3.3 垂径定理 讲义 2025-2026学年 浙教版（2012）数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦垂径定理核心知识点，系统梳理定理（垂直于弦的直径平分弦及所对弧）、推论（平分非直径弦的直径垂直弦等）及拓展内容（过圆心、垂直弦等五条件知二推三），构建从概念理解到灵活应用的递进式学习支架。 资料通过分层题型（单选、填空、解答）覆盖基础与综合应用，融入“圆材埋壁”等古代数学问题，培养几何直观与推理能力。课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾定理应用、弥补知识盲点，提升解决实际问题的应用意识。

3.3垂径定理 一、垂径定理 ( AE=BE )1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 如图，几何语言为： ( CD ⊥ AB )CD是直径 要点： 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 一、单选题 1．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（       ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 【答案】B 【提示】 根据垂径定理即可判断． 【解答】 解：是的直径，弦于点， ，， ． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理是解题的关键． 2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（　　） A．3 B．6 C．6 D．6 【答案】C 【提示】 连接OC，求出∠COB=45°，根据垂径定理求出CD=2CE，根据勾股定理求出CE即可． 【解答】 解：连接OC， 则OC=AB=×12=6， ∵OA=OC，∠CAB=22.5°， ∴∠CAB=∠ACO=22.5°， ∴∠COB=∠CAB+∠ACO=45°， ∵AB⊥CD，AB为直径， ∴CD=2CE，∠CEO=90°， ∴∠OCE=∠COB=45°， ∴OE=CE， ∵CE2+OE2=OC2， ∴2CE2=62， 解得：CE=3， 即CD=2CE=6， 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的外角性质，垂径定理等知识点，能求出CE=OE是解此题的关键． 3．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　） A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸 【答案】D 【提示】 连接OD，OA，根据垂径定理求出AD的长，再根据勾股定理求出OA的值即可． 【解答】 解：连接OD，OA， ∵CD垂直平分弦AB，CD＝1寸，AB＝10寸， ∴AD＝5寸， 在Rt△OAD中，OA2＝OD2＋AD2， 即OA2＝（OA−1）2＋52， 解得：OA＝13， 故圆的直径为26寸， 故选D． 【点睛】 本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键． 4．下列命题中假命题是（       ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 【答案】A 【提示】 根据垂径定理及其推论分别进行判断． 【解答】 A、平分弦（非直径）的半径垂直于弦，所以A为假命题； B、垂直平分弦的直线必经过圆心，所以B选项为真命题； C、垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧，所以C选项为真命题； D、平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦，所以D选项为真命题． 故选：A． 【点睛】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了垂径定理的性质． 5．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 【答案】C 【提示】 根据垂径定理的内容和垂径定理的推论的内容进行判断． 【解答】 解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，原说法错误，不符合题意； B、垂直于弦的直径平分弦，原说法错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过圆心，原说法正确，符合题意； D、若也是直径，则原说法不符合题意； 故选：C． 【点睛】 本题考查了垂径定理以及推论，解答时熟悉垂径定理的内容以及推论的内容是关键． 6．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（       ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【提示】 先画好一个圆，标上直径CD，已知AB的长为8cm，可知分为两种情况，第一种情况AB与OD相交，第二种情况AB与OC相交，利用勾股定理即可求出两种情况下的AC的长； 【解答】 连接AC，AO， ∵圆O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm， ∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm， 当C点位置如图1所示时， ∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB， ∴OM==3cm， ∴CM=OC+OM=5+3=8cm， ∴AC=cm； 当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm， ∵OC=5cm， ∴MC=5−3=2cm， 在Rt△AMC中，AC=cm． 故选C． 【点睛】 本题考查垂径定理和勾股定理，根据题意正确画出图形进行分类讨论，熟练运用垂径定理是解决本题的关键． 7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】 由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度． 【解答】 解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M， ∵⊙O的直径为10， ∴半径为5， ∴OM的最大值为5， ∵OM⊥AB于M， ∴AM=BM， ∵AB=6， ∴AM=3， 在Rt△AOM中，； 此时OM最短， 所以OM长的取值范围是4≤OM≤5． 故选：B． 【点睛】 本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+（^$^$）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个． 8．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（       ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【提示】 设DE交OB于点M，根据F为弧DE中点，得出∠AOF=∠FOD=60°，OF⊥DE，可求出DE=2DM，求出∠EDO=∠DEO=30°，求出OM，即可求出DM，即可求解． 【解答】 解：如图，设DE交OB于点M， ∵点F是弧的中点， ∴∠AOF=∠DOF=60°，OF⊥DE， ∴DE=2DM， ∴∠EDO=∠DEO= （180°-60°-60°）=30°， ∵的半径是4， ∴OM= OD=2， 在 中，由勾股定理得： ， ∴DE=2DM= ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 9．如图，为的直径，C，D为上的两点，且C为的中点，若，则的度数是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【提示】 根据垂径定理的推论，可得 ，又由，可求出，即可求解． 【解答】 解：∵为的直径，且C为的中点， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，能得到是解题的关键． 10．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=10，PM=m，则m的最大值是（     ） A．10 B．8 C．5 D．4 【答案】C 【提示】 当CD∥AB时，PM有最大值，连接OM、OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC的长即可得到答案. 【解答】 当CD∥AB时，PM有最大值， 连接OC、OM， ∵直径AB=10， ∴OC=5， ∵M是CD的中点， ∴OM⊥CD， ∵CD∥AB，CP⊥AB， ∴∠OPC=∠PCM=∠OMC=90°， ∴四边形OPCM是矩形， ∴PM=OC=5，即m=5， 故选：C. 【点睛】 此题考查圆的垂径定理，矩形的判定定理及性质定理，根据题意合理猜想并进行证明是解题的关键. 二、填空题 11．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为________． 【答案】8 【提示】 先求出AO的长，然后利用垂径定理和勾股定理求解即可． 【解答】 连接，根据题意知半径， ∴， 在中，， ∵， ∴． 故答案为：8． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 12．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧． 符号语言： ∵①CD是直径，②CD⊥AB ∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________． 【答案】     平分     平分     BE          略 13．如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____． 【答案】（，2） 【提示】 过M作MN⊥BC于N，连接CM，由垂径定理可求出CN的长，即可求出ON的长，可得M的坐标． 【解答】 解：过M作MN⊥BC于N，连接CM， ∵，， ∴OB=，OC=， ∴BC=， ∵MN⊥BC， ∴CN=AB=， ∴ON=， ∴M（，2）， 故答案为：（，2）． 【点睛】 本题考查的是垂径定理、坐标与图形特点，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 14．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____． 【答案】1cm 【提示】 首先过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E，由分直径成1cm和5cm两部分，可求得直径，半径的长，继而求得OE的长，又由圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距． 【解答】 解：过点O作OF⊥CD于点F，设弦CD与直径AB相交于点E， ∵分直径成1cm和5cm两部分， ∴AB＝6cm， ∴OA＝AB＝3cm， ∴OE＝OA﹣AE＝2cm， ∵∠OEF＝30°， ∴OF＝OE＝1（cm）． 故答案为：1cm． 【点睛】 此题考查了垂径定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 15．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm． 【答案】6 【提示】 过点作于，连，根据垂径定理得，在中，，，利用含30度的直角三角形三边的关系可得到，再利用勾股定理计算出，由得到答案． 【解答】 解：过点作于，连，如图 则， 在中，，， 则， 在中，，， 则， 则． 故答案为6． 【点睛】 本题考查了垂径定理，含30度的直角三角形三边的关系以及勾股定理，熟悉相关性质是解题的关键． 16．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________． 【答案】 【提示】 先找出折痕CD取最大值和最小值时，点E的位置，再利用折叠的性质、垂径定理、勾股定理求解即可得． 【解答】 由题意，有以下两个临界位置： （1）如图，当被折的圆弧与直径AB相切时，折痕CD的长度最短，此时点与圆心O重合， 连接OD， 由折叠的性质得：， ， 在中，， 由垂径定理得：； （2）当CD和直径AB重合时，折痕CD的长度最长，此时， 又要使被折的圆弧与直径AB至少有一个交点， ； 综上，折痕CD的长度取值范围是， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了折叠的性质、垂径定理、勾股定理等知识点，正确找出两个临界位置是解题关键． 17．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 _____． 【答案】 【提示】 连接AB，利用勾股定理求出AB，再利用垂径定理以及三角形的中位线定理解决问题即可． 【解答】 解：连接AB，如下图所示： ∵∠AOB=90°，OA=OB=2， ∴， ∵，， ∴，， ∴为的中位线， ∴, 故答案为：． 【点睛】 本题考查垂径定理，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线即可解决问题． 18．如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为__________cm2 【答案】2 【提示】 连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．根据S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，当xy的值最大时，△DEF的面积最大；根据矩形的性质，通过判定四边形ODCE是矩形，得；根据勾股定理、完全平方公式的性质分析，可得结论． 【解答】 连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y． ∵ ∴OG⊥AB， ∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy， ∴xy的值最大时，△DEF的面积最大， ∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E， ∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°， ∴四边形ODCE是矩形， ∴ ∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4， ∵（x﹣y）2≥0， ∴x2+y2≥2xy， ∴2xy≤4， ∴xy≤2， ∴xy的最大值为2， ∴△DEF的面积的最大值为2 cm2 故答案为：2． 【点睛】 本题考查了圆、勾股定理、中心对称、矩形、完全平方公式的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理、完全平方公式的性质，从而完成求解． 三、解答题 19．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，求OF的长． 【答案】1.4 【提示】 根据垂径定理得到，，根据勾股定理求出AE．设，再次根据勾股定理得到等式，代入求值即可解答． 【解答】 解：连接OC， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， 设， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得：，即． 【点睛】 本题考查了垂径定理、勾股定理知识，关键在于合理运用垂径定理和勾股定理求出边的长度． 20．如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分． 【答案】见解析 【提示】 根据反证法的步骤进行证明：先假设AB与CD能互相平分，结合垂径定理的推论，进行推理，得到矛盾，从而肯定命题的结论正确． 【解答】 解：设AB，CD交于点P,连接OP， 假设AB与CD能互相平分，则CP=DP，AP=BP， ∵AB，CD是圆O内非直径的两弦， ∴OP⊥AB，OP⊥CD， 这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾”,所以假设不成立， 所以AB与CD不能互相平分 【点睛】 本题考查了反证法，解题的关键是：掌握反证法的步骤． 21．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M． 求证：． 【答案】证明见解析 【提示】 连接，，则，先得到，再利用垂径定理即可求解． 【解答】 证明：连接，，则． 在和中， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴， ， ∴ ∴． 【点睛】 本题考查全等三角形的判定与性质及垂径定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质及垂径定理是解题关键． 22．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 【答案】（1）20；（2）30° 【提示】 （1）由CD＝16，BE＝4，根据垂径定理得出CE＝DE＝8，设⊙O的半径为r，则，根据勾股定理即可求得结果； （2）由OM＝OB得到∠B＝∠M，根据三角形外角性质得∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B，则2∠B＋∠D＝90°，加上∠B＝∠D，所以2∠D＋∠D＝90°，然后解方程即可得∠D的度数． 【解答】 解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16， ∴CE＝DE＝8， 设， 又∵BE＝4， ∴ ∴， 解得：， ∴⊙O的直径是20． （2）∵OM＝OB， ∴∠B＝∠M， ∴∠DOB＝∠B＋∠M＝2∠B， ∵∠DOB＋∠D＝90°， ∴2∠B＋∠D＝90°， ∵， ∴∠B＝∠D， ∴2∠D＋∠D＝90°， ∴∠D＝30°； 【点睛】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 23．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC． (1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点； (2)连接AD，求三角形OAD的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【提示】 （1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D； （2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得，然后根据三角形的面积公式即可求得答案． (1) 解：如图，点E即为所求； (2) 解：如图，连接AD， ∵⊙O的直径是10， ∴OD=5， 由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点， ∴， ∴． 【点睛】 本题主要考查了垂径定理、三角形的面积公式，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 24．如图所示，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB，P是⊙O上不同于C，D的任意一点. (1)当点P在劣弧CD上运动时(如图(1))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论; (2)当点P在优弧上运动时(如图(2))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论(不讨论点P与点A重合的情况). 【答案】(1)∠APC=∠APD,见解析；(2) ∠APD+∠APC=180°，见解析. 【提示】 (1)由垂径定理知：弧AC=弧AD；当P在劣弧CD上时，∠APC和∠APD所对的是等弧，因此它们相等；(2)当P在优弧CD上时，它们所对的弧正好构成整个圆周，即两段弧所对圆心角的度数和为360°，根据圆周角定理即可得出∠APD+∠APC=180°． 【解答】 (1)∠APC=∠APD 证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径 ∴ ∴∠APC=∠APD. (2)∠APC+∠APD=180° 证明：∵弦CD⊥AB，AB是直径 ∴ ∵∠APD的度数等于的度数的一半，∠APC的度数等于的度数的一半， 的度数与的度数之和为360° ∴∠APD+∠APC=180°. 【点睛】 本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理. 25．如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点. (1)如图1,当半径为,若,求弦的长; (2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长. 【答案】(1)8   (2) 【提示】 (1)连接，根据垂径定理求出的长，因为，进而在中根据勾股定理求出长，所以求出的长即可; (2) 连接,过点D作于点M，根据勾股定理和垂径定理求出，可以证明,进而求出的长，根据所做的辅助线，可得为等腰直角三角形，所以可以求出的长，然后根据，进而求出的长； 【解答】 解：(1) 连接，根据垂径定理求出的长， 即：, , 设，则， 由勾股定理得： , 即：， 解得：, ; (2)连接,过点D作于点M，如图所示： ， 在中根据勾股定理可得： , , ， 而, , 又 在和中， , , , , , , , 为等腰直角三角形， , 把代入到中， 解得：. 【点睛】 本题考查圆的知识点，要善于利用勾股定理和垂径定理去解题，善于构造辅助线去根据面积相等去解题，最后代入求值. 26．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____． 【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究： 【分析问题】先看两种特殊情况： （2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值） （3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值） 【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）；；（4） 【提示】 （1）直接用中位线性质定理得出结论； （2）由等边三角形判定得出△为等边三角形，得到，即可得到答案； （3）由直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半，得到，即，计算即可得知答案； （4）过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PM与CD交于点F，由中位线定理得出OF是△MNP的中位线，EF是△PNQ的中位线，得到，，即，计算即可得出答案． 【解答】 解：（1）∵点、分别是的边、边的中点， ∴是的一条中位线， ∴，， 故答案为：，． （2）∵MN为直径，O为圆心，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合， ∴∠MAB＝90°，O为MN的中点， ∴在Rt△MAB中，，， ∴， ∴， ∴△为等边三角形， ∵ ∴，， ∴， 故答案为： （3）当时，、重合， ∵， ∴在Rt△AOP中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：；． （4）∵于，于， ∴过圆O作直径CD⊥AB交于点E，连接PN与CD交于点F，如图： ∴点O为MN的中点，， ∴点F为PN的中点，点E为PQ的中点， ∴在△MNP中，OF是△MNP的中位线， ∴， 在△PNQ中，EF是△PNQ的中位线， ∴， ∴， ∵在Rt△AOE中，，， ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了中位线定理，圆的垂径定理，直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识点，根据题意作出辅助线是解题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3垂径定理 一、垂径定理 ( AE=BE )1.垂径定理 　　垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 如图，几何语言为： ( CD ⊥ AB )CD是直径 要点： 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 二、垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 要点： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 一、单选题 1．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，则下列结论不一定成立的是（       ） A．AE＝BE B．OE＝DE C． D． 2．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接AC，∠CAB=22.5°，AB=12，则CD的长为（　　） A．3 B．6 C．6 D．6 3．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”此问题即：“如图所示，CD垂直平分弦AB，CD=1寸，AB=10寸，求圆的直径”（1尺=10寸）根据题意直径长为（　　） A．10寸 B．20寸 C．13寸 D．26寸 4．下列命题中假命题是（       ） A．平分弦的半径垂直于弦 B．垂直平分弦的直线必经过圆心 C．垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 D．平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦 5．如图，点，，，在圆上，弦和交于点，则下列说法正确的是（ ） A．若平分，则 B．若，则平分 C．若垂直平分，则圆心在上 D．若圆心在上，则垂直平分 6．已知的直径，是的弦，，垂足为，且，则的长为（       ） A． B． C．或 D．或 7．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．如图，是的直径，将一块直角三角板的角的顶点与圆心O重合，角的两边分别与交于E、F两点，若点F是弧的中点，的半径是4，则弦的长为（       ） A． B． C．6 D． 9．如图，为的直径，C，D为上的两点，且C为的中点，若，则的度数是（       ） A． B． C． D． 10．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A，B不重合)，M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=4，AB=10，PM=m，则m的最大值是（     ） A．10 B．8 C．5 D．4 二、填空题 11．如图，是的直径，弦于点，，，则的长为________． 12．垂直于弦的直径______弦，并且______弦所对的两条弧． 符号语言： ∵①CD是直径，②CD⊥AB ∴③AE＝_____，④＝________，⑤＝________． 13．如图，交轴与两点，交轴于点，弦于点的纵坐标为2，，．则圆心的坐标为____． 14．如图，圆内一条弦CD与直径AB相交成30°角，且分直径成1cm和5cm两部分，则这条弦的弦心距是_____． 15．如图，，在射线AC上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点，则线段的长是__________cm． 16．如图，半圆O的半径为2，E是半圆上的一点，将E点对折到直径AB上(EE′⊥AB)，当被折的圆弧与直径AB至少有一个交点时，则折痕CD的长度取值范围是_________________． 17．如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB＝90°，P是上任意一点（不与点A，B重合），OC⊥AP，OD⊥BP，垂足分别为C，D，则CD的长为 _____． 18．如图，半圆O的直径AB＝4cm，，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为__________cm2 三、解答题 19．如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，求OF的长． 20．如图，已知AB，CD是⊙O内非直径的两弦，求证：AB与CD不能互相平分． 21．已知：如图，是的一条弦，是的一条直径，并且，垂足为M． 求证：． 22．如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． （1）若，，求的直径； （2）若，求的度数． 23．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC． (1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点； (2)连接AD，求三角形OAD的面积． 24．如图所示，AB是⊙O的直径，弦(非直径)CD⊥AB，P是⊙O上不同于C，D的任意一点. (1)当点P在劣弧CD上运动时(如图(1))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论; (2)当点P在优弧上运动时(如图(2))，∠APC与∠APD的关系如何?请证明你的结论(不讨论点P与点A重合的情况). 25．如图,在上,经过圆心的线段于点，与交于点. (1)如图1,当半径为,若,求弦的长; (2)如图2,当半径为 ,,若,求弦的长. 26．【教材回顾】（1）如图①，点、分别是的边、边的中点，连结，则是的一条中位线．则和的数量关系是____，位置关系是_____． 【提出问题】如图④，是以为直径的⊙的一条弦，连结、，点在的上方，点在的下方，于，于，点、均在弦上．已知，，求的值．为了解决上面的问题，进行了如下的探究： 【分析问题】先看两种特殊情况： （2）如图②，当点与点重合时，点也与点重合，点与点重合，此时，（点看成是长度为0的线段），则_____．（写出具体的数值） （3）如图③，当时，、重合，此时与的数量关系是____，先根据条件易求的长度，则____．（写出具体的数值） 【解决问题】（4）结合图④对应的一般情况和你的感知，请用严谨的数学方法求的值． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $