3.1 圆 讲义 2025-2026学年 浙教版九年级数学上册

3.1圆 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 一、单选题 1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【提示】 根据等弧的定义、弦的定义、弧的定义、分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】 解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）直径是圆中最长的弦，故（2）错误，（4）正确； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； 正确的只有一个， 故选：A． 【点睛】 本题考查了圆的有关定义，能够了解圆的有关知识是解答本题的关键，难度不大． 2．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【提示】 根据点A与⊙O的位置关系确定点到圆心的距离与圆的半径大小即可． 【解答】 ∵已知OA＝4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内， ∴点A到圆心的距离应该小于圆的半径， ∴圆的半径应该大于4． 故选：D． 【点睛】 本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是了解圆的位置关系与点与圆心的距离及半径的大小关系，难度不大． 3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则（　　） A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与⊙O的位置关系无法确定 【答案】A 【提示】 先求出点A到圆心O的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得． 【解答】 解：∵点A（4，3）到圆心O的距离， ∴OA＝r＝5， ∴点A在⊙O上， 故选：A． 【点睛】 本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内，也考查了勾股定理的应用． 4．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（       ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 【答案】C 【提示】 根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【解答】 圆周上的各点是组成圆的要素，故①正确； 以圆心为端点，另一个端点在圆上的线段是圆的半径，故②错误； 同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故③正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故④错误． 故选：C． 【点睛】 本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键． 5．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（　　） A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定 【答案】C 【提示】 欲求点C与⊙B的位置关系，关键是求出BC，再与半径3进行比较．若d＜r，则点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外． 【解答】 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴ ， 有勾股定理得： ，即 ， 解得： ， ∵以点B为圆心，3为半径作⊙B， ∴r＜d， ∴点C在⊙B外． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了点与圆的位置关系，含 角的直角三角形，勾股定理，熟练掌握直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半，点与圆的位置关系的判定是解题的关键． 6．下列说法中，不正确的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 【答案】C 【提示】 根据轴对称图形的概念并结合圆的特点判断各选项，然后求解即可． 【解答】 A、圆是轴对称图形，正确； B、圆的任意一条直径所在得直线都是圆的对称轴，正确； C、圆的任一直径所在的直线都是圆的对称轴，错误； D、经过圆心的任意直线都是圆的对称轴，正确， 故选：C． 【点睛】 本题主要是考查圆的特征、轴对称图形的特征，注意，语言要严密，不能说成圆的直径就是圆的对称轴，因为对称轴是一条直线，直径是线段． 7．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（  ） A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm 【答案】A 【提示】 点P应分为位于圆的内部位于外部两种情况讨论．当点P在圆内时，点到圆的最大距离与最小距离的和是直径；当点P在圆外时，点到圆的最大距离与最小距离的差是直径，由此得解． 【解答】 解：当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是13cm，因而半径是6.5cm； 当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是5cm，因而半径是2.5cm． 故选A． 【点睛】 本题考查了点与圆的位置关系，注意分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 8．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(     ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【提示】 根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【解答】 解：图中的弦有AB，BC，CE共三条， 故选B． 【点睛】 本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦． 9．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 【答案】A 【提示】 根据点与圆的位置关系计算即可； 【解答】 ∵B在外， ∴AB＞2， ∴＞2， ∴b＞或b＜， ∴b可能是-1. 故选A． 【点睛】 本题主要考查了点与圆的位置关系，准确分析计算是解题的关键． 10．正方形ABCD的边长为2cm, A'、B'、C'、D'分别为AB、BC、CD、DA的中点,以AC, BD的交点O为圆心, 以1cm为半径,则A'、B'、C'、D'四个点在O上的点的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解答】 试题解析：连接O A'，O B'，O C'，O D'． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=CD=DA=2cm，且BD⊥AC． ∵A'、B'、C'、D'分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴O A'=O B'=O C'=O D' =AB=1cm， ∴A'、B'、C'、D'四点在以O为圆心，1cm为半径的圆上． 故选D. 二、填空题 11．已知的面积为． （1）若，则点P在________； （2）若，则点P在________； （3）若_________，则点P在上． 【答案】     圆外     圆内     5 【提示】 （1）先求出的半径，再根据PO的长度和圆的半径进行比较即可得； （2）根据PO的长度和圆的半径进行比较即可得； （3）根据点在圆上得点到圆心的距离等于半径，即可得． 【解答】 解：设的半径为r， ， ， （1）∵PO=5.5>5， ∴点P在圆外； （2）∵PO=4<5， ∴点P在圆内； （3）若要点P在上， 则PO=r=5； 故答案为：（1）圆外；（2）圆内；（3）5． 【点睛】 本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是判断点与圆的位置关系的方法． 12．确定一个圆的要素是________和________． 【答案】     圆心     半径 【提示】 由圆的定义即可求解． 【解答】 解：由圆的定义可知，确定一个圆的两个要素为圆心和半径， 故答案为：圆心；半径． 【点睛】 本题考查圆的定义，解题的关键是正确理解确定一个圆的要素是圆心和半径． 13．以为半径可以画________个圆；以点为圆心可以画________个圆；以点为圆心，以为半径可以画________个圆． 【答案】     无数     无数     1 【提示】 根据圆的概念和性质分析即可． 【解答】 以为半径，没有确定圆心，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，没有确定半径，所以可以画无数个圆； 以点为圆心，以为半径可以画1个圆． 故答案为：无数，无数，1 【点睛】 本题考查了圆的基本概念，掌握圆的基本概念是解题的关键． 14．如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________． 【答案】     ，，，          ，     ，，，，     ，，，， 【提示】 根据圆的基本概念，即可求解． 【解答】 解：在中，半径有，，，；直径有；弦有，；劣弧有，，，，；优弧有，，，，； 故答案为：，，，；；，；，，，，；，，，，． 【点睛】 本题主要考查了圆的基本概念，熟练掌握圆的半径、直径、弦、弧的概念是解题的关键． 15．观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 点A在圆内，OA_________r， 点B在圆上，OB________r， 点C在圆外，OC________r． 【答案】     ＜     =     ＞ 略 16．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为_． 【答案】1个或3个或4个 【提示】 不在同一条直线上的三个点确定一个圆．由于点的位置不同，导致确定的圆的个数不同，所以本题分三种不同情况考虑． 【解答】 解：（1）当四个点中有三个点在同一直线上，另外一个点不在这条直线上时，确定3个圆； （2）当四个点中任意三个点都不在同一条直线上，并且四点不共圆时，则任意三点都能确定一个圆，一共确定4个圆； （3）当四个点共圆时，只能确定一个圆． 故答案为：1个或3个或4个． 【点睛】 本题考查的是圆的确定，由于点的位置不确定，因此用分类讨论的思想方法进行解答． 17．小于半圆的弧（如图中的________）叫做______； 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______ ． 【注意】 1）弧分为是优弧、劣弧、半圆． 2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论． 【答案】          劣弧          优弧 略 18．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是_____ 【答案】（﹣2，﹣1） 【提示】 根据外心的定义作图即可． 【解答】 如图：分别作AC与AB的垂直平分线，相交于点O， 则点O即是该圆弧所在圆的圆心． ∵点A的坐标为（﹣3，2），∴点O的坐标为（﹣2，﹣1）． 【点睛】 本题考查了三角形外心，熟练掌握外心的定义，准确求作线段的垂直平分线是解题的关键． 三、解答题 19．找出图中所有的弦、优弧和劣弧． 【答案】弦有：弦，弦，弦；优弧：，，，；劣弧：，，， 【提示】 利用弦，优弧，劣弧的概念找出即可． 【解答】 解：弦有：弦，弦，弦；优弧：，，，；劣弧：，，，． 【点睛】 本题考查了与圆相关的基本概念，正确理解熟记弦，优弧，劣弧的概念是解决本题的关键． 20．的半径为，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和的位置关系：（1）；（2）；（3）． 【答案】（1）点P在⊙O内；（2）点P在⊙O上；（3）点P在⊙O外． 【提示】 根据点P到圆心的距离与半径的关系确定点与圆的位置关系，点P到圆心距离为OP=d，（1）当d＜r时，点P在圆内；（2）当d= r时，点P在圆上；（3）当d＞r时，点P在圆外． 【解答】 解：（1）∵OP=8cm，r =10cm，OP＜r ∴点P在圆内； （2）∵OP=10cm，r =10cm，OP= r ∴点P在圆上； （3）∵OP=12cm，r =10cm，OP＞r ∴点P在圆外； 【点睛】 本题考查点P与圆的位置关系，掌握点P到圆心距离为OP=d，（1）当d＜r时，点P在圆内；（2）当d= r时，点P在圆上；（3）当d＞r时，点P在圆外是街头关键． 21．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【答案】见解析， 【提示】 分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆，根据题意即可得． 【解答】 解：如图所示，分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆， 到点A的距离小于2cm的点在圆A的内部，到点B的距离大于2cm的点在圆B的外部， 即到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形为图中的阴影部分（不包括阴影的边界）． 【点睛】 本题考查了圆的认识，解题的关键是掌握圆的基本认识． 22．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 【答案】（1）1个；（2）0个；（3）无数个． 【提示】 （1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案； （2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点； （3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心． 【解答】 解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点， ∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆； （2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点， ∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；    （3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心， ∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆． 【点睛】 本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆． 23．已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P． （1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？ （2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？ 【答案】（1）点P在外；（2）点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上． 【提示】 （1）点和圆的位置关系有：①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可； （2）点和圆的位置关系有①在圆外，②在圆上，③在圆内，再逐个判断即可． 【解答】 解：（1），的直径为2 点的位置只有一种情况在圆外， 即点与的位置关系是点在圆外． （2），的直径为2 点的位置有三种情况：①在圆外，②在圆上，③在圆内． 即点P可能在外，也可能在内，还可能在上，实际上，点P位于以A为圆心，以为半径的圆上． 【点睛】 本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内． 24．矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O．求证： A， B， C， D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 【答案】见解析 【提示】 先根据题意画出图形，然后再根据矩形的性质得到AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，进而说明OA=OB=OC=OD即可证明． 【解答】 证明：如图： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD ∴OA=OB=OC=OD， ∴A、B、C、D四点在以O圆心的同一个圆上． 【点睛】 本题主要考查了圆内接四边形的性质、矩形的性质等知识点，掌握矩形的对角线互相平分且相等成为解答本题的关键． 25．阅读下列材料： 平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． （1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：　 　； （2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系． 【答案】（1）；（2）点A在⊙C的内部． 【提示】 （1）先设圆上任意一点的坐标（x，y），根据圆的标准方程公式求解即可； （2）先根据圆的标准方程求出圆心坐标，利用两点距离公式求出点A到圆心的距离d，然后与半径r相比较，d＞r，点在圆外，d=r，点在圆上，d＜r，点在圆内，即可判断点A与圆的位置关系． 【解答】 解：（1）设圆上任意一点的坐标为（x，y）， ∴， 故答案为； （2）∵⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22， ∴圆心坐标为C（2，0）， ∵点A（3，﹣1），AC= ∴点A在⊙C的内部． 【点睛】 本题考查两点距离公式的拓展内容，圆的标准方程，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1圆 一、圆的定义 1. 圆的描述概念 如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径. 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 　　　　　　　　 要点： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可； 　 ②圆是一条封闭曲线. 2.圆的集合概念 圆心为O，半径为r的圆是平面内到定点O的距离等于定长r的点的集合. 平面上的一个圆，把平面上的点分成三类：圆上的点，圆内的点和圆外的点. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的的点的集合；圆的外部可以看成是到圆心的距离大于半径的点的集合. 要点：①定点为圆心，定长为半径； 　　 ②圆指的是圆周，而不是圆面； 　　 ③强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面. 二、点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外. 若⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么： 点P在圆内 d ＜ r ；点P在圆上 d = r ；点P在圆外 d ＞r. “”读作“等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上； 三、与圆有关的概念 1. 弦 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦. 　　直径：经过圆心的弦叫做直径. 弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距. 要点： 　　直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径. 　　为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD. 　　　　　　　　 　　证明：连结OC、OD 　　　　　　 　 　　　　　∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号) 　　　　　∴直径AB是⊙O中最长的弦. 2. 弧 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 　　半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆； 　　优弧：大于半圆的弧叫做优弧； 　　劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点：①半圆是弧，而弧不一定是半圆； 　　 ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视； ②圆中两平行弦所夹的弧相等. 4.同心圆与等圆 　　圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 　　圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆. 要点：同圆或等圆的半径相等. 5.圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角. 要点：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，反之也成立. 四、确定圆的条件 （1）经过一个已知点能作无数个圆； （2）经过两个已知点A、B能作无数个圆，这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上； (3）不在同一直线上的三个点确定一个圆. (4)(后面还会学习到)经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是△ABC的外接圆， △ABC是⊙O的内接三角形，点O是△ABC的外心. 外心的性质：外心是△ABC三条边的垂直平分线的交点，它到三角形的三个顶点的距离相等. 要点： （1）不在同一直线上的三个点确定一个圆.“确定”的含义是“存在性和唯一性”. （2）只有确定了圆心和圆的半径，这个圆的位置和大小才唯一确定. 一、单选题 1．下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）弦不包括直径；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（       ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知OA=4，以O为圆心，r为半径作⊙O．若使点A在⊙O内，则r的值可以是（　 ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（4，3），以原点O为圆心，5为半径作⊙O，则（　　） A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与⊙O的位置关系无法确定 4．下列说法：①一个圆上的各点都在这个圆的圆周上；②以圆心为端点的线段是半径；③同一圆上的点到圆心的距离相等；④半径确定了，圆就确定了其中正确的是（       ） A．①② B．①③④ C．①③ D．②④ 5．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，以点B为圆心，3为半径作⊙B，则点C与⊙B的位置关系是（　　） A．点C在⊙B内 B．点C在⊙B上 C．点C在⊙B外 D．无法确定 6．下列说法中，不正确的是（       ） A．圆是轴对称图形 B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴 D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 7．一个点到圆的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（  ） A．2.5 cm或6.5 cm B．2.5 cm C．6.5 cm D．5 cm或13cm 8．如图所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，则图中的弦有(     ) A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 9．已知点是数轴上一定点，点是数轴上一动点，点表示的实数为，点所表示的实数为，作以为圆心，为半径的，若点在外，则的值可能是（）. A． B． C． D． 10．正方形ABCD的边长为2cm, A'、B'、C'、D'分别为AB、BC、CD、DA的中点,以AC, BD的交点O为圆心, 以1cm为半径,则A'、B'、C'、D'四个点在O上的点的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知的面积为． （1）若，则点P在________； （2）若，则点P在________； （3）若_________，则点P在上． 12．确定一个圆的要素是________和________． 13．以为半径可以画________个圆；以点为圆心可以画________个圆；以点为圆心，以为半径可以画________个圆． 14．如图，在中，半径有________，直径有________，弦有________，劣弧有________，优弧有________． 15．观察图中点A，点B，点C与圆的位置关系？ 点A在圆内，OA_________r， 点B在圆上，OB________r， 点C在圆外，OC________r． 16．平面上不共线的四点，可以确定圆的个数为_． 17．小于半圆的弧（如图中的________）叫做______； 大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的_______）叫做______ ． 【注意】 1）弧分为是优弧、劣弧、半圆． 2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论． 18．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（﹣3，2），则该圆弧所在圆心坐标是_____ 三、解答题 19．找出图中所有的弦、优弧和劣弧． 20．的半径为，根据下列点P到圆心O的距离，判断点P和的位置关系：（1）；（2）；（3）． 21．设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 22．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上． （1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？ （2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？ （3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？ 23．已知A为上的一点，的半径为1，所在的平面上另有一点P． （1）如果，那么点P与有怎样的位置关系？ （2）如果，那么点P与有怎样的位置关系？ 24．矩形ABCD的对角线AC， BD相交于点O．求证： A， B， C， D四个点在以点O为圆心的同一个圆上． 25．阅读下列材料： 平面上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离表示为，称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P（x，y）是圆心坐标为C（a，b）、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为，变形可得：（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，我们称其为圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程．例如：由圆的标准方程（x﹣1）2+（y﹣2）2＝25可得它的圆心为（1，2），半径为5．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题． （1）圆心为C（3，4），半径为2的圆的标准方程为：　 　； （2）若已知⊙C的标准方程为：（x﹣2）2+y2＝22，圆心为C，请判断点A（3，﹣1）与⊙C的位置关系． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $