专题01 数据分析（期末复习讲义）九年级数学上学期冀教版

该初中数学期末复习讲义以“数据分析”为专题，通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，构建“反映数据集中趋势的统计量、离散程度的统计量、用样本估计总体”三大知识模块，每个模块均以定义、公式、示例相结合的方式呈现知识脉络，清晰展现各统计量的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于创新设计八大题型分类训练，涵盖算术平均数、加权平均数、中位数、众数、方差等，例题与变式题结合实际情境如成绩评定、消费价格指数等，培养学生数据意识与应用意识。设置基础通关练和重难突破练分层练习，基础题巩固运算能力，综合题提升推理意识，既支持学生自主复习，又为教师实施精准化教学提供有力支持。

专题01 数据分析（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平均数与加权平均数的计算 能熟练计算普通平均数，能结合权重准确求解加权平均数 基础必考点，小题、大题均有涉及；易错点是加权平均数中混淆权重比例，计算时漏乘权重；命题趋势常结合成绩评定、统计调查等实际情境 中位数与众数的求解 能按“排序→定位”步骤求中位数，能快速找出一组数据的众数 高频基础考点，多以选择题、填空题形式呈现；易错点是求中位数前未对数据排序 方差与标准差的计算 能按“求平均数→算差值平方→求平均”的步骤规范计算方差，能通过方差求出标准差 重点考点，小题、大题均可能涉及；易错点是计算差值平方时符号出错、漏算平均数步骤 用样本估计总体 能通过样本的集中趋势（平均数、中位数等）和离散程度（方差等）统计量，合理估计总体的相应分布特征 重点综合考点，常以解答题或图文结合小题呈现；易错点是忽略样本的代表性与随机性，直接用特殊样本推断总体 知识点01 反映数据集中趋势的统计量 1．平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数。 2．加权平均数：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 示例：某校学生某科目期末评价成绩是由第一次月考、期中考试、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来计算，且已知小王的第一次月考、期中考试、期末考试分别为70,60,80，求小王的该科目的期末评价成绩 解：设小王的期末考试成绩为分 3．中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 特性：一组数据的中位数唯一，可能在数据中，也可能不在数据中；中位数以上和以下的数据各占一半。 4． 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为众数，反应数据的集中水平 示例：求数据的中位数和众数。 解：中位数的计算： ①先将数据按从小到大排序：； ②数据个数为奇数（个），取中间第4个数； ③故中位数为。 数据的众数为5（5出现了2次，其余数据只出现1次） 知识点02反映数据离散程度的统计量 1．极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差，反映数据的变化范围。 公式：极差=最大值最小值。 2．方差：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数，即为方差，记作。 公式：。 意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 ·示例：求数据的方差。 ①； ②； 3．标准差 定义：方差的算术平方根，记作（即），同样用于反映数据的波动大小。 知识点03用样本估计总体 用样本的频率分布估计总体分布：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，这时，我们用样本的频率分布去估计总体的频率分布情况。 题型一 算术平均数 【例1】甲、乙、丙、丁四人参加某次电脑技能比赛．甲、乙两人的平均成绩为分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低分，比丁的成绩高分，那么他们四人的平均成绩为（   ）分． A． B． C． D． 【例2】若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【变式1-1】若一组数据，，，，的平均数为，则，的平均数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】为纪念中国人民抗日战争胜利周年，某班组织了一次抗战知识竞赛，其中名同学的平均成绩为分，另外名同学的平均成绩为分，则这名同学的平均成绩为 分． 【变式1-3】若一组数据的平均数为，则另一组数据的平均数是 ． 题型二 加权平均数 【例3】河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题的比例命题，满分为120分．若小明容易题得分率、中档题得分率、较难题得分率，则他的最终成绩是（    ） A．96分 B．98分 C．100分 D．102分 【例4】如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【变式2-1】某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． (1)求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 【变式2-2】国家统计局2022年6月10日公布了2022年1至5月全国居民消费价格指数上涨为1.5%，其中城市上涨1.6%，农村上涨1.2%，请问在全国居民消费价格指数构成中，城市的权重为 ．（百分比） 【变式2-3】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 题型三 中位数 【例5】若数据8，7，7，6，5，5，x的平均数是6，则这组数据的中位数是（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【例6】点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【变式3-1】小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是 环． 环数 5 6 7 8 9 10 次数 2 3 4 5 5 1 【变式3-2】小红等五名同学五月份参加某次数学测验的成绩如下：90、90、y、y、70．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数y的值为 ． 【变式3-3】在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 题型四 众数 【例7】一组数据：15，15，13，17，15，18，17．这组数据的众数是 ． 【例8】已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是 ． 【变式4-1】某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数和中位数是（   ） A．岁和岁 B．岁和岁 C．岁和岁 D．岁和岁 【变式4-2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（ ） 鞋的尺码/cm 22 23 24 25 销售量（双） 2 3 12 17 9 5 2 A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 【变式4-3】一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ． 题型五 方差与标准差 【例9】运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【例10】若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 【变式5-1】为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”） ． 【变式5-2】一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶次，成绩统计如下： 命中环数 甲命中相应环数的次数 乙命中相应环数的次数 (1)请分别求出甲、乙命中环数的平均数； (2)若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？ 题型六 统计量的选择 【例11】学校运动会开幕式上，某班级计划在走方阵时从以下四个角色中选择一个作为领队进行扮演，经班级学生投票后，决定选择哪吒作为领队角色．这样决定依据的统计量是（    ） 角色 孙悟空 哪吒 唐僧 杨戬 投票人数 10 20 12 6 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【例12】第一次考试公布成绩后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，嘉嘉说：“我们组成绩是88分的同学最多”，琪琪说：“我们组的11位同学成绩排在最中间的恰好也是88分”，上面两位同学的话能反映的统计量是（  ） A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和中位数 【变式6-1】“信阳毛尖”是中国十大名茶之一，在今年清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的信阳毛尖（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装信阳毛尖的进货数量，影响经销商决策的统计量是（    ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 16 20 18 10 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【变式6-2】学校班级成绩管理的要求是：在消除学生成绩两极分化和低分现象的基础上实现整体成绩优秀．下列有关班级学生成绩的统计量中，最能体现班级成绩管理要求的是（    ） A．平均成绩高，成绩方差小 B．平均成绩低，成绩方差小 C．平均成绩低，成绩方差大 D．平均成绩高，成绩方差大 【变式6-3】某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） (2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． (3)该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 题型七 用样本估计总体 【例13】某校九年级480名学生参加“信息素养提升”培训，在培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并将成绩记为“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”五种等级，为了解培训效果，随机抽取了32名学生的两次测试成绩，并制成如下统计表格： 培训前 成绩/分 6 7 8 9 10 划记 正正丅 正丅 正 人数/人 12 4 7 5 4 培训后 成绩/分 6 7 8 9 10 划记 一 正 正正正 人数/人 3 1 4 9 15 (1)若被抽取的学生培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n，则m________n；（填“＞”、“＜”或“=”） (2)这32名学生经过培训后，平均成绩达到了________分。 (3)若学校规定得分9分及以上的学生可以获得“信息素养提升优秀学员”称号，请你估计九年级480名学生经过培训后获得“信息素养提升优秀学员”的学生人数为________． 【例14】某中学以小元同学所在班级为例，对该班学生最喜爱的各类运动项目的情况进行了调查统计（最喜爱的项目只能选一项），并把调查的结果绘制成了如下图所示的两种不完全统计图，请你根据信息回答下列问题： (1)小元所在的班级共有多少名学生？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)如果该中学总计有名学生，请你估计全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有多少人． 【变式7-1】下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表： 月用电量（千瓦时/户/月） 户数（户） 6 15 11 14 4 已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有 户． 【变式7-2】年3月日是第届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查共抽取了________名学生， (2)补全上面不完整的条形统计图； (3)根据比赛规则，分及以上（含分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数． 【变式7-3】“青少年视力健康”受到社会的广泛关注，某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查，根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： (1)扇形统计图中“高度近视”对应的扇形圆心角的度数为______． (2)请直接补全条形统计图． (3)该校共有学生1600名，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 题型八 数据分析综合 【例15】近日，榨菜咖啡走红网络，咖啡主理人受涪陵榨菜三腌三榨传统工艺启发，将榨菜的咸鲜与咖啡的醇苦融合，形成“咸引醇，脆衬柔”的复合体验．主理人准备推出新品“浮云沉香”，招募了一批咖啡体验员，分成了青年组和中年组两组，分别对“浮云沉香”打分．从这两组对咖啡的喜爱度打分中各随机抽取了20个体验员的打分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，分为四组：A．，B． ，C． ，．），下面给出了部分信息： 抽取的青年组的打分：66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100； 抽取的中年组打分在C组的数据：88，87，82，87，80，87，85． 抽取的对“浮云沉香”的打分情况统计表 组别 平均数 中位数 众数 D组所占百分比 青年组 86 86 b 中年组 86 a 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________；______； (2)根据以上数据，你认为咖啡正式上市后，会更受青年、中年哪个年龄段的人喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若青年组有800人，中年组有1000人对咖啡进行打分，估计其中打分在C等级一共有多少人？ 【例16】某科技研究部门设计了一款智能机器人，为了解该智能机器人的操作技能情况，将同一组动作与人工进行对比，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制，单位：分）如图所示，统计数据如下表所示． (1)在下面表格中，________，________，________； 平均数 众数 中位数 方差 人工 89 90 115.2 机器人 95 8.2 (2)根据以上数据，从平均数和方差的角度分析机器人和人工操作在技能方面谁更具有优势，并说明理由． 【变式8-1】为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是，平均数是．那么这组数据的方差是 ． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 【变式8-2】为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，现对他们在近六场比赛中得分、篮板和失误三个方面数据进行统计． 甲、乙两名队员比赛得分折线统计图： 甲、乙两名队员技术统计表如下： 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是______（填“甲”或“乙”）； (2)求甲队员得分的中位数和众数； (3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【变式8-3】某班40名学生进行数学小测试，随机抽取10人的测试成绩如下：16，18，15，12，20，17，18，14，18，19． (1)写出这组数据的中位数和众数； (2)小明抄录这组数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，他抄错的原成绩是多少？ (3)已知全班的平均分是分．小亮说：“所抽取的这10名学生成绩与全班相比，平均水平更高．”通过计算说明小亮的说法是否正确． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．生物工作者为了估计一片山林中喜鹊的数量，进行了如下试验：先捕捉50只喜鹊，给它们做上标记后放回山林，一段时间后，再从中随机捕捉300只，发现其中有标记的喜鹊有5只请你帮助工作人员，估计这片山林中喜鹊的数量为（    ）只． A．300 B．500 C．3000 D．1500 2．在一组数据2，3，3，4中加入数字3，组成一组新的数据，对比前后两组数据，发生变化的是（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 3．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元，3元，2元，1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 5．如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 6．某工厂生产的商品有A，B两种型号，为了了解它们的质量是否符合标准，分别抽取了这两种型号的商品各5件进行调查，并将两组数据绘制成折线统计图（如图所示）．这两组数据的下列统计量中，可能相等的是（　　） 抽取的两种型号商品的质量折线统计图 A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 7．学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如右表所示，学校最终决定购买蓝色校服，其参考的统计量是（   ） 颜色 黑色 白色 蓝色 学生人数 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 8．某校九年级有8个班级，人数分别为．若这组数据的众数为42，则这组数据的中位数为 ． 9．小明用，计算一组数据的方差，那么 ． 10．现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若增加一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值不可能为 ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为 ． 2．小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 3．某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 80 90 面试 93 71 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） (1)请算出三人的民主评议得分； (2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； (3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 4．为纪念中国工农红军长征胜利89用年，某学校组织开展了以“重走长征路，奋进新征程”为主题的红色知识竞赛活动．从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A．，B．．C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，72，77，80，82，84，85，85，86，86，88，89，94，94，94，98，99，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 87 九年级 88 95 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的 ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有860名，九年级有940名学生参加了此次以“重走长征路，奋进新征程”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 5．为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题： 女生一周锻炼时间频数分布表 分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率 1小时 2 2小时 a 3小时 4 4小时 b (1)求出统计表中a，b的值以及随机抽取学生的总人数； (2)求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？ (3)为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 数据分析（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 平均数与加权平均数的计算 能熟练计算普通平均数，能结合权重准确求解加权平均数 基础必考点，小题、大题均有涉及；易错点是加权平均数中混淆权重比例，计算时漏乘权重；命题趋势常结合成绩评定、统计调查等实际情境 中位数与众数的求解 能按“排序→定位”步骤求中位数，能快速找出一组数据的众数 高频基础考点，多以选择题、填空题形式呈现；易错点是求中位数前未对数据排序 方差与标准差的计算 能按“求平均数→算差值平方→求平均”的步骤规范计算方差，能通过方差求出标准差 重点考点，小题、大题均可能涉及；易错点是计算差值平方时符号出错、漏算平均数步骤 用样本估计总体 能通过样本的集中趋势（平均数、中位数等）和离散程度（方差等）统计量，合理估计总体的相应分布特征 重点综合考点，常以解答题或图文结合小题呈现；易错点是忽略样本的代表性与随机性，直接用特殊样本推断总体 知识点01 反映数据集中趋势的统计量 1．平均数：一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，简称平均数。 公式：若有个数，则平均数。 2．加权平均数：若出现次，出现次，…，出现次（且），则加权平均数（此时“权”为数据出现的次数）。 示例：某校学生某科目期末评价成绩是由第一次月考、期中考试、期末考试三项成绩按1：3：6的权重来计算，且已知小王的第一次月考、期中考试、期末考试分别为70,60,80，求小王的该科目的期末评价成绩 解：设小王的期末考试成绩为分 3．中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 特性：一组数据的中位数唯一，可能在数据中，也可能不在数据中；中位数以上和以下的数据各占一半。 4． 众数：一组数据中出现次数最多的数据称为众数，反应数据的集中水平 示例：求数据的中位数和众数。 解：中位数的计算： ①先将数据按从小到大排序：； ②数据个数为奇数（个），取中间第4个数； ③故中位数为。 数据的众数为5（5出现了2次，其余数据只出现1次） 知识点02反映数据离散程度的统计量 1．极差：用一组数据中的最大值减去最小值所得的差，反映数据的变化范围。 公式：极差=最大值最小值。 2．方差：设有个数据，先求这组数据的平均数，再计算各数据与平均数差的平方的平均数，即为方差，记作。 公式：。 意义：方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。 ·示例：求数据的方差。 ①； ②； 3．标准差 定义：方差的算术平方根，记作（即），同样用于反映数据的波动大小。 知识点03用样本估计总体 用样本的频率分布估计总体分布：从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息，这时，我们用样本的频率分布去估计总体的频率分布情况。 题型一 算术平均数 【例1】甲、乙、丙、丁四人参加某次电脑技能比赛．甲、乙两人的平均成绩为分，他们两人的平均成绩比丙的成绩低分，比丁的成绩高分，那么他们四人的平均成绩为（   ）分． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】∵甲、乙两人的平均成绩为分，∴甲、乙的总成绩为分． ∵平均成绩比丙的成绩低分，∴丙的成绩为分． ∵平均成绩比丁的成绩高分，∴丁的成绩为分． ∴四人的总成绩为(分)． ∴四人的平均成绩为(分)． 故选B． 【例2】若一组数据4，5，，6，7的平均数是5，则的值为（   ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【详解】解：由题意，， 解得； 故选B． 【变式1-1】若一组数据，，，，的平均数为，则，的平均数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：一组数据，，，，的平均数为， ， ， 、的平均数为， 故选： B． 【变式1-2】为纪念中国人民抗日战争胜利周年，某班组织了一次抗战知识竞赛，其中名同学的平均成绩为分，另外名同学的平均成绩为分，则这名同学的平均成绩为 分． 【答案】 【详解】解：名同学的总成绩为 （分）， 名同学的总成绩为 （分）， 名同学的总成绩为 （分）， 这名同学的平均成绩为 （分）， 故答案为：． 【变式1-3】若一组数据的平均数为，则另一组数据的平均数是 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 题型二 加权平均数 【例3】河北中考数学试卷按容易题、中档题、较难题的比例命题，满分为120分．若小明容易题得分率、中档题得分率、较难题得分率，则他的最终成绩是（    ） A．96分 B．98分 C．100分 D．102分 【答案】A 【详解】解：根据题意，得 （分） 则他的最终成绩是分． 故选：A． 【例4】如表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则 ． 分数 70 80 90 100 人数 1 3 x 1 【答案】 【分析】 【详解】解：根据题意和图表可得， 解得： 故答案为：． 【变式2-1】某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．有3名选手的得分如下：根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）． 序号 1 2 3 笔试成绩/分 85 92 88 面试成绩/分 90 88 90 现得知1号选手的综合成绩为88分． (1)求笔试成绩和面试成绩各占的百分比； (2)求出其余两名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定第一名人选． 【答案】(1)笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和 (2)2号89.6分；3号89.2，第一名人选是2号 【分析】 【详解】（1）解：设笔试成绩和面试成绩各占的百分比是x和y，根据题意得： 解得： 答：笔试成绩和面试成绩各占的百分比是和． （2）解∶ 2号选手的综合成绩为：， 3号选手的综合成绩为：， 号选手第一，3号选手第二，1号选手第三， 答：2号选手的综合成绩为89.6，3号选手的综合成绩为89.2，根据综合成绩排名第一名是2号． 【点睛】考查加权平均数的计算方法，理解“权”对平均数的影响是解决问题的关键，掌握计算方法是前提． 【变式2-2】国家统计局2022年6月10日公布了2022年1至5月全国居民消费价格指数上涨为1.5%，其中城市上涨1.6%，农村上涨1.2%，请问在全国居民消费价格指数构成中，城市的权重为 ．（百分比） 【答案】 【详解】解：设城市的权重为x， 根据题意得： 故答案为：． 【点睛】本题考查权重的意义，根据权重的意义列式计算是解题的关键． 【变式2-3】一家公司招考某工作岗位，只考数学和物理，计算综合得分时，按数学占 60%，物理占 40%计算，如果孔明数学得分为 80 分，估计综合得分最少要达到84分才有希望，那么他的物理最少要考（    ）分 A．86 B．88 C．90 D．92 【答案】C 【详解】设物理要考x分，由题意得： 解得：x=90 即物理最少要考90分，才能使综合得分最少达到84分 故选：C． 【点睛】本题考查了加权平均数，根据加权平均数的计算公式列出方程解决，因此掌握加权平均数的计算公式是关键． 题型三 中位数 【例5】若数据8，7，7，6，5，5，x的平均数是6，则这组数据的中位数是（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵数据8，7，7，6，5，5，x的平均数是6，且共有7个数据， ∴数据总和为． ∵已知数据8、7、7、6、5、5之和为， ∴， ∴所有数据为：8，7，7，6，5，5，4． 将数据从小到大排序：4，5，5，6，7，7，8． ∵数据个数为7，中位数为第4个数据， ∴中位数为6． 故选：C． 【例6】点点同学对数据26，36，26，46，5■，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．标准差 【答案】B 【分析】 【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为36与46的平均数，与被涂污数字无关． 故选：B． 【变式3-1】小明参加了中国传统文化课程——射箭，在一次练习中，他的成绩如下表所示：那么他成绩的中位数是 环． 环数 5 6 7 8 9 10 次数 2 3 4 5 5 1 【答案】 8 【分析】 【详解】解：总射击次数：，中位数是第10、11个数据的平均数， 累加次数：环数5（2个）、6（3个，累计5个）、7（4个，累计9个）、8（5个，累计14个）， 第10、11个数据均为8， 故答案为：． 【变式3-2】小红等五名同学五月份参加某次数学测验的成绩如下：90、90、y、y、70．已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数y的值为 ． 【答案】50或100 【详解】解：数据总和为， 故平均数为， 当时，数据排序为、、70、90、90，则中位数为70， 故，解得，符合； 当时，数据排序为70、、、90、90，则中位数为， 故，解得，不是整数，舍去； 当时，数据排序为70、90、90、、，则中位数为90， 故，解得，符合； 综上所述，整数的值为50或100， 故答案为：50或100． 【变式3-3】在一组数据21，30，8，5，20中插入一个数，恰好得中位数是19，则插入的数是 ． 【答案】18 【分析】 【详解】解：∵5，8，20，21，30中插入一个数x， ∴数据共有6个数，20为中间的一个数， ∵该组数据的中位数是19， ∴， 解得． 故答案为：18． 题型四 众数 【例7】一组数据：15，15，13，17，15，18，17．这组数据的众数是 ． 【答案】 15 【分析】 【详解】解：在这组数据中，15出现3次，13出现1次，17出现2次，18出现1次， 因此15出现的次数最多， 所以众数是15， 故答案为：15． 【例8】已知一组数据1，2，4，6，x的众数是2，则这组数据的平均数是 ． 【答案】3 【分析】 【详解】解：∵数据1，2，4，6，x的众数是2， ∴， ∴这组数据为1，2，4，6，2， 其平均数为， 故答案为：3． 【变式4-1】某男子足球队队员的年龄分布如图所示，这些队员年龄的众数和中位数是（   ） A．岁和岁 B．岁和岁 C．岁和岁 D．岁和岁 【答案】D 【详解】解：从图中可知：21 岁 3 人、22 岁 1 人、23 岁 2 人、24 岁 5 人、25 岁 1 人； 众数：24 岁（出现次数最多）； 总人数：，中位数是第 6、7 个数的平均数，排序后第 6、7 个数平均数为 岁，故中位数为 岁； 故选D． 【变式4-2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋50双，各种尺码的鞋的销售量如下表所示：若每双鞋的销售利润相同，店主再进一批女鞋时，打算多进尺码为的鞋，你认为他做这个决定是重点关注了下列统计量中的（ ） 鞋的尺码/cm 22 23 24 25 销售量（双） 2 3 12 17 9 5 2 A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数 【答案】A 【详解】解：∵ 众数是一组数据中出现次数最多的值， ∴ 由销售数据表可知，尺码的销售量为17双，是最高值， ∴ 众数为， ∴ 店主重点关注了众数． 故选：A． 【变式4-3】一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5(x为正整数)，唯一的众数是4，则数据x是 ． 【答案】1或2 【分析】 【详解】解：∵一组从小到大排列的数据：x，3，4，4，5（x为正整数），唯一的众数是4， ∴， 由x为正整数, 故数据x是1或2． 故答案为：1或2． 题型五 方差与标准差 【例9】运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【答案】A 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 【例10】若样本，，…，的平均数为10，方差为6，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（   ） A．平均数为10，方差为6 B．平均数为12，方差为6 C．平均数为12，方差为8 D．平均数为13，方差为9 【答案】B 【详解】解：∵样本，，…，的平均数为10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的平均数为12； ∵样本，，…，的方差为6， ∴， ∴， ∴ ， ∴样本，，…，的方差为6， 故选：B． 【变式5-1】为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为，，则这两种小麦长势更整齐的是（填“甲”或“乙”） ． 【答案】甲 【详解】解：∵，，且， ∴甲种小麦的方差较小，长势更整齐． 故答案为：甲． 【变式5-2】一组数据：，，，，，若加入一个数后，方差变小，则最可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意，原数据的平均数为， 加入一个数a后，原数据的个数变为6，平均数为，要使加入a后方差变得更小，那么a应该更接近原数据的平均数6.6， 在各选项中，∵，，，，又， ∴时最接近平均数6.6，此时方差最小， ∴a最可能为7， 故选：D． 【变式5-3】甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶次，成绩统计如下： 命中环数 甲命中相应环数的次数 乙命中相应环数的次数 (1)请分别求出甲、乙命中环数的平均数； (2)若从甲、乙两人射击成绩方差的角度评价两人的射击水平，则谁的射击成绩更稳定些？ 【答案】(1)甲命中环数的平均数为环，乙命中环数的平均数为环 (2)乙同学的射击成绩比较稳定 【分析】 【详解】（1）解：甲命中环数的平均数为（环）， 乙命中环数的平均数为（环）； （2）甲的方差为， 乙的方差为， ， 乙同学的射击成绩比较稳定． 题型六 统计量的选择 【例11】学校运动会开幕式上，某班级计划在走方阵时从以下四个角色中选择一个作为领队进行扮演，经班级学生投票后，决定选择哪吒作为领队角色．这样决定依据的统计量是（    ） 角色 孙悟空 哪吒 唐僧 杨戬 投票人数 10 20 12 6 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】 【详解】解：根据表格得，选择哪吒的学生最多， ∴这样决定依据的统计量是众数． 故选C． 【例12】第一次考试公布成绩后，班里有两位同学议论他们所在小组同学的数学成绩，嘉嘉说：“我们组成绩是88分的同学最多”，琪琪说：“我们组的11位同学成绩排在最中间的恰好也是88分”，上面两位同学的话能反映的统计量是（  ） A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．众数和方差 D．众数和中位数 【答案】D 【详解】解：由题意得，上面两位同学的话能反映的统计量是众数和中位数， 故选：D． 【变式6-1】“信阳毛尖”是中国十大名茶之一，在今年清明节前后，某茶叶经销商对甲、乙、丙、丁四种包装的信阳毛尖（售价、利润均相同）在一段时间内的销售情况统计如下表，最终决定增加乙种包装信阳毛尖的进货数量，影响经销商决策的统计量是（    ） 包装 甲 乙 丙 丁 销售量（盒） 16 20 18 10 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 【答案】C 【详解】解：由表格数据可知，， ∴这组数据中乙出现次数最多，因此的众数是乙，即影响经销商决策的统计量是众数． 故选：C． 【变式6-2】学校班级成绩管理的要求是：在消除学生成绩两极分化和低分现象的基础上实现整体成绩优秀．下列有关班级学生成绩的统计量中，最能体现班级成绩管理要求的是（    ） A．平均成绩高，成绩方差小 B．平均成绩低，成绩方差小 C．平均成绩低，成绩方差大 D．平均成绩高，成绩方差大 【答案】A 【详解】解：依题意，整体优秀，要求平均分高；方差越小，波动性越小，越稳定． ∴最能体现班级成绩管理要求的是平均成绩高，成绩方差小， 故选：A 【变式6-3】某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对这8名学生的成绩进行了收集、整理、分析． 【收集数据】 甲班8名学生竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75， 乙班8名学生竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56， 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取学生的成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取学生的竞赛成绩统计表， 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 80 n 乙班 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： (1)填空：______，______，______填“>”“<”或“=”） (2)请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． (3)该校共有800人参加了此次竞赛活动，估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有多少人？ 【答案】(1)84，80，； (2)甲班成绩较好，理由见解析 (3)550人 【分析】 【详解】（1）解：乙班成绩从小到大排列：56，75，79，83，85，90，90，100， ， 甲班成绩出现次数最多的数据为，故， 由“抽取学生的竞赛成绩折线统计图”可知：甲班学生的成绩更集中， ， 故答案为：84，80，； （2）甲班成绩较好，理由如下： ①从平均数和优秀率的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但甲班优秀率高于乙班，所以甲班成绩比乙班好； ②从平均数和方差的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的成绩比较好答案不唯一； （3）人， 答：估计全校参加此次竞赛活动成绩在80分及以上的学生人数共有550人． 题型七 用样本估计总体 【例13】某校九年级480名学生参加“信息素养提升”培训，在培训前、后各参加了一次水平相同的测试，并将成绩记为“6分”、“7分”、“8分”、“9分”、“10分”五种等级，为了解培训效果，随机抽取了32名学生的两次测试成绩，并制成如下统计表格： 培训前 成绩/分 6 7 8 9 10 划记 正正丅 正丅 正 人数/人 12 4 7 5 4 培训后 成绩/分 6 7 8 9 10 划记 一 正 正正正 人数/人 3 1 4 9 15 (1)若被抽取的学生培训前测试成绩的中位数是m，培训后测试成绩的中位数是n，则m________n；（填“＞”、“＜”或“=”） (2)这32名学生经过培训后，平均成绩达到了________分。 (3)若学校规定得分9分及以上的学生可以获得“信息素养提升优秀学员”称号，请你估计九年级480名学生经过培训后获得“信息素养提升优秀学员”的学生人数为________． 【答案】(1) (2)9 (3)360 【分析】 【详解】（1）解：由频数分布表可得：培训前的中位数为： 培训后的中位数为： 所以 故答案为：； （2）培训后的平均成绩为； 故答案为：9； （3）根据统计表培训后获得“信息素养提升优秀学员”的占比为， 又， 所以估计九年级480名学生经过培训后获得“信息素养提升优秀学员”的学生人数为360人； 故答案为：360． 【例14】某中学以小元同学所在班级为例，对该班学生最喜爱的各类运动项目的情况进行了调查统计（最喜爱的项目只能选一项），并把调查的结果绘制成了如下图所示的两种不完全统计图，请你根据信息回答下列问题： (1)小元所在的班级共有多少名学生？ (2)通过计算补全条形统计图； (3)如果该中学总计有名学生，请你估计全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有多少人． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）解：（名） 答：小元所在的班级共有名学生． （2）解：（名） 喜欢篮球运动的有5名学生． 补全图形如下 （3）解：（人） 答：全校学生中最喜欢篮球和跳绳运动的学生共有人． 【变式7-1】下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表： 月用电量（千瓦时/户/月） 户数（户） 6 15 11 14 4 已知月用电量第二档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第二档的家庭有 户． 【答案】400 【详解】解：样本中月用电量第二档的户数为户，样本总户数为50户， 因此样本中第二档的百分比为， 由此估计全小区500户家庭中用电量在第二档的家庭有户， 故答案为：400． 【变式7-2】年3月日是第届世界水日，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：分）制成如图所示的扇形统计图和条形统计图． 请根据统计图回答下列问题： (1)本次调查共抽取了________名学生， (2)补全上面不完整的条形统计图； (3)根据比赛规则，分及以上（含分）的学生有资格进入第二轮知识竞赛环节，请你估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数． 【答案】(1) (2)图见解析 (3)名 【分析】 【详解】（1）解：本次调查共抽取的人数为（名）， 故答案为：； （2）解：分人数为（名）， 补全条形统计图如下： （3）解：（名． 答：估计全校名学生进入第二轮知识竞赛环节的人数是名． 【变式7-3】“青少年视力健康”受到社会的广泛关注，某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查，根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题： (1)扇形统计图中“高度近视”对应的扇形圆心角的度数为______． (2)请直接补全条形统计图． (3)该校共有学生1600名，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)560人． 【分析】 【详解】（1）所抽取的学生人数为：（人）， 中度近视的学生人数为：（人）， 高度近视的学生人数为：（人）， 扇形统计图中“高度近视”对应的扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：； （2）补全条形统计图，如下： （3）（人）， 答：请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数为560人． 题型八 数据分析综合 【例15】近日，榨菜咖啡走红网络，咖啡主理人受涪陵榨菜三腌三榨传统工艺启发，将榨菜的咸鲜与咖啡的醇苦融合，形成“咸引醇，脆衬柔”的复合体验．主理人准备推出新品“浮云沉香”，招募了一批咖啡体验员，分成了青年组和中年组两组，分别对“浮云沉香”打分．从这两组对咖啡的喜爱度打分中各随机抽取了20个体验员的打分（百分制），并对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，分为四组：A．，B． ，C． ，．），下面给出了部分信息： 抽取的青年组的打分：66，68，76，77，79，79，84，85，86，86，86，86，90，92，94，94，95，97，100，100； 抽取的中年组打分在C组的数据：88，87，82，87，80，87，85． 抽取的对“浮云沉香”的打分情况统计表 组别 平均数 中位数 众数 D组所占百分比 青年组 86 86 b 中年组 86 a 87 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，________；______； (2)根据以上数据，你认为咖啡正式上市后，会更受青年、中年哪个年龄段的人喜欢？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若青年组有800人，中年组有1000人对咖啡进行打分，估计其中打分在C等级一共有多少人？ 【答案】(1)，86，5 (2)我认为会更受中年组喜欢，见解析 (3)590人 【分析】 【详解】（1）解：∵抽取的中年组打分在组的数据：，，，，，，，共个， ∴组所占百分比为， ∴组所占百分比为：， ∴， ∴中年组组人数为（人），组人数为（人），组人数为人，组人数为（人）， ∴中年组中位数为第个和第个数据，即落在组， 由，，，，，，从小到大排序为：，，，，，，， ∴， 由抽取的青年组打分可知出现次最多， ∴， 故答案为：，，； （2）解：我认为会更受中年组喜欢．理由如下： 青年组对咖啡打分的中位数为86分，中年组对咖啡打分的中位数为． ∵ ∴咖啡会更受中年组喜欢． （3）（人） 答：估计青年组、中年组其中打分在C等级一共有590人． 【例16】某科技研究部门设计了一款智能机器人，为了解该智能机器人的操作技能情况，将同一组动作与人工进行对比，机器人和人工各操作10次，测试成绩（百分制，单位：分）如图所示，统计数据如下表所示． (1)在下面表格中，________，________，________； 平均数 众数 中位数 方差 人工 89 90 115.2 机器人 95 8.2 (2)根据以上数据，从平均数和方差的角度分析机器人和人工操作在技能方面谁更具有优势，并说明理由． 【答案】(1)92；100；91.5 (2)机器人在技能方面更具有优势；理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：由题意得：； 在人工这10个数据中，100出现了三次，出现最多次，所以； 把智能机器人这10次数据按从小到大排列为88、89、89、90、91、92、95、95、95、96，所以中位数是第5和第6个数据之和的平均数，即为； 故答案为92；100；91.5． （2）解：机器人在技能方面更具有优势； 理由：由（1）知机器人操作技能成绩的平均数为92分， ， 机器人操作技能成绩的平均数比人工操作技能成绩的平均数高，说明机器人动作操作较准确； ， 机器人操作技能成绩的方差比人工操作成绩的方差小，说明机器人操作动作更稳定，偏差较小； 综上，机器人在技能方面更具有优势． 【变式8-1】为迎接五月份全县中考体育测试，小强每天坚持引体向上锻炼，他记录了某周每天做引体向上的个数，如下表：其中有三天的个数被墨汁覆盖了，但小强已经得出这组数据的众数是，平均数是．那么这组数据的方差是 ． 星期 日 一 二 三 四 五 六 个数 【答案】 【分析】 【详解】解：设被覆盖的三天数据为， ∴ ∵众数为13，且已知数据中出现一次， ∴ 中至少有两个， 设，则， 所有数据为， ∴平均数： ， ∴方差． 故答案为：． 【变式8-2】为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，现对他们在近六场比赛中得分、篮板和失误三个方面数据进行统计． 甲、乙两名队员比赛得分折线统计图： 甲、乙两名队员技术统计表如下： 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． (1)这六场比赛中，得分更稳定的队员是______（填“甲”或“乙”）； (2)求甲队员得分的中位数和众数； (3)规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】(1)甲 (2)中位数为分，众数是28分 (3)乙队员表现更好 【分析】 【详解】（1）解：从比赛得分统计图观察，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度，所以得分更稳定的队员是甲， 故答案为：甲． （2）解：把甲的六次成绩按从小到大的顺序排序，第三个、第四个的成绩分别为27和28， 所以中位数为（分）， 甲的六次成绩中28出现的次数最多，所以众数是28分． （3）解：甲的综合得分为：（分）， 乙的综合得分为：（分）， ∵， ∴乙队员表现更好． 【变式8-3】某班40名学生进行数学小测试，随机抽取10人的测试成绩如下：16，18，15，12，20，17，18，14，18，19． (1)写出这组数据的中位数和众数； (2)小明抄录这组数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，他抄错的原成绩是多少？ (3)已知全班的平均分是分．小亮说：“所抽取的这10名学生成绩与全班相比，平均水平更高．”通过计算说明小亮的说法是否正确． 【答案】(1)中位数为，众数为18 (2)18 (3)小亮的说法正确 【分析】 【详解】（1）解：样本数据重新排列为：12，14，15，16，17，18，18，18，19，20． 中位数为， 18出现了三次，出现次数最多，则众数为18． （2）解：小明抄录数据时有一个成绩抄错，导致众数发生变化，除18外，其它数各不相同， ∴抄错一个后，其它各数最多有2个，众数不会变化， ∴他抄错的原成绩是18分． （3）解：小亮的说法正确．理由如下： 样本数据的平均数为， ， ∴小亮的说法正确． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．生物工作者为了估计一片山林中喜鹊的数量，进行了如下试验：先捕捉50只喜鹊，给它们做上标记后放回山林，一段时间后，再从中随机捕捉300只，发现其中有标记的喜鹊有5只请你帮助工作人员，估计这片山林中喜鹊的数量为（    ）只． A．300 B．500 C．3000 D．1500 【答案】C 【分析】详解】∵第二次捕捉300只中，有标记的喜鹊有5只， ∴有标记鸟的比例为， 又∵总标记鸟数为50只， ∴ ∴估计这片山林中喜鹊的数量为3000只． 故选：C． 2．在一组数据2，3，3，4中加入数字3，组成一组新的数据，对比前后两组数据，发生变化的是（） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】D 【详解】解：∵原始数据：2，3，3，4；新数据：2，3，3，4，3， 平均数：原始数据平均数， 新数据平均数， ∴平均数未变化． 中位数：原始数据排序后为2，3，3，4，中位数， 新数据排序后为2，3，3，3，4，中位数为3， ∴中位数未变化． 众数：原始数据中3出现次数最多，众数为3， 新数据中3出现次数最多，众数为3， ∴众数未变化． 方差：原始数据方差为， 新数据方差， ∴方差发生变化． 故选D． 3．某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元，3元，2元，1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【详解】解：（元） 因此，这天销售的矿泉水的平均单价是元， 故选：C． 4．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数大于100，可以选择（    ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【答案】A 【分析】详解】解：前5个盲盒的中位数是100，由图可知有两个盲盒质量小于100，两个盲盒质量大于100． A、若选择甲、丁，则有4个盲盒质量大于100，其他不变，故中位数会大于100，因此选项A符合题意； B、若选择乙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，因此选项B不符合题意； C、若选择丙、丁，则有3个盲盒质量小于100，3个大于100，故中位数还是100，因此选项C不符合题意； D、若选择丙、戊，则有4个盲盒质量小于100，其他不变，故中位数会小于100，因此选项D不符合题意； 故选：A． 5．如图，小雨将一学期的五次数学成绩制作成了折线统计图，并计算了5次成绩的方差．当他得知期末数学成绩时，计算出六次成绩的方差，发现，小雨的期末数学成绩可能是（   ） A．82 B．88 C．90 D．93 【答案】A 【详解】解：前5次的平均数为：， ， 小雨的期末数学成绩可能是 故选：A 6．某工厂生产的商品有A，B两种型号，为了了解它们的质量是否符合标准，分别抽取了这两种型号的商品各5件进行调查，并将两组数据绘制成折线统计图（如图所示）．这两组数据的下列统计量中，可能相等的是（　　） 抽取的两种型号商品的质量折线统计图 A．平均数 B．方差 C．中位数 D．众数 【答案】B 【分析】详解】解：根据两种型号商品的质量折线统计图可知，两种型号商品的质量的平均数，中位数，众数都不同， 根据图形的离散程度差不多，故方差可能相等， 故选：B． 7．学校准备购买一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如右表所示，学校最终决定购买蓝色校服，其参考的统计量是（   ） 颜色 黑色 白色 蓝色 学生人数 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】详解】解：由统计表可知，喜欢蓝色校服的学生人数最多，远超过黑色和白色，又因为颜色属于分类数据，无法计算平均数、中位数或方差，所以学校参考的统计量是众数， 答选：． 8．某校九年级有8个班级，人数分别为．若这组数据的众数为42，则这组数据的中位数为 ． 【答案】45 【分析】详解】解：除了a，这组数据包含两个47，两个42， ∵这组数据的众数为42， ∴． 故数据从小到大排序后：42，42，42，44，46，47，47，48． ∵一共有8个数据， ∴中位数为第4和第5个数的平均值，即． 故答案为：45． 9．小明用，计算一组数据的方差，那么 ． 【答案】 【分析】详解】解：由题意得，这10个数据的平均数为3， ∴， 故答案为：． 10．现有一列数：6，3，3，4，5，4，3，若增加一个数后，这列数的中位数仍不变，则的值不可能为 ． 【答案】3（小于4即可，答案不唯一） 【分析】详解】解：这列数从小到大排列为：3，3，3，4，4，5，6， 第四个、第五个数均为4，增加一个数后，数据由7个变为8个，要使中位数不变，则增加的数可以是4或大于4的数，不可能为小于4的数， 故答案为：3（小于4即可，答案不唯一）． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．下列数据5，8，15，m，10，7，的中位数和平均数都相同，则m的值为 ． 【答案】0 【详解】解：由题意得这组数据的平均数为：， 由题意可知分为三种情况， 将原数据除去m后从小到大排序为5， 7， 8， 10， 15； ①当时，排序后数据的中间两数为7， 8，则中位数为中位数为， 由题意得，解得，满足，故此情况成立； ②当时，排序后数据的中间两数为8， m，则中位数为， 由题意得：，解得，不满足，故此情况不成立； ③当时，排序后数据的中间两数为8， 10，则中位数为， 由题意得：，解得．不满足，故此情况不成立． 综上所述，m的值为0． 故答案为：0． 2．小马的期末成绩单如表所示，由于不小心，数学成绩的个位、语文成绩的十位数字均被墨水遮住，则小马的数学成绩是 ． 科目 语文 数学 体育 外语 均分 成绩 9 9 93 94 92 【答案】 【详解】解：设语文的十位上的数字为x，数学个位上的数字是y， ， 解得， ∵，y是正数且，， ∴，， ∴小马的数学成绩是， 故答案为：． 3．某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示： 测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 76 80 90 面试 93 71 68 根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票如图所示，每得一票记作1分，（没有弃权票，每位职工只能推荐1人） (1)请算出三人的民主评议得分； (2)如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用； (3)根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 【答案】(1)甲50分；乙80分；丙70分 (2)乙将被录用 (3)丙将被录用 【分析】 【详解】（1）解：甲的民主评议得分为：（分）， 乙的民主评议得分为：（分）， 丙的民主评议得分为：（分）， （2）解：甲的平均成绩是：（分）， 乙的平均成绩是：（分）， 丙的平均成绩是：（分）， 根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么乙被录用； （3）解：将笔试、面试、民主评议三项测试得分按的比例， 则甲得分：（分）， 乙得分：（分）， 丙得分：（分）， ， 丙将被录用． 4．为纪念中国工农红军长征胜利89用年，某学校组织开展了以“重走长征路，奋进新征程”为主题的红色知识竞赛活动．从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分为四组：A．，B．．C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：68，72，77，80，82，84，85，85，86，86，88，89，94，94，94，98，99，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 八年级 88 87 九年级 88 95 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的 ， ， ； (2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） (3)若该校八年级有860名，九年级有940名学生参加了此次以“重走长征路，奋进新征程”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】(1)30；； (2)九年级学生的知识竞赛成绩更好，因为均值相同，九年级的中位数大于八年级的中位数．（答案不唯一） (3)估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． 【分析】 【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，94出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占， ∴，共5名学生， 又20名学生竞赛成绩得中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：30；；． （2）解：九年级学生的知识竞赛成绩更好， 因为均值相同，九年级的中位数大于八年级的中位数． （3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有860名， 所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有940名， 所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有人． 5．为了了解九年级学生寒假每周的锻炼情况，某校随机抽取九年级名女生和部分男生，对他们一周锻炼的时间进行了调查，四舍五入处理后制作了不完整（部分数据被覆盖）的统计表和统计图．已知一周锻炼2小时的女生人数占随机抽取学生总数的，一周锻炼4小时的男生和女生人数相等．请根据信息，解答下列问题： 女生一周锻炼时间频数分布表 分组（四舍五入后） 频数（学生人数） 频率 1小时 2 2小时 a 3小时 4 4小时 b (1)求出统计表中a，b的值以及随机抽取学生的总人数； (2)求随机抽取的男生一周平均锻炼时间为多少小时？ (3)为了激励学生加强锻炼，学校决定对全年级一周锻炼时间（四舍五入后）达到3小时及3小时以上的学生进行表彰，每人一份奖品，全年级共有名学生，请问学校应准备大约多少份奖品？ 【答案】(1)，，随机抽取的学生总人数为人 (2)随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时 (3)应准备约份奖品 【分析】 【详解】（1）解：由题可得：表中给出“一周锻炼2小时”的女生频率为，故2小时的女生人数， ∵女生人数合计， ∴， ∵2小时的女生人数占随机抽取学生总数的， ∴随机抽取的学生总人数为人， 综上所述：，，随机抽取的学生总人数为人； （2）解：抽取男生人数为人， 又给出“4 小时的男生人数与女生相等”，即男生4小时组有6人， ∴男生4小时所占比例为：， ∴男生3小时所占比例为：， ∴男生1小时人数为：人， 男生2小时人数为：人， 男生3小时人数为：人， ∴男生扇形图信息：1小时占，2小时占，其余两组（3小时、4小时）各占（因为总和须），故男生“四组”对应人数分别为 3， 15， 6， 6， ∴男生锻炼总时长为，平均锻炼时间为小时， ∴随机抽取的男生一周平均锻炼时间为小时； （3）解：全年级需要准备的奖品份数 样本中“3小时及以上”的人数：女生(3小时4人，4小时6人)共人，男生(3小时6人，4小时6人)共人，合计人， 在人的样本中占比，若全年级有人，则预计有人达标，故应准备约份奖品； 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $