵所用时间． 选兰兰的方程，所用等量关系：七（1）班每天植树的棵数-七（2）班每天植树的棵数＝10（棵）．（选择一个即可） （3）选欣欣的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 选兰兰的方程： 方程两边同时乘以，得， 解方程，得． 经检验，是原分式方程的根． 此时，（棵），（棵）． 答：七（1）班每天植树50棵，七（2）班每天植树40棵，两个班才能同时完成任务． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学上学期第一次月考·培优卷 【湘教版2024】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：因式分解~分式 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·福建泉州·期中）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（3分）下列从左到右的变形，是因式分解的是(　　) A． B． C． D． 3．（3分）多项式与多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 4．（3分）（24-25七年级下·浙江台州·期末）若，则分式的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（3分）（24-25八年级上·全国·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果是（   ） A． B． C． D． 7．（3分）计算（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25八年级下·四川资阳·期末）若关于x的方程的解为正数，则m的取值范围是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 9．（3分）（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）若关于x的分式方程无解，则m的值为（   ） A．1 B． C．或 D．或3 10．（3分）我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公成法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果，这种分解因式的方法叫做分组分解法．例如： ，根据上述方法，解决问题：已知a、b、c是△ABC的三边，且满足，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）若分式与分式互为相反数，则的值为 ． 12．（3分）（24-25八年级下·宁夏银川·期中）若多项式能用完全平方公式因式分解，则n的值是 ． 13．（3分）（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：对于任意实数x，都有．若，，则将因式分解的结果为 ． 14．（3分）（24-25八年级下·四川巴中·期末）定义运算，如；，若，则的值为 ． 15．（3分）（24-25八年级上·河南漯河·期末）某网店用5000元购进一批新品种草莓进行试销，由于销售状况良好，网店又用11000元第二次购进的该品种草莓，但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍．试销时该品种草莓的进货价是每千克 元，两次共购进草莓 千克． 16．（3分）将边长为m的大正方形，长为m、宽为n的长方形以及边长为n的小正方形卡片拼成如图所示的长方形，请根据图形写出一个多项式的因式分解 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）分解因式： (1) (2) 18．（6分）利用因式分解计算： (1) (2) 19．（8分）（1）解分式方程：； （2）先化简，再求值：，其中． 20．（8分）（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 21．（10分）（24-25七年级上·上海·期中）下面是对整式因式分解的部分过程． 解：原式（第一步） （第二步） （第三步） _____．（第四步） _____．（第五步） 阅读以上解题过程，解答下列问题： (1)在上述的因式分解过程中，用到因式分解的方法有_____．（至少写出两种方法） (2)在横线上继续完成对本题的因式分解． (3)请你尝试用以上方法对整式进行因式分解． 22．（10分）（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如果两个分式M与N的和为常数k，且k正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”k； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”，若x为正整数，分式D的值为正整数t． ①求G所代表的代数式； ②求t的值； (3)已知分式，，P与Q互为“和整分式”，且“和整值”为4，若此时关于x的方程无解，求实数m的值． 23．（12分）（24-25八年级下·广东佛山·期末）因式分解： 解：令．(解题过程将“”看成整体的“整体思想”是数学学习中常见的一种思想方法．) 则原式 将代入得： 原式 (1)仿照上述方法因式分解： (2)若为正整数，说明代数式的值为一个整数的平方． 24．（12分）（24-25七年级下·广西百色·期末）下图是学分式方程应用时，老师板书的问题和两名同学所列方程． 七（1）、七（2）两班师生前往郊区参加义务植树活动．已知七（1）班每天比七（2）班多种10棵树．如果分配给七（1）、七（2）两班的植树任务分别是150棵和120棵，问两个班每天各植树多少棵，才能同时完成任务？ 欣欣：                兰兰： 根据以上信息，回答下列问题： (1)欣欣同学所列方程中的表示：_____，兰兰同学所列方程中的表示：_____； (2)从两个方程中任选一个，并写出它的等量关系； (3)解（2）中你所选择的方程，并回答老师提出的问题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$