精品解析：四川省南充市南部县振兴初级中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷

四川省南充市南部县振兴初级中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查指数运算和合并同类项的规则。根据合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并，∴ A错误； ∵ 选项B中，，∴ B错误； ∵ 选项C中，，∴ C错误； ∵ 选项D中，，∴ D正确． 故选：D． 2. 在下列图形中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A不符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：C． 3. 下列长度的线段，能与长度为，的两条线段，首尾相接组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，根据三角形三边关系，第三边必须大于已知两边之差且小于已知两边之和，已知两边为和，因此第三边长度范围应为大于且小于． 【详解】解：设第三边长为， ∵ 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，，， ∴ x的取值范围为， ∴ 能与和组成三角形的是． 故选：C． 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键．根据全等三角形对应角相等可知是边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：第一个三角形中之间的夹角为，另一个三角形中是两边的夹角． 两个三角形全等， ． 故选：D． 5. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两个数的绝对值相等，这两个数也相等 C. 相等的角是同位角 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查逆命题的真假判断．需要写出每个原命题的逆命题，并运用初中数学知识判断其是否成立．据此判断即可． 【详解】A：原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，两直线平行”． ∵内错角相等是平行线的判定定理， ∴逆命题成立； B：原命题“两个数的绝对值相等，这两个数也相等”的逆命题为“如果两个数相等，那么它们的绝对值相等”． ∵两数相等则绝对值必相等， ∴逆命题成立； C：原命题“相等的角是同位角”的逆命题为“同位角相等”． ∵同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定成立， ∴逆命题不成立； D：原命题“若，则”的逆命题为“若，则”． ∵时，平方必然相等， ∴逆命题成立． 故选C． 6. 若点，则点A关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标变为相反数． 【详解】解：点关于x轴对称的点为． 故选：C． 7. 如图，在中，线段的垂直平分线和线段的垂直平分线分别与边交于点、（在的左边），设，则的大小可以用含的式子表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，由三角形内角和定理，结合已知，即可得到． 【详解】解：根据垂直平分线的性质知，， ∴，， 由题意得，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 8. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短线段问题，将的最小值转化为的长是解题关键．连接、，根据等腰三角形三线合一的性质，求出，再根据垂直平分线的性质，得到，从而得出的最小值为的长，即可求出周长的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 等腰的底边，D为边的中点， ，， 面积为， ， ， 垂直平分， ， ， 的最小值为的长， 周长的最小值是， 故选：C． 9. 如图，，则的面积为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形面积的计算，利用全等求高是解答本题的关键．作，垂足为E，作，交的延长线于点F，先根据等腰三角形的性质得，再证明，得，即可求的面积． 【详解】解：由题意，作，垂足为E，作，交的延长线于点F，如图： 是等腰三角形的中线， ， 的面积为：． 故选：D． 10. 如图，在中，，．点D为的中点，过A作于点G，过B作交的延长线于点F，与相交于点E．连接．则下列结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】证明，可得，，故①正确；再由，可得，故②错误；再证明，可得，故③正确；再由，可得，然后根据，可得，从而得到，故④正确． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：C 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算：_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查积的乘方的逆用；将原式变形，再逆用积的乘方运算． 【详解】原式 ． 故答案为：8． 12. 已知一个等腰三角形的一个外角是，则该等腰三角形的顶角是_______． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，邻补角的定义，是基础题．先求出与这个外角相邻的内角是，再分这个内角是底角和顶角两种情况讨论． 【详解】解：与相邻的内角为， 若角为顶角，则该等腰三角形的顶角是； 若角为底角，则该等腰三角形的顶角是； 综上所述该等腰三角形的顶角是． 故答案为：． 13. 如图，中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则的周长是_____． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查三线合一，中垂线的性质，根据三线合一，得到，垂线平分的性质得到，进而得到，推出的周长，即可． 【详解】解：∵中，，平分， ∴， ∵点C在的垂直平分线上， ∴， ∴的周长； 故答案为：16． 14. 如图所示，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝___． 【答案】2 【解析】 【分析】延长至，使，连接，由“”可证，可得出，再由三角形的三边关系可得：，即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接， 在与中， ， ， ， 在中，， 即， ， 为偶数， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 15. 如图，等边三角形中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G ，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，以及一元一次方程的应用，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据题意分为P在上，Q在上和当P、Q都在上两种情况，根据全等三角形的性质得出，代入得出关于t的方程，求出即可． 【详解】解：作于E，作于F． 分以下情况：①如图1，P在上，Q在上， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与全等， ∴， 即 ； ②当P、Q都在上时，此时P，Q两点重合，如图3， ， ． 综上所述，点运动时间为2或4，与全等， 故答案为：2或4． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）300 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，同底数乘法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． （1）先算积的乘方，然后合并同类项即可； （2）根据逆用同底数幂乘法得到，根据逆用幂的乘方得到，再进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：． 18. 已知：如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，垂线的定义，角平分线的定义，先由垂线的定义得到，则由三角形内角和定理得到，则可求出，再由角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 19. 如图，已知是上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由，，得，证明，得； （2）由，，得，即可根据三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 20. 如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画，使它与关于直线成轴对称，并求出面积； （2）在直线上找一点，使点到点、的距离之和最短． 【答案】（1）如图，即为所求作，面积为4 （2）如图，点即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查轴对称作图，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出，借助网格利用分割法求出即可； （2）连接，与直线的交点即为点． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 解：根据（1）的结论，点、点关于直线成轴对称， ， ， 当点在直线和的交点处时，为最小值， 当点在直线和的交点处时，取最小值，即点到点、点的距离之和最短； 21. 如图，是等腰三角形，，，D是的中点，，，点E，F分别为垂足． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ， ， ， ∵是边的中点， 在和中， ； （2） 证明：由（1）得， ， ， 由（1）得， ∴是等边三角形； （3） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是利用等腰三角形角度关系、全等三角形证明线段相等，结合等边三角形性质进行推理计算． （1）先根据等腰三角形得出，结合求出；再由是中点得，结合、得；最后用AAS证明，从而证得； （2）由（1）中得，再根据、求出，同理得，进而推出；结合，证得是等边三角形； （3）由，是中点得；在中，利用，得；再由是等边三角形，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，是边的中点， ， 在中，由（1）得， ， ∵是等边三角形， ． 22. 已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： （1）是等腰三角形． （2）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理，等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由等边对等角和角平分线的定义可证明，再证明，即可证明，得到，据此可证明结论； （2）根据三角形内角和定理和可推出，再由平角的定义可得，则，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： （1）填空：_____，______； （2）记，，，试判断之间的关系并证明． 【答案】（1）3，4 （2）， 证明如下： ， 又 ． 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算和新定义，解题关键是理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，列出算式，求出答案即可； （2）根据新定义，求出，，的值，再根据同底数幂的乘法法则求出的值，从而证明即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 故答案为：3，4； 【小问2详解】 略 24. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”， 是“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求的度数． ②若 是中边上的高， 则都是“友爱三角形”吗？ 为什么？ （2）如图2， 在中， ， 是边上一点（不与点重合），连接， 若是“友爱三角形”， 且与 互为“友爱角”， 直接写出的度数． 【答案】（1）①； ② 都是“友爱三角形”，理由如下， ∵ 是中边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理， ，， ∴， ∵与互为“友爱角”（）， ∴与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； 同理，与互为“友爱角”， ∴是“友爱三角形”； （2）的度数 【解析】 【分析】（1）①根据材料提示的“友爱三角形”得到，再根据直角三角形两锐角互余可得，由此即可求解；②由 是中边上的高，得到，根据三角形两锐角互余可得，，结合与互为“友爱角”即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，设，则，由三角形的外角和的性质可得，根据与 互为“友爱角”，分类讨论：当时；当时；由此列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：①∵是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∴， 解得，， ∴； ②略 【小问2详解】 解：在中， ， ∴， 设，则， ∵是的外角， ∴， ∵是“友爱三角形”， 与 互为“友爱角”， ∴当时，， 解得，， ∴； 当时，， 解得，，不符合题意，舍去； ∴的度数为． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，三角形的外角和性质，一元一次方程与几何问题，理解“友爱角”的概念和计算方法，掌握三角形内角和定理，外角和性质，几何问题与一元一次方程的综合运用是解题的关键． 25. （1）问题背景：如图1，在和中，，，，连接、，直接写出线段和线段的数量关系______； （2）问题探究：如图2，在和中，，，，点在内，延长交于点，当点是线段中点时，求证：； （3）延伸拓展：如图3，在和中，，，，连接、，过点A作于点，反向延长交于点，求证；． 【答案】（1）； （2）延长至点M，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∵点是线段中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）过点E作，延长交于点F，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据证明，即可得出； （2）延长至点M，使，连接，证明，得出，，，得出，证明，得出，，得出，证明，求出，即可得出答案； （3）过点E作，延长交于点F，证明，得出，，证明，得出，证明，即可得出答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， 即， ∵在和中， ∴， ． 故答案为：． （2）略． （3）略． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省南充市南部县振兴初级中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列图形中，是轴对称图形的为（　　） A. B. C. D. 3. 下列长度的线段，能与长度为，的两条线段，首尾相接组成三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知图中的两个三角形全等，则的度数是（    ） A. B. C. D. 5. 下列各命题的逆命题不成立的是（ ） A. 两直线平行，内错角相等 B. 两个数的绝对值相等，这两个数也相等 C. 相等的角是同位角 D. 若，则 6. 若点，则点A关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，线段的垂直平分线和线段的垂直平分线分别与边交于点、（在的左边），设，则的大小可以用含的式子表示为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交、于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值是（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 如图，，则的面积为（ ） A. 10 B. 16 C. 20 D. 25 10. 如图，在中，，．点D为的中点，过A作于点G，过B作交的延长线于点F，与相交于点E．连接．则下列结论： ①；②；③；④． 其中结论正确的（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 计算：_____． 12. 已知一个等腰三角形的一个外角是，则该等腰三角形的顶角是_______． 13. 如图，中，，平分，点E是线段延长线上一点，连接，点C在的垂直平分线上，若，则的周长是_____． 14. 如图所示，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，AD是△ABC的中线，若AD的长为偶数，则AD＝___． 15. 如图，等边三角形中，D、E分别为、边上的两动点，且总使，与交于点F，于点G ，则_________． 16. 如图，在中，，，．动点P从点A出发沿的路径向终点C运动；动点Q从点B出发沿的路径向终点A运动．点P和点Q分别以每秒和的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动．在某时刻，过点P和点Q分别作于点E，于点F，则点P的运动时间为______s时，与全等． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算： （1）； （2）若，求的值． 18. 已知：如图，在中，，于点，平分，，求的度数． 19. 如图，已知是上一点，，，． （1）求证：； （2）若，求的大小． 20. 如图，的顶点、、都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画，使它与关于直线成轴对称，并求出面积； （2）在直线上找一点，使点到点、的距离之和最短． 21. 如图，是等腰三角形，，，D是的中点，，，点E，F分别为垂足． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形； （3）若，求的长． 22. 已知：如图，点D在线段上，，，平分．求证： （1）是等腰三角形． （2）． 23. 规定两数之间的一种运算，记作；如果，那么．例如：因为，所以．根据上述规定： （1）填空：_____，______； （2）记，，，试判断之间的关系并证明． 24. 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，那么与互为“友爱角”， 是“友爱三角形”． （1）如图1，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． ①求的度数． ②若 是中边上的高， 则都是“友爱三角形”吗？ 为什么？ （2）如图2， 在中， ， 是边上一点（不与点重合），连接， 若是“友爱三角形”， 且与 互为“友爱角”， 直接写出的度数． 25. （1）问题背景：如图1，在和中，，，，连接、，直接写出线段和线段的数量关系______； （2）问题探究：如图2，在和中，，，，点在内，延长交于点，当点是线段中点时，求证：； （3）延伸拓展：如图3，在和中，，，，连接、，过点A作于点，反向延长交于点，求证；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $