精品解析：重庆市杨家坪中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

重庆市杨家坪中学2025——2026学年 高2028届高一上期中数学试题 总分：150分 时量：120分钟 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 2. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知指数函数，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 5. 某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过4周，该植物的长度大约是原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的偶函数满足对且都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 若“”是假命题，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知是定义域在上的奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. 在上是增函数 D. 的值域是 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 13. 函数的单调递增区间是__________. 14. 已知函数，则__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求集合； （2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16. （1）已知：，求； （2）已知，试用表示. 17. 已知二次函数的图象经过三点. （1）求的解析式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求在区间上的最小值. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）求不等式的解集. 19. 定义，． （1）用解析式表示并求的最小值； （2）证明： （3）设若对任意都存在使得求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市杨家坪中学2025——2026学年 高2028届高一上期中数学试题 总分：150分 时量：120分钟 一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，结合互异性即可求解. 【详解】若，则，，不符合题意； 若，则（舍去）或，则，符合题意． 故选：A 2. 下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对选项逐一分析函数的定义域、奇偶性和单调性，由此选出正确选项. 【详解】对于A，函数在定义域R上单调递增，故A错误； 对于B，函数在和上单调递增，故B错误； 对于C，在定义域R上是奇函数且单调递减，故C正确； 对于D，在R上是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的定义域得出的范围，再根据指数函数的单调性求解，最后取交集即可. 【详解】因函数的定义域为，则，得 又，即，得， 故的定义域为. 故选：B 4. 已知指数函数，则函数的图象过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由指数函数概念得，再根据指数函数性质即可得答案. 【详解】由为指数函数得，解得， 又且，故， 所以函数，令得，此时， 所以函数的图象过定点. 故选：A 5. 某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过4周，该植物的长度大约是原来的（ ） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】D 【解析】 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即， ∴，解得， 再过4周后该植物的长度为. 因此，再经过4周，该植物的长度大约是原来的倍. 故选：D 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的奇偶性可排除A和B，再分析时的符号可排除C，从而可得正确选项. 【详解】由，可得， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除A和B， 又当时，，故排除C. 故选：D. 7. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分段函数的单调性需要分段分析，特别注意分段点处的衔接. 【详解】因为函数是上的减函数， 所以函数与均是减函数，且， 即，解得. 故选：C. 8. 已知定义在上的偶函数满足对且都有，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先得到的单调性，且，从而分和两种情况，解不等式，求出答案. 【详解】对且，都有，故在上单调递减， 为定义在上的偶函数，故在上单调递增，且， 当时，，故， 当时，，故， 所以不等式的解集为. 故选：B 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据对数运算法则判断，通过换底公式判断选项，应用根式运算判断C选项. 【详解】A. ，A选项正确； B. ，B选项正确； C. ，C选项错误； D. ,D选项正确. 10. 若“”是假命题，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】首先将问题转化为存在量词命题的否定为真命题，进而解决不等式恒成立问题即可. 【详解】因为“”是假命题， 所以其否定“”是真命题. 当，即时，不等式即，是一个一元一次不等式， 不满足对任意的实数恒成立，不满足题意，所以； 当时，不等式是一个一元二次不等式， 要使其对任意的实数恒成立，只需，即， 解得，即实数的取值范围是. 结合四个选项知，，，，， 故选：AC. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知是定义域在上的奇函数，且当时，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由得到，即可求得，判断A选项；由奇函数的定义即函数在上的解析式即可求得，判断B选项；由函数在上的解析式证明函数在的单调性，结合函数的奇偶性即可得到函数在的单调性，判断C选项；由定义可知，得到函数在上的值域，由函数的奇偶性得到函数在上的值域，判断D选项. 【详解】∵当时，，∴，A选项错误； ，B选项正确； ，当时，，所以函数在上单调递增， ∵函数为奇函数，∴函数在上单调递增， ∴函数在上单调递增，C选项正确； 由题意可知，∴，即当时，， ∴当时，， ∴的值域是，D选项正确. 故选：BCD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数运算法则和对数恒等式计算即可. 【详解】 故答案为：. 13. 函数的单调递增区间是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出的定义域，根据复合函数单调性的法则：同增异减，即可求出答案. 【详解】令，解得或，所以函数的定义域为， 令，，则， 因为在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数单调性得在上单调递减， 又在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数单调性得在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 14. 已知函数，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，分析可得，根据分析计算得到答案. 【详解】由题，则， 因为，所以. 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，. （1）求集合； （2）若：，：，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）集合元素代表是x，即求函数的定义域，求解不等式即可. （2）由是的充分不必要条件，知是的真子集，结合数轴表示集合关系，列出关于的不等式，求解即可. 【详解】（1） ，则，， . （2）由可得或，或 又是的充分不必要条件，所以是的真子集，由图像可知： 或，或， 实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：本题考查利用充分不必要条件求参数，需转化为集合关系，一般根据如下规则： （1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集； （2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集； （3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等； （4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含． 16. （1）已知：，求； （2）已知，试用表示. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）先对进行平方，得到的值，再进行平方得到的值即可求出； （2）利用换底公式，结合对数运算性质运算求解即可. 【详解】解：（1）因为，所以，即， 所以，即， 所以. （2）因为， 所以 17. 已知二次函数的图象经过三点. （1）求的解析式； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）求在区间上的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设函数解析式，用待定系数法求解； （2）将不等式转化为，令，将不等式恒成立转化为，求的最小值即可； （3）分析区间与对称轴的位置关系，分三种情况讨论. 【小问1详解】 设函数解析式为， 因为二次函数的图象经过三点， 则，解得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 ，即，可化为， 当时，恒成立，即，其中， 令， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 的对称轴为， 当时，函数在区间上单调递减，则， 当，即时，， 当时，函数在区间上单调递增，则， 综上. 18. 已知定义域为的函数是奇函数. （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 函数为上的减函数，证明如下： 对于任意实数，令，则， 因， 则 又，则，即， 故为上的减函数； （3） 【解析】 【分析】（1）根据求出，并利用奇偶性的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用奇偶性和单调性求解. 【小问1详解】 因为定义域内的奇函数，则，解得， 此时，， 又定义域为关于原点对称，则为奇函数，符合题意， 故； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因是奇函数， 则可化为， 又是上的减函数，则，解得， 故不等式的解集为. 19. 定义，． （1）用解析式表示并求的最小值； （2）证明： （3）设若对任意都存在使得求实数b的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 当时， 等式右边； 当时，， 等式右边； （3） 【解析】 【分析】（1）按，的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明即可； （3）令，，由第（2）小问知：，，然后把题意转化为，都大于等于2，对任意恒成立，可得答案. 【小问1详解】 设，． 当或时，，故； 当时，，故． 因此，， 的最小值为1； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 依题意知：在[0，4]上的值域是在上的值域的子集， 由于在上单调递增，值域为， 因此，只需满足对任意，有． ， ， 令，，， 由（2）知：，， 要使对任意恒成立， 又对任意恒成立， 所以只需对任意恒成立， 当时，不成立；当时，，故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $