精品解析：广东省惠州市惠阳区第一中学高中部2025-2026学年高一上学期第二次质量检测数学试题

广东省惠州市惠阳区第一中学高中部2025-2026学年高一上学期第二次质量检测数学试题 命题人：邓赞武 审题人：欧勇波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全集，集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 设是实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时 D. 28小时 8. 定义在上的函数在上单调递减，若是奇函数，且，则不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若不等式的解集是，则 C. 函数的最小值为2 D. 设，则“”是“”的充要条件 11. 下列说法正确是（ ） A. 函数零点在区间上，则 B. 函数的单调递增区间是 C. 若定义在上的函数满足，则为奇函数 D. 定义域为的偶函数在上是增函数且，则的解集是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数______. 13. 函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为_____. 四、解简题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各题： （1）； （2）； 16. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且“，”为假命题，求实数m取值范围. 17. 冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 18. 已知函数定义在上奇函数，且 （1）求m，n的值； （2）判定的单调性并证明； （3）求使成立的实数的取值范围. 19. 设函数，为上的增函数．如果存在区间，使得当，都有时，是上的增函数，则称是函数的“积增区间”，函数为的“积增函数”．已知函数是函数与（为常数，）的“积增函数”． （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）设，解方程； （3）令，其中．若对，，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省惠州市惠阳区第一中学高中部2025-2026学年高一上学期第二次质量检测数学试题 命题人：邓赞武 审题人：欧勇波 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 全集，集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用交集和补集的运算求解. 【详解】．． 故选：D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 3. 设是实数，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，以及充分不必要条件的性质，证明结果即可. 【详解】根据不等式的性质可知，当时，， 当时，满足，不满足， 所以“”是“”充分不必要条件. 故选：A. 4. 函数的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到函数为奇函数，且时，，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称， 又由时，，所以函数图象为B选项. 故选：B. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用中间量“1”和“0”对各式直接比大小即可. 详解】由题意得. 因为，，， 所以. 故选:C 6. 函数，满足对任意不相等的成立，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可判断函数在上严格单调递增，然后根据一次函数和指数函数的单调性列出不等式，求出解集即可. 【详解】因为函数对任意不相等的，都有， 所以函数在上严格单调递增. 因为，则有. 解得. 故选：B. 7. 某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0的保鲜时间是192小时，在22的保鲜时间是48小时，则该食品在33的保鲜时间是（ ） A. 16小时 B. 20小时 C. 24小时 D. 28小时 【答案】C 【解析】 【分析】将两组数据代入解析式可得，，当时，利用指数函数的运算即可得到保鲜时间. 【详解】由已知得①，②， 将①代入②得，则． 当时，， 所以该食品在33℃的保鲜时间是24小时， 故选：C． 8. 定义在上的函数在上单调递减，若是奇函数，且，则不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由是奇函数，得到函数关于点中心对称，得到函数在上的单调性；根据条件得到，不等式等价于或两种情况求解即可. 【详解】是奇函数，所以， 所以函数关于点中心对称； 因为定义在上的函数在上单调递减，所以函数在上单调递减； 因为，所以 又因为若是奇函数，所以，所以； 不等式等价于或； 因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，； 当时，得或； 当时，得； 综上所得，不等式的解是或； 故选：C 二、选择题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合有且仅有2个子集，则实数可以取的值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据子集个数可知集合只有一个元素，分和讨论即可. 【详解】因为集合只有两个子集，所以该集合恰有1个元素， 即：方程有且仅有1个解或有两个相等的实数解， 则当时，方程有一个解； 当时，，即：时，方程有1个解， 故或时，方程有1个解. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. 若不等式的解集是，则 C. 函数的最小值为2 D. 设，则“”是“”的充要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据全称命题的否定判断A，根据不等式的解集可得对应方程的根，利用韦达定理求解判断B，利用换元法结合对勾函数单调性可判断C，构造函数，利用函数单调性判断D. 【详解】对于A，“”的否定是“”，故A正确； 对于B，由不等式的解集是可知，所以，故B正确； 对于C，令，则，所以函数在上单调递增，所以，故C错误； 对于D，设，由指数函数的单调性知为增函数，为减函数，所以为上增函数， 由可得，由函数单调性可知，故D正确. 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 函数的零点在区间上，则 B. 函数的单调递增区间是 C. 若定义在上的函数满足，则为奇函数 D. 定义域为的偶函数在上是增函数且，则的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据函数单调性及零点存在定理判断A，根据复合函数法判断B，根据奇函数的定义判断C，根据偶函数及增函数的性质解对数不等式判断D. 【详解】因为函数在上单调递增，且零点在区间上， 因为，，， ，所以， 所以零点在区间上，所以，故A正确； 由可得或，即函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递减，在上单调递增， 外层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的增区间为，故B错误； 当时，则有，即，用替换， 则有，即，所以为奇函数，故C正确； 因为偶函数在上是增函数且，所以，所以， 即，解得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据系数为1得到方程，求出或，结合单调性舍去，得到答案. 【详解】由题意得，解得或， 当时，，在上递增，满足要求， 当时，，在上递减，不合要求， 故. 故答案：3 13. 函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________． 【答案】2或 【解析】 【分析】分a＞1, 0＜a＜1两种情况讨论,利用对数函数的单调性求解即可. 【详解】①当a＞1时，y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上为增函数， 所以有loga4－loga2＝1，解得a＝2； ②当0＜a＜1时，y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上为减函数， 所以有loga2－loga4＝1，解得a＝, 所以a＝2或. 故答案为：2或 【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性，分类讨论的思想，属于中档题. 14. 已知函数，若有四个不同的解，，，，且，则的最小值为_____. 【答案】16 【解析】 【分析】二次函数和对数函数得到函数的单调区间，以及函数的最值和端点的值，由此得出函数图像，再由方程有4个不同解以及方程解的大小关系作出大致图像.由二次函数对称性得到，由对数函数得到，代入代数式后利用基本不等式即可求得其最小值. 【详解】由二次函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 由对数函数可知，当，函数单调递减，当，函数单调递增，且， 故作分段函数图像如下： 若有四个不同的解，则， 即 由二次函数的对称性可知， 由对数函数可知，即，则，即，且. 所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 四、解简题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各题： （1）； （2）； 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】(1)利用指数的性质、运算法则直接求解； (2)利用对数的性质、运算法则直接求解. 【小问1详解】 原式=== 【小问2详解】 原式= = = = = =1+5 =6 16. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且“，”为假命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据补集的定义求出和，再求交集； （2）“”为假命题，则其否定“”为真命题，由此确定的取值范围. 【小问1详解】 对于集合，根据补集定义，或 对于集合或，. 那么. 【小问2详解】 因为“”为假命题，则其否定“”为真命题，这意味着中的元素都不在中，即. 当时，满足，此时，解得. 当时，即时，要使，则或者. 由，解得. 由，解得，但，所以这种情况无解. 综上所得，实数的取值范围是或. 17. 冬季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为400万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价140元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. （1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；（销售利润销售总价固定成本生产成本） （2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？ 【答案】（1） （2）当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元 【解析】 【分析】（1）分为分别求解即可； （2）分为两种情况，利用二次函数、基本不等式求解即可． 【小问1详解】 当时， 当时，， 所以． 【小问2详解】 当时，， ∴当时，取得最大值为500； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值580， 综上，当产量为60万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是580万元． 18. 已知函数是定义在上奇函数，且 （1）求m，n的值； （2）判定的单调性并证明； （3）求使成立的实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）在上是减函数，证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）由求得，并验证； （2）根据单调性的定义证明； （3）由是奇函数且是减函数求解. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，即①， 又，得②， 由①②可得，此时，， 即满足在上的奇函数，所以. 【小问2详解】 在上是减函数，证明如下： 任取，且， 则 因为，所以，所以，又， 所以，即， 所以在上是减函数. 【小问3详解】 因为是奇函数，所以由可得， 由（2）知是减函数，所以，解得或， 即实数的取值范围为. 19. 设函数，为上的增函数．如果存在区间，使得当，都有时，是上的增函数，则称是函数的“积增区间”，函数为的“积增函数”．已知函数是函数与（为常数，）的“积增函数”． （1）判断函数的奇偶性，并加以证明； （2）设，解方程； （3）令，其中．若对，，求实数的取值范围． 【答案】（1）偶函数，证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断即可； （2）根据指数运算转化方程，由指数函数的性质解方程即可； （3）根据函数新定义，令函数，结合二次函数的性质，讨论，，时，确定函数的单调性从而得实数的取值范围． 【小问1详解】 为偶函数，理由如下： 因为的定义域为关于原点对称， 所以， 所以是偶函数； 【小问2详解】 ， 因为， 所以， 所以由得，解得，即为所求． 【小问3详解】 当时，． 因为为函数与的“积增函数”， 所以在上递增， 又为偶函数，所以在上递减， 当时，， 令函数， 其图象对称轴为， ①若，则，， 因为，且在上递减， 所以对， 因为在上单调递增， 故只需，即； ②若，则，， 仿①可得，对， 因在上递减， 故只需，解得； ③若，令，则，与题意不符； 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $