期末重点专题专训01 根与系数的关系（诊讲评提闭环专训）2025-2026学年华东师大版九年级数学上册

期末重点专题专训01根与系数的关系（诊讲评提闭环专训） 数学华师大版九年级上册 (基础解析篇) 问题导航： 1、根与系数关系用的前提条件是什么？方程应该处于什么形式？ 简答：前提条件是判别式大于等于0，方程应该处于一般式 1、根的判别式 由根的判别式4=b2-4ac的值，判断根的情况： (1)△=b2-4c>0一方程有两个不相等的实数根 (2)=b2-4C=0一方程有两个相等的实数根 (3)4=b2-4ac<0一方程没有实数根 (4)△=b2-4ac≥0台方程有实数根 2、根与系数关系的基本变式。 基础、出+龙=-6出出=C a 拓展l、+a2=k(x+x2) 21+1-5+西 xx xx2 3、(x+1)(x2+1)= 4、x2+x,2= 一、诊断卷 1、已知一元二次方程(m-1)x2-4x+4m-2=0有实数根，则m的取值范围是() A.m≤1 B.≥且m≠1C.m≥1 D.-1<m≤1 3 1、B 解：一元二次方程(m-1)x2-4mx+4m-2=0有实数根 ∴.m-1≠0且b2-4ac≥0，即(-4m}2-40m-1)(4-2)≥0 解得m23 、1 故m的取值范围是m≥兮且m≠】 2、若5+x2=3,xx2=2,则以x,x2为根的一元二次方程是（ ) A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 2、A 解：.+x2=3,Xx2=2 .以x,x2为根的一元二次方程是x2-3x+2=0 3.（23-24八年级下·安徽毫州·期末)若方程x2-4x-2=0的两根为x,2, 则是+的值为：( Xx, A.2 B.-2 c D. 3、B 解：，方程x2-4x-2=0的两根为x,x2 =4,6=-2 :1+1=5+5=4 …5g戏22， 4、一元二次方程（x+1)(x-1)=2+3的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4、A 解：方程首先要化为一般式为x-2x-4=0 .△=(-2)2-4×(-4)=20>0 ∴.方程有两个不相等的实数根 5、已知x1,x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根，则代数式x,+2022+x2的值 A.4045 B.4044 C.2022 D.1 5、A 解：，x1,x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根， .x2-x-2022=0,xx2=-2022,x+x2=1 ∴.x2=x+2022 .x+2022+x号 =x2+x22 =(x+x)2-2xx =1-2×(-2022) =4045, 6、若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根互为倒数，则 c= 【参考答案】1 7、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2，则另一个根为 【参考答案】-5 8、已知a、b是方程x2-3x-2=0的两个实数根，则(a-2)b-2)=_ 【参考答案】-4 9、设x,,是方程2x2-5x-3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值。 (1)、(x+1D(x2+1) (2以x2+x, 解：：x,x是2x2-5x-3=0方程的两个实数根， 5 3 +=2’x=) 原式=x,+x+x,+1=5 (2):x,x是方程2x2-5x-3=0的两个实数根， 5 店+五=7，x=月 原式 (x+x,2-2x=4 3 10、已知关于x的一元二次方程x-（2+1)++=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根 (2)已知方程一个根为2，求k的值。 解：（1).'△=[-（2+1)]2-4×1×（+)=4+4+1-4-4k=1>0, 故方程有两个不相等的实数根 (2)设方程的另一根为a 财a ∴.2-3+2=0 ∴.(k-1)(k-2)=0 ∴.k-1=0或k-2=0 解得，k=1或k=2 二、例题示范 例题示范1：(2024·兴隆台区校级开学)若2k-5>0,则关于x的一元二次方程 X+2+=0的根的情况是() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 解：.2k-5>0 >得 .X2+2x+k=0 .△=2-4k=4(1-) :质>月 ∴.1-k<0 .△<0 .该方程没有实数根 故选：A 例题示范2：已知关于x的一元二次方程kx-(2k-1)+k-2=0有两个不相 等的实数根，则实数k的取值范围是>-且0一。 解：根据题意得≠0且△=(2k-1)2-4k(k-2)>0 解得k>-且≠0 即实数k的取值范围是>一且≠0 故答案为：k>-且≠0 例题示范3：(23-24八年级下·浙江绍兴·期末)已知关于x的一元二次方程 x2-6x-L=0. （1)若方程有两个实数根，求m的取值范围： (2)在（1)中，设x1,x2是该方程的两个根，且x+x2-2xx2=0,求m的值。 解：（1)解：根据题意得： △=36+4m≥0 解得：m≥-9 即m的取值范围为：m≥-9 (2)解：根据题意得 x+x2=6,x1x2=-m .x1+x2-2x1x2=0 ∴.6-2×(-m)=0 解得：=-3（符合题意） 即m的值为-3 三、评估卷 1、(23-24九年级上·广东佛山·期末)下列一元二次方程中，没有实数根的是 () A.1-x2=0 B.(2x-10(2-3x)=0 C.2x2-x+1=0 D.x2-6x+9=0 1.C 2、若，B是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则+的值是( A产 B.- c.-号 n.9 2.C 3、若一元二次方程x2-3x-1=0的两个实数根为x1,x2,则(x1-2)(x2-2) 的值为( ) A.