广东省深圳市2025-2026学年九年级上学期数学期末模拟试卷（北师大版）

广东省深圳市2025-2026学年九年级上学期 数学期末模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.科技改变生活，智慧点亮世界如图是一个多功能遥控学习护眼灯，图是台灯的灯罩部分，其俯视图是(    ) A. B. C . D. 2.若，则，的值分别是(    ) A. ，B. ， C. ， D. ， 3.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 “射中九环以上”的次数 “射中九环以上”的频率 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在中，边上的垂直平分线分别交边于点，交边于点，若的长为，的长为，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的，则的长度为(    ) A. B. C. D. 6.黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品在自然界中黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点是线段的黄金分割点，，若，那么的长为． A. B. C. D. 7.已知关于的一元二次方程的，则(    ) A. B. 或 C. 或 D. 8.如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数，的图象交于，两点，若是轴上任意一点，点是的中点，连接、、，则的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.设、是方程的两根，则          ． 10.天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长米，在太阳光下，它的影长为米，同一时刻，祈年殿的影长约为米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约为______米． 11.一张圆桌旁有四个座位，先坐在如图所示的座位上，，，三人随机坐到其他三个座位上，则与不相邻而坐的概率为        ． 12.一个农业合作社以元的成本收获了某种农产品吨，目前可以以元吨的价格售出，如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格将上涨元．那么储藏______个星期再出售这批农产品可获利元． 13.如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，▱的两个顶点，分别在反比例函数，的图象上，顶点在轴的正半轴上，已知▱的面积为．        ； 延长交反比例函数的图象于点，连接，则的面积        ． 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.本小题分 解方程： ； ． 15.本小题分 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整． 如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人． 此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 16.本小题分 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究下面是他们的探究过程，请补充完整，并解决相关问题： 函数的自变量的取值范围是______； 下表是与的几组对应值，则表中的值为______； 根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数的图象，并写出这个函数的一条性质：______； 画出函数的图象，结合函数图象，直接写出时，的取值范围． 17.本小题分 如图，在菱形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． 求证：四边形为矩形； 若，，求的长及点到的距离． 18.本小题分 已知，如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点、， 试确定这两个函数的表达式； 求的面积； 直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的的取值范围． 19.本小题分 阅读材料后解答问题： 材料：已知实数、满足，，且，求的值． 解：依题意得：与为方程的两根， ，，． 材料：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题例如：因为，所以，即：有最小值，此时；同样，因为，所以，即有最大值，此时． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： 材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ______， ______． 类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值． 拓展提升：当 ______时，代数式有最______填写大或小值为______． 20.本小题分 在菱形中，，点在边边上，连接，点在的延长线上，连接，，求证：； 菱形中，点、分别是，上的动点，且满足，当时，求与的面积之和； 平行四边形中，，是上一动点，是上一动点，且满足，，，当时，求的长度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $广东省深圳市2025-2026学年九年级上学期 数学期末模拟试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.科技改变生活，智慧点亮世界.如图1是一个多功能LED遥控学习护眼灯，图2 是台灯的灯罩部分，其俯视图是() 图1 图2 2.若x2-6x+11=(x-m)2+n,则m,n的值分别是() A.m=3,n=-2 B.m=3,n=2C.m=-3,n=-2D.m=-3,n=2 3某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如表： 射击次数 1002004008001000 “射中九环以上”的次数 87172336679850 “射中九环以上”的频率0.870.860.840.850.85 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是() A.0.84 B.0.85 C.0.86 D.0.87 4.如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线分别交边AC于点E,交边AB于点D,若AC的长为9cm,BE的长 为6cm,则EC的长为() A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm D 5.如图，△ABC与△A'B/C'位似，点0为位似中心，若△ABC的周长等于△A'B′C'周长的好A0=2, 则0A'的长度为() A.4 4B.6 C.8 D.10 B 第1页，共6页 6.黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理， 能够创造出更加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品在自然界中黄金分割也很常见，如 图是一个有着“最美比例”的鹦鹉螺，点B是线段AC的黄金分割点，AB>BC,若AC= 16cm,那么AB的长为()cm. A.24-8W5 B.48-16V5 C.8V5-8 D.16√5-16 7.已知关于x的一元二次方程3x2-2xy-y2=0的，则5=() A.1 B.1或 c.1或-号 D.- 8.如图，过x轴正半轴上的任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y= c>0),y=-K>0)的图象交于A,B两点，若C是y轴上任意一点，点D是AP 的中点，连接AC、DC、BC,则△ABC的面积为() C A B是 c.5 D.11 4 B 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.设a、B是方程x2+2020x-2=0的两根，则(@2+2020a-1)(B2+2020B+2)=一 10.天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿.老师希望同学们利用所学过的知识测量祈 年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿AB长2米，在太阳光下，它 的影长BC为1.5米，同一时刻，祈年殿的影长EF约为28.5米.请你根据这些数据计算出祈年殿的高度DE 约为 _米 11.一张圆桌旁有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B,C,D三人随机坐到其他三个座位上，则A与B 不相邻而坐的概率为. A 圆桌 第2页，共6页 12.一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80吨，目前可以以1200元/吨的价格售出，如果 储藏起来，每星期会损失2吨，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨200 元.那么储藏个星期再出售这批农产品可获利122000元. 13.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，口0ABC的两个顶点A,B分别在反比 D 例函数y=(x>0),y=(x>0)的图象上，顶点C在x轴的正半轴上，已知口0ABC B 的面积为8. (1)k=: (2)延长0A交反比例函数y=(x>0)的图象于点D,连接BD,则△ABD的面积= 三、解答题：本题共7小题，共61分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 14.(本小题8分) 解方程： (1)2x2-2x-1=0: (2)x+3-x(x+3)=0. 15.(本小题10分) 初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学 的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两 幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割倾目学初三年级“黄金分割项目学 习”展示成绩条形统计图 习”展示成绩扇形统计图 ↑人数 50 较差 40 15% 一般 30 30 优秀 25% 24 20 18 良好 10 40% 0 优秀良好一般较差 等级 (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整。 (2)如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有人· 第3页，共6页 (③)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举 行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率. 16.(本小题8分) 数学兴趣小组根据学习函数的经验，对函数)y=的图象与性质进行了探究下面是他们的探究过程，请补 充完整，并解决相关问题： ()函数y二产的自变量x的取值范围是 (2)下表是y与x的几组对应值，则表中m的值为 3 3 3 2 4 5 3 2 3 m 0 1 3 5 3 4 2 4 3 3 4 (3)根据上表数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点画出函数 y y=的图象，并写出这个函数的一条性质： (④画出函数)y=的图象，结合函数图象，直接写出≥一时， 2 x的取值范围. 5432 2 17.(本小题8分) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E是AB的中点，连接OE,过点B作BF//AC交OE 的延长线于点F,连接AF, (1)求证：四边形AOBF为矩形： (2)若OE=2V5,BD=2AC,求AB的长及点A到BC的距离. D E 第4页，共6页 18.(本小题8分) 己知，如图，反比例函数y=的图像与一次函数y=Qx+b的图像相交于点A(1,4)、(-4,), A(1.4) (-4n) (1)试确定这两个函数的表达式： (2)求△A0B的面积： (3)直接写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围. 19.(本小题12分) 阅读材料后解答问题： 材料1：已知实数a、b满足a2-2a-1=0,b2-2b-1=0,且a≠b,求2+的值. 解：依题意得：a与b为方程x2-2x-1=0的两根， a+b=2,助=-1，日+日胎-是=-2. 材料2：配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题例如：因为3a2≥0，所以3a2+1≥1， 即：3a2+1有最小值1，此时a=0:同样，因为-3(a+1)2≤0，所以-3(a+1)2+6≤6，即-3(a+1)2+6 有最大值6，此时a=-1. 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)材料理解：一元二次方程x2-3x-1=0的两个根为x1和x2,则x1+x2= _’X1X2= (2)类比应用：已知一元二次方程x2-3x-1=0的两根分别为m、n,求器+咒的值。 (3)拓展提升：当x=一时，代数式-x2+3x+1有最（填写大或小）值为 第5页，共6页 20.(本小题12分) (1)在菱形ABCD中，∠B=60°，点P在边CD边上，连接AP,点Q在BC的延长线上，连接DQ,CP=CQ,求 证：∠APC=∠DQC: (2)菱形ABCD中，点P、Q分别是CD,BC上的动点，且满足AP=DQ=8,当LAPD=60时，求△ADP与△DQC 的面积之和： (3)平行四边形ABCD中，AD=2CD,P是CD上一动点，Q是BC上一动点，且满足AP=2DQ,AP=10,DP=2, 当LAPD=60时，求CQ的长度. D D C Q B Q 第6页，共6页答案和解析 1.【答案】B 【解析】解：灯罩部分的俯视图为： 故选：B. 根据此灯罩的俯视图特点即可求解. 本题考查了简单组合体的三视图，掌握几何体的空间结构特点是关键。 2.【答案】B 【解析】解：x2-6x+11=x2-6x+9+2=(, 得到m=3,n=2. 故选B. 己知等式左边配方后即可求出出m与n的值， 此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 3.【答案】B 【解析】解：根据表格知，从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.85， 则该运动员“射中九环以上”的概率是0.85. 故选：B. 根据大量的试验结果稳定在0.85即可得出结论 本题主要考查的是利用频率估计概率，熟知大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定 位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中 趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解答此题的关键. 4.【答案】B 【解析】解：.·DE是AB边上的垂直平分线，BE=6cm, .'AE=BE=6cm .EC=AC-EA=9-6=3(cm), 故选：B. 根据线段垂直平分线的性质得到AE=BE,结合图形计算，得到答案， 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点 的距离相等是解题的关键， 5.【答案】C 【解析】解：，△ABC与△A'B'C位似， .△ABC∽△A'B'C',且AC/iA'C', :△ABC的周长等于△A'B'C周长的} .相似比为1：4， .AC=1 A'C'4 .AC//A'C', ∴.△AOC∽△A'OC', .Ao=Ac_1 A'O-A'C,-41 .AO=2, ..OA'=OA=8 1 4 故选：C. 根据位似的性质可得△ABC∽△A'B'C',且AC/(A'C',结合周长比进而可得相似比 为1：4，即有AAC,=4:再证明△AOC”△A'OC,问题得解， 本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题 的关键. 6.【答案】C 【解析】解：，点B是线段AC的黄金分割点(AB>BC), ·AB=5-1AC, 2 ,AC=16, :AB=5-1x16=8v5-8, 2 故选：C. 根据黄金分制的定义得到AB=5-1AC,把AC=16代入计算即可得到答案. 2 本题考查了黄金分割的有关计算，掌握黄金分割的定义是解决本题的关键 7.【答案】C 【解析】运用因式分解法解出方程即可求出结论 【详解】解：3x2-2xy-y2=0 (3x+y)(x-y)=0 ∴.3x+y=0或x-y=0 解得：X=-或-1， y 3y 故选：C 8.【答案】C 【解析】解：连接AO,BO,如图所示， ,△AOB与△ACB同底等高， .SAA0B=S△ACB, ,AB/Iy轴， ∴.AB⊥x轴， :A在反比例函数y=3(x<0)上 X xv3v3 .SAAOP-2 :点B在反比例函数y=-乙（X>0)的图象上， X =1xV-7N2 .SABOP=2 .S△ABc=SAAOB=S△AOP+S△BOP 325 22 故选：C 连接AO,BO,根据AB/Iy轴，则S△ABC=S△AOB=S△AoP+SABOP,根据反比例函数k的 几何意义即可求解， 本题考查了反比例函数k的几何意义，反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特 征，熟知以上知识是解题的关键， 9.【答案】4 【解析】将两根代入可得α2+2020a=2,B+2020B=2,然后利用整体代入法即可求出 结论 【详解】.a、β是方程x2+2020x-2=0的两根， ∴.a+2020a-2=0,B+2020B-2=0 ∴.a2+2020a=2,B2+2020B=2 .(a2+2020a-1)(β2+2020B+2) (2-1)(2+2)=4. 故答案为4. 10.【答案】38 【解析】解：根据相同时刻的物高与影长成比例， 设祈年殿DE的高度为x米， 则可列比例为X三2 28.51.5 解得x=38, 所以祈年殿DE的高度为38米。 故答案为38： 在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光 线三者构成的两个直角三角形相似， 本题考查了相似三角形的应用，利用在同一时刻物高与影长的比相等的知识，考查利用所 学知识解决实际问题的能力 1.【答)日 【解析】解：将三个座位顺次记为①②③，A先坐在如图所示的座位上，B,C,D三人 随机坐到其他三个座位上，作树状图如下： 开始 ① B C D ② C D B D B C ③ C D B C B 由于A的位置已经确定，B、C、D随机而坐的情况共有6种（如图所示乙：6种情况出现的 可能性相同.其中A与B不相邻而坐的情况共有2种， 21 ∴.所求概率是：P= 63 故答案为：3 先列举出所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解 即可 本题考查了列表法与树状图法，概率公式，正确列举出所有情况是解题的关键。 12.【答案】15 【解析】解：设储藏x星期出售这批农产品可获利122000元， 由题意得(1200+200x)×(80-2x)-1600x-64000=122000, 化简，得，x2-30x+225=0, 解得：X1=X2=15 故答案为：15. 13.【答案】9 8 【解析】解：(1)设点A(m,,则B(km, m m D .'OC=AB=km-m=m(k-1), B ,口OABC的面积为8， OEFC mk-1)×1=8, m 解得：k=9, 故答案为：9； (1)如图，过点A作AE⊥X轴，垂足为E,过点D作DF⊥x轴，垂足为F,DF交AB于点 G, 由(1)可知两个反比例函数解析式为：y=和y=9。 X 1 9 S△AoE=2Saor= 2’ .AE//DF, ∴.△AOE∽△DOF, 测号 小能-分 .'AE=FG, .DG=2 AE, :AB=OC,S四边形OABC=OC·AE=8, ∴.AB·DG=2OC·AE=16, SAABD=-号AB-DG=8. 故答案为：8. 14.【答案】解：(1)2x2-2x-1=0 △=4+8=12>0， x=2±23 4 X,=1+3.x,=13 2 (2)x+3-x(x+3)=0. (x+3)(1-x)=0, .X+3=0或1-X=0, .X1=-3,X2=1. 15.【答案】(1)72， 把条形统计图补充完整如下： 初三年级“黄金分割顺目学 习”展示成绩条形统计图 ↑人数 50---1 48 40 30 30 24 20 18 10 0 优秀良好一般较差 等级 (2)128: (3)画树状图如下： 开始 月 丙 丁 个 个个 个 乙丙于甲丙丁甲乙丁 甲乙丙 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种， ∴.选中的两名同学恰好是甲、丁的概率 2=1 °126 【解析】解：（1)抽取的学生人数为：18÷15%=120（人， ·扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：360×24 =72°， 120 ∴.“良好”等级的人数为120×40%=48（人， 故答案为：72 把条形统计图补充完整如下： 初三年级“黄金分割顺目学 习”展示成绩条形统计图 人数 50-“ 48 40 30 30 24 20 18 10 优秀良好一般较差 等级 (2)320×40%=128人d, ∴.参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有128人： 故答案为：128： (3)画树状图如下： 开始 甲 乙 丙 甲丙丁甲乙 甲乙丙 共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种， “选中的两名同学恰好是甲、丁的概率乙弓=上 126 6,【答案】X≠1号X<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减 【解析】解：(1)当x≠1时，分母都不为0， 故答案为：x≠1： -1 8-1-1v=-8 m (2)当x=-1时， 政爷案为一分 (3)画出函数y 6X-1vd乙的图象如图： X 当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小. 故答案为：x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小. (4)观察图象，ixV≥ x-1V元时，的取值范围x≤0或x≥2. 17.【答案】（1)证明：.BF/1AC, ∴.∠BFE=∠AOE,E是AB的中点， .'AE=BE, 在△AOE和△BFE中， ∠AOE=∠BFE ∠OEA=∠FEB, AE=BE ∴.△AOE≌△BFE(AAS), .'EO=EF, ∴.四边形AOBF是平行四边形， .四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD, ∴.∠AOB=90°， 平行四边形A0BF为矩形(2)AB的长为45，点A到BC的距离为165