专题4.2.3 二项分布与超几何分布（高效培优讲义）数学人教B版2019选择性必修第二册

本讲义聚焦二项分布与超几何分布核心知识点，以n次独立重复试验的“相互独立、结果唯一、概率恒定”特点为基础，构建二项分布定义及概率计算公式，再引入超几何分布的不放回抽样模型及计算逻辑，通过对比两者抽样方式与总体规模特征形成知识支架。 资料以实际问题情境（如产品抽样、比赛胜负）为载体，通过即学即练与多题型例题，培养学生用数学眼光发现数量关系、用数学思维推理模型差异、用数学语言表达分布列的核心素养。课中助力教师突破模型选择难点，课后分层练习帮助学生巩固知识、弥补盲点。

专题4.2.3 二项分布与超几何分布 教学目标 1．准确理解n次独立重复试验的定义及“相互独立、结果唯一、概率恒定” 三大特点，清晰掌握二项分布与超几何分布的核心定义及适用场景； 2．熟练掌握二项分布的概率计算公式，能准确求解“恰好发生k次”的概率，牢记其均值与方差公式；掌握超几何分布的概率计算逻辑； 3．深入理解二项分布与超几何分布的核心区别与联系，能根据实际问题的抽样方式、总体规模等特征，精准选择合适的分布模型。 教学重难点 重点：n次独立重复试验的三大特点；二项分布、超几何分布的定义及概率计算公式； 两者核心区别 难点:实际问题中根据抽样是否放回、总体规模大小，准确判断适用二项分布还是超几何分布 知识点01 次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互独立； ②每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是一样的． 【即学即练】 1．位于坐标原点的一个点按下述规则移动：每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为.那么移动4次后位于点的概率是 . 【答案】 【详解】由题意知，点向左移动的概率为，所以向下移动的概率为， 要使得点移动4次后位于，则必须向左移动3次，向下移动1次， 所以概率为. 故答案为：. 2．某品牌手机发布时市场售价为3200元/部，以后每4个月降价1次，其中每部降价200元的概率为，每部降价100元的概率为，则一年后该品牌手机市场售价为2800元/部的概率为 ． 【答案】 【详解】一年后该品牌手机市场售价为2800元/部，则共3次降价，其中有2次每部降价100元，有1次每部降价200元，所以所求概率为． 故答案为：. 知识点02 二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 【即学即练】 1．若随机变量服从二项分布，则 ． 【答案】 【详解】依题意，. 故答案为：. 2．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列及数学期望. 【答案】X的分布列见解析，数学期望为人 【详解】由已知得，每位参加保险人员选择A社区的概率为， 4名人员选择A社区即4次独立重复试验， 即，X的可能取值为0,1,2,3,4， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P （人）， 即X的数学期望为人 知识点03 超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 【即学即练】 1．下列随机变量中，服从超几何分布的有 ．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 【答案】①② 【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布． ②中随机变量X服从超几何分布． ③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布． 故答案为：①② 2．某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则 ． 【答案】 【详解】表示3个女生，0个男生，故, 所以. 故答案为：. 知识点04 二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的 超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的 不需要知道总体的容量 需要知道总体的容量 当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 【即学即练】 1．分别指出下列随机变量服从什么分布： (1)即将出生的100个新生婴儿中，男婴的个数X； (2)已知某幼儿园有125个孩子，其中男孩有62个，从这些孩子中随机抽取10个，设抽到男孩的个数为X． 【答案】(1)二项分布 (2)超几何分布 【详解】（1）（1）X的可能取值为0,1,2， ，且每个新生儿的性别相互独立，故男婴的个数X服从二项分布 （2）（2）X的可能取值为0,1,2，，且是不放回抽样，故抽到男孩的个数为X服从超几何分布 题型01 n重伯努利试验的概率求法 【例1】在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，若甲要以结束比赛，则甲在前三局中有2局赢，1局输，在第四局必须赢. 而甲在前三局有三种情况：1.赢赢输；2.赢输赢；3.输赢赢. 因此. 故选：B． 【例2】一只青蛙在正方形的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的．若青蛙第一次跳跃前位于顶点，则它第6次跳跃后恰好仍位于顶点的概率为 ． 【答案】/ 【详解】在正方形各顶点上，每次跳跃都只有横向、纵向两种跳跃方式，则概率均为， 要使青蛙从出发跳跃6次回到，只需保证纵向、横向都跳跃偶数次即可， 若纵向跳跃6次，概率为，则横向跳跃6次的概率也为； 若纵向跳跃4次、横向跳跃2次，概率为，同理，横向跳跃4次、纵向跳跃2次概率也为， 综上，6次跳跃后回到原点的概率为． 故答案为： 【变式1-1】甲、乙两位同学进行五子棋比赛，约定谁先胜3局就赢得比赛(单局中无平局)．若甲每局获胜的概率为则第4局比赛刚好结束的概率为 (用数字作答)． 【答案】 【详解】记第局比赛甲获胜为事件，第4局比赛刚好结束为事件， 则 . 故答案为： 【变式1-2】阅兵式上，某型防空导弹的拦截成功率为0.8，若有3枚该型导弹同时对同一目标进行拦截，则至少有2枚导弹成功拦截目标的概率为 ．（用小数表示） 【答案】 【详解】设“1枚导弹成功拦截目标”为事件，已知，那么“1枚导弹未成功拦截目标”为事件，则， 恰好有2枚导弹成功拦截目标的概率为，有3枚导弹都成功拦截目标的概率为， 综上，至少有2枚导弹成功拦截目标的概率为. 故答案为：. 【变式1-3】小明参加投篮比赛，每次投中的概率为，且每次是否投中相互独立． (1)若规定连续两次未投中就停止投篮，求小明恰好投篮4次停止投篮的概率； (2)求小明投篮5次投中3次，且3次中有且仅有2次是连续投中的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）依题意有第3，4次没投中，第2次必中，则所求概率为 ． （2）记投中为√，不中为×，投篮5次投中3次，且3次中有且仅有2次是连续投中情形有： ×√√×√，×√×√√，√×√√×，√××√√，√√×√×，√√××√，共6种． 其概率为． 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 题型02 二项分布的概率计算 【例3】设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由二项分布的概率公式可得，所以， 则. 故选：C 【例4】将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 . 【答案】/ 【详解】因为正面出现次数和反面出现次数不可能相等， 将每一种正面出现次数多的结果的所有硬币翻转，即可得到反面次数多于正面次数的结果， 所以正面次数多和反面次数多各占一半，故所求概率为. 另解：记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上为事件，则， 则抛掷5次硬币，正面出现的次数服从二项分布， 则正面向上的次数多于反面向上的次数的概率为： . 故答案为： 【变式2-1】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意知，质点向左或向右移动1个单位的概率均为，设质点向右移动的次数为，则， 若，则移动6次后质点一共向左移动3次，向右移动3次，所以； 若，则移动6次后质点一共向右移动4次，向左移动2次，所以. 故. 故选：A. 【变式2-2】某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 【答案】 【详解】由题意，小王购买了价值3800元的手机，可得小王购物后可以获得6张抽奖券， 因为每张抽奖券中奖的概率均为，所以获奖次数服从， 又因为若获奖获得价值150元的现金券，则获得750元现金券需要中奖5次， 所以小王得到750元现金券的概率为． 故答案为：. 【变式2-3】某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的分布列为： 1 2 3 4 5 P 设事件为某同学能从一个箱子中取走一个奖品，则， 所以某同学能从一个箱子中取走一个奖品的概率为． 设某同学游戏结束时取走的奖品个数为，则，所以， 所以，， 所以． 故选：B 题型03 二项分布模型的应用 【例5】已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设事件“至少分离出2个轻水分子”， 由题意知分离出1个轻水分子的概率为， 分离出1个非轻水分子的概率为， 所以， 故至少分离出2个轻水分子的概率为． 故选：D. 【例6】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）齐王与田忌各出上等马，中等马，下等马一匹，共进行三场比赛，基本事件有， 田忌获胜包含的基本事件只有一种可能，即： 田忌的下等马对阵齐王的上等马，田忌的中等马对阵齐王的下等马，田忌的上等马对阵齐王的中等马， 田忌获胜的概率为； （2）由（1），每次田忌获胜概率为，所以三次比赛，田忌获胜次数服从， 所以田忌至少赢得两次比赛的概率 . 【变式3-1】下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有 ． 【答案】 【详解】解：设 “向右下落”，则 “向左下落”，且， 设，小球下落过程中共碰撞次，， ，，1，2，3，4，， ， 故投入粒小球，则落入号格的小球大约有粒． 故答案为：． 【变式3-2】已知兰溪每次投掷飞镖中靶的概率为0.2，若兰溪连续投掷飞镖次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖 次.（参考数据：） 【答案】11 【详解】若投掷飞镖次中靶次，则，且， 所以，即， 两边取对数得，则次，， 所以至少需要投掷飞镖11次. 故答案为：11. 【变式3-3】富贵本无根，尽从勤里得．”5月1日是国际劳动节，是全世界劳动人民共同的节日．千百年来，人类用自己的劳动来改造世界，创造财富，改善生活．劳动永远是人类生活的基础，是创造人类文化幸福的基础．“感动中国2023年度人物”杨华德现任威远县农业农村局农业技术研究员．他曾担任水稻专家兼组长，率领第三期、第四期及第五期农业专家组赴布隆迪执行“高级农业专家项目”．他和他的团队带领布隆迪的农民于2021年初开始种植新型农作物．根据各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表： 该农作物亩产量/kg 900 1200 该农作物市场价格（元人民币/kg） 30 40 概率 0.5 0.5 概率 0.4 0.6    (1)设该农作物一亩的收入为元，求的分布列； (2)从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率． 【答案】(1)答案见解析 (2)0.896 【分析】 【详解】（1）由题意知的所有可能取值为27000，36000，48000， 设表示事件“农作物亩产量为900 kg”，则， 表示事件“农作物市场价格为30元/kg”，则， 依题意与相互独立．则， ， ， 于是，的分布列为 27000 36000 48000 0.2 0.5 0.3 （2）设表示事件“种植该农作物一亩一年的收入超过30000元”， 则， 设这三年中有年收入超过30000元，则有， ∴这三年中种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率为： . 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 题型04 超几何分布的辨析 【例7】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】B 【详解】对于A:将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X,是二项分布，A选项错误； 对于B:从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X,是超几何分布，B选项正确； 对于C:某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X,是两点分布，C选项错误； 对于D:盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数,不是超几何分布，D选项错误. 故选：B. 【例8】下列说法正确的是（    ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 【答案】ABD 【详解】对于选项A：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故A正确； 对于选项B：因为采用有放回抽取方法，则每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量服从二项分布，故B正确； 对于选项C：因为每次概率相同且相互独立，符合n次独立重复性实验， 所以随机变量X服从二项分布，故C错误； 对于选项D：因为样本都分为两类，随机变量X表示抽取4名样本中某类样本被抽取的人数， 所以随机变量X服从超几何分布，故D正确； 故选：ABD. 【变式4-1】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【答案】D 【详解】对于A，将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数服从二项分布，A不是； 对于B，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，第一次摸出黑球时的总次数不是超几何分布，B不是； 对于C，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为服从两点分布，C不是； 对于D，从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数服从超几何分布，D是. 故选：D 【变式4-2】（多选）下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【答案】ACD 【详解】对于A中，将一枚硬币连抛3次，每次正面向上的概率均为，所以正面向上的次数服从二项分布； 对于B中，从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为服从超几何分布； 对于C中，某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，可得命中目标的次数服从二项分布； 对于D中，盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，首次摸出黑球时的总次数的取值为， 而超几何分布定义为，即从N个物件（包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出指定种类的物件的次数（不放回），故不服从超几何分布. 故选：ACD. 【变式4-3】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， (3)分布列见解析，服从超几何分布 【分析】 【详解】（1）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （2）的分布列为 0 1 2 .. .. 服从二项分布，即. （3）的分布列为 0 1 .. .. .. .. 服从超几何分布. 题型05 利用超几何分布求概率 【例9】盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（   ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【答案】B 【详解】盒中有10个玩具，其中3个坏的，7个好的.抽取4个玩具，计算各选项概率如下： 选项A（恰有1个坏的）：； 选项B（4个全是好的）：； 选项C（恰有2个坏的）：； 选项D（至多2个坏的）：； 综上，只有选项B的概率为， 故选：B. 【例10】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，表示从个红球中摸出个球， 则表示从这个球中随机摸个球，至少有个白球的摸法种数， 所以. 故选：C. 【变式5-1】某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为 ；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为 . 【答案】 / 【详解】由题设，恰有一名男生参加的概率为， 有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加的概率为. 故答案为：， 【变式5-2】一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则 ． 【答案】4 【详解】依题意可得，即，整理得， 解得或9，因为，所以． 故答案为：4. 【变式5-3】如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则 ． 【答案】 【详解】解：法一：由题意可知，x的所有可能取值为0，1，2，则 ． 法二：由题意可知，的所有可能取值为0，1，2，则． 故答案为：． 题型06 利用超几何分布求分布列 【例11】某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）记“抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目”为事件， （2）由题意，的可能取值为. 所以的分布列为 0 1 2 【例12】2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】 【详解】（1）由题意一次抽取2个城市，全是小城市的概率为， ，则，得或（舍）， 故. （2）①由题知的可能取值为 ，， ，. 故的分布列为： ②取出个城市全为超大城市，共有种情况,取出个城市全为小城市，共有种情况. 取出3个城市是同一类城市全为超大城市的概率为. 【变式6-1】某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中成等差数列，时长落在区间内的人数为200． (1)求出直方图中的值； (2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (3)从参加课外兴趣班的时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在的人数的分布列及期望． 【答案】(1)， (2)中位数为71.7，平均数为73 (3)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）由已知可得， 则，即． 又成等差数列，，解得． （2）， 设中位数为，且， ，解得，即中位数为71.7， 平均数为． （3）由（1）知，所以按照分层的方法抽样随机抽取的6人中， 参加课外兴趣班的时长在内的有（人），参加课外兴趣班的时长在内的有（人）． 参加课外兴趣班的时长在内的人数的可能取值为． ， 所以的分布列为 0 1 2 期望． 【变式6-2】现有10件分别来自甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5件，乙车间有3件，丙车间有2件，从这10件产品中任选3件参加展出． (1)求选出的3件产品来自同一车间的概率； (2)设随机变量X表示选取的产品是来自乙车间的件数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 【详解】（1）依题意，从这10件产品中任选3件的不同取法数为， 3件产品来自同一车间的取法数有， 所以选出的3件产品来自同一车间的概率． （2）依题意，X的所有可能值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【变式6-3】某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 (1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； (2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望． 【答案】(1). (2)分布列见解析；期望为. 【分析】 【详解】（1）设“对食堂饭菜质量满意”为事件A． 在200人中对饭菜质量满意的有130人， . （2）分层抽取比例 男生抽取人，女生抽取人 抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2        -                                   -                                 - X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望. 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 题型07 二项分布与超几何分布的综合 【例13】课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次． (1)若老师选择了第3个盒子，，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列以及数学期望； (2)若，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】 【详解】（1）当时，老师选择第3个盒子，则有3张“巨额奖励”的卡片和4张“谢谢惠顾”的卡片，则X的所有可能取值为， 则，， ，． X的分布列为 X 0 1 2 3 P 数学期望． （2）当时，记从第k个盒子中第3次抽到“谢谢惠顾”为事件． ，，，，． 故该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率． 【例14】袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列、期望和方差． 【答案】(1)分布列见解析 (2)分布列见解析，， 【分析】 【详解】（1）若每次抽取后都放回，则每次抽到黑球的概率均为， 而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此， 所以，， ，，     因此X的分布列为： X 0 1 2 3 P （2）由题意，的所有取值为， 则，，， 因此，Y的分布列为： Y 0 1 2 P 所以， . 【变式7-1】我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列及数学期望． (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率及η的方差； 【答案】(1)分布列见解答，； (2)，； 【分析】 【详解】（1）由题意，可知可取0，1，2，3． 则有；；；． 所以的分布列为： 0 1 2 3 因此的数学期望； （2）由题意，可取的值为0，1，2，3，4，5，6． 则有；；． 技术攻坚成功的概率． ，的方差； 【变式7-2】水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数个 10 25 40 25 (1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，0.8 【分析】 【详解】（1）设“从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果”为事件，则， 现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为，则， 故恰好抽到2个礼品果的概率为； （2）用分层抽样的方法从100个水果中抽取20个，则其中精品果8个，非精品果12个， 现从中抽取2个，则精品果的数量服从超几何分布，所有可能的取值为， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 故的数学期望. 【变式7-3】为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的名旅行者进行满意度调查，将其分成以下组：，整理得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)若将频率视为概率，从得分在分及以上的旅行者中随机抽取人，用表示这人中得分在中的人数，求随机变量的分布列及数学期望； (3)若将频率视为概率，从得分在分及以上的旅行者中按比例抽取人，再从这人中一次性抽取人，用表示这人中得分在中的人数，求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析；数学期望 (3)分布列见解析；数学期望 【分析】 【详解】（1）由题意得：，解得：. （2）由频率分布直方图知：从得分在分及以上的旅行者中随机抽取人，得分在的概率为，则， 所有可能的取值为， ；；；； 的分布列为： 数学期望. （3）从得分在分及以上的旅行者中按比例抽取人，则人中得分在的人数为人，得分在的人数为人； 则所有可能的取值为， ；；； 的分布列为： 数学期望. 题型08 服从二项分布的概率最值 【例15】某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为 0.7，现进行了 次打靶射击，其中打中十环的数量为 . (1)若 ，求恰好打中 2 次十环的概率； (2)要使 的值最大，求 的值. 【答案】(1)0.441 (2) 【详解】（1）． （2）， 由题意有， 则， 解得， 由于n为整数，故． 【例16】2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设“观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票”为事件，则 因此，观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率为. （2）由（1）知，则，， 由题意：，即 解得， 故时，取到最大值为. 【变式8-1】甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【答案】(1)； (2)①；②或或． 【分析】 【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次， 所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为. （2）①． ②由①知，由题知， 所以， 由， 得到且， 整理得到，即， 得到，所以， 由题有，所以，得到，又， 所以或或. 【变式8-2】某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到． (1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率； (2)设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望； (3)设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)取到27的可能性最大 【分析】 【详解】（1）李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为， 王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为， 因为李老师和王老师发通知是独立事件， 所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为， 所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为； （2）表示乙同学家长收到通知的次数，的可能取值为0，1，2， ， ， ， 所以分布列为： 0 1 2 期望； （3）表示两次都收到通知的人数，的可能取值为20，21，22，…，40， 设，则， 所以， 令，解得， 所以时，单调递增， 时，单调递减， 又， 则， 所以时概率最大， 则取到27的可能性最大． 【变式8-3】有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或9. 【分析】 【详解】（1）因“经过两次试验后，手上有两个白球”即第一次和第二次试验都取到了1个白球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，故其概率为： . （2）由题意，“经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球”包括两个事件： ①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回，其概率为：； ②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，其概率为： . 故由互斥事件概率加法公式，经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率为. （3）依题意，， 由，解得，即， 故经过8次或9次试验后，停止试验的概率最大，此时或9. 一、单选题 1．2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设哪吒向前走的步数为，依题意，. 当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步，即哪吒向前走了3步，向后退了2步， 根据二项分布概率公式，有. 故选：A. 2．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从10个零件中抽取3个的总方式数为； 不合格零件有3个，从中选1个的方式数为 ， 合格零件有7个，从中选2个的方式数为 ， 根据分布乘法计数原理，恰好1个不合格的总方式数为； 根据古典概型得. 故选：B 3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若移动5次质点位于的位置，则向左移动3次，向右移动2次， 所以质点位于的位置的概率为. 故选：B. 4．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，设质点向右移动次，向左移动次. ∴最终位置为：， ∴ ，解得：， ∴，解得：， ∵为正整数， ∴， ∴质点向右移动3次，向左移动次， ∴该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为： ， 故选：C. 5．一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，从中任选4个球，除取到4个白球得4分外，其他取法的得分都不小于6， 故. 故选：C. 6．一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率， 即，解得（舍去负根）， 有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为， 所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率. 故选：A. 7．已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（   ）（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】已知每门大炮击中目标的概率是0.4，那么每门大炮不击中目标的概率为. 因为门大炮射击是相互独立事件，所以门大炮都不击中目标的概率为. “目标至少被击中一次”的对立事件是“目标一次都不被击中”，根据对立事件概率之和为，可得目标至少被击中一次的概率为. 已知目标至少被击中一次的概率超过，则可列出不等式，移项可得. 两边同时取以10为底的对数，根据对数函数的单调性可得. 因为，. 将，代入中，可得，解得. 因为为大炮的门数，应为正整数，所以的最小值为. 至少需要大炮的门数是. 故选：A.. 二、多选题 8．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 【答案】AC 【详解】根据分层抽样的方法，可得： 从甲社团抽取的人数为； 从乙社团抽取的人数为； 从丙社团抽取的人数为；故A正确； 由于抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣， 用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则的可能取值有， 则， 此时服从超几何分布，故B错误， 则随机变量的数学期望为， 故C正确； 若事件“抽取的3人都感兴趣”，则，故D错误； 故选：AC. 9．某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（    ） A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个 C． D． 【答案】AD 【详解】每位家长选择跳绳的概率，A选项正确； 的可能取值为0，1，2，3，4， ， 故B，C错误，AD正确. 故选：AD. 三、填空题 10．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 【答案】/ 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 11．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是： ；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为 ． 【答案】 【详解】由题意可知，拿到校正过的气枪概率为，拿到未校正过的气枪概率， 则随机一把气枪射中的概率为， 随机一把气枪，射击三次，每次射击结果相互不影响，则射中次数服从二项分布，则， 恰有两次射中的概率. 故答案为：，. 12．某校有10名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置三道题目，选手按的顺序回答题目，只要答对2道题目，即可进入决赛，若每位选手答对、题目的概率分别为，且每道题目答对与否互不影响.设人进入决赛的概率为，当取得最大值时， . 【答案】7 【详解】每位同学进入总决赛的概率为， 设表示人进人总决赛，则， 则. 当取得最大值时， 需满足 解得：，又，所以当取得最大值时，. 故答案为：7 四、解答题 13．为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20名学生的测试成绩，得到如图所示的茎叶图： (1)若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】 【详解】（1）通过阅读茎叶图，得知“优秀成绩”为4人，设“优秀成绩”人数为，服从超几何分布,,,，，. 设“至多一人成绩优秀”为事件，则． （2）由样本估计总体可知抽到“优秀成绩”学生的概率． 表示抽到“优秀成绩”学生的人数， ,,. ，， ， 可取0，1，2，3，故的分布列为 0 1 2 3 故． 14．建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【分析】 【详解】（1）设甲烧制的3个建盏中成品的个数为，则的对立事件为， ，故． （2）由题可知． 的可能取值为0，1，2，3， 所以， ， ， ， 所以的分布列为 X 0 1 2 3 P 15．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛结束．除第五局甲队获胜的概率外，其余每局比赛甲队获胜的概率都．假设各局比赛结果互独立．分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率． 【答案】，， 【详解】设“甲队以3：0，3：1，3：2胜利”分别为事件A，B，C， 则，， ． 16．甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求： (1)赛完4局且甲获胜的概率； (2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）赛完4局，甲获胜，则第4局甲胜，前3局甲胜两局， 设事件为“赛完4局且甲获胜”，则. （2）设为“甲获胜”，为“第3局乙获胜”，则， 事件包含两种情况，第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜和第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜， 其中第3局乙获胜，第4局比赛后最终甲获胜，则乙只在第3局获胜，概率为， 第3局乙获胜，第5局比赛后最终甲获胜，则第1,2,4局中，有1局乙获胜，有2局甲获胜， 第5局甲获胜，概率为， 而， 故. 17．某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级，采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 数量/件 40 30 30 (1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列及数学期望； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件三等品的概率； (3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择， 方案一：产品不分类，售价均为21.5元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价/（元/件） 24 22 18 从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由. 【答案】(1)分布列见解析，（件） (2) (3)应该选择方案一，理由见解析 【分析】 【详解】（1）由题可得，抽取的10件产品中，一等品有4件，非一等品有6件， 所以的可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 （件） （2）从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，记抽到三等品的数量为，则， 所以. （3）由题意得，方案二的产品的平均售价为： （元/件）， 因为， 所以从采购商小李的角度考虑，应该选择方案一. 18．玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列及期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，. 【分析】 【详解】（1）设甲烧制的3个青花瓷中成品的个数为，则的对立事件为， ， ． （2）乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，乙烧制青花瓷的成品率， ， 的可能取值为， ， ， ， ， 的分布列为： X 0 1 2 3 P 的期望． 19．一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球. (1)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率； (2)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球的概率； (3)设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值. 【答案】(1) (2) (3)或9 【分析】 【详解】（1）“经过两次操作后，手上有1个黑球和1个红球”即第一次和第二次操作各取到了1个黑球和1个红球， 且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上， 所以所求概率为. （2）“经过两次操作后，手上恰好有1个黑球”， 即“两次操作中一次取到黑球并留下，另一次无论取到何种颜色均放回”， 因此两次抛掷硬币，一次正面向上，一次反面向上， 所以所求概率为. （3）依题意，， 由， 当时，，当时，，当时，， 所以当或9时，取最大值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.3 二项分布与超几何分布 教学目标 1．准确理解n次独立重复试验的定义及“相互独立、结果唯一、概率恒定” 三大特点，清晰掌握二项分布与超几何分布的核心定义及适用场景； 2．熟练掌握二项分布的概率计算公式，能准确求解“恰好发生k次”的概率；掌握超几何分布的概率计算逻辑； 3．深入理解二项分布与超几何分布的核心区别与联系，能根据实际问题的抽样方式、总体规模等特征，精准选择合适的分布模型。 教学重难点 重点：n次独立重复试验的三大特点；二项分布、超几何分布的定义及概率计算公式； 两者核心区别 难点:实际问题中根据抽样是否放回、总体规模大小，准确判断适用二项分布还是超几何分布 知识点01 次独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验． 特点： ①各次之间相互______； ②每一次试验只有______种结果，即要么发生，要么不发生； ③每一次试验中各事件发生的概率都是______的． 【即学即练】 1．位于坐标原点的一个点按下述规则移动：每次只能向下或向左移动一个单位长度，且向左移动的概率为.那么移动4次后位于点的概率是 . 2．某品牌手机发布时市场售价为3200元/部，以后每4个月降价1次，其中每部降价200元的概率为，每部降价100元的概率为，则一年后该品牌手机市场售价为2800元/部的概率为 ． 知识点02 二项分布 定义：在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从______，记作，并称p为成功概率. 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为______ 【即学即练】 1．若随机变量服从二项分布，则 ． 2．某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医，方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A，B，C三家社区医院，并且他们的选择相互独立.设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为X，求X的分布列. 知识点03 超几何分布 ①定义：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则______， k=0，1，2，…，m，其中m=min{M，n}，且n，M，N∈N*，即如果随机变量X的分布列具有下表形式 X 0 1 … m P … 则称随机变量X服从超几何分布． 【即学即练】 1．下列随机变量中，服从超几何分布的有 ．（填序号） ①在10件产品中有3件次品，每次随机取1件且不放回，共取4次，记取到的次品数为X； ②从3台甲型电视机和2台乙型电视机中任取2台，记X表示所取的2台电视机中甲型电视机的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X． 2．某小组有男生4名，女生3名，若从这7人中任选3名代表，记选出的代表中男生人数为，则 ． 知识点04 二项分布和超几何分布区别和联系 二项分布 超几何分布 二项分布是______抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是______的 超几何分布是______抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是______的 不需要知道总体的容量 需要知道______的容量 当总体的容量______时，超几何分布近似于二项分布 【即学即练】 1．分别指出下列随机变量服从什么分布： (1)即将出生的100个新生婴儿中，男婴的个数X； (2)已知某幼儿园有125个孩子，其中男孩有62个，从这些孩子中随机抽取10个，设抽到男孩的个数为X． 题型01 n重伯努利试验的概率求法 【例1】在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进入最后比赛．比赛采取五局三胜制，即先胜三局的一方获得比赛冠军，比赛结束．假设每局比赛甲胜乙的概率都为，没有和局，且各局比赛的胜负互不影响，则甲在比赛中以3:1获得冠军的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】一只青蛙在正方形的四个顶点间跳跃，每次跳跃总是等可能地跳至与当前所在顶点相邻的两个顶点之一，且各次跳跃是独立的．若青蛙第一次跳跃前位于顶点，则它第6次跳跃后恰好仍位于顶点的概率为 ． 【变式1-1】甲、乙两位同学进行五子棋比赛，约定谁先胜3局就赢得比赛(单局中无平局)．若甲每局获胜的概率为则第4局比赛刚好结束的概率为 (用数字作答)． 【变式1-2】阅兵式上，某型防空导弹的拦截成功率为0.8，若有3枚该型导弹同时对同一目标进行拦截，则至少有2枚导弹成功拦截目标的概率为 ．（用小数表示） 【变式1-3】小明参加投篮比赛，每次投中的概率为，且每次是否投中相互独立． (1)若规定连续两次未投中就停止投篮，求小明恰好投篮4次停止投篮的概率； (2)求小明投篮5次投中3次，且3次中有且仅有2次是连续投中的概率． 重伯努利试验概率求法步骤：①依据重伯努利试验的特征,判断所给试验是否为重伯努利试验；②判断所求事件是否需要分拆；③就每个事件依据重伯努利试验的概率公式求解,最后利用互斥事件加法公式(或独立事件概率乘法公式)计算. 题型02 二项分布的概率计算 【例3】设，且，那么（   ） A． B． C． D． 【例4】将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是 . 【变式2-1】如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动1个单位.设移动秒后质点所在位置对应的实数为随机变量，则（    ） A． B． C． D．2 【变式2-2】某商场为了刺激消费，进行消费抽奖活动，规则如下：顾客消费每满600元即可获得抽奖券1张，每张抽奖券中奖的概率均为，若获奖，则可获得价值150元的现金券．已知小王在该商场购买了价值3800元的手机，则小王得到750元现金券的概率为 ． 【变式2-3】某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏，则某同学游戏结束时取走2个奖品的概率为（    ） A． B． C． D． 题型03 二项分布模型的应用 【例5】已知某批矿物晶体中含有大量水分子，且经过测量发现其中轻水分子、重水分子、超重水分子的比例为6：3：1.现利用仪器从一块矿物晶体中分离出3个水分子，用频率估计概率，则至少分离出2个轻水分子的概率为（    ） A． B． C． D． 【例6】齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现齐王与田忌各出上等马、中等马、下等马一匹，进行三场比赛，每场双方均任意选一匹马参赛，胜两场或两场以上的人获得这次比赛的胜利， (1)求田忌获胜的概率； (2)若某月齐王与田忌进行了这样的三次比赛，并且各次比赛结果互不影响，求田忌至少赢得两次比赛的概率. 【变式3-1】下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有 ． 【变式3-2】已知兰溪每次投掷飞镖中靶的概率为0.2，若兰溪连续投掷飞镖次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖 次.（参考数据：） 【变式3-3】富贵本无根，尽从勤里得．”5月1日是国际劳动节，是全世界劳动人民共同的节日．千百年来，人类用自己的劳动来改造世界，创造财富，改善生活．劳动永远是人类生活的基础，是创造人类文化幸福的基础．“感动中国2023年度人物”杨华德现任威远县农业农村局农业技术研究员．他曾担任水稻专家兼组长，率领第三期、第四期及第五期农业专家组赴布隆迪执行“高级农业专家项目”．他和他的团队带领布隆迪的农民于2021年初开始种植新型农作物．根据各方面调查发现，该农作物的亩产量和市场价格均具有随机性，且两者互不影响，其具体情况如表： 该农作物亩产量/kg 900 1200 该农作物市场价格（元人民币/kg） 30 40 概率 0.5 0.5 概率 0.4 0.6    (1)设该农作物一亩的收入为元，求的分布列； (2)从2021年开始，连续三年种植该农作物，假设三年内各方面条件基本不变，求这三年中种植该农作物一亩至少有两年的收入超过30000元的概率． 1.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否两者必有其一;二是重复性,即试验是独立重复地进行了次； 2.当服从二项分布时,应弄清中的试验次数与成功概率 题型04 超几何分布的辨析 【例7】下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是（   ） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，取得的次品数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【例8】下列说法正确的是（    ） A．随机变量表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数，则随机变量服从二项分布. B．有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，表示n次抽取中出现次品的件数（），则随机变量服从二项分布. C．有一批种子的发芽率为，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，则随机变量X服从超几何分布. D．某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，则随机变量X服从超几何分布. 【变式4-1】下列随机事件中的随机变量 服从超几何分布的是（    ）． A．将一枚硬币连抛 3 次，记正面向上的次数为 B．盒中有 4 个白球和 3 个黑球，每次从中摸出 1 个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为 C．某射手的射击命中率为 0.8 ，现对目标射击 1 次，记命中的次数为 D．从 7 男 3 女共 10 名学生干部中随机选出 5 名学生干部，记选出女生的人数为 【变式4-2】（多选）下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　） A．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B．从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C．某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 【变式4-3】写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？ (1)表示次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数. (2)有一批产品共有件，其中次品有件（，采用有放回抽取方法抽取次，抽出的次品件数为. (3)有一批产品共有件，其中件为次品，采用不放回抽取方法抽件，出现次品的件数为. 题型05 利用超几何分布求概率 【例9】盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，先从盒中随机地抽取4个，则下列事件概率是的是（   ） A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的 C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的 【例10】一个袋子中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从中一次性随机摸出个球，用表示这个球中白球的个数，则下列概率中等于的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为 ；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为 . 【变式5-2】一箱苹果共有12个苹果，其中有个是烂果，从这箱苹果中随机抽取3个．恰有2个烂果的概率为，则 ． 【变式5-3】如图，我国古代珠算算具算盘每个档（挂珠的杆）上有7颗算珠，用梁隔开，梁上面2颗叫上珠，下面5颗叫下珠，若从某一档的7颗算珠中任取3颗，记上珠的个数为X，则 ． 题型06 利用超几何分布求分布列 【例11】某市今年举办的创业大赛吸引了众多优质项目参与，经评审某领域有8个项目进入最终角逐，其中科技类项目5个，文创类项目3个.从上述8个项目中随机抽取2个进行路演展示. (1)求抽出的两个项目中至少有一个是文创类项目的概率； (2)记路演展示项目中抽中的科技类项目的个数为，求的分布列. 【例12】2017年5月，来自“一带一路” 沿线的 20 国青年评选出了中国的 “新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对两个公司的扫码支付准备从国内 个人口超过1000万的超大城市和 8 个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计， 若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为 . (1)求的值； (2)若一次抽取3个城市，则： ①假设取出小城市的个数为，求的分布列； ②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率. 【变式6-1】某校为了了解学生每周参加课外兴趣班的情况，随机调查了该校1000名学生在2023年最后一周参加课外兴趣班的时长（单位：分钟），得到如图所示的频率分布直方图．若直方图中成等差数列，时长落在区间内的人数为200． (1)求出直方图中的值； (2)估计样本时长的中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (3)从参加课外兴趣班的时长在和的学生按照分层抽样的方法随机抽取6人进行问卷调查，再从这6人中随机抽取2人进行参加兴趣班情况的深入调查，求被抽到的2人中参加课外兴趣班的时长在的人数的分布列． 【变式6-2】现有10件分别来自甲、乙、丙三个车间的某批产品，其中甲车间有5件，乙车间有3件，丙车间有2件，从这10件产品中任选3件参加展出． (1)求选出的3件产品来自同一车间的概率； (2)设随机变量X表示选取的产品是来自乙车间的件数，求X的分布列． 【变式6-3】某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下： 满意度性别 满意 不满意 弃权 男生 80 30 10 女生 50 20 10 (1)用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率； (2)用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列． 求超几何分布的分布列的步骤：①验证随机变量服从超几何分布,并确定数的值；②根据超几何分布的概率计算公式计算随机变量取每一个值时的概率；③用表格的形式列出分布列 题型07 二项分布与超几何分布的综合 【例13】课堂上，老师为了讲解“利用组合数计算古典概型的问题”，准备了x（）个不同的盒子，上面标有数字1，2，3，…，每个盒子准备装x张形状相同的卡片，其中一部分卡片写有“巨额奖励”的字样，另一部分卡片写有“谢谢惠顾”的字样．第1个盒子放有1张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，第2个盒子放有2张“巨额奖励”，张“谢谢惠顾”，…，以此类推．游戏时，老师在所有盒子中随机选取1个盒子后，再让一个同学上台每次从中随机抽取1张卡片，抽取的卡片不再放回，连续抽取3次． (1)若老师选择了第3个盒子，，记摸到“谢谢惠顾”卡片的张数为X，求X的分布列； (2)若，求该同学第3次抽到“谢谢惠顾”的概率． 【例14】袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球． (1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； (2)若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为，求的分布列． 【变式7-1】我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列．为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破．设备生产的零件的直径为X（单位：nm）． (1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个．现从这7个零件中随机抽取3个．记ξ表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求ξ的分布列． (2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立．现任取6个零件进行检测，若合格的零件数η超过半数，则可认为技术攻坚成功．求技术攻坚成功的概率； 【变式7-2】水果按照果径大小可分为四类：标准果､优质果､精品果､礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 标准果 优质果 精品果 礼品果 个数个 10 25 40 25 (1)若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率； (2)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取20个，再从抽取的20个水果中随机地抽取2个，用表示抽取的是精品果的数量，求的分布列. 【变式7-3】为提升本地景点的知名度、美誉度，各地文旅局长纷纷出圈，作为西北自然风光与丝路人文历史大集合的青甘大环线再次引发热议.为了更好的提升服务，某地文旅局对到该地的名旅行者进行满意度调查，将其分成以下组：，整理得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)若将频率视为概率，从得分在分及以上的旅行者中随机抽取人，用表示这人中得分在中的人数，求随机变量的分布列； (3)若将频率视为概率，从得分在分及以上的旅行者中按比例抽取人，再从这人中一次性抽取人，用表示这人中得分在中的人数，求随机变量的分布列. 题型08 服从二项分布的概率最值 【例15】某射击队员进行打靶训练，每次是否命中十环相互独立，且每次命中十环的概率为 0.7，现进行了 次打靶射击，其中打中十环的数量为 . (1)若 ，求恰好打中 2 次十环的概率； (2)要使 的值最大，求 的值. 【例16】2025年9月，全国“城超”足球比赛在贵阳举办，比赛期间还开展文旅会客厅、特色市集等活动.其旨为响应国家全民健身战略，契合城市发展，展现贵阳魅力，实现“体育+文旅”多元共赢.为了增进省外观众对贵州文化的了解，从参加配套文旅活动的省外观众中，随机抽取150人，开展贵州文旅知识问答活动，该活动共有，，三道试题，全部答完后，至少答对2道试题，则可获得奖励总决赛门票一张.假设每人答对这3道试题的概率分别为，，，且每人答对各道试题与否互不影响. (1)求观众甲通过文旅知识问答活动获得总决赛门票的概率； (2)设通过文旅知识问答活动获得总决赛门票有个人的概率为，求取得最大值时的值. 【变式8-1】甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分． (1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率； (2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X． ①求； ②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？ 【变式8-2】某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到． (1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率； (2)设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列； (3)设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由． 【变式8-3】有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题： (1)求经过两次试验后，手上有两个白球的概率； (2)求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率； (3)设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值． 一、单选题 1．2025年2月13日，《哪吒之魔童闹海》在上映的第16天，票房成功突破百亿，成为中国影史首部票房破百亿（全球票房）的影片后，哪吒的故事愈发深入人心.在影片中的一场经典战斗里，哪吒身处一片无垠的海面与敖丙对抗.此时，每次挥动混天绫，哪吒有的概率朝着敖丙方向前进一步.有的概率向后退一步，且向前向后相互独立.当哪吒挥动混天绫5次时，他位于比初始位置更靠近敖丙1步处的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一批零件共有10个，其中有3个不合格．随机抽取3个零件进行检测，恰好有1件不合格的概率是（   ） A． B． C． D． 3．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O处出发，每隔1秒等可能地向左或向右移动一个单位，共移动5次，则质点位于的位置的概率为（    ）    A． B． C． D． 4．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位与点的距离不大于一个单位的概率为（    ） A． B． C． D． 5．一个袋子中装有5个白球，3个黑球，从中任选4个球，取到一个白球得1分，取到一个黑球得3分，设得分为随机变量，则为（    ） A． B． C． D． 6．一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 7．已知每门大炮击中某目标的概率是0.4，现在n门大炮向此目标各射击一次．如果此目标至少被击中一次的概率超过92%，至少需要大炮的门数是（   ）（参考数据：，） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 8．某学校有甲、乙、丙三个社团，人数分别为、、，现采用分层抽样的方法从中抽取人，进行某项兴趣调查.已知抽出的人中有人对此感兴趣，有人不感兴趣，现从这人中随机抽取人做进一步的深入访谈，用表示抽取的人中感兴趣的学生人数，则（    ） A．从甲、乙、丙三个社团抽取的人数分别为人、人、人 B．随机变量 C．随机变量的数学期望为 D．若事件“抽取的3人都感兴趣”，则 9．某幼儿园周一至周五每天安排一项活动，如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 轮滑 排球 跳绳 围棋 要求每位家长结合孩子的兴趣选择其中的三项.若有四位家长都无特殊情况，分别任选三项，用表示四人中选择跳绳的人数之和，则（    ） A．每位家长选择跳绳的概率为 B．的可能取值有4个 C． D． 三、填空题 10．某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为 ． 11．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中目标的概率为0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中目标的概率是： ；若此少年射手任取一支气枪进行3次射击，每次射击结果相互不影响，则恰有2次射中目标的概率为 ． 12．某校有10名同学进入“一带一路”知识竞赛的半决赛环节，半决赛设置三道题目，选手按的顺序回答题目，只要答对2道题目，即可进入决赛，若每位选手答对、题目的概率分别为，且每道题目答对与否互不影响.设人进入决赛的概率为，当取得最大值时， . 四、解答题 13．为了了解学生普法教育情况，某学校组织了一次法律知识测试，现随机抽取了该校20名学生的测试成绩，得到如图所示的茎叶图： (1)若测试成绩不低于90分，则称为“优秀成绩”，求从这20人中随机选取3人，至多有1人是“优秀成绩”的概率； (2)以这20人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校（人数很多）任选3人，记表示抽到“优秀成绩”学生的人数，求的分布列． 14．建盏为宋代名瓷之一，是中国古代黑瓷的巅峰之作，其采用福建建阳特有的高铁黏土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设建盏烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有建盏6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制建盏的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个建盏中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个建盏中成品的个数为，求的分布列． 15．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛结束．除第五局甲队获胜的概率外，其余每局比赛甲队获胜的概率都．假设各局比赛结果互独立．分别求甲队以3∶0，3∶1，3∶2胜利的概率． 16．甲、乙两选手进行羽毛球比赛，比赛采用5局3胜制，如果每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，求： (1)赛完4局且甲获胜的概率； (2)在第3局乙获胜的情况下，最终是甲获胜的概率． 17．某公司生产的某种产品按照质量标准分为一等品、二等品、三等品共3个等级，采购商小李从该公司生产的该种产品中随机抽取100件，根据产品的等级分类得到如下数据： 等级 一等品 二等品 三等品 数量/件 40 30 30 (1)根据产品等级，按分层随机抽样的方法从这100件产品中抽取10件，再从这10件产品中随机抽取3件，记这3件产品中一等品的数量为X，求X的分布列； (2)若将频率视为概率，从采购的产品中有放回地随机抽取3件产品，求恰好有1件三等品的概率； (3)该公司提供该产品的两种销售方案供采购商小李选择， 方案一：产品不分类，售价均为21.5元/件. 方案二：分类卖出，分类后的产品售价如下： 等级 一等品 二等品 三等品 售价/（元/件） 24 22 18 从采购商小李的角度考虑，你觉得应该选择哪种销售方案?请说明理由. 18．玉溪青花瓷起源于元末明初，与江西景德镇、浙江江山并称“中国三大青花瓷产地”．其采用玉溪本地特有的红土和天然釉矿为原料烧制而成，工艺难度大，成功率低．假设青花瓷烧制开窑后经检验分为成品和废品两类，现有青花瓷6个，其中3个由工匠甲烧制，3个由工匠乙烧制，甲、乙两人烧制青花瓷的成品率分别为，． (1)求甲烧制的3个青花瓷中至多有2个成品的概率； (2)设乙烧制的这3个青花瓷中成品的个数为，求的分布列． 19．一个箱子中装有大小质地完全相同的5个小球，其中黑球3个，红球2个.每次从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面向上，小球留在手上；如果硬币出现反面向上，小球放回箱子.重复以上操作，当箱中无小球时停止试验.试验刚开始时手上没有小球. (1)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球1个红球的概率； (2)求经过两次操作后，手上恰好有1个黑球的概率； (3)设第次操作后停止试验的概率为，求当取最大值时，的取值. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $