16.2 整式的乘法（第3课时）教学设计 2025-2026学年人教版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦多项式的乘法法则，通过知识回顾环节梳理单项式与多项式相乘的法则、分配律等旧知，以绿地面积计算的多解法探究新知，搭建从旧知到新知的学习支架，衔接自然。 以数形结合思想引导学生通过绿地面积的几何直观发现法则，用转化思想将多项式乘法转化为单项式乘法，例题与练习涵盖不同类型并配思维导图，培养几何直观、运算能力与推理意识，助力学生掌握方法，为教师提供清晰教学路径。

16.2　整式的乘法（第3课时） 教学目标 1．结合图形探究和理解多项式的乘法法则，感受数形结合的思想方法，体会代数与几何之间的内在联系和统一． 2．能运用法则将多项式与多项式相乘转化为单项式与单项式相乘，准确进行相关计算，体会转化的思想方法，发展运算能力． 教学重点 多项式的乘法法则的探究和运用． 教学难点 多项式的乘法法则的运用． 教学过程 知识回顾 1．p(a＋b＋c)＝ pa＋pb＋pc ． 一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘 多项式的每一项 ，再把所得的积相加． 2．注意事项：（1）不要出现 漏乘 现象． （2）计算时，要注意符号问题，多项式中每一项都包括它 前面的符号 ，单项式分别与多项式的每一项相乘时，同号相乘得 正 ，异号相乘得 负 ． （3）运算顺序：先 乘方 ，再 乘除 ，最后 加减 ． （4）单项式与多项式相乘的结果是一个 多项式 ，其项数与 多项式 的项数相同． 3．单项式与多项式相乘的实质是利用 分配律 ，把单项式乘多项式转化为 单项式乘单项式 ． 4．单项式与多项式相乘分三个阶段： （1）按分配律写成 单项式与单项式乘积的代数和 的形式； （2）按照 单项式与单项式相乘 的运算法则分别求出乘积； （3）把所得的 积 相加． 5．单项式乘多项式，如果计算结果中有同类项，要 合并同类项 ． 【设计意图】通过回顾旧知，为本节课学习“多项式与多项式相乘”奠定基础，让学生在已有知识经验的基础上顺利过渡到新知的学习． 新知探究 【问题】为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？ 【师生活动】学生独立思考，在学习任务单上记录表示绿地面积的不同方法，教师组织学生分享交流，归纳出不同的表示方法． 【答案】解法1： 扩大后的绿地可以看成长为(a＋b)m、宽为(p＋q)m的长方形，所以这块绿地的面积（单位：m2）为 (a＋b)(p＋q)． ① 解法2： 扩大后的绿地可以看成长为(a＋b)m、宽为 p m 的长方形 ，和长为(a＋b)m、宽为 q m 的长方形组成，所以这块绿地的面积（单位：m2）为 p(a＋b)＋q(a＋b)． ② 解法3： 扩大后的绿地可以看成长为 a m、宽为(p＋q) m的长方形 ，和长为 b m、宽为(p＋q) m 的长方形组成，所以这块绿地的面积（单位：m2）为 a(p＋q)＋b(p＋q)． ③ 解法4： 扩大后的绿地可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地面积（单位：m2）为 ap＋bp＋aq＋bq． ④ 【设计意图】沿用与上节课一致的问题情境，为探索多项式乘多项式的运算法则作铺垫． 【追问1】这几个表达式都表示扩大后的绿地面积，它们之间有什么数量关系？ 【师生活动】学生很容易达成共识：由于①②③④表示同一个数量，所以(a＋b)(p＋q)＝p(a＋b)＋q(a＋b)＝a(p＋q)＋b(p＋q)＝ap＋bp＋aq＋bq． 【追问2】上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法．你能通过怎样的方法理解和解释它？ 【师生活动】教师引导学生结合分配律进行理解： 计算(a＋b)(p＋q)，可以先把其中的一个多项式（如 p＋q）看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得 (a＋b)(p＋q)＝a(p＋q)＋b(p＋q)， 再利用单项式与多项式相乘的法则，得 a(p＋q)＋b(p＋q) ＝ap＋bp＋aq＋bq． 总体上看，(a＋b)(p＋q)的结果可以看作由a＋b的每一项乘p＋q的每一项，再把所得的积相加而得到的，即 (a＋b)(p＋q)＝ap＋bp＋aq＋bq． 教师根据学生的讨论结果，引导学生用自己的语言表述多项式的乘法法则． 【新知】一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【设计意图】在探究多项式的乘法法则的过程中，让学生借助几何直观，从现实情境中发现等量关系，在探究过程中感受数式通性，体会转化思想． 例题精讲 【例1】计算： （1）(a＋3)(a－2)； （2）(3x＋1)(x＋2)； （3）(x－8y)(x－y)； （4）(a＋b)(a2－ab＋b2)． 【师生活动】学生在学习任务单上解答，教师点评． 【答案】解：（1）(a＋3)(a－2) ＝a·a＋a·(－2)＋3·a＋3×(－2) ＝a2－2a＋3a－6 ＝a2＋a－6； （2）(3x＋1)(x＋2) ＝(3x)·x＋(3x)·2＋1·x＋1×2 ＝3x2＋6x＋x＋2 ＝3x2＋7x＋2； （3）(x－8y)(x－y) ＝x2－xy－8xy＋8y2 ＝x2－9xy＋8y2； （4）(a＋b)(a2－ab＋b2) ＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3 ＝a3＋b3． 【追问】分析上述计算过程，你认为多项式与多项式的乘法运算要注意什么？ 【注意】（1）防止“漏项”．在合并同类项之前，两个多项式相乘展开后的项数应是这两个多项式项数的积． （2）防止符号错误．多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意积中各项的符号． （3）展开后有同类项要合并，需化成最简形式． 【例2】已知m2－m－2＝0，求代数式m(m－1)＋(m＋1)(m－2)的值． 【师生活动】教师引导学生先对代数式进行化简，再找寻化简结果与条件之间的关系，学生在学习任务单上尝试解答，学生代表分享做法，教师点评． 【答案】解：m(m－1)＋(m＋1)(m－2) 　　 ＝m2－m＋m2－2m＋m－2 　　 ＝2m2－2m－2 　　 ＝2(m2－m)－2． 因为m2－m－2＝0， 所以m2－m＝2． 所以原式＝2×2－2＝2． 【归纳】当已知中没有直接给出字母的值时，一般按如下步骤解题： （1）对待求的代数式进行化简； （2）找寻化简结果与已知的代数式之间的关系； （3）用整体代入的方法求解． 【设计意图】通过例题讲解，帮助学生在计算中加深对法则的理解，掌握多项式的乘法运算中需要注意的关键点，学习用数学的思维思考和解决问题． 课堂练习 1．计算： （1）(2x＋1)(x＋3)； （2）(m＋2n)(3n－m)； （3）(a－1)2； （4）(a＋3b)(a－3b)； （5）(2x2－1)(x－4)； （6）(x2＋2x＋3)(2x－5)． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）(2x＋1)(x＋3) ＝2x·x＋2x·3＋1·x＋1×3 ＝2x2＋6x＋x＋3 ＝2x2＋7x＋3； （2）(m＋2n)(3n－m) ＝m·3n＋m·(－m)＋2n·3n＋2n·(－m) ＝3mn－m2＋6n2－2mn ＝－m2＋mn＋6n2； （3）(a－1)2 ＝(a－1)(a－1) ＝a·a＋a·(－1)＋(－1)·a ＋(－1)×(－1) ＝a2－a－a＋1 ＝a2－2a＋1； （4）(a＋3b)(a－3b) ＝a·a＋a·(－3b)＋3b·a＋3b·(－3b) ＝a2－3ab＋3ab－9b2 ＝a2－9b2； （5）(2x2－1)(x－4) ＝2x2·x＋2x2·(－4)＋(－1)·x＋(－1)×(－4) ＝2x3－8x2－x＋4； （6）(x2＋2x＋3)(2x－5) ＝x2·2x＋x2·(－5)＋2x·2x＋2x·(－5)＋3·2x＋3×(－5) ＝2x3－5x2＋4x2－10x＋6x－15 ＝2x3－x2－4x－15． 2．计算： （1）(x＋2)(x＋3)； （2）(x－4)(x＋1)； （3）(x＋4)(x－2)； （4）(x－5)(x－3)； 由上面计算的结果找规律，观察下图，填空： (x＋p)(x＋q)＝( )2＋( )x＋( )． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：（1）(x＋2)(x＋3) ＝x·x＋x·3＋2·x＋2×3 ＝x2＋3x＋2x＋6 ＝x2＋5x＋6； （2）(x－4)(x＋1) ＝x·x＋x·1＋(－4)·x＋(－4)×1 ＝x2＋x－4x－4 ＝x2－3x－4； （3）(x＋4)(x－2) ＝x·x＋x·(－2)＋4·x＋4×(－2) ＝x2＋(－2x)＋4x－8 ＝x2＋2x－8； （4）(x－5)(x－3) ＝x·x＋x·(－3)＋(－5)·x＋(－5)×(－3) ＝x2－3x－5x＋15 ＝x2－8x＋15； (x＋p)(x＋q)＝( x )2＋( p＋q )x＋( pq )． 3．先化简，再求值：(x－y)(x2＋xy＋y2)－(x＋y)(x2－y2)，其中 x＝，y＝5． 【师生活动】学生完成学习任务单上的练习，教师组织全班交流． 【答案】解：(x－y)(x2＋xy＋y2)－(x＋y)(x2－y2) ＝x·x2＋x·xy＋x·y2＋(－y)·x2＋(－y)·xy＋(－y)·y2 －[x·x2＋x·(－y2)＋y·x2＋y·(－y2)] ＝x3＋x2y＋xy2－x2y－xy2－y3－x3＋xy2－x2y＋y3 ＝xy2－x2y； 当 x＝，y＝5时，原式＝． 【设计意图】从“基础计算”到“化简求值”，通过练习让学生在运算中加深对法则的理解，强化学生的运算能力． 课堂小结 【师生活动】师生共同回顾本节课所学内容，请学生从以下方面进行梳理和总结，并在学习任务单上进行记录． 1．多项式的乘法法则是怎样探究出来的？ 2．在运用多项式的乘法法则时应注意什么？ 【思维导图参考】 【设计意图】通过小结，梳理本节课所学内容，帮助学生养成梳理和总结的学习习惯． 课后任务 完成教材第110～111页习题16.2第3、9、11题． 学科网（北京）股份有限公司 $