精品解析：天津市滨海新区大港第一中学2025-2026学年高一上学期第二次形成性检测数学试题

大港一中高一年级第二次形成性检测 数学试卷 一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填涂到答题卡上. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 7. 三个数之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 设，，则（ ） A. B. C. D. 10. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 12. 已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为 时，的值约为（ ） 附: . A. 67 B. 45 C. 33 D. 78 13. 已知函数，满足对任意，都有 成立，则a的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 14. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分，请将正确答案写到答题卡上. 15. 已知幂函数图象经过点，则_______. 16. 计算：__________. 17. 函数的图象恒过定点_____. 18. 已知正实数､满足，则的最小值为__________. 19. 不等式的解集是________ 20. 函数的单调递增区间是______． 21. 已知角的终边经过点，则______． 22. 已知函数 若方程有三个不同的实数根，则a的取值范围是_____________；若方程 有且仅有5个不同实数根，则实数m的取值范围是____________. 三、解答题：本大题共3小题，共40分，写出解答过程. 23. 已知角为第二象限角，且，求： （1）和的值； （2）的值； （3）若，化简并求值. 24. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围. 25. 已知 （1）求不等式的解集： （2）若 使得 求实数m的取值范围； （3）设函数 若存在实数x，使得 成立，求实数m的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大港一中高一年级第二次形成性检测 数学试卷 一、单选题：本题共14小题，每小题5分，共70分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的选项填涂到答题卡上. 1. 设集合，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集、补集的运算即可． 【详解】； ． 故选：B． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】全称称量词命题的否定是存在量词命题，把全称改为存在，把结论否定。 【详解】由题可知命题“，”的否定是“，”， 故选：C. 3. 设是实数，则“且”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法来判断不等式的推出关系，从而可判断充要关系. 【详解】由于， 当且，可得，此是“且”是“”的充分条件， 当，也可得且， 所以“且”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数性质及奇偶性定义，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】选项A：，定义域为，所以为非奇非偶函数，故A错误； 选项B：因为在单调递增，所以在单调递减，故B错误； 选项C：由，定义域为R，可得，为偶函数， 又当时，，单调递增，符合题意，故C正确； 选项D：由，定义域为R， 可得，所以为奇函数，故D错误. 故选：C 5. 如果，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式性质逐项判断即得. 【详解】由，得，，，，A正确，BCD错误. 故选：A 6. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 分析函数的单调性，并根据零点存在定理可确定函数的零点所在区间. 【详解】函数的定义域为. 因为函数是增函数，且在和上分别单调递增， 所以在和上分别单调递增. 当时，恒成立，所以无零点； 当时，， ，所以函数的零点所在区间为. 故选：B. 7. 三个数之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 8. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用扇形的弧长及面积公式计算求解. 【详解】设扇形的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为， 则，所以 则该扇形的面积为. 故选：B. 9. 设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数的运算公式即可求解. 【详解】. 故选：B 10. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由函数定义域、单调性和奇偶性即可判断. 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 11. 设函数，则使得成立的的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明函数是偶函数，在是减函数，然后由奇偶性、单调性转化求解． 【详解】易知的定义域为， ，所以是偶函数， 当时，为减函数，为增函数，所以为减函数， 则等价于，所以， ，解得或. 故选：B. 12. 已知某放射性同位素的含量与时间的关系式为，其中为初始含量.则当该放射性同位素的含量为 时，的值约为（ ） 附: . A. 67 B. 45 C. 33 D. 78 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，两边取对数，得到，即可求解. 【详解】由题意知，该放射性同位素的含量为时，可得，即， 两边取对数得，解得. 故选：A. 13. 已知函数，满足对任意，都有 成立，则a的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由函数满足对任意，都有 成立，判断函数是减函数.根据分段函数单调性的性质列相应的不等式，求解a的取值范围即可. 【详解】由题可知，对任意，若，则，所以，即. 所以函数是减函数. 所以，解得. 所以a的取值范围是 . 故选：C. 14. 设函数，若关于的方程有四个不同的解，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出函数的图象，根据对称性和对数函数的图象和性质求出及，则有，然后利用函数单调性求解范围即可． 【详解】作出函数的图象如下图所示： 若关于的方程有四个不同的实数解、、、，且， 由可得或，解得或， 所以，， 由得，即，所以， 由图可知，点、关于直线对称，则， 所以，其中， 令函数，其中，则函数在上单调递增， 所以，即，即. 故选：D. 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分，请将正确答案写到答题卡上. 15. 已知幂函数图象经过点，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据已知条件求解幂函数解析式，进而求解函数值即可. 【详解】已知函数为幂函数，所以设， 因为幂函数图象经过点，所以，解得：， 所以，得：. 故答案为： 16. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算法则求解即可. 【详解】由题可得：， 故答案为： 17. 函数的图象恒过定点_____. 【答案】 【解析】 【分析】由，将代入函数表达式，计算即可求解. 【详解】对于函数， 令，得， 所以函数图象恒过定点. 故答案为： 18. 已知正实数､满足，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】正实数､满足，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故答案为：9 19. 不等式的解集是________ 【答案】 【解析】 【分析】由分式不等式的解法直接解出答案. 【详解】因为 所以 所以不等式的解集为. 故答案为：. 20. 函数的单调递增区间是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，利用换元法，设，，则是由和复合而成的， 利用复合函数的单调性的求解方法求解即可得到所求. 【详解】的真数大于，即， 或， 的定义域为， 设，， 则是由和复合而成的， 为上的单调递减函数， 要求的单调递增区间， 就是求在和范围内的单调递减区间， 的开口向上，对称轴为， 在范围内是单调递减函数， 的单调递增区间为. 故答案为：. 21. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据终边上的点可得，再应用诱导公式及同角三角函数的关系化简求值. 【详解】由角的终边经过点，则 . 故答案为： 22. 已知函数 若方程有三个不同的实数根，则a的取值范围是_____________；若方程 有且仅有5个不同实数根，则实数m的取值范围是____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①先分析函数 的分段表达式及图象特征，再结合图象， 有三个不同实数根的条件即可求出；②设，解出关于的一元二次方程的解，画出函数的图象，数形结合求出的取值范围. 【详解】 ①当时，单调递增函数，值域为， 当时，因为，故，单调递减，值域； ，故 ，单调递增，值域 由方程有3个不同实根，结合图象分析的根的个数： 当时，有1个解，时，有 2 个解， 因为时，， 当时，在和各有1个解（共 2 个解）. 故a的取值范围是 . ②令，原方程化为， 即，解得或， 函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，作出函数的图象， 观察图象，得当或时，方程有1个解； 当或时，方程有2个解； 当时，有3个解， 由方程有且仅有5个不同实数根， 得，或， 解得，或， 则， 所以实数的取值范围是． 故答案为：；. 三、解答题：本大题共3小题，共40分，写出解答过程. 23. 已知角为第二象限角，且，求： （1）和的值； （2）的值； （3）若，化简并求值. 【答案】（1）， （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及商数关系求解即可； （2）根据同角三角函数的商数关系即可求解； （3）根据诱导公式和同角三角函数的商数关系化简计算即可． 【小问1详解】 由角为第二象限角，且， 所以，. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 24. 已知函数. （1）当时，求关于的不等式的解集； （2）求关于的不等式的解集； （3）若在区间上恒成立，求实数的范围. 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解； （2）对分类讨论求解即可； （3）分离参数后得，即可得解. 【小问1详解】 当时，， 则，所以. 即不等式的解集为. 【小问2详解】 因为. 所以①当时，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为； ③当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【小问3详解】 由在区间上恒成立得在区间上恒成立 等价于在区间上恒成立. 因为，所以 则在区间上恒成立. 即，所以的取值范围是. 25. 已知 （1）求不等式的解集： （2）若 使得 求实数m的取值范围； （3）设函数 若存在实数x，使得 成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用对数函数的单调性求解； （2）根据题意问题转化为，求出的最小值得解； （3）令，，问题转化为存在，使得，即，令，，则存在，使得成立，利用二次函数图象和性质求解. 【小问1详解】 由， 则不等式即，所以， 即，解得，所以， 所以不等式的解集为. 【小问2详解】 若，，使得，等价于， 由，令， 令，，则，，对称轴， 所以，即， 故； 又，，对称轴， 若，则在上单调递增，故， 解得，所以； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，即恒成立，所以； 若，则在上单调递减，故， 解得，又，所以； 综上，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，令，， 若存在实数，使得成立，即存在，使得， ，即， 令，，则存在，使得成立， 令，只需即可，即，解得， 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $