广东省广州市荔湾区2025-2026学年九年级上学期期末数学模拟试卷

2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上册第21~25章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1.手势密码是在手机触屏九宫格上设置的一笔连成的图案，登录时画出设定的图形后手机即可解锁下列手势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的对称轴是直线(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程可配方成的形式则的值为(    ) A. B. C. D. 4.如图，为圆的一弦，且点在上．若，，的弦心距为，则的长度为何？(    ) A. B. C. D. 5.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，点的对应点分别为点，点连接，点恰好落在线段上，则的长为(    ) A. B. C. D. 6.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下的统计表，符合这一结果的试验最有可能是(    ) 试验次数 频率 A. 抛一枚硬币，正面向上 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子六个面上分别标有，，，，，，向上的面点数为 D. 从一个装有个白球和个红球的袋子中任取球，取到红球 7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆，若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率相同则月平均增长率为(    ) A. B. C. D. 8.如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有个公共点时，则的范围为(    ) A. B. C. D. 10.如图，是的直径上一点，，，过点作弦，是弧上一动点，连接，过点作，垂足为，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知一元二次方程的两根为与，则的值为          ． 12.超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料瓶中有瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是        ． 13.平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是        ． 14.若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为        ． 15.对于一个二次函数中若存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为        ． 16.已知正方形边长为，点是正方形边上的动点，点在边上，，线段相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是          ． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，． 画出绕原点顺时针旋转得到的三角形，的对应点为； 求点在上述运动过程中的路径的长度． 19.本小题分如图，，，，是是四个连续的排成一排的座位，，靠过道． 甲选择靠过道的座位的概率为          ； 甲先从四个座位中随机选择一个坐下，乙再从剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用列表法求甲、乙两人座位相邻且乙靠过道的概率． 20.本小题分 已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得， 求证：是的切线． 当，时，求的半径． 21.本小题分 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点，第行有个点容易发现，三角点阵中前行的点数之和为． 三角点阵中前行的点数之和为______，前行的点数之和为______；用含的代数式表示 三角点阵中前行的，点数之和______填“能”或“不能”为； 某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用盆同样规格的花，按照第一排摆盆，第二排摆盆，第三排摆盆，第排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 22.本小题分 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直放置于所在地面，水平方向移动标杆，使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离． 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，，． 任务 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离． 任务 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯大小忽略不计，求两盏灯的水平距离． 23.本小题分 如图，中，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点为。 利用圆规和无刻度直尺作出旋转后的三角形； 在的情况下连接，若，，，求的长． 24.本小题分 如图，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是弧的“幸运角”． 如图，是的直径，弦，是弧上的一点，连接交于点，连接． 是弧的“幸运角”吗？请说明理由； 设弧的度数为，请用含的式子表示弧的“幸运角”度数； 如图，在的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线均经过点直线在这两条抛物线的对称轴之间不与对称轴重合函数的图象记为，函数的图象记为，图象与合起来得到的图形记为． 求、的值． 当时，求图形上随的增大而减小时的取值范围． 当时，图形上最高点的纵坐标为，求的值． 当直线与图形有个公共点时，直接写出的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 答案解析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版九年级数学上册第21~25章。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。 1.手势密码是在手机触屏九宫格上设置的一笔连成的图案，登录时画出设定的图形后手机即可解锁下列手势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心； A.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； B.原图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意； D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可． 本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解定义，会用定义进行判断是解题的关键． 2.二次函数的对称轴是直线(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：二次函数的对称轴是直线． 故选：． 在二次函数中其顶点坐标为，对称轴为直线，据此求解即可． 本题主要考查抛物线的顶点式的性质，掌握抛二次函数中其顶点坐标为是解题的关键． 3.一元二次方程可配方成的形式则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， ， ， ， ，， ． 故选：． 先利用配方法把方程变形为，从而得到，，然后计算它们的和即可． 本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 4.如图，为圆的一弦，且点在上．若，，的弦心距为，则的长度为何？(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 根据垂径定理可以得到的长，根据题意可知，然后根据勾股定理可以求得的长． 本题考查垂径定理、勾股定理，解答本题的关键是求出的长． 【解答】 解：作于点，如图所示， 由题意可知：，，， ， ， ， ， 故选：． 5.如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点，点的对应点分别为点，点连接，点恰好落在线段上，则的长为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：在中，，， ， 由旋转可知， ， 由旋转得：，， ， ， ， 故选：． 由等腰三角形的性质得；再由旋转的性质得，，，从而得，，故可得，从而可求出结论． 本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质以及旋转的性质，掌握以上性质是解题的关键． 6.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下的统计表，符合这一结果的试验最有可能是(    ) 试验次数 频率 A. 抛一枚硬币，正面向上 B. 一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C. 抛一个质地均匀的正六面体骰子六个面上分别标有，，，，，，向上的面点数为 D. 从一个装有个白球和个红球的袋子中任取球，取到红球 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．根据利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断． 【解答】 解：、抛一枚硬币，出现正面的概率为，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； C、抛一个质地均匀的正六面体骰子六个面上分别标有，，，，，，向上的面点数是的概率是，不符合题意， D、从一个装有个白球和个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是，符合题意； 故选：． 7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆，若月份、月份该新能源汽车销售量的月平均增长率相同则月平均增长率为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：设月均增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 即月均增长率为， 故选：． 设月均增长率为，根据某品牌新能源汽车月份的销售量为辆，月份的销售量为辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8.如图，为的直径，直线与相切于点，连接，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】如图，连接． 直线与相切， ，． ，． ，． 故选B． 9.将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象有个公共点时，则的范围为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查翻折的性质，一元二次方程与二次函数的关系，抛物线的性质，确定翻折后抛物线的关系式．能画出函数图象并利用数形结合的方法解决问题是解题的关键． 分两种情形：如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 【详解】解：二次函数解析式为， 抛物线的顶点坐标为， 当时，，解得：，， 抛物线与轴的交点为，， 把抛物线图象在轴上方的部分沿轴翻折到轴下方， 则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标为， 如图，当直线过点时，直线与该新图象恰好有三个公共点， ，解得：； 当直线与抛物线只有一个交点时，直线与该新图象恰好有三个公共点，即有两个相等的实数解， 整理得：， ， 解得， 由图可知，当时，直线与新函数的图象有个公共点． 故选：． 10.如图，是的直径上一点，，，过点作弦，是弧上一动点，连接，过点作，垂足为，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键． 先根据圆周角定理判断点在以为直径的圆上，连接并延长交于点，当与重合时，最小，最小值为，然后根据勾股定理求解相关线段长即可，确定的运动轨迹是解答的关键． 【详解】解：如图：连接、， ， ， 点在以为直径的圆上，以为直径作， 如图：连接并延长交于点，当与重合时，最小，最小值为， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， 在中，， ， ，即的最小值为． 故选：． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.已知一元二次方程的两根为与，则的值为          ． 【答案】  【解析】解：一元二次方程整理得，， 根据题意得，， 所以原式． 故答案为：． 根据根与系数的关系得到，，再把原式变形得到，然后利用整体代入的方法进行计算． 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，． 12.超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料瓶中有瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是        ． 【答案】  【解析】解：在一箱该饮料瓶中有瓶的瓶盖内印有“奖”字， 小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是， 故答案为：． 直接由概率公式求解即可． 本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 13.平面直角坐标系中，与点关于原点中心对称的点是        ． 【答案】  【解析】解：根据题意可知，关于原点对称的点是． 故答案为：． 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为，即横坐标和纵坐标均取相反数． 本题考查了关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的点的坐标特征是关键． 14.若关于的一元二次方程有实数根，且直线经过第一、二、三象限，则满足条件的所有整数的和为        ． 【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， ，， 解得，， 的取值范围是且， 直线经过第一、二、三象限， ， ， 的取值范围是：且， 所有满足条件的整数的值为：、、， 满足条件的所有整数的和为． 故答案为：． 根据一元二次方程根的情况，求出方程中的取值范围，根据一次函数的性质先求出函数中的取值范围，从而根据它们解集的公共部分，求出所有满足条件的整数，进行解答即可． 本题主要考查了一次函数的性质和一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握一次函数的性质和如何用根的判别式判断一元二次方程根的情况． 15.对于一个二次函数中若存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线“开口大小”为        ． 【答案】  【解析】解：二次函数， 根据抛物线的“开口大小”的定义可知中存在一点，使得，则， ， 中存在一点，有， 解得，则， “开口大小”为， 故答案为：． 利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案． 本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题意，理解新定义抛物线的“开口大小”，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关键． 16.已知正方形边长为，点是正方形边上的动点，点在边上，，线段相交于点，连接，则点从点运动到点的过程中，线段扫过的面积是          ． 【答案】  【解析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点在以为直径的圆上运动，如图，设圆心为，连接相交于，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点在圆上，根据图形结合已知得到在点从点运动到点的过程中，点在劣弧上运动，点在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为， ，， 在和中， ≌， ， ， ， ， 点在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于，设圆心为，连接，则，，， ， 点在圆上， ，， ，， 当点在点处时，点在点处，这时点在点处，当点在点处时，点在点处，这时点在点处， 在点从点运动到点的过程中，点在劣弧上运动，点在上运动， 线段扫过的面积是， 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 解方程： ； ． 【答案】    【解析】解：， ， 则， 所以； ， ， 则， 所以． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可； 利用公式法对所给一元二次方程进行求解即可． 本题主要考查了解一元二次方程公式法及解一元二次方程直接开平方法，熟知公式法及直接开平方法解一元二次方程的步骤是解题的关键． 18.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，的顶点，． 画出绕原点顺时针旋转得到的三角形，的对应点为； 求点在上述运动过程中的路径的长度． 【答案】解：如图所示，即为所求； 点的坐标为， ， 点的运动路径长为：．   【解析】先根据旋转的性质求出、对应点、的坐标，然后顺次连接、、，即可得到答案； 点的运动路径长即为以为圆心，以长为半径，圆心角为度的扇形弧长，据此求解即可． 本题主要考查了作图旋转变换，掌握旋转的性质，正确画出旋转图形是解题的关键． 19.本小题分 如图，，，，是是四个连续的排成一排的座位，，靠过道． 甲选择靠过道的座位的概率为          ； 甲先从四个座位中随机选择一个坐下，乙再从剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用列表法求甲、乙两人座位相邻且乙靠过道的概率． 【答案】(1)  (2)列表如下： 共有12种等可能的结果，其中甲、乙两人座位相邻且乙靠过道的结果有，，共2种，甲、乙两人座位相邻且乙靠过道的概率为   【解析】 略  略 20.本小题分 已知，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得， 求证：是的切线． 当，时，求的半径． 【答案】证明：连接、， 在和中， ， ≌， ， 是半径， 是的切线； 解：≌， ， ， ， ， ， ， ， 又， ，即点为的中点， 为的中位线， ， 由勾股定理得，， 则的半径为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 21.本小题分 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有个点，第二行有个点，第行有个点容易发现，三角点阵中前行的点数之和为． 三角点阵中前行的点数之和为______，前行的点数之和为______；用含的代数式表示 三角点阵中前行的，点数之和______填“能”或“不能”为； 某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用盆同样规格的花，按照第一排摆盆，第二排摆盆，第三排摆盆，第排摆盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】  不能  一共能摆放排  【解析】解：三角点阵中前行的点数之和为： ， 前行的点数之和为： ； 故答案为：，； 不能，理由如下： 由题意得， 得， ， 此方程无正整数解， 三角点阵中前行的点数和不能是； 故答案为：不能； 同理，前排的盆景之和为： ， 由题意得：， 整理得， 即， 解得或舍去， 一共能摆放排． 根据图形，总结规律，列式计算即可求解； 根据前行的点数和是，即可得出关于的一元二次方程，解之即可判断； 先得到前行的点数和是，再根据题意得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值． 本题考查了一元二次方程的应用，图形规律探索，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.本小题分 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 活动过程 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱门的底部跨度，然后将高度为的标杆垂直放置于所在地面，水平方向移动标杆，使标杆顶部恰好与拱门的内壁接触，底部始终在上，再测量出、两点间的距离． 拱门示意图 说明：以所在直线为轴，经过中点的垂线为轴建立平面直角坐标系，抛物线型拱门的最高点到地面的距离为． 测量数据 ，，． 任务 求该抛物线型拱门的最高点到地面的距离． 任务 要在该抛物线型拱门内壁距离地面高的两侧各安装一盏夜晚照明灯大小忽略不计，求两盏灯的水平距离． 【答案】； 任务    【解析】解：任务：由题意可得：点的坐标为，点的坐标为，抛物线的对称轴为轴． 设该抛物线型拱门的函数表达式为、为常数，， 将，代入，得， 解得， ， 当时，， 为． 任务：令，得， 解得，， ， 两盏灯的水平距离为． 任务由题意可设该抛物线表达式为，、、对称轴为轴，分别代入，解二元一次方程组，求得抛物线的解析式为，即可求解； 任务将代入抛物线的解析式，解一元二次方程，即可求解． 本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法解抛物线的解析式，熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键． 23.本小题分 如图，中，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点为。 利用圆规和无刻度直尺作出旋转后的三角形； 在的情况下连接，若，，，求的长． 【答案】(1)解：如图，以点D为圆心，的长为半径画弧，再以点C为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接，， 则即为所求． ∵是等腰直角三角形， ∴，， 由作图可得，， ∴， ∴可由绕点D顺时针旋转得到，即为所求．   (2)解：∵三角形为等腰直角三角形， ， ， ， 由旋转得，，， ， 点A，C，E在同一条直线上， ， ∴在中，．   【解析】  本题考查作图旋转变换、等腰直角三角形、勾股定理，熟练掌握旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理是解答本题的关键． 由于是等腰直角三角形，则，结合旋转的性质，以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，则即为所求．   由等腰直角三角形的性质可得，则由旋转得，，，可知点，，在同一条直线上，由勾股定理得，，进而可得答案． 24.本小题分 如图，，是半圆上的两点，若直径上存在一点，满足，则称是弧的“幸运角”． 如图，是的直径，弦，是弧上的一点，连接交于点，连接． 是弧的“幸运角”吗？请说明理由； 设弧的度数为，请用含的式子表示弧的“幸运角”度数； 如图，在的条件下，若直径，弧的“幸运角”为，，求的长． 【答案】(1)解：①∵是⊙O的直径，弦， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是弧的“幸运角”； ②∵弧的度数为n， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴弧的“幸运角”度数为n；   (2)解：连接，， ∵弧的“幸运角”为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则有， ∴， 解得：，， ∴或；   【解析】  根据是的直径，弦可得，从而得到， 结合等腰三角形底边上三线合一即可得到答案；根据圆周角定理可得，，结合可得，结合内外交关系即可得到答案；   连接，，由可得，，即可得到，，设，则有，根据“幸运角”为结合勾股定理即可得到答案； 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线均经过点直线在这两条抛物线的对称轴之间不与对称轴重合函数的图象记为，函数的图象记为，图象与合起来得到的图形记为． 求、的值． 当时，求图形上随的增大而减小时的取值范围． 当时，图形上最高点的纵坐标为，求的值． 当直线与图形有个公共点时，直接写出的取值范围． 【答案】解：抛物线与抛物线图象均经过点 ，， 解得，； ， 图象与的对称轴为直线， ，图象与的对称轴为直线， 当时，图形上随的增大而减小时的取值范围是或； 当时，   如图 解得，舍去 当时，  如图 解得，舍去 当直线与，相交时， ， ，； 当直线与，相交时， ，， 当时，， 当时，， ，，；  【解析】本题考查二次函数图象和一次函数图象的结合；能够将情况考虑周全，同时能够画出合理的图象，数形结合解题是关键． 把点坐标代入两个函数解析式中，便可求得待定系数和； 根据情况，画出函数图象，结合函数图象求解； 将分两种情况画图讨论； 第四问需要画图找到四个临界点，结合图象解题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期期末模拟卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：人教版九年级数学上册第21~25章。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的。 1.手势密码是在手机触屏九宫格上设置的一笔连成的图案，登录时画出设定的图形后手机即可解锁·下列手 势密码中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是() ⊙⑧⊙ ⊙⊙① ⊙G① ⊙⊙ A.O⊙ B. ①⊙① c.⊙① D. &⊙ Φ⊙① ①⊙⊙ ⊙⊙⊙ ⊙⊙ 2.二次函数y=-2(x-1)2+3的对称轴是直线() A.x=1 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 3.一元二次方程x2+2.x-3=0可配方成(+m)2=n的形式·则m+n的值为() A.-5 B.-4 c.5 D.-2 4.如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上.若AC=6,BC=2,AB的弦心距为3，则OC的长度 为何？() A.3 B.4 C.11 D.V13 第1页，共8页 5.如图，△ABC中，AB=BC=2,∠CBA=120°.将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE,点 B,点C的对应点分别为点D,点E连接CE,点D恰好落在线段CE上，则CD的长为() A.2V3 B.4 C.3v2 D.6 D B 6.某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下的统计表，符 合这一结果的试验最有可能是() 试验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A.抛一枚硬币，正面向上 B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C.抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标有1,2,3,4,5,6），向上的面点数为5 D.从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取1球，取到红球 7.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具·某品牌新能源汽车 8月份的销售量为5000辆，10月份的销售量为7200辆，若9月份、10月份该新能源汽车销售量的月平均增 长率相同·则月平均增长率为() A.11% B.12% C.14% D.20% 8.如图，AB为©O的直径，直线CD与⊙O相切于点C,连接AC,若∠ACD=50°，则∠BAC的度数 为() A.30 B.40 C.50 D.60 B 9.将二次函数y=一x2+2x+3的图象在r轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示.当直 线)=x+b与新函数的图象有4个公共点时，则b的范围为() A.-3<b<1 B<6<-8cb到 D到6-3 第2页，共8页 10.如图，E是⊙O的直径AB上一点，AB=10,BE=2,过点E作弦CDLAB,P是弧AB上一动 点，连接DP,过点A作AQ⊥PD,垂足为Q,则OQ的最小值为() A.V5 B.2V5 C.3v5 D.3V6 2 4 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 1 11.已知一元二次方程2+让=5+6的两根为4与，则+，的值为一 12.超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料(24瓶)中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮 料，他打开一瓶饮料中奖的概率是一· 13.平面直角坐标系中，与点(-3.2)关于原点中心对称的点是一· 14.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+2kx+k+3=0有实数根，且直线y=(k+3).x+5经过第一、二、 三象限，则满足条件的所有整数k的和为一· 15.对于一个二次函数y=a(a-m)2+k(a≠0)中若存在一点P(x,),使得x1-m=-k≠0，则称 1 5-m为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线)=2+3+3“开口大小”为一· 16.已知正方形ABCD边长为2，点E是正方形AB边上的动点，点F在边BC上，BF=AE,线段 AFDE相交于点M,连接CM,则点E从点A运动到点B的过程中，线段FM扫过的面积是 H 第3页，共8页 三、解答题：本题共9小题，共2分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题8分) 解方程： (1)4(x+2)2=9: (2)2x2-5.x+1=0. 18.(本小题8分) 如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A(-3,1),B(-1,3). (1)画出△OAB绕原点O顺时针旋转90°得到的三角形△OAB,A的对应点为A; (2)求点B在上述运动过程中的路径的长度. y B 19.(本小题8分)如图，A,B,C,D是是四个连续的排成一排的座位，A,D靠过道. (1)甲选择靠过道的座位的概率为 (2)甲先从四个座位中随机选择一个坐下，乙再从剩下的三个座位中随机选择一个坐下，用列表法求甲、乙 两人座位相邻且乙靠过道的概率， 第4页，共8页 20.(本小题8分) 已知，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E,在AC上取一点D,使得 DE=AD, (1)求证：DE是⊙O的切线， (2)当BC=10,AD=4时，求⊙O的半径. B 21.(本小题8分) 阅读下面材料，并解决相关问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，第行有个点·容 易发现，三角点阵中前5行的点数之和为15 (1)三角点阵中前7行的点数之和为一一一，前n行的点数之和为一一；（用含的代数式表示） (2)三角点阵中前n行的，点数之和_一（填“能”或“不能”)为520： (3)某人民广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用630盆同样规格的花，按照第一排摆3盆，第 二排摆6盆，第三排摆9盆，··第排摆3n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ ●● ●●● ●●●● ●●●●● ●●●●●● ●●●●●●● 第5页，共8页 22.(本小题8分) 某数学兴趣小组在学习了抛物线的知识后，决定利用抛物线的知识进行课外实践活动，下面是此次课外实 践活动的调查报告： 活动题目 抛物线的课外实践活动 如图是一扇抛物线型拱门的示意图，首先测量抛物线型拱 门的底部跨度AB,然后将高度为CD的标杆垂直放置于 活动过程 AB所在地面，水平方向移动标杆，使标杆顶部D恰好与 D 拱门的内壁接触，底部C始终在AB上，再测量出A、C两 AC O B 点间的距离。 说明：以AB所在直线为x轴，经过AB中点O的垂线为9轴建立平面直角坐标系， 拱门示意图 抛物线型拱门的最高点E到地面的距离为OE· 测量数据 4B=8m, CD=3m,AC=1m. 任务(1) 求该抛物线型拱门的最高点E到地面的距离OE. 36 要在该抛物线型拱门内壁距离地面，高的两侧各安装一盏夜晚照明灯（大小忽略不 任务(2) 计)，求两盏灯的水平距离. 23.(本小题8分)】 如图，△ABC中，以AC为斜边向外作等腰直角三角形ACD,连接BD,将△DAB绕点D顺时针旋转90°， 点B的对应点为E。 (1)利用圆规和无刻度直尺作出旋转后的三角形： (2)在(1)的情况下连接BE,若∠BAC=90°，AB=3,AC=4,求BE的长. D 第6页，共8页 24.(本小题8分 如图1，C,D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P,满足∠APC=∠BPD,则称∠CPD是 弧CD的“幸运角”. D B B P 图1 图2 图3 (I)如图2，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB,D是弧BC上的一点，连接DE交AB于点P,连接CP. ①∠CPD是弧CD的“幸运角”吗？请说明理由： ②设弧CD的度数为，请用含n的式子表示弧CD的“幸运角”度数； (2)如图3，在(1)的条件下，若直径AB=10,弧CD的“幸运角”为90°，DE=8,求CE的长. 第7页，共8页 25.(本小题8分) 如图，在平面直角坐标系中，抛物线)=ar2-4ax+3a≠0)与抛物线)=r+1)2+人均经过点A1.0),直 线x=m在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合函数y=ax2-4ax+3(x≥m)的图象记为 1 G,函数)=（红+1）2+k(x≤m)的图象记为G,图象G与G合起来得到的图形记为G. (1)求a、k的值. (②)当m=2时，求图形G上少随的增大而减小时r的取值范围. 入 3)当-2≤r≤2时，图形G上最高点的纵坐标为2，求m的值. (4)当直线y=2m-1与图形G有2个公共点时，直接写出m的取值范围. 第8页，共8页