4.3 等比数列周练试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

等比数列周练试卷（范围§4.3） （时间50分钟，分值100分） 班级 学号 姓名 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若{an}是无穷数列，则“{an}为等比数列”是“anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：若{an}为等比数列，则anan＋3＝an＋1·an＋2(n∈N*)；若anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)，则{an}可以是全部为0的常数列，此时{an}不是等比数列．故“{an}为等比数列”是“anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)”的充分不必要条件．故选A. 2.已知正项等比数列{an}，a3为2a2与a6的等比中项，则＝(　　) A. B. C. D.2 答案：B 解析：因为a3为2a2与a6的等比中项， 所以a＝2a2a6， 因为数列{an}是正项等比数列， 所以a2a6＝a，则a＝2a. 设数列{an}的公比为q(q>0)，则q2＝＝， 所以＝＝q2＝. 3.在等比数列{an}中，若a2a3a13＝8，则a4a8＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 答案：C 解析：因为数列{an}是等比数列，则a2a3a13＝a3(a2a13)＝a3a9a6＝a＝8，即a6＝2，所以a4a8＝a＝4.故选C. 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　) A. B．－ C. D. 答案：A 解析：因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝，所以a7＋a8＋a9＝. 5.龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(　　) A.16 B.12 C.10 D.8 答案：B 解析：由题意，得{an}是以2为公比的等比数列， ∴S7＝＝1 016，127a1＝1 016， 解得a1＝8， ∴log2(a3·a5)＝log2(8×22×8×24)＝12. 6．设等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，若{Sn＋1}也是等比数列，则q＝(　　) A．－2 B. C．1 D．2 答案：D 解析：由题意可知，a1＝1，a2＝q，a3＝q2，若{an}为常数列，则S1＋1＝2，S2＋1＝3，S3＋1＝4，{Sn＋1}不是等比数列，与题意不符；若q≠1，则Sn＝a1·＝，若{Sn＋1}也是等比数列，则(Sn＋1)2＝(Sn－1＋1)(Sn＋1＋1)，n≥2，n∈N*，即＝·⇒2qn(q－2)＝(q－2)(qn－1＋qn＋1)⇒qn－1(q－2)(q－1)2＝0，解得q＝2或q＝1(舍去)．故选D. 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知数列{an}是等比数列，则(　　) A．数列{a}是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列{an＋an＋1}是等比数列 D．数列{lg a}是等比数列 答案：AB 解析：根据题意，数列{an}是等比数列，设其公比为q，则＝q.对于A，因为＝q2，所以数列{a}是等比数列，故A正确；对于B，因为＝＝，所以数列是等比数列，故B正确；对于C，D，例如an＝(－1)n，则an＋an＋1＝0，lg a＝lg 1＝0，此时数列{an＋an＋1}和{lg a}都不是等比数列，故C，D错误．故选AB. 8.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1＞1， a2025a2026＞1，＜0，则下列结论正确的是(　　) A．S2025＜S2026 B．a2025a2027－1＜0 C．T2026是数列{Tn}中的最大项 D．数列{Tn}无最大项 答案：AB 解析：当q＜0时，a2025a2026＝aq＜0，与已知矛盾；当q≥1时，a2025＞1，a2026＞1，＞0，与已知矛盾，故0＜q＜1，且a2025＞1，0＜a2026＜1，故S2026＞S2025，A正确；a2025a2027－1＝a－1＜0，B正确；T2025是数列{Tn}中的最大项，C，D错误．故选AB. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 9.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝1，2S3＝7a2，则S5＝________. 答案： 解析：设等比数列{an}的首项为a1，公比为q. 由可得解得或 当a1＝，q＝2时，S5＝＝×＝； 当a1＝4，q＝时，S5＝＝4×＝. 所以S5＝. 10.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 答案：2 解析：由题意，得解得所以q＝＝＝2. 11.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,则这三个数的和为________. 答案：13或-7. 解析：由题意可设这三个数分别为,a,aq, ∴即 整理得9q4-82q2+9=0,解得q2=9或q2=, ∴q=±3或q=±. 所以这三个数为1,3,9或-1,3,-9或9,3,1或-9,3,-1.故这三个数的和为13或-7. 四、解答题(本大题共3小题，共43分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 12. （13分）已知公比不为1的等比数列{an}满足a1＋a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞成立的最大正整数k的值. 答案：（1）an＝4· （2）3. 解析：(1)设公比为q，由题意得a1＋a2＝2a3， ∴a1(1＋q－2q2)＝0， 又∵a1≠0，∴q＝－或q＝1(舍去)， ∵a1＋a3＝5，∴a1(1＋q2)＝5， ∴a1＝4，∴an＝4·. (2)Sn＝＝. ∵Sk＞，∴＞， ∴＜－， 显然，k为奇数，即＞＞＝，解得k≤3， 所以满足条件的最大正整数k的值为3. 13．（15分）已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝. (1)证明：数列为等比数列； (2)求{an}的通项公式； 答案：（1）详见解析 （2）an＝. 解析：(1)证明：由an＋1＝，a1＝3， 可知an≠0，所以＝＝×＋， 则1－＝－×＝，又1－＝， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． (2)由(1)得1－＝×＝，解得an＝＝. 14. （15分）设数列满足a1=2,an+1=an+4·3n-1. (1)求数列的通项公式. (2)令bn=nan,求数列的前n项和Sn. 答案：（1）an=2×3n-1 （2）Sn=. 解析：(1)依题意有an+1-an=4·3n-1, 所以a2-a1=4,a3-a2=4×31,…,an-an-1=4×3n-2(n≥2). 累加这个式子得,an-a1=4×=4×=2×. 又a1=2,所以an=2×3n-1(n≥2). a1=2显然满足上式,所以an=2×3n-1. (2)由(1)知bn=2n·3n-1,所以Sn=2×30+4×31+…+2n·3n-1, 3Sn=2×31+4×32+…+2(n-1)·3n-1+2n·3n, 两式相减得,-2Sn=2×-2n·3n, 所以-2Sn=2×-2n·3n, 整理得Sn=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 等比数列周练试卷（范围§4.3） （时间50分钟，分值100分） 班级 学号 姓名 一、单选题(本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若{an}是无穷数列，则“{an}为等比数列”是“anan＋3＝an＋1an＋2(n∈N*)”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.已知正项等比数列{an}，a3为2a2与a6的等比中项，则＝(　　) A. B. C. D.2 3.在等比数列{an}中，若a2a3a13＝8，则a4a8＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．8 4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9＝(　　) A. B．－ C. D. 5.龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1 016个“浮雕像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上“浮雕像”的数量构成一个数列{an}，则log2(a3·a5)的值为(　　) A.16 B.12 C.10 D.8 6．设等比数列{an}的首项为1，公比为q，前n项和为Sn，若{Sn＋1}也是等比数列，则q＝(　　) A．－2 B. C．1 D．2 二、多选题(本大题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．已知数列{an}是等比数列，则(　　) A．数列{a}是等比数列 B．数列是等比数列 C．数列{an＋an＋1}是等比数列 D．数列{lg a}是等比数列 8.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件 a1＞1，a2025a2026＞1，＜0，则下列结论正确的是(　　) A．S2025＜S2026 B．a2025a2027－1＜0 C．T2026是数列{Tn}中的最大项 D．数列{Tn}无最大项 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 9.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a3＝1，2S3＝7a2，则S5＝________. 10.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________． 11.已知三个数成等比数列,它们的积为27,它们的平方和为91,则这三个数的和为________. 四、解答题(本大题共3小题，共43分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 12. （13分）已知公比不为1的等比数列{an}满足a1＋a3＝5，且a1，a3，a2构成等差数列. (1)求{an}的通项公式； (2)记Sn为{an}的前n项和，求使Sk＞成立的最大正整数k的值. 13．（15分）已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝. (1)证明：数列为等比数列； (2)求{an}的通项公式； 14. （15分）设数列满足a1=2,an+1=an+4·3n-1. (1)求数列的通项公式. (2)令bn=nan,求数列的前n项和Sn. 学科网（北京）股份有限公司 $