-3 B.3 C.9 D.-9 3、A 4、设x、x2是方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的两个实数根，且(x+1)(x,+1)=8,则k 的值是 4、1 解：方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的两个实数根 .△=[-2(k+1]-4k2+2)≥0，x+x=2(k+1),x,=2+2 解得：号 (6+1)(x2+1)=8 xx2+(x1+x2)+1=8 .k2+2+2(k+1)+1=8 解得：k=-3,k2=1 号 .k=1 ∴.答案为：1 5.(23-24九年级上·广东佛山·期中)若一元二次方程x2-2x-3=0的两根分别 为a,b,则a+b=一 5.2 6、已知，x2是关于x的方程x2+x-1=0的两个实数根，且(x+2)(x2+2)=5,则 m的值等于 6、-1 解：.x,x2是关于x的方程x2+x-1=0的两个实数根， .X+x2=-m,xx2=-1, :(x+2)(x2+2)=5,即xx2+2(+x2)+4=5, ∴.-1+2(-m)+4=5, .m=-1, 7、己知a+1=3a,6+1=3b,且a≠b,则g+号=_7 解：，a+1=3a,b+1=3b ∴.a,b是一元二次方程X-3x+1=0的两个根 ∴.由根与系数的关系得：a+b=3,ab=1 +分器+器--2地-学=7 ab ab 1 .答案为：7 8、若x1,x2是一元二次方程2x2+4x-3=0的两个根，求下列式子的值 (1)x+x2 2②2+1 X1 X2 8、解：“x1,x2是一元二次方程2x2+4x-1=0的两个根， ÷x1十x2=-1=-2,x1x2=-月 (1)x1+x3 =(x1+x2)2-2x1x2 =4-2×(-) =7 2品+号 =1+x2 x1X2 4 二3 9、(23-24八年级下·江苏苏州·期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0. (1)若方程的一个根为3，求k的值： (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 解：（1)解：把x=3代入x2-2x+k=0得9-6+k=0, k=-3; (2)解：：方程有两个不相等的实数根， .△=(-2)-4k>0, .k<1. :k的取值范围为k<1. 10、已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有实数根， (1)求m的取值范围； (2)设方程的两个根分别为x1、x2,且满足(x1一1)(x2-1)=28,求m的值。 10、解：(1)关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有实数根， 4=[-2(m+1)]2-4×1×(m2+5)≥0 解得：m≥2. (2):x1,x2是方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的解 x1+x2=2(m+1),x1x2=m2+5 :(x1-1)(x2-1)=28 x1x2-x1+x2)+1=28,即m2+5-2(m+1)+1=28 解得：m=6或m=-4(舍去) m=6。 四、提升卷 1,(2024:沈丘县一模)已知，七是一元二次方程-x-2=0的两个根，则号+号 的值是() A.1 B C.-1 解：根据题意得x+x=1,x=-2, 则+是=授=专=是 X1 x2 x1X2 ∴.选：D. 2、已知a,b是一元二次方程x2+3x-6=0的两实数根，则+b+b2的值为 解：由题意得，a+b=-3,ab=-6 .a2+ab+b2=(a+b)2-ab=9+6=12 3、定义运算：a☆b=a2b-2ab-1,例如：4☆5=42×5-2×4×5-1.方 程x☆3=0的根的情况( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 解：依据新定义得3x2-6x-1=0 △=(-6)2-4×3×(-1)=48>0 “方程有两个不相等的实数根 故选：A. 4、已知m,n是方程x2-3x-4=0的两根，则m2+mn+3m=() A.8 B.7 C.9 D.6 【参考答案】C 5、若a、B是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则a2+3a+B的值为() A.2005 B.2003 C.-2005 D.4010 解：，a、B是方程x2+2x-2005=0的两个实数根 ∴.a2+2a-2005=0,a+B=-2 ∴.a2+3a+B=a2+2a++B=2005-2=2003 .答案为：B. 6、若实数a,b是关于x的是一元二次方程x2-3x-1=0的两根，则2a+2b- ab+1= 解：.a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的根 ∴.a+b=3,ab=-1 ∴.2a+2b-ab+1=2(a+b)-ab+1=2×3-(-1)+1=8 故答案为：8。 7、(2024雁塔区校级开学)已知关于x的方程-（+4)x+2+4=0. (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根： (2)若方程的两个实数根为x,,求代数式（x-2)（五-2)的值。 解：（1)证明：△=[-（+4)]2-4(2+4) =+8+16-8k-16 =, .≥0， ∴.△≥0， .该方程总有两个实数根： (2)解：，该方程的两个实数根为x,x, ∴.x+x=什4，x·x=2+4, .(x-2)（五-2) =x·-2x-2x2+4 =x“x2-2(x+x)+4 =2+4-2（+4)+4 =2+4-2k-8+4 =0。 8、(2024春·岳麓区期末)已知关于x的一元二次方程x+(2叶1)+m+1=0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围： (2)若方程两实数根分别为x,x,且满足x子+x3=15,求实数m的值。 解：（1).'关于x的一元二次方程X-(21)+m+1=0有实数根， ∴.b-4ac=(2叶1)2-4（㎡+1）=4m-3≥0 解得：m≥ 即血的取值范围是m≥子 (2).x+x=-(2t1),x1x2=m2+1 ∴.x1+x3=(x1+x2)2-2x1x2=(2m+1)2-2(m2+1)=2m2+4m-1 .x+x2=15 期末重点专题专训01 根与系数的关系（诊讲评提闭环专训）数学华师大版九年级上册 （基础篇） 问题导航： 1、根与系数关系用的前提条件是什么？方程应该处于什么形式？ 简答：前提条件是判别式大于等于0，方程应该处于一般式 1、根的判别式 由根的判别式的值，判断根的情况： （1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程没有实数根 （4）方程有实数根 2、根与系数关系的基本变式。 一、诊断卷 1、已知一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　） A． B．且 C． D． 2、若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 4、一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 5、已知是方程的两个实数根，则代数式的值（ ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 6、若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则    7、若关于的方程有一个根为，则另一个根为______ 8、已知、是方程的两个实数根，则 ______ 9、设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值。 10、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根 （2）已知方程一个根为2，求k的值。 二、例题示范 例题示范1：（2024•兴隆台区校级开学）若2k﹣5＞0，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 解：∵2k﹣5＞0 ∴k ∵x2+2x+k＝0 ∴Δ＝22﹣4k＝4（1﹣k） ∵k ∴1﹣k＜0 ∴Δ＜0 ∴该方程没有实数根 故选：A． 例题示范2：已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　k且k≠0　。 解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0 解得k且k≠0 即实数k的取值范围是k且k≠0 故答案为：k且k≠0 例题示范3：（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值。 解：（1）解：根据题意得： 解得： 即的取值范围为： （2）解：根据题意得 ， 解得：（符合题意） 即的值为 三、评估卷 1、（23-24九年级上·广东佛山）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 2、若，是一元二次方程的两根，则的值是(    ) A. B. C. D. 3、若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为(  ) A. B. C. D. 4、设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 。 5．（23-24九年级上·广东佛山·期中）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 ． 6、已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 7、已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则　 　． 8、若，是一元二次方程的两个根，求下列式子的值 9、（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 10、已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 设方程的两个根分别为、，且满足，求的值。 四、提升卷 1、（2024•沈丘县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 2、已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 。 3、定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 4、已知m，n是方程的两根，则（　　） A．8 B．7 C．9 D．6 5、若、是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010 6、若实数，是关于x的是一元二次方程的两根，则　 　 7、（2024•雁塔区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值。 8、（2024春•岳麓区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值。 9、阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，，，． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： 材料理解：一元二次方程的两个根为，，则          ，          ； 类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，，求的值； 思维拓展：已知实数，满足，，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $期末重点专题专训01根与系数的关系（诊讲评提闭环专训） 数学华师大版九年级上册 (基础篇) 问题导航： 1、根与系数关系用的前提条件是什么？方程应该处于什么形式？ 简答：前提条件是判别式大于等于0，方程应该处于一般式 1、根的判别式 由根的判别式4=b2-4ac的值，判断根的情况： (1)△=b2-4c>0一方程有两个不相等的实数根 (2)△=b2-4ac=0一方程有两个相等的实数根 (3)4=b2-4ac<0一方程没有实数根 (4)△=b2-4ac≥0台方程有实数根 2、根与系数关系的基本变式。 基础、出+龙=-6出出=C a 拓展：l、x+ac2=k(x+x2) 21+1-5+龙 x x xx2 3、(x+1)(x2+1)= 4、x2+x,2= 一、诊断卷 1、已知一元二次方程(m-1)x2-4x+4m-2=0有实数根，则m的取值范围是() A.m≤1 B.m≥且m≠1C.m≥1 3 D.-1<m≤1 2、若x+x2=3,xx2=2,则以x,x2为根的一元二次方程是( A.x2-3x+2=0 B.x2+3x-2=0 C.x2+3x+2=0 D.x2-3x-2=0 3.(23-24八年级下·安徽毫州·期末)若方程x2-4x-2=0的两根为x,x2, 则上+1的值为：( ) X X2 A.2 B.-2 c. 1 4、一元二次方程(+1)(x-1)=2x+3的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 5、已知x1,x2是方程x2-x-2022=0的两个实数根，则代数式x+2022+x的值() A.4045 B.4044 C.2022 D.1 6、若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根互为倒数，则c= 7、若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为2，则另一个根为 8、已知a、b是方程x2-3x-2=0的两个实数根，则(a-2)(b-2)= 9、设x,x是方程2x2-5x-3=0的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值。 (1D、(x+1D(x2+1) (2)x2+x22 10、己知关于x的一元二次方程x-(2+1)+2+k=0, (1)求证：方程有两个不相等的实数根 (2)已知方程一个根为2，求k的值。 二、例题示范 例题示范1：(2024兴隆台区校级开学)若2k-5>0,则关于x的一元二次方程 X+2x+=0的根的情况是() A.没有实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法判断 解：.2k-5>0 >号 ,X+2+k=0 ∴.△=22-4k=4(1-) :>9 ∴.1-k<0 ∴.△<0 .该方程没有实数根 故选：A 例题示范2：已知关于x的一元二次方程kx-(2k-1)+k-2=0有两个不相 等的实数根，则实数k的取值范围是上>一且≠0。 解：根据题意得≠0且△=(2k-1)2-4k(k-2)>0 解得k>-且≠0 即实数k的取值范围是k>-且≠0 故答案为：k>-且≠0 例题示范3：(23-24八年级下·浙江绍兴·期末)已知关于x的一元二次方程 x2-6x-l=0. (1)若方程有两个实数根，求的取值范围： (2)在（1)中，设x,x2是该方程的两个根，且x+x2-2xx2=0,求m的值。 解：(1)解：根据题意得： △=36+4m≥0 解得：m≥-9 即m的取值范围为：m≥-9 (2)解：根据题意得 +2=6,xx2=-m x1+x2-2x1x2=0 ∴.6-2×(-m)=0 解得：=-3（符合题意） 即m的值为-3 三、评估卷 1、(23-24九年级上·广东佛山)下列一元二次方程中，没有实数根的是() A.1-x2=0 B.(2x-1(2-3x)=0 C.2x2-x+1=0 D.x2-6.x+9=0 2、若a,B是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，则+的值是( ) A D. 3、若一元二次方程x2-3x一1=0的两个实数根为x1,x2,则(x1-2)(x2-2) 的值为() A.-3 B.3 C.9 D.-9 4、设x、x,是方程x2-2(k+1)x+k2+2=0的两个实数根，且(：+1)(x2+1)=8,则 k的值是 。 5.(23-24九年级上·广东佛山·期中)若一元二次方程x2-2x-3=0的两根分 别为a,b,则a+b=一： 6、已知x,2是关于x的方程x2+x-1=0的两个实数根，且(x,+2)(x2+2)=5, 则m的值等于 7、已知a+1=3a,6+1=3b,且a≠b,则哈+号=一 8、若x1,x2是一元二次方程2x2+4x-3=0的两个根，求下列式子的值 11 (1)x1+x (2)+ X1 x2 9、(23-24八年级下·江苏苏州·期末)已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0. (1)若方程的一个根为3，求k的值： (2)若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 10、已知关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有实数根， (1)求m的取值范围： (2)设方程的两个根分别为x1、x2,且满足(x1-1)x2-1)=28,求m的值。 四、提升卷 1、(2024沈丘县一模)已知，5是一元二次方程-x-2=0的两个根，则二+马 X1 x2 的值是() A.1 B. C.-1 2、已知a,b是一元二次方程x2+3x-6=0的两实数根，则a2+b+b2的值 为 3、定义运算：a☆b=a2b-2ab-1,例如：4☆5=42×5-2×4×5-1.方 程x☆3=0的根的情况( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 4、已知m,n是方程x2-3x-4=0的两根，则m2+mn+3n=() A.8 B.7 C.9 D.6 5、若a、B是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则a2+3a+B的值为() A.2005 B.2003 C.-2005 D.4010 6、若实数a,b是关于x的是一元二次方程x2-3x-1=0的两根，则2a+2b一 ab+1=」 7、(2024雁塔区校级开学)已知关于x的方程x-（+4)x+2+4=0. （1)求证：无论k为何值，方程总有实数根： (2)若方程的两个实数根为x,,求代数式（x-2)(x-2)的值。 8、（2024春·岳麓区期末)已知关于x的一元二次方程x+（2t1)x+m+1=0. (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为x,,且满足x子+x2=15,求实数m的值。 9、阅读材料： 材料1：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则 x1+x2=-台x1x2=台 材料2：已知一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,求m2n+ mn2的值 解：：一元二次方程x2-x-1=0的两个实数根分别为m,n,m+n=1,mm= -1.m2n+mm2=mn(m+n)=-1×1=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： (1)材料理解：一元二次方程2x2-3x-1=0的两个根为x1,x2,则 X1+X2= -,X1X2= (2)类比应用：已知一元二次方程2x2-3x-1=0的两根分别为m,,求号+丹 的值： (3)思维拓展：己知实数s,t满足2s2-3s-1=0,2t2-3t-1=0,且s≠t, 来：-的值. 期末重点专题专训01 根与系数的关系（诊讲评提闭环专训）数学华师大版九年级上册 （基础解析篇） 问题导航： 1、根与系数关系用的前提条件是什么？方程应该处于什么形式？ 简答：前提条件是判别式大于等于0，方程应该处于一般式 1、根的判别式 由根的判别式的值，判断根的情况： （1）方程有两个不相等的实数根 （2）方程有两个相等的实数根 （3）方程没有实数根 （4）方程有实数根 2、根与系数关系的基本变式。 一、诊断卷 1、已知一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　） A． B．且 C． D． 1、B 解：一元二次方程有实数根 且，即 解得 故的取值范围是且 2、若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 2、A 解：∵， ∴以，为根的一元二次方程是 3．（23-24八年级下·安徽亳州·期末）若方程 的两根为，，则 的值为：（   ） A．2 B． C． D． 3、B 解：∵方程 的两根为， ∴， ∴， 4、一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4、A 解：方程首先要化为一般式为x2﹣2x﹣4＝0 ∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣4）＝20＞0 ∴方程有两个不相等的实数根 5、已知是方程的两个实数根，则代数式的值（    ） A．4045 B．4044 C．2022 D．1 5、A 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∴ ， 6、若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则           【参考答案】   7、若关于的方程有一个根为，则另一个根为______ 【参考答案】   8、已知、是方程的两个实数根，则 ______ 【参考答案】  9、设，是方程的两个实数根，不解方程，求下列代数式的值。 解：∵，是方程的两个实数根， ∴ 原式 （2）∵，是方程的两个实数根， ∴ 原式 10、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根 （2）已知方程一个根为2，求k的值。 解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2+k）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4k＝1＞0， 故方程有两个不相等的实数根 （2）设方程的另一根为a 则 ∴k2﹣3k+2＝0 ∴（k﹣1）（k﹣2）＝0 ∴k﹣1＝0或k﹣2＝0 解得，k＝1或k＝2 二、例题示范 例题示范1：（2024•兴隆台区校级开学）若2k﹣5＞0，则关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0的根的情况是（　　） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 解：∵2k﹣5＞0 ∴k ∵x2+2x+k＝0 ∴Δ＝22﹣4k＝4（1﹣k） ∵k ∴1﹣k＜0 ∴Δ＜0 ∴该方程没有实数根 故选：A． 例题示范2：已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　k且k≠0　。 解：根据题意得k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k（k﹣2）＞0 解得k且k≠0 即实数k的取值范围是k且k≠0 故答案为：k且k≠0 例题示范3：（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实数根，求的取值范围； （2）在（1）中，设是该方程的两个根，且，求的值。 解：（1）解：根据题意得： 解得： 即的取值范围为： （2）解：根据题意得 ， 解得：（符合题意） 即的值为 三、评估卷 1、（23-24九年级上·广东佛山·期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 1．C 2、若，是一元二次方程的两根，则的值是(    ) A. B. C. D. 2.   3、若一元二次方程的两个实数根为，，则的值为(    ) A. B. C. D. 3、 4、设、是方程的两个实数根，且，则k的值是 。 4、1 解方程的两个实数根 ，， 解得： 解得：， ∴答案为：1 5．（23-24九年级上·广东佛山·期中）若一元二次方程的两根分别为a，b，则 ． 5．2 6、已知是关于x的方程的两个实数根，且，则m的值等于 6、 解∶∵是关于x的方程的两个实数根， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， 7、已知a2+1＝3a，b2+1＝3b，且a≠b，则　7　． 解：∵a2+1＝3a，b2+1＝3b ∴a，b是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根 ∴由根与系数的关系得：a+b＝3，ab＝1 ∴ ∴答案为：7 8、若，是一元二次方程的两个根，求下列式子的值 8、解：，是一元二次方程的两个根， ， 9、（23-24八年级下·江苏苏州·期末）已知关于x的一元二次方程． （1）若方程的一个根为3，求k的值； （2）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 解：（1）解：把代入得， ； （2）解：方程有两个不相等的实数根， ， ． 的取值范围为． 10、已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 设方程的两个根分别为、，且满足，求的值。 10、 解：关于的一元二次方程有实数根， 解得：． ，是方程的解 ， ，即 解得：或舍去 。 四、提升卷 1、（2024•沈丘县一模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则的值是（　　） A．1 B． C．﹣1 D． 解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2， 则． ∴选：D． 2、已知a，b是一元二次方程的两实数根，则的值为 。 解：由题意得， ∴ 3、定义运算：，例如：方程的根的情况（      ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 解：依据新定义得 方程有两个不相等的实数根 故选：A． 4、已知m，n是方程的两根，则（　　） A．8 B．7 C．9 D．6 【参考答案】C 5、若、是方程的两个实数根，则的值为（　　） A．2005 B．2003 C．－2005 D．4010 解： ∵、是方程的两个实数根 ∴，+=-2 ∴==2005-2=2003 ∴答案为：B. 6、若实数，是关于x的是一元二次方程的两根，则　 　 解：∵a、b是一元二次方程x2-3x-1=0的根 ∴a+b=3，ab=-1 ∴2a+2b-ab+1=2（a+b）-ab+1=2×3-(-1）+1=8 故答案为：8。 7、（2024•雁塔区校级开学）已知关于x的方程x2﹣（k+4）x+2k+4＝0． （1）求证：无论k为何值，方程总有实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣2）（x2﹣2）的值。 解 ：（1）证明：Δ＝[﹣（k+4）]2﹣4（2k+4） ＝k2+8k+16﹣8k﹣16 ＝k2， ∵k2≥0， ∴Δ≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝k+4，x1•x2＝2k+4， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1•x2﹣2x1﹣2x2+4 ＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4 ＝2k+4﹣2（k+4）+4 ＝2k+4﹣2k﹣8+4 ＝0。 8、（2024春•岳麓区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足，求实数m的值。 解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+1＝0有实数根， ∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2+1）＝4m﹣3≥0 解得： 即m的取值范围是 （2）∵x1+x2＝﹣（2m+1）， ∴ ∵ ∴2m2+4m﹣1＝15，即m2+2m﹣8＝0 解得m＝2或m＝﹣4． ∵， ∴m＝2． 故m的值为2． 9、阅读材料： 材料：若关于的一元二次方程的两个根为，，则，． 材料：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：一元二次方程的两个实数根分别为，，，． 根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题： 材料理解：一元二次方程的两个根为，，则          ，          ； 类比应用：已知一元二次方程的两根分别为，，求的值； 思维拓展：已知实数，满足，，且，求的值． 8、（1）一元二次方程的两个根为， ，， 故答案为：， （2）解：一元二次方程的两根分别为，， ，． （3）解：实数，满足，，且， 与可以看作是方程的两个不相等的实数根 ，   学科网（北京）股份有限公司 $