5.2 圆的对称性（第二课时） 讲义 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学下册

5.2圆的对称性（第一课时）同步练习 学习目标 1.了解圆的对称性. 2.掌握“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等”的性质及推论. 课标考点 考点1 与圆有关的概念 1.下列说法中，正确的是( ) A.半圆是弧，弧也是半圆 B.过圆上任意一点只能作一条弦 C.弦是直径 D.直径是同一圆中最长的弦 2.如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆.有一天，猫和老鼠同时从A地到B地.猫沿着大半圆行走，老鼠沿着4个小半圆行走.假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是( ) A.猫先到达B地 B.老鼠先到达B地 C.猫和老鼠同时到达B地 D.无法确定谁先到达B地 考点2 圆的对称性 3.下列说法中，不正确的是( ) A.圆是轴对称图形，有无数条对称轴 B.圆是中心对称图形，有无数个对称中心 C.圆的任意一条直径所在直线都是圆的对称轴 D.圆既是轴对称图形又是中心对称图形 4.某小区要在一块圆形空地上种植四种颜色的花.为了美观，相同颜色的花集中种植，且四种颜色的花所占的面积相同.现征集设计方案，要求设计成轴对称图形或中心对称图形.请在下面的圆中画出三种设计方案(只画示意图，不写画法). 考点3圆心角、弧及弦之间的关系 5.下列说法中，正确的是( ) A.等弦所对的弧相等 B.等弧所对的弦相等 C.圆心角相等，所对的弦相等 D.弦相等，所对的圆心角相等 6.如图，在0O中，AB=2CD,那么( ) A.AB>2CDB.AB<2CD C.AB=2CDD.以上答案都不对 典例解析 例1下列说法中，正确的是______.(填序号) ①直径是圆中最长的弦，弦是直径； ②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧； ③长度相等的两条弧是等弧； ④圆心不同的圆不可能是等圆； ⑤圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形； ⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段； ⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形. 【点拨】①直径是圆中最长的弦，正确；弦是直径，错误. ②在同圆或等圆中，优弧大于劣弧，半圆是弧，正确. ③长度相等的两条弧是等弧，错误. ④圆心不同的圆不可能是等圆，错误. ⑤圆上除直径的两个端点外的任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形，错误. ⑥弧是圆上两点间的部分，是一条曲线，而弦是圆上两点间的线段，正确. ⑦圆既是中心对称图形也是轴对称图形，正确. 【答案】②⑥⑦ 例2在如图所示的扇形中，∠AOB=90°,点C,D是AB的三等分点，半径OC,OD分别与弦AB交于点E,F.下列结论错误的是( ) A.AE=EF=FB B.AC=CD=DB C.EC=FD D.∠DFB=75° 【点拨】∵点C,D是AB的三等分点， ∴AC=CD=DB,∴选项B正确。 ∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA=45°. 易得∠AOC=∠BOD=30°, ∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°. 同理∠OFE=75°, ∴∠DFB=75°,∴OE=OF. 又∵OC=OD, ∴OC-OE=OD-OF,即EC=FD, ∴选项C与选项D正确。 易得∠OCD=180°-30°=75°, ∴∠OEF=∠OCD, ∴EF//CD,∴EF<CD. ∵∠AEC与∠OEF是对顶角， ∴∠AEC=∠OEF=75°.易得∠ACO=75°, ∴∠ACO=∠AEC. ∴AC=AE.同理可得BF=BD. 又∵AC=CD=BD, ∴CD=AE=BF≠EF, ∴选项A错误.【答案】A 同步训练 1.如果两条弦相等，那么( ) A.这两条弦所对的弧相等 B.这两条弦所对的圆心角相等 C.圆心到这两条弦的距离相等 D.以上答案都不对 2.如图，⊙O的半径为2cm,AB是⊙O的直径，点C,D是⑨0上的两点，且AD=DC=CB,则四边形ABCD的周长为( ) A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.16 cm 3.如图，在⊙0中，AB,CD是两条弦，AB=2CD,那么( ) A.AB>2CD B.AB<2CD C.AB=2CD D.AB与2CD的大小关系无法比较 4.如图，在⊙0中，已知AB=AC,∠BAC=40°,则∠ABC= 。 5. 如图，在⊙O中，弦AB的长等于半径，则劣弧AB所对圆心角的度数是 6.如图，在⊙O中，弦AB=CD,则∠AOC和∠BOD相等吗?请说明理由. 7.如图，已知AB,CD是⊙O的两条直径，BE是◎0的弦，且BE//CD. 求证：弧AC=弧CE. 8.如图，在⊙O中，点M,N分别是半径OA,OB的中点，且CM⊥OA,DN⊥OB. 求证：弧AC=弧BD. 9.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O外，连接OC,交⊙O于点E,弦AD//OC.作射线CD,CB. 求证：(1)弧DE=弧EB; (2)CD=CB. 10.如图，A,B是⊙O上的两点，且∠AOB=120°,C是AB的中点.(1)求证：AB平分∠OAC;(2)延长OA至点P,使得OA=AP,连接PC,若⊙O的半径为1,求PC的长. 参考答案： 【课标考点】 1.D 2.C 3.B 4.如图，答案不唯一. 5.B 6.B 【同步训练】 1.D 2.B 3.A 4.705.60° 6.解：∠AOC和∠BOD相等. 理由：∵在⊙O中，弦AB=CD, ∴∠AOB=∠COD, ∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB, ∴∠AOC=∠BOD. 7.证明：如图，连接OE. ∵BE//CD, ∴∠COE=∠BEO,∠BOD=∠EBO. ∵OB=OE,∴∠BEO=∠EBO, ∴∠COE=∠BOD. ∵∠AOC=∠BOD, ∴∠AOC=∠COE,∴AC=CE. 8.证明：如图，连接OC,OD,则OC=OD. ∵M,N分别是半径OA,OB的中点， ∴OM=ON.∵CM⊥OA,DN⊥OB, ∴∠OMC=∠OND=90°. 在Rt△OMC和Rt△OND中， OM=ON, OC=OD, ∴Rt△OMC≌Rt△OND, ∴∠MOC=∠NOD,∴AC=BD. 9.证明：(1)如图，连接OD. ∵AD//OC, ∴∠DAO=∠COB,∠ADO=∠COD. ∵OA=OD, ∴∠DAO=∠ADO, ∴∠COB=∠COD,所以DE=EB. (2)由(1)知，∠COB=∠COD.又∵OD=OB,OC=OC, ∴△OCD≌△OCB,∴CD=CB. 10.(1)证明：如图，连接OC. ∵∠AOB=120°,C是弧AB的中点， ∴∠AOC=∠BOC=60°. 又∵OA=OC, ∴△ACO是等边三角形， ∴OA=AC,同理OB=BC. ∴OA=AC=BC=OB, ∴四边形AOBC是菱形， ∴AB平分∠OAC. (2)解：∵△OAC是等边三角形，∴OA=AC.又∵OA=AP,∴AP=AC, ∴∠APC=30°, ∴△OPC是直角三角形， ∴可得PC=OC= 学科网（北京）股份有限公司 